Egzamin pisemny z matematyki
Wydzia WILiÅš, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009
l
Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
Zad.Z1. [10p  rozwiazanie piszemy na stronie 1 ]
¸

Dane jest pole wektorowe: F = [2y - 6xy3, 2x - 9x2y2, 6].

a) Obliczyć div F .

b) Wykazać, że F jest polem potencjalnym oraz wyznaczyć jego potencja
l.
c) Obliczyć ca e
lk¸

(2y - 6xy3)dx + (2x - 9x2y2)dy + 6dz,
"#
AB
"#
1
gdzie AB jest lukiem krzywej {y = x2, z = 6} lacz¸ punkty A(0, 0, 6) i B(2, 2, 6).
¸ acym
2
Zad.Z2. [6p  rozwiazanie piszemy na stronie 2 ]
¸
Obliczyć mas¸ luku krzywej L : {x(t) = et cos t, y(t) = et sin t, z(t) = et, t " [0, 1]}, której g¸ wyraża si¸
e estość e
wzorem Á(x, y, z) = z.
Zad.Z3. [9p  rozwiazanie piszemy na stronie 3 ]
¸
Napisać równanie stycznej do krzywej o równaniu
t
= [t - sin t, 1 - cos t, 4 sin ]
r(t)
2
Ä„
w punkcie odpowiadaj¸ t0 = . Jaki k¸ tworzy ta styczna z osia OZ? Obliczyć krzywizn¸ w punkcie t0.
acym at ¸ e r(t)
2
Zad.Z4. [6p  rozwiazanie piszemy na stronie 4 ]
¸
2
Obliczyć f(51)(2) dla funkcji f(x) = .
4-x
Zad.Z5. [9p  rozwiazanie piszemy na stronie 5 ]
¸
Niech
Å„Å‚
òÅ‚
C(x3 - x2) x " (0, 1)
f(x) =
ół
0 x " (0, 1)
/
b¸ g¸ ¸ rozk zmiennej losowej X. Wyznaczyć sta a C. Znalez
ć wzór na dystrybuant¸ zmiennej
edzie estoÅ›cia ladu l¸ e
1
losowej X. Obliczyć P (-1 d" X d" ) oraz EX.
2