Fale elektromagnetyczne
Energia pola elektrycznego
dla kondensatora płaskiego
W = ½ CU2 = ½ (µµo S U2 /d) = (µµo /2) (U/d)2 (Sd)
Ò! W = (µµo /2) E2 V
Ò! w = W/V = (µoE /2) E = ED/2
(objętościowa gęstość energii)
lub (dla dielektryka izotropowego)
1
w = ED
2
Energia pola magnetycznego
Praca włączenia prądu I w obwodzie
dW = SEMind I dt
dW = - I dĆ
dla solenoidu idealnego
Ć = n (B SS) = n l (źźo n I SS ), (n=n l)
dĆ =źźo (n )2 (l SS) dI
stąddW = - źźo VS (n )2 I dI,
1 1
W = źźo VS (n I)2 = źźo VS (H" 1)2
2 2
1 1 HB
gęstość energii w = źźo (H)2 =
2 2 2
Równanie ciągłości prądu
(= zasada zachowania Å‚adunku)
div j = - dÁ/dt, (Á = dq/dV)
Wniosek
W warunkach stacjonarnych (dÁ/dt=0, dla prÄ…du staÅ‚ego)
div j = 0
t.j. pole prÄ…du stacjonarnego jest bezz
ródłowe
Twierdzenie Gaussa dla wektora przesunięcia
elektrycznego D
Strumień przesunięcia elektrycznego D przez dowolną powierzchnię
zamkniętą jest równy (obcemu) ładunkowi elektrycznemu q
zamkniętemu wewnątrz tej powierzchni
D dS = qS
+"+"
S
(D = µ µo E)
div D = Á,
Twierdzenie o cyrkulacji wektora natężenia pola
magnetycznego H
(prawo Ampere a)
I
Cyrkulacja wektora natężenia pola magnetycznego H
po dowolnym konturze zamkniętym jest równa
algebraicznej sumie prądów (makroskopowych)
L
obejmowanych przez ten kontur (w próżni i w ośrodku):
+"LH dl = I
lub (tw.S): rot H = j
rot B = źo ź j
(ponieważ H = B /źźo
Równania Maxwella
James Clerk Maxwell 1831-1879
The passing year 2009 marks the 130th
anniversary of the death of James Clerk
Maxwell, a Scot whose ideas increasingly
electrify, magnetize and change the world
today.
 Maxwell's importance in the history of
scientific thought is comparable to
Einstein s (whom he inspired) and to
Newton s (whose influence he curtailed)
Ivan Tolstoy, biographer of Maxwell
James Clerk Maxwell himself (in 1864) said:
 We have strong reason to conclude that
light itself - including radiant heat and other
radiation, if any - is an electromagnetic
disturbance in the form of waves
propagated through the electro-magnetic
field according to electro-magnetic laws.
W 1864 r. J.C. Maxwell
zauważył, że prawo Ampere a, sformułowane w magnetostatyce
nie daje poprawnego wyniku w przypadku,
gdy natężenie prądu w przewodniku zmienia się w czasie.
To spostrzeżenie doprowadziło do opisu fal elektromagnetycznych
i powstania teorii elektromagnetyzmu. Jednak dopiero po upływie
ponad 20 lat od sformułowania równań Maxwella,
w 1888 r. H. Hertz
zademonstrował doświadczalnie (wysłał i odebrał) istnienie tych fal .
Oddziaływanie elektromagnetyczne to jedno z czterech
znanych fizyce oddziaływań elementarnych.
Prawo Ampere a  określenie problemu
(o cyrkulacji wektora natężenia pola magnetycznego H)
Cyrkulacja wektora natężenia pola magnetycznego po dowolnym
konturze zamkniętym jest równa algebraicznej sumie
prądów makroskopowych obejmowanych przez ten kontur:
r
r v
v
Hdl =
lub rot H = j;
"I = jdS
k
+" +"+"
“
k
S
dl
H
S
I
S1
S2
“
Dla prądu stałego (I = const j=const) prawo jest spełnione
dla każdej powierzchni S, S1, S2, rozpiÄ™tej na wspólnym konturze “
ponadto, div j = 0 div (rot H ) = 0
Przypadek prÄ…du niestacjonarnego j`"const
w powierzchni S2 brak
prÄ…du przewodzenia
In(t)
?
rot H = j;
r
r v
v
1 prawo A. jest spełnione dla S1, a nie jest dla S2
Hdl `" jndS
+" +"+"
“
S 2
2 div j = -´Á/´t div (rot H) `" 0 ale div (rot a) a" 0
Równania Maxwella (1866)
Uogólnione prawo Ampere a
r
r v
v
?
Hdl = jndS +
+" +"+"
“
S 2
czyli rot H = jn + ?
Założenie Maxwella:
Założenie Maxwella:
 prąd przesunięcia
 prąd przesunięcia
jcałk = jn + jprzes,
div jn = - div jprzes
aby div jcałk= 0
r
r v
v
div (rot H) = 0
wtedy
Hdl =
"I = jdS
k
+" +"+"
“
k
S
jprzes = ?
rot H = j;
wskazówki fizyczne:
1. Na powierzchni S2 brak prÄ…du jn, ale jest pole elektryczne D
"Á
2. Prawo ciÄ…gÅ‚oÅ›ci prÄ…du: div jn = - , prawo Gaussa: Á = div D
"t
r
r
"D
"
div jprzes = jprzes =
(divD)
"t
"t
Ponieważ więc
rot H = jn + jprzes ,
r
"D
ostatecznie rot H = j +
"t
Uwaga 1
Określenie  prąd przesunięcia ma charakter umowny;
jp reprezentuje zmieniajÄ…ce siÄ™ w czasie pole elektryczne [E(t), D(t)]
Podsumowanie
D=µoµ E,
B=źoźH,
Równania Maxwella
Równania Maxwella
Postać różniczkowa Postać całkowa opis
Prawo Gaussa
r r
1
r Q
Á
dla pola
EdS =
div E =
+"+"
elektrycznego
µ
µ 0
Sv
0
2
r
r r
v
r d
" B Prawo
Edl = - BdS
rot E =
+" +"+"
Faraday a
dt
"t
ls S
Prawo Gaussa
r r
r
3
dla pola
BdS = 0
div B = 0
+"+"
magnetycznego
r
r
r
r r r r
r
r d
Prawo
4 "E
Bdl = ź0 jdS + µ0ź0 EdS
rotB = ź0 j + µ ź0
+" +" +"
0 Ampere a
dt
"t
ls S S
Wielkości fizyczne w równaniach Maxwella
Symbol Wielkość fizyczna Jednostka SI Oznaczenie
Natężenie pola
Volt na metr V/m
E
elektrycznego
Culomb na metr
Indukcja elektryczna C/m2
D
kwadrat
Natężenie pola
Amper na metr A/m
H
magnetycznego
Indukcja magnetyczna Tesla T
B
Amper na metr
Gęstość prądu A/m2
j
kwadratowy
Gęstość ładunku Culomb na metr
C/m3
Á
elektrycznego sześcienny
Symbol Wielkość fizyczna Wartość
Szybkość światła w
C
2.998×108m / s
próżni
Przenikalność
4Ä„ ×10-7 H / m
ź0
magnetyczna próżni
Przenikalność
µ0
8.854×10-12 F / m
elektryczna próżni
Podstawowe rozwiÄ…zania
(różniczkowych) równań Maxwella:
r
"B
rot E = - ,
"t
r
div B = 0,
"D
rot H = j + ,
"t
Uwaga 2 div D = Á
Pierwsze i trzecie równanie są równaniami wektorowymi;
łącznie z 2. i 4. równaniem odpowiadają 8 równaniom
skalarnym z niewiadomymi E,B,D,H, j (15 funkcji skalar-
nych). Należy więc dołączyć do układu jeszcze 3 równania
(wektorowe) t.zw. materiałowe :
D=µoµ E,
B=źoźH,
j=ÃE
Przypadek izotropowego ośrodka neutralnego
(Á=0)
nieprzewodzÄ…cego
(j=0),
o przenikalnoÅ›ciach µ, ź:
r
r
r r
"D
"B
"H "E
= źoź ,= µoµ
"t "t
"t "t
div B = źoź div H , div D = µoµ div E
r
"H
zatem rot E = - źoź ,
"t
div H = 0,
r
"E
rot H = µoµ ,
"t
div E = 0
rot
r
"H "
rot (rot E) = - źoź rot = - źoź (rot H)
"t
"t
r
2
" E
rot rot E = - źoź µoµ ,
2
"t
rot rot a = grad div a  " a
"2a "2a "2a
" a = + +
"2x "2 y "2z
"2ai
rot rot a = grad div a 
"i
"¾i 2
"ay "ax
"az "ay "ax "az
rot a
= ( - )ex + ( - )ey + ( - )ez
"y "z "z "x "x "y
2
" Ei
rot rot E = grad div E 
"i
"¾i 2
div E = 0
r r r
2
2 2
" E
" E " E
rot rot E = -- -
2
2
2
"y
"z
"x
r r r
r
2 2 2
2
" E " E " E
" E
+ + = (źoźµoµ)
2
2 2 2
"y "z
"x "t
1
równanie falowe przy = źoź µoµ
v2
1
c =
W próżni ź =1 oraz µ=1 i v=c,
źoµo
Analogicznie dla wektora natężenia pola magnetycznego H
Elektromagnetyczna fala płaska biegnąca w kierunku Ox
E ,H `" f(y,z)
r
"H
"ay "ax
"az "ay "ax "az
rot E = - źoź rot a = ( - )ex + ( - )ey + ( - )ez
"y "z "z "x "x "y
"t
"Ey
"Ez
"H
x
-= - ź0ź
"y "z
"t
"H
"Ez
"Ex
y
-= - ź0ź = 0
"t
"z "x
"H
"Ey "Ex
z
-= - ź0ź
"t
"y
"x
r
"E
Analogicznie dla rot H = µoµ
"t
"Ey "H "E
"H
z y
z
= - ź0ź , = - µoµ
"t "x
"x
"t
"Ez
"H "H
"Ez
y y
= ź0ź , = µoµ
"x
"t "x
"t
Ey Hz , Ez Hy
wystarczy przeanalizować 1 związek:
"
"Ey
"
"
"H
"H
z
z
= - ź0ź = - ź0ź
"t "x
"x "x "x
"t
2 2
" E " E
y y
= źoµo źµ
2 2
"x "t
1
źoµo = c 2
Analogicznie dla wektora Hz natężenia pola magnetycznego
Wniosek 1
Pola E i H opisywane są równaniem falowym dla fal,
których prÄ™dkość w próżni wynosi vfo = c (= 1/µo źo )
Wniosek 2
Dla fali EM rozchodzÄ…cej siÄ™ w kierunku Ox: Ex = 0, Hx = 0,
Ey Ò! Hz Ò! Ey Ò! Hz ......... (yEÔ!zH) i.t.d,
Ez Ò! Hy Ò! Ez Ò! Hy ..........(zEÔ!yH) i.t.d
t.zn OxĄ"EĄ"H- fala EM jest falą poprzeczną
PrzykÅ‚ad rozwiÄ…zania: Ey=Em cos(Ét  kx +Ä…e),
Hz=Hm cos(Ét  kx +Ä…h),
Po podstawieniu do równania (Ey Hz) dostajemy:
Ä…e = Ä…h ,
µoµ E2m = źoź H2m
lub Em "µoµ = Hm"źoź
Płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku izotropowym
y
Ey
z
Hz
x
Energia przenoszona przez falę EM (w próżni)
1 1
GÄ™stość energii w = wE+wH = w = 2 µo (E)2 + źo (H)2,
2
ponieważ:Em2 µo= Hm2 źo, (Hm"źo = Em "µo),
to wE = wH,
oraz w = ½ (Em "µo)( Em "µo) + ½ (Hm"źo)( Hm"źo)
1
czyli w = "źo µo E H
c
lub EH = w c
Definicja 1
Wektor S = ExH nazywa siÄ™ wektorem Poyntinga
(S ma kierunek rozchodzenia się fali EM i długość: S= | ExH |= E H )
S = w c
dt c
Pow
w
Przenoszona energia w czasie dt przez powierzchniÄ™ Pow:
"W= w V = w c dt Pow
Natężenie przepływu energii:
"W/ Pow dt = w c = S
Wniosek
Wektor Poyntinga o długości S = w c
jest wektorem powierzchniowej gęstości strumienia energii
przenoszonej przez fale elektromagnetycznÄ…
(t.j. natężeniem przepływu lub natężeniem fali)
Wniosek ogólny z równań Maxwella :
Pole elektromagnetyczne może istnieć
bez ładunków elektrycznych i prądów (w próżni),
jednakże musi mieć charakter falowy.
Tego rodzaju pola
noszÄ… nazwÄ™ fal elektromagnetycznych.
W swobodnej przestrzeni rozchodzÄ… siÄ™ one
zawsze z prędkością światła c.