wykład 9 BL 2008/09
5. Opis fali mechanicznej cd. 5.2. Równanie fali
Falą mechaniczną nazywamy zaburzenia rozchodzące się
w ośrodkach sprężystych w postaci impulsu lub drgań.
kierunek propagacji fali
przemieszczenie
r�
Najogólniej falę opisuje funkcja falowa: (równanie fali)
y� =�y� (r,t)
W przypadku zaburzenia rozchodzącego się wzdłuż osi x z prędkością v
w prawo, jeśli jego kształt nie zmienia się w czasie, będzie to funkcja:
y� =�y� (x -�vt)
v v
y� y�
vt
t=0
t>0
y� =�y� (x)
x x
A rozchodzącego się w lewo: y� =�y� (x +�vt)
1
wykład 9 BL 2008/09
Zróżniczkujmy dwukrotnie tę ogólną funkcje falową względem x oraz t:
x '=� x m�vt,
ś�y� ś�y� ś�x' ś�y� ś�y� ś�y� ś�x' ś�y�
=� =� , =� =� m�v ,
ś�x ś�x' ś�x ś�x' ś�t ś�x' ś�t ś�x'
ś�2y� ś�2y�
ś�2y� ś�2y�
=� ,
=�v2 .
ś�x2 ś�x'2
ś�t2 ś�x'2
Z połączenia powyższych równości dostaniemy równanie falowe:
2
ś�2y� 1 ś�y�
=� .
ś�x2 v2 ś�t2
Uwaga: ponieważ funkcja zależy od dwu zmiennych,
obliczamy pochodną cząstkową względem x:
ś�y�
ś�x
t =�const
traktując t jak stałą. Podobnie z pochodną względem
czasu t.
2
wykład 9 BL 2008/09
5.3. Fale harmoniczne
W szczególnym przypadku, gdy każdy element ośrodka drga ruchem
harmonicznym prostym, mamy do czynienia z falą harmoniczną.
x ustalone, drgania elementu są
drganiami harmonicznymi prostymi:
y� (t) =� Asin(2Ą ft +�a�), f =�1/T
y�
T
w� =� 2Ą f - częstość kołowa
A
t j� =� 2Ą ft +�a�
- faza
Funkcja falowa fali harmonicznej może być zapisana w postaci:
2p� 2p� 2p�
��
y� (x,t) =� Asin�� (x m�vt) +� a�ł� =� Asinć� x m� t +� a�
�� ��
ę� ś�
l� l� T
�� �� Ł� ł�
gdzie A jest amplitudą fali, a�  fazą początkową, l� - długością fali,
zdefiniowaną jako odległość, między dwoma najbliższymi punktami
przestrzeni, w których fazy funkcji y� danej chwili t są identyczne.
3
wykład 9 BL 2008/09
Najczęściej korzystamy z postaci:
y� (x,t) =� Asin(kx -�w�t +�a�)
k =2p�/l� liczba falowa
2
ś�2y� 1 ś�y�
Funkcja falowa spełnia równanie falowe
=� .
ś�x2 v2 ś�t2
t ustalone
y� (x) =� Asin[(2p� x/l�) +�a�]
y�
l�
A
x
Przedstawiona fala harmoniczna w ustalonej chwili t ma kształt
sinusoidalny i cechuje ją okresowość przestrzenna, l�.
2p�
Faza funkcji falowej: j� =� (x m�vt) +� a� =� kx m� w�t +� a�
l�
v =� l�/T
Prędkość fali jest prędkością przemieszczania się
powierzchni stałej fazy. Stąd nazywamy ją prędkością fazową.
4
wykład 9 BL 2008/09
5.4. Moc w ruchu falowym
Rozważmy falę harmoniczną wzbudzaną w ośrodku sprężystym
(np. w strunie) przez zewnętrzne z
ródło.
Skoncentrujmy uwagę na elemencie ośrodka o długości D�x i masie D�m.
Porusza się on ruchem harmonicznym z częstością w� i o amplitudzie A.
1
Jego całkowita energia w ruchu harmonicznym:
E =� (D�m)w�2A2,
2
1
E =� (m� D�x)w�2A2, m� - masa na jednostkę długości
2
Obliczmy szybkość przepływu energii :
dE dx
ć� ��
1 1
Pśr =� =� m� w�2A2 =� m�w�2A2v.
�� ��
2 2
dt dt
Ł� ł�
Wyrażenie, które otrzymaliśmy odpowiada mocy średniej wydatkowanej
w czasie jednego okresu drgań.
(Trzeba sobie jednak zdawać sprawę, że szybkość przepływu energii nie
jest stała, bowiem moc pobierana oscyluje. Bardziej zaawansowana
metoda obliczeniowa prowadzi do wyrażenia: dE
P =� =� m�w�2A2v cos2(kx m� w�t).
dt
5
wykład 9 BL 2008/09
Uzyskany wynik, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do
szybkości v, kwadratu amplitudy A2 oraz kwadratu częstości w�2, ma
charakter ogólny i jest prawdziwy dla wszystkich typów fal.
Natężenie fali jest definiowane jako moc przenoszona przez
jednostkowy element powierzchni ustawiony prostopadle do kierunku
rozchodzenia się fali.
6
wykład 9 BL 2008/09
5.5. Fale płaskie i kuliste
r�
r�
Funkcję falową możemy uogólnić, jeśli wprowadzimy wektor falowy
k =� kn,
r�
gdzie jest wektorem jednostkowym, normalnym do powierzchni falowej:
n
r�
r� r�
y� (r,t) =� Asin(kr -�w�t +�a�).
r�
r�
j� =� k r m� w�t +�a� =� const
Jeśli powierzchnie falowe (powierzchnie stałej fazy: )
stanowią zbiór wzajemnie równoległych płaszczyzn, fale nazywamy
płaskimi, jeśli zbiór koncentrycznych powierzchni kulistych mamy do
czynienia z falami kulistymi.
Funkcja falowa :
opisuje falę płaską, której powierzchnie
falowe są prostopadłe do kierunku wektora
r�
k
, a wszystkie punkty danej powierzchni
drgają jednakowo.
Fala płaska i kolista wzbudzone
w zbiorniku z wodą
Jeśli uwzględnimy, że ośrodek w którym rozchodzi się fala
pochłania energię, to obserwujemy tłumienie fali. Dla ośrodka
jednorodnego zachodzi:
r�
r� r�
y� (r,t) =� A0e-�b� t sin(kr -� w� t +� a�),
gdzie A0  amplituda w płaszczyz
nie x=0.
7
wykład 9 BL 2008/09
W ośrodku jednorodnym i izotropowym fala wytworzona przez z
ródło
punktowe jest falą kulistą.
Za z
ródło punktowe przyjmujemy takie, którego rozmiary są
znacznie mniejsze od odległości, w których rozpatrujemy fale.
Amplituda drgań na powierzchni falowej zależy od jej odległości r
od z
ródła jak 1/r (patrz: fotografia). Stąd funkcja falowa opisująca
falę w dostatecznej dużej odległości od z
ródła:
A
y� (r,t) =� sin(kr -� w�t +� a�),
r
gdzie A jest równa liczbowo amplitudzie
fali w jednostkowej odległości od z
ródła.
Pochłanianie energii fali przez ośrodek
uwzględniamy poprzez czynnik :
e-�b� t
A
y� (r,t) =� e-�b� t sin(kr -� w�t +� a�),
r
8
wykład 9 BL 2008/09
5.6. Fale na wodzie
Analityczny opis fal na wodzie
jest bardzo skomplikowany.
Tory cząsteczek są w przybliżeniu okręgami na płytkiej wodzie,
elipsami na głębokiej, zakreślanymi wokół położeń równowagi.
Okres obrotu jest równy okresowi fali. Na szczytach fal prędkość
cząsteczek dodaje się do prędkości fali, a w dolinach odejmuje.
To oznacza, że cząsteczka wody porusza się zarówno w kierunku
poziomym jak i pionowym. W tym sensie fala wodna ma zarówno
9
charakter fali poprzecznej jak i podłużnej.
wykład 9 BL 2008/09
Na głębokiej wodzie prędkość i długość fali nie zależą od głębokości,
na płytkiej prędkość propagacji i zachodzi
v � gh l� =� vT � ghT.
1
Średnia moc fali: pozostaje
Pśr =� m�w�2A2v
2
w przybliżeniu stała.
Prędkość fali, gdy dotrze do płytkich wód
przybrzeżnych maleje, zatem jej amplituda
musi wzrosnąć i dopiero wówczas przejawia
się niszczycielska natura tsunami.
10
wykład 9 BL 2008/09
6. Prędkość fal poprzecznych w strunie
Struna ciało wydłużone,
Rozważmy element struny o długości D�x.
r�
doskonale wiotkie.
F1
r�
W położeniu równowagi
F1y
wartości sił napinających oba
r�
końce elementu struny są
F
jednakowe.
r�
-� F
Stosujemy drugie prawo
r�
r�
Newtona do małego elementu
F2 y
F2
y�(x,t)
struny, którego długość w
położeniu równowagi wynosi
r�
r�
-� F F
D�x, jego masa D� m=m�D�x (m� -
gęstość masy).
x
x+D�x
r� r�
ś�2y�
y�(x,t)- chwilowe, poprzeczne wychylenie z
D�m =� F1 +� F2
położenia równowagi cząsteczek struny w
ś�t2
położeniu x
W przybliżeniu małych drgań pomijamy wzrost długości elementu
r�
i przyjmujemy, że składowe poziome są równe
F
11
wykład 9 BL 2008/09
F1y F2 y
ś�y� ś�y�
ć� �� ć� ��
=� tgq�1 =� , =� tgq�2 =�
�� �� �� ��
F ś�x F ś�x
Ł� ł�x+�D�x Ł� ł�x
��ć� �� ł�
ś�y� ś�y�
ć� ��
F1y -� F2 y =� F
ę��� ś�x �� -� �� ś�x �� ś�.
��Ł� ł�x+�D�x Ł� ł�x ��
ś�2y�
Równanie ruchu:
m� D�x =� F1y -� F2 y
ś�t2
��ć� �� ł�
ś�2y� ś�y� ś�y�
ć� ��
m� D�x =� F
ę��� ś�x �� -� �� ś�x �� ś�,
ś�t2
��Ł� ł�x+�D�x Ł� ł�x��
ś�y� ś�y�
ć� �� ć� ��
-�
�� �� �� ��
m� ś�2y� ś�x ś�x
Ł� ł�x+�D�x Ł� ł�x ,
=�
F ś�t2 D�x
W granicy D�x��0
ś�2y� m� ś�2y�
=� .
ś�x2 F ś�t2
12
wykład 9 BL 2008/09
Porównajmy otrzymane równanie z równaniem falowym :
2
ś�2y� m� ś�2y�
ś�2y� 1 ś�y�
=� .
=� .
ś�x2 F ś�t2
ś�x2 v2 ś�t2
F
Dostajemy prędkość fali poprzecznej
v =� .
m�
zależną od napięcia struny:
Równani falowe spełnia funkcja opisująca falę harmoniczną:
y� (x,t) =� Asin(kx -�w�t +�a�)
Fale mechaniczne poprzeczne mogą powstawać tylko w ośrodkach
charakteryzujących się sprężystością postaciową (wykazujących
odkształcenie na ścinanie).
G
Prędkość w takim ośrodku możemy wyrazić poprzez moduł
v =� .
r�
sztywności G (moduł ścinania) i gęstość ośrodka r�:
W ośrodkach o sprężystości objętościowej lub postaciowej (cieczach,
gazach) mogą powstawać zarówno fale podłużne jak i poprzeczne.
E
W ciałach stałych prędkość fal podłużnych
v =� .
wyraża się poprzez moduł Younga E: r�
13