-1-
Filtry cyfrowe  cz.2
Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI
Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można zredukować
stosując funkcje okien wyznaczające rząd filtru, inne niż o kształcie prostokąta.
Na rysunku niżej przedstawiono przypadek stosowania okna prostokątnego w[n]. Z ciągu
nieskończonego odpowiedzi impulsowej filtru h"[n] wybierana jest żądana liczba współczynników
filtru. Operacja ta polega na mnożeniu funkcji w[n] oraz h"[n].
-2-
h[n]= w[n]�" h"[n]
W dziedzinie częstotliwości odpowiada to operacji splatania transformat Fouriera funkcji w[n] oraz
h"[n].
-3-
"
H[m]= W[m]" H [m]
Rysunek poniżej przedstawia w sposób graficzny, splot w dziedzinie częstotliwości. Jeżeli
będziemy interpretować splot jako sumę iloczynów |W[m]| oraz |H"[m]| dla kolejnych przesunięć W[m]
względem H"[m] to łatwo zauważyć przyczynę powstawania zafalowań charakterystyki amplitudowej
filtru.
-4-
-5-
Możemy także zauważyć, że największe wartości zafalowań w paśmie przepustowym charakterystyka
osiąga w punkcie, w którym kończy się pasmo przepustowe charakterystyki filtru idealnego, o
charakterystyce prostokątnej.
Rysunek poniżej przedstawia obszar nierównomierności oraz obszar przejściowy filtru
dolnoprzepustowego, wyznaczanego dla okna prostokątnego, dla dwóch różnych rzędów
-6-
-7-
Zredukowanie nieciągłości okna w[n]
Projektowanie metodą okna polega na zredukowaniu nieciągłości w[n] przez zastosowanie okna o
innego niż prostokątne.
Zastąpimy okno prostokątne oknem, którego dyskretne wartości wyznacza zależność:
2Ąn 4Ąn
ś# ś#
w[n]= 0,42 - 0,5cos�# + 0,08cos�# dla n = 0,1,2,..., N -1
ś# ź# ś# ź#
N N
�# # �# #
-8-
Rysunek poniżej przedstawia zastosowanie okna Blackamana do projektowania filtru SOI, oraz
charakterystyki filtrów 31 i 63 rzędu.
-9-
-10-
Dzięki zastosowaniu okna Blackmana znacznie zmniejszono zafalowania w paśmie przepustowym.
Oczywiście dla rozpatrywanego dolnoprzepustowego filtru SOI możemy użyć innej, dowolnej funkcji
okna. Na tym właśnie polega istota projektowania filtrów SOI tą metodą, tj. metodą okna.
Przykłady i porównanie innych okien wygładzających w[n]
Rysunek poniżej przedstawia porównanie charakterystyk filtru o oknie prostokątnym i oknie
Blackmana. Dzięki zastosowaniu odpowiedniego okna można zatem poprawić własności filtru, poprzez
zmniejszenie poziomu listków bocznych.
-11-
Należy być jednak świadomym tego, że to polepszenie uzyskuje się dzięki poszerzeniu listka
głównego, i projektowanie zwykle polega na znalezieniu odpowiedniego kompromisu między
szerokością listka głównego i poziomem listków bocznych
-12-
-13-
Okno Czebyszewa
ż# �#
Ą# m ń#
ś#
cos�#N �"cos-1ó#ą �"cos�#Ą
ś# ź#Ą#
Ź#
N
�# #
Ł# Ś#
�# �#
w[n]=
cosh[N �"cosh-1(ą)]
gdzie
1
ą = cosh�# cosh-1(10ł )ś#
ś# ź#
N
�# #
m = 0,1,2,..., N -1
Funkcja została wyprowadzona, na podstawie analizy macierzowej anten. Parametr gamma
umożliwia sterowanie szerokością listka bocznego oraz poziomem listków bocznych.
-14-
-15-
2
Ą# ń#
�# - p ś#
n
Ą#
I0 ó#� 1- ś# ź#
ś# ź#
p
ó# Ą#
�# #
Ł# Ś#
w[n]=
I0(� )
gdzie
n = 0,1,2,..., N -1
N -1
p =
2
Równanie pochodzi z badań Kaisera nad funkcjami sferycznymi z użyciem funkcji Bessela zerowego
rzędu. Parametr beta umożliwia sterowanie szerokością listka bocznego oraz poziomem listków
bocznych.
-16-
-17-
Projektowanie środkowoprzepustowych filtrów SOI
Projektowanie filtru środkowoprzepustowego polega na przesunięciu charakterystyki filtru
dolnoprzepustowego. Można tego dokonać przez pomnożenie współczynników filtru
dolnoprzepustowego hlp[n] przez funkcję sinusoidalną o częstotliwości fs/4. W wyniku otrzymuje się
współczynniki filtru środkowoprzepustowego hbp[n]. Sinusoidę reprezentuje na rysunku ciąg sshift[n], są
to próbki sinusoidy pobierane 4 razy w okresie.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
hhp n = hlp n �" sshift n = hlp n �" 0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,1...
-18-
-19-
Przy projektowaniu filtru pasmowego SOI o częstotliwości środkowej fs/4 musimy dokonać jedynie
połowę mnożeń, ponieważ co drugi współczynnik jest zerem. Jeżeli jednak środkowa częstotliwość jest
różna od fs/4 to musimy wykonać wszystkie mnożenia.
Projektowanie górnoprzepustowych filtrów SOI
Aby wyznaczyć współczynniki filtru górnoprzepustowego hhp[n], należy jedynie zmodyfikować
ciąg przesuwający. Ciąg sshift[n] powinien reprezentować sinusoidę o częstotliwości fs/2.
hhp[n]= hlp[n]�" sshift[n]= hlp[n]�"[1,-1,1,-1,1,-1,1,-1...]
-20-
-21-
Charakterystyka fazowa filtrów SOI
Jedną z podstawowych właściwości filtrów SOI jest liniowość charakterystyki fazowej. Przykład
wyznaczania charakterystyki przedstawia rysunek niżej.
-22-
-23-
-24-
Zauważymy, że charakterystyka fazowa jest liniowa w paśmie przepustowym. Oznacza to jednakowe
opóz
nienie wszystkich składników częstotliwościowych, a to oznacza że sygnał wejściowy nie jest
zniekształcany. Ta cecha dotyczy wszystkich filtrów SOI o symetrycznych współczynnikach.
-25-
Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI
Filtry tego typu zawsze wymagają sprzężenia zwrotnego. Inaczej, każda próbka sygnału
wyjściowego zależy od poprzednich próbek sygnału wejściowego i wyjściowego.
Filtry NOI w porównaniu z filtrami SOI, są bardziej skomplikowane w projektowaniu i analizie i
nie mają liniowej charakterystyki fazowej, są jednak bardziej efektywne. NOI wymagają znacznie
mniejszej liczby mnożeń do obliczenia próbki sygnału wyjściowego niż SOI przy zapewnieniu
odpowiedniej charakterystyki filtru.
Na rysunku porównano charakterystyki amplitudowe dolnoprzepustowego filtru NOI 4 rzędu oraz filtru
SOI 19 rzędu.
" SOI 19 rzędu wymaga 19 operacji mnożenia
" NOI 4 rzędu wymaga 9 operacji mnożenia
-26-
Filtr NOI ma mniejsze nierówności w paśmie przepustowym, mniejsze pasmo przejściowe i jest
bardziej efektywny ze względu na liczbę operacji matematycznych.
-27-
Struktura filtru SOI
Na rysunku przedstawiono schemat blokowy przedstawiający strukturę filtru SOI opisanego równaniem
różnicowym w dziedzinie czasu:
y[n]= h[0]x[n]+ h[1]x[n -1]+ h[2]x[n - 2]+ h[3]x[n - 3]
-28-
-29-
Struktura filtru NOI
Na rysunku przedstawiono schemat blokowy przedstawiający strukturę filtru NOI opisanego równaniem
różnicowym w dziedzinie czasu:
y[n]= b[0]x[n]+ b[1]x[n -1]+ b[2]x[n - 2]+ b[3]x[n - 3]+
+ a[1]y[n -1]+ a[2]y[n - 2]+ a[3]y[n - 3]
-30-
Ciąg d[n] w strukturze filtru NOI jest równy ciągowi y[n] w strukturze filtru SOI
-31-
Przykład dolnoprzepustowego filtru NOI drugiego rzędu
y[n]= 0,0605x[n]+ 0,121x[n -1]+ 0,0605x[n - 2]+
+1,194y[n -1]- 0,436y[n - 2]
-32-
Transformata ZET
Y(z) = 0,0605X (z)+ 0,121X (z)z-1 + 0,0605X (z)z-2 +
+1,194Y(z)z-1 - 0,436Y(z)z-2
Transmitancja
0,0605 + 0,121z-1 + 0,0605z-2
H(z) =
1-1,194z-1 + 0,436z-2
Charakterystyka częstotliwościowa
0,0605e- j0� + 0,121e- j1� + 0,0605e- j 2�
H( j�) =
1-1,194e- j1� + 0,436e- j2�
-33-
Rysunek przedstawia charakterystykę amplitudową i fazową obliczonego filtru:
Dla porównania wykreślono charakterystyki filtru SOI 5 rzędu
-34-
Charakterystyka fazowa filtru NOI jest nieliniowa.
Przy tym samym nakładzie obliczeń filtrów charakterystyka amplitudowa filtru NOI ma mniejsze
nierówności i jest bardziej stroma w paśmie przejściowym niż SOI.
-35-
Projektowanie filtrów NOI metodą niezmienniczości odpowiedzi impulsowej
Metoda polega na projektowaniu filtru cyfrowego, którego odpowiedz
impulsowa jest spróbkowaną
wersją odpowiedzi filtru analogowego. Jeżeli prototypowy filtr analogowy ma żądaną charakterystykę
częstotliwościową, to projektowany filtr cyfrowy NOI będzie aproksymował tę charakterystykę
-36-
Na podstawie tego co wiemy o zjawisku powielania widma na skutek próbkowania sygnału, możemy
stwierdzić, widmo ciągłej odpowiedzi impulsowej ulegnie powieleniu i otrzymamy widmo okresowe.
Podczas projektowania filtrów NOI należy uwzględniać efekt nakładania widma (aliasingu) Z tego
powodu w praktyce wybiera się duże częstotliwości próbkowania.
-37-
Efekt powielania widma sygnału dyskretnego.
-38-
Przykład projektowania filtru NOI
Zaprojektujemy filtr NOI, którego nierówność charakterystyki w paśmie przepustowym wynosi
1dB.
Częstotliwość próbkowania 100Hz. (ts=0.01).
Częstotliwość graniczna przy spadku o 1dB wynosi 20Hz.
-39-
Analogowy filtr Czebyszewa odpowiadający tym wymaganiom ma transmitancję:
17410,145
Hc(s) =
s2 +137,94536s +17410,145
Obliczymy odwrotną transformatę Laplace a wykorzystując zależność:
A�
Ż#L Ae-ąt sin(�t)
Ż#
2
2
(s +ą) +�
hc(t) = 154,77724e-68,972680t sin(112,485173t)
-40-
Obliczymy transformatę ZET wykorzystując zależność
s
Ce-ąt sin �ts z-1
( )
Z
s
Ce-ąnt sin �nts Ż#Ż#

()
-ątss
Ą#
1- 2
( )Ś#
Ł#e cos �ts ń# z-1 + e-2ąt z-2
154,77724e-68,972680ts sin(112,485173ts )z-1
H(z) =
1- 2[e-68,972680ts cos(112,485173ts )]z-1 + e-2�"68,972680ts z-2
70,059517z-1
H(z) =
1- 0,43278805z-1 + 0,25171605z-2
-41-
Stąd można wyznaczyć równanie różnicowe realizujące filtr NOI
X (z)70,059517 z-1 = Y(z)[1- 0,43278805 z-1 + 0,25171605 z-2]
Y(z) = X (z)70,059517z-1 + Y(z)0,43278805z-1 -Y(z)0,25171605z-2
Ostatecznie:
y[n]= 70,059517 x[n -1]+ 0,43278805 y[n -1]- 0,25171605 y[n - 2]
Na podstawie:
-42-
R. G. Lyons  Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów 1999
J. Izydorczyk, G. Płonka, G. Tyma  Teoria sygnałów 1999