Wykład 5
5. Teoria produkcji  ujęcie neoklasyczne1
5.1. Produkcja jako proces. Czynniki produkcji a wynik działalności produkcyjnej. Cele
producenta.
Konsument, odczuwajÄ…cy konkretne potrzeby oraz zdajÄ…cy sobie sprawÄ™ z ich istnienia, poszukuje
na rynku dóbr, które mogłyby te potrzeby w mo\
liwie jak największym stopniu zaspokoić. Konsument
dokonuje wyboru koszyka towarów ze zbioru wszystkich znajdujących się na rynku koszyków
towarów.
Aby towary, z których konsument dokonuje wyboru, znalazły się na rynku muszą najpierw zostać
wyprodukowane. Ten swoisty truizm wskazuje na konieczność rozszerzenia rozwa\
ań o sferę
produkcji oraz wymaga uwzględnienia na rynku w zbiorze towarów, towarów będących czynnikami
produkcji. Z tego względu na rynku towarów będziemy wyró\
niać, przyjmując za kryterium podziału
rodzaj pełnionej funkcji, trzy podstawowe grupy towarów:
- towary konsumpcyjne,
- czynniki produkcji: praca i kapitał (finansowy i rzeczowy),
- towary w podwójnej roli środków produkcji i środków konsumpcji.
Z teoretycznego punktu widzenia wymiana ma identyczny charakter niezale\
nie od typu towaru,
nie ma te\
znaczenia czy towary obu typów stanowić będą zawartość jednego koszyka, czy te\
będą
w jakiś sposób wyró\
niane.
Natomiast wskazana jest jednoznaczność podejścia - albo mówimy o rynku towarów w ogóle, albo
obok rynku towarów konsumpcyjnych wyró\
nia się rynki czynników wytwórczych.
Nale\
y podkreślić, i\
w ekonomii matematycznej równoprawne są oba podejścia, wynika to z faktu,
i\
podział na towary konsumpcyjne i towary produkcyjne ma charakter funkcjonalny. Ten podział staje
siÄ™ istotny, gdy nastÄ…pi ju\
wymiana i trzeba zdecydować o przeznaczeniu towarów na cele
konsumpcyjne czy produkcyjne.
W gospodarce i na rynku obok konsumentów wyró\
niamy zatem producentów, przy czym ta grupa
podmiotów to zarówno pojedyncze osoby prowadzące działalność wytwórczą, jak i przedsiębiorstwa
(kombinaty, fabryki, spółdzielnie).
Cechą charakterystyczną produkcji jest najogólniej przekształcenie jednej wiązki towarów w inną.
Traktując proces produkcyjny jako czarną skrzynkę ze znanymi wejściami i wyjściami oraz ustaloną
zasadą transformacji wejść w wyjścia i uto\
samiając wejścia z ponoszonymi nakładami, a wyjścia
z wynikami procesu produkcji, działalność ka\
dego producenta mo\
na najogólniej określić jako proces
transformacji nakładów w wyniki.
Rozwa\
ania na temat procesów produkcji w sformalizowanym ujęciu właściwym ekonomii
matematycznej wymagają przyjęcia pewnych zało\
eń uogólniających. Przede wszystkim, podobnie jak
w przypadku teorii popytu, zakłada się, \
e podmioty prowadzące działalność gospodarczą zachowują
1
Wykład opracowany na podstawie E. Panek,  Ekonomia matematyczna , Poznań 2000, rozdział 2 oraz
B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław
2001, rozdział 13 i 14
dr Agnieszka Bobrowska 1
Ekonomia matematyczna I
się racjonalnie, a celem ich działania jest maksymalizacja dochodu z prowadzonej działalności
a czasami w uproszczeniu maksymalizacja wielkości produkcji. Przyjmuje się dodatkowo, \
e
produkowane towary i wykorzystywane czynniki wytwórcze są doskonale podzielne. Producenci
podejmujÄ… decyzje niezale\
nie, kierując się tylko własnymi celami i informacjami z rynku, który jest dla
nich doskonale przejrzysty.
Mo\
na zatem ogólnie stwierdzić, \
e modelowe ujęcie procesów produkcji wyprowadzany jest
z zało\
eń neoklasycznej teorii ekonomii.
Procesy produkcji realizowane przez poszczególnych producentów mogą być opisywane parą
wektorów (x,y), gdzie x jest wektorem zu\
ycia towarów, a y jest wektorem produkcji.
Własności takich procesów wynikają z przyjmowanych zało\
eń o technologiach wytwarzania oraz
o warunkach panujących na rynku (od monopolu do konkurencji doskonałej).
5.2. Przestrzeń produkcyjna
Zakładamy, \
e w gospodarce występuje n rodzajów towarów, są to zarówno towary konsumpcyjne,
jak produkcyjne.
Działalność pojedynczego producenta mo\
na opisać za pomocą nieujemnego, 2n-elementowego
wektora (x1, x2 ,..., xn , y1, y2 ,..., yn ) , zło\
onego z pary n-wymiarowych wektorów nakładów (zu\
ycia)
x = (x1, x2 ,..., xn ) i wyników (produkcji) y = (y1, y2 ,..., yn ) , tworzących dopuszczalny proces
produkcji w sensie technologii, którą dysponuje producent.
Technologia produkcji oznacza sposób przekształcenia określonego wektora nakładów w dany
wektor wyników. Determinuje ona w sposób jednoznaczny, jakie rodzaje nakładów i w jakich ilościach
muszą być zastosowane, aby otrzymać określony wynik procesu produkcji. W gospodarce na ogół
znane są rozmaite technologie pozwalające otrzymać z góry określony produkt. Te technologie ró\
niÄ…
się wielkością i rodzajem nakładów przypadających na jednostkę wytworzonego produktu, co
w ekonomii określa się jako zró\
nicowanie ich efektywności ekonomicznej.
Je\
eli przyjmujemy, \
e producenci działają na rynku doskonale konkurencyjnym i zachowują się
racjonalnie, to musimy równocześnie przyjąć, \
e znajÄ… wszystkie mo\
liwe do zastosowania
technologie i wybierajÄ… optymalnÄ…, czyli w danych warunkach rynkowych najefektywniejszÄ….
Zbiór wszystkich znanych i mo\
liwych do zastosowania technologii produkcji określamy mianem
dopuszczalnych technologii produkcji, a o procesach produkcji, w których owe technologie znajdują
zastosowanie mówimy, \
e tworzą zbiór technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji.
2n
Zbiór Z ‚" R+ wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji z normÄ…
x = max xi nazywamy przestrzenią produkcyjną w ujęciu procesów (przestrzenią p-
i
produkcyjnÄ…).
W dopuszczalnym procesie produkcyjnym (x, y) " Z w pewnej gospodarce i-ty towar mo\
e być:
dr Agnieszka Bobrowska 2
Ekonomia matematyczna I
- jednocześnie zu\
ywany i wytwarzany, w procesie (x, y) dodatnie będą wtedy odpowiednie
składowe obu wektorów (np. energia elektryczna w elektrowni),
- wyłącznie zu\
ywany, w procesie (x, y) dodatniej składowej wektora x odpowiada zerowa
współrzędna wektora y (np. ruda \
elaza w hucie),
- wyłącznie wytwarzany, w procesie (x, y) zerowej składowej wektora x, odpowiada dodatnia
składowa wektora y (np. chleb w piekarni),
- mo\
e w ogóle nie wystąpić jako element nakładów i wyników, w takim procesie zerowe będą
wtedy odpowiednie współrzędne obu wektorów (np. ruda \
elaza w piekarni).
Aby bli\
ej scharakteryzować przestrzenie p-produkcyjne nale\
y przyjąć dodatkowe zało\
enia
zwane tak\
e prawami produkcji. Są one bezpośrednio wywodzone z obserwacji rzeczywistych
procesów produkcyjnych, mają charakter prakseologicznych uogólnień.
1. Zało\
enie proporcjonalności przychodów:
"Ä… e" 0 (Ä…Z Ä…" Z).
2. Zało\
enie malejących przychodów:
"Ä… "[0,1) (Ä…Z Ä…" Z) '" "Ä… '> 1 (Ä… ' Z "" Z) .
3. Zało\
enie rosnących przychodów:
"Ä… > 1 (Ä…Z Ä…" Z) '" "Ä… '" (0,1) (Ä…'Z "" Z) .
4. Zało\
enie addytywności procesów produkcyjnych:
(x1, y1) " Z '" (x2 , y2 ) " Z Ò! (x1 + x2 , y1 + y2 ) " Z .
5. Zało\
enie "braku rogu obfitości":
(0, y) " Z Ò! y = 0
6. Zało\
enie nieodwracalności procesów produkcji:
dr Agnieszka Bobrowska 3
Ekonomia matematyczna I
x `" y '" (x, y) " Z Ò! (y, x) " Z .
7. Zało\
enie mo\
liwości marnotrawstwa I:
(x, y) " Z '" 0 d" y'd" y Ò! (x, y') " Z .
8. Zało\
enie mo\
liwości marnotrawstwa II:
(x, y) " Z '" x'e" x Ò! (x', y) " Z .
9. Zało\
enie domkniętości przestrzeni p-produkcyjnej:
(xi , yi ) " Z '" (xi , yi )(x, y) Ò! (x, y) " Z .
i
Uwagi:
1. Nie wszystkie wymienione warunki mogą zachodzić równocześnie w danym procesie
produkcyjnym.
Na przykład warunki (1), (2), (3) wykluczają się wzajemnie, zatem procesy p-produkcyjne spełniać
mogą zało\
enia: (1) i (4)-(9); (2) i (4)-(9);(3) i (4)-(9).
Co się natomiast tyczy pojedynczych zało\
eń, to mogą one być zinterpretowane w następujący
sposób:
2. Zało\
enie proporcjonalności przychodów oznacza, \
e proporcjonalne zwiększenie
(zmniejszenie) nakładów prowadzi do proporcjonalnego zwiększenia (zmniejszenia) wyników.
Zało\
enie to nie jest spełnione w dwóch szczególnych przypadkach ą < 1 oraz ą > 1, co
prowadzi do warunków malejących i rosnących przychodów.
3. W przypadku zało\
enie malejących przychodów, istnieje proces (x', y') " Z , nie
podporządkowujący się prawu proporcjonalnych przychodów, w takim sensie, \
e dla pewnej
liczby ą '> 1, ą ' krotny wzrost nakładów nie prowadzi do ą ' krotnego zwiększenia wyników.
4. Zało\
enie rosnących przychodów oznacza istnienie procesu (x', y') " Z , nie
podporządkowującego się prawu proporcjonalnych przychodów w takim sensie, \
e dla pewnego
dr Agnieszka Bobrowska 4
Ekonomia matematyczna I
ą'"(0;1), ą ' krotne zmniejszenie nakładów nie prowadzi do takiego samego ograniczenia
produkcji.
5. Addytywność procesów produkcyjnych oznacza, \
e mo\
liwe jest dodawanie technologicznie
dopuszczalnych procesów produkcji.
6. Zało\
enie  braku rogu obfitości oznacza, \
e aby osiągnąć jakikolwiek efekt produkcyjny
konieczne jest zu\
ycie czynników wytwórczych. Zało\
enie to jest skutkiem materialnego
charakteru świata, w którym funkcjonujemy i praw przyrody (prawo zachowania energii).
7. Nieodwracalność procesów produkcji oznacza, \
e je\
eli z wektora nakładów x wytworzony
zostaje wektor produkcji y, to niemo\
liwe jest odwrócenie tego procesu i otrzymanie na powrót
z wektora y wektora x. Niemo\
liwe jest zatem z gotowego produktu odzyskanie nakładów
w pierwotnej postaci i ilości. Przede wszystkim nie da się odzyskać poniesionych nakładów siły
roboczej czy energii.
8. Zało\
enia mo\
liwości marnotrawstwa są egzemplifikacją racjonalnego działania producentów
i oznaczajÄ…, \
e je\
eli zastosujemy optymalną technologię, to z określonego wektora nakładów
otrzymamy maksymalnie du\
y wektor produkcji. Do pomyślenia są te\
sytuacje działania
nieefektywnego, czyli zastosowania technologii  gorszej , w przypadku której z tego samego
wektora nakładów otrzymamy mniejszy efekt produkcyjny. Drugim wariantem działania
produkcyjnego o ni\
szej efektywności jest sytuacja, kiedy określony efekt produkcyjny
uzyskujemy stosując większy ni\
w przypadku optymalnym wektor nakładów. Oba przypadki
marnotrawstwa w przypadku jednostkowym sprowadzajÄ… siÄ™ do stwierdzenia, \
e optymalna
znana technologia zapewnia wytworzenie jednostki towaru przy minimalnych nakładach
niezbędnych czynników wytwórczych, a zastosowanie technologii  gorszych powoduje, \
e
wytworzenie jednostki towaru, wymaga ponoszenie większych nakładów jednostkowych.
PodsumowujÄ…c, stosujÄ…c technologie gorsze ni\
optymalna marnotrawimy czynniki wytwórcze.
9. Domkniętość przestrzeni p-produkcyjnej oznacza, \
e je\
eli dowolnie mała zmiana wektora
nakładów x lub wektora produkcji y lub obu wektorów jednocześnie w pewnym procesie (x, y)
prowadzi do procesu technologicznie dopuszczalnego, to proces (x, y) jest te\
technologicznie
dopuszczalny. Formalnie oznacza to m.in. \
e brzeg zbioru Z opisującego przestrzeń p-
produkcyjnÄ… te\
nale\
y do Z oraz \
e przestrzeń ta jest zwarta i zupełna.
O niektórych własnościach przestrzeni p-produkcyjnych mówi poni\
sze twierdzenie:
dr Agnieszka Bobrowska 5
Ekonomia matematyczna I
Twierdzenie 5.1.
Je\
eli przestrzeń p-produkcyjna jest addytywna i spełnia zało\
enie o proporcjonalnych
przychodach, to jest ona sto\
kiem wypukłym z wierzchołkiem w początku układu
współrzędnych.
Je\
eli domknięta przestrzeń p-produkcyjna spełnia zało\
enie o proporcjonalnych lub
malejÄ…cych dochodach i mo\
liwe jest nieracjonalne wykorzystanie nakładów, to:
n n
"x " R+ "y " R+ ((x, y) " Z)
Dotychczas proces produkcyjny opisywany był jednoznacznie parą wektorów, wektora nakładów x
i wektora wyników y, co sytuowało go w przestrzeni 2n-wymiarowej. Do jednoznacznej charakterystyki
procesu produkcyjnego mo\
na u\
yć kategorii ekonomicznej jaką stanowi produkcja czysta.
Je\
eli (x, y) " Z , to o ró\
nicy qi = yi - xi mówimy, \
e przedstawia produkcjÄ™ czystÄ… i-tego
towaru w procesie (x, y) w jednostkach fizycznych.
Zastosowanie kategorii produkcji czystej pozwala na rozwa\
anie procesu produkcyjnego
w przestrzeni n-wymiarowej, co w konsekwencji powoduje uproszczenie opisu i wnioskowania
o właściwościach procesów produkcyjnych. Tak na przykład nie dający się zilustrować graficznie 4-
wymiarowy przypadek przestrzeni produkcyjnej redukuje się do w pełni opisywalnej przestrzeni 2-
wymiarowej.
Zbiór wektorów produkcji czystej:
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚q ôÅ‚
C = : q = y - x; (x, y) " Z ‚" Rn
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
z normÄ… x = max xi nazywamy przestrzeniÄ… c-produkcyjnÄ….
i
Wnioski:
1. O ile przestrzeń p-produkcyjna jest zawarta w nieujemnym orthancie przestrzeni R2n , o tyle
przestrzeń c-produkcyjna jest zawarta w Rn ,
2. Elementy przestrzeni c-produkcyjnej (wektory produkcji czystej) nie muszą być wektorami
nieujemnymi,
3. Ujemna wielkość wektora qi pokazuje o ile zu\
ycie i-tego towaru w procesie produkcyjnym
przekracza jego produkcjÄ™, a dodatnia  o ile produkcja przekracza jego zu\
ycie.
dr Agnieszka Bobrowska 6
Ekonomia matematyczna I
5.3. Funkcja produkcji i jej własności
Do zdefiniowania funkcji produkcji niezbędne jest pojęcie technologicznie efektywnego procesu
produkcji.
Proces (x, y) " Z nazywamy technologicznie efektywnym, je\
eli spełnia warunek:
Ź"(x, y') " Z ( y'e" y '" y'`" y)
Zatem proces produkcyjny (x, y) jest technologicznie efektywny, je\
eli nie znamy w danej
gospodarce technologii, która z danego wektora nakładów x pozwoliłaby uzyskać większy od wektora
y wektor wyników y' .
2n
ZwiÄ…zanÄ… z przestrzeniÄ… p-produkcyjnÄ… Z ‚" R+ wieloargumentowÄ…, wektorowÄ… funkcjÄ™ produkcji
definiujemy w następujący sposób:
n n
Je\
eli istnieje taka funkcja wektorowa f : R+ R+ , \
e y = f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy
proces (x, y) " Z jest technologicznie efektywny, wówczas f nazywamy wektorową funkcją
produkcji zwiÄ…zanÄ… z przestrzeniÄ… p-produkcyjnÄ… Z.
WektorowÄ… funkcjÄ™ produkcji mo\
na tak\
e zapisać w postaci niejawnej funkcji F, spełniającej
warunek:
F(x, y) = 0 Ô! y = f (x) ,
co oznacza, \
e je\
eli dana jest funkcja f, to wystarczy przyjąć, \
e:
F(x, y) = y - f (x) .
Przykład:
Je\
eli producent wytwarza tylko jeden towar, zu\
ywajÄ…c przy tym k-wymiarowy wektor
nakładów, to funkcja produkcji redukuje się wtedy do skalarnej k-argumentowej funkcji
k 1
produkcji f : R+ R+ .
k 1
Zazwyczaj zakłada się, \
e skalarna funkcja produkcji f : R+ R+ jest ciągła i dwukrotnie
ró\
niczkowalna na obszarze określoności oraz spełnia następujące warunki:
dr Agnieszka Bobrowska 7
Ekonomia matematyczna I
k
(I) f (0) = 0 , gdzie 0 - zerowy wektor przestrzeni R+ ,
ëÅ‚ öÅ‚
"f (x)
k
ìÅ‚ ÷Å‚
(II) "x " R+ , "i > 0 ,
ìÅ‚ ÷Å‚
"xi
íÅ‚ Å‚Å‚
2
"f (x)
k
(III) Macierz funkcyjna H (x) = jest niedodatnio określona na R+ ,
"x2
i
k
(IV) "x " R+ , " e" 0 ( f (x) = f (x)) .
Uwagi:
1. Warunek (I) oznacza, \
e zerowe nakłady, dają w wyniku zerową produkcję, bowiem bez
nakładów nie ma wyników. Warunek ten jest wynikiem przyjęcia prawa produkcji zwanego
 brakiem rogu obfitości .
2. Warunek (II) oznacza, \
e funkcja produkcji jest rosnÄ…ca. W praktyce oznacza to, \
e na całym
obszarze określoności funkcji produkcji krańcowe wydajności nakładów są dodatnie, czyli
zwiększanie nakładu któregokolwiek czynnika wytwórczego powoduje wzrost produkcji.
k
3. Warunek (III) jest równowa\
ny z wklęsłością funkcji produkcji. Zgodnie z tym warunkiem na R+
występuje malejąca krańcowa wydajność nakładów.
4. Warunek (IV) oznacza zało\
enie o proporcjonalnych przychodach. Je\
eli zastÄ…pimy go
ogólniejszym warunkiem:
f (x) = ¸ f (x) ,
to będzie on równowa\
ny z przyjęciem zało\
enia o malejÄ…cych przychodach, gdy 0<¸<1, lub zaÅ‚o\
enia
o rosnÄ…cych przychodach gdy ¸>1, ale wtedy nie mo\
e być spełnione zało\
enie (III).
W przypadku, gdy ¸>1, wówczas mamy do czynienia z tzw. efektem dodatnich korzyÅ›ci skali,
w przeciwnym wypadku, tj. gdy ¸<1 z efektem niekorzyÅ›ci skali.
Z powy\
szych warunków wynika tak\
e warunek póładdytywności funkcji produkcji:
k
"x1, x2 " R+ ( f (x1 + x2 ) e" f (x1) + f (x2 )) .
Póładdytywność funkcji produkcji oznacza, \
e zsumowanie wektorów nakładów czynników
wytwórczych, powinno dać proces produkcyjny, którego efekt będzie nie mniejszy ni\
suma efektów
odrębnych procesów produkcyjnych.
dr Agnieszka Bobrowska 8
Ekonomia matematyczna I
k
Je\
eli zdefiniujemy przestrzeń p-produkcyjną Z = {(x, y) : x " R+ ,0 d" y d" f (x)}, gdzie f
skalarna, k-argumentowa funkcja produkcji spełnia warunki (I)-(IV), to tak zdefiniowana przestrzeń p-
produkcyjna spełnia standardowe warunki przestrzeni p-produkcyjnej (1) i (4)-(9).
Podobnie jak w przypadku funkcji popytu, z funkcji produkcji mo\
na wyprowadzić miary
charakteryzujÄ…ce zale\
ności między produkcją a nakładami. W ich konstrukcji stosuje się głównie
pochodne funkcji produkcji.
"f (x)
Pochodną cząstkową nazywa się krańcową wydajnością i-tego nakładu (czynnika)
"xi
w wektorze nakładów x.
Krańcowa wydajność i-tego nakładu informuje, o ile wzrośnie ilość produkcji, je\
eli w wektorze
nakładów x zwiększymy wielkość i-tego nakładu o dowolnie małą porcję, przy zało\
eniu, \
e pozostałe
nakłady pozostaną na dotychczasowym poziomie
Wyra\
enie:
" ln f (Ä…x) Ä… "f (Ä…x)
f
µ (x) = lim = lim Å"
Ä… 1 Ä… 1
" lnÄ… f (Ä…x) "Ä…
nazywamy elastycznością produkcji ze względu na skalę nakładów x.
Elastyczność produkcji, ze względu na skalę nakładów, pokazuje o ile wzrośnie produkcja, je\
eli
skala nakładów wzrośnie o 1%.
Wyra\
enie:
" ln f (x) xi "f (x)
µif (x) = = Å"
" ln xi f (x) "xi
nazywamy elastycznością produkcji, względem nakładu i-tego czynnika w wektorze x.
Elastyczność produkcji względem i-tego nakładu wskazuje o ile procent wzrośnie produkcja, gdy
nakład i-tego czynnika produkcji wzrośnie o 1%.
dr Agnieszka Bobrowska 9
Ekonomia matematyczna I
Wyra\
enie:
"f "f
f
Ãij (x) = :
"xi "xj
nazywamy krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów.
Inaczej mówiąc, krańcowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów
jest to granica takiego stosunku przyrostu nakładu j-tego czynnika w wektorze nakładów do spadku
nakładu i-tego czynnika, przy którym nie zmienia się wielkość produkcji.
Krańcowa stopa substytucji pokazuje jaką ilością j-tego nakładu nale\
y zastąpić jednostkowy
spadek ilości i-tego nakładu w wektorze x, aby wielkość produkcji nie zmieniła się.
Wyra\
enie:
ëÅ‚ öÅ‚
"f "f xi
ìÅ‚ ÷Å‚
µijf (x) = :
ìÅ‚
"xi "xj ÷Å‚ xj
íÅ‚ Å‚Å‚
nazywamy elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów.
Elastyczność substytucji czynników produkcji pokazuje analogiczną, jak krańcowa stopa
substytucji zale\
ność, lecz wyra\
onÄ… w procentach.
5.4. Wybrane funkcje produkcji (f. Solowa, f. Cobb a-Douglas a, f. CES, f. liniowa, f. Leontiefa-
Koopmansa) i ich interpretacja
W naszych rozwa\
aniach będziemy się ograniczać do dwuwymiarowej przestrzeni czynników
k 1
(nakładów) produkcji f : R+ R+ , w której jako pierwszą współrzędną wektora nakładów będziemy
przyjmować nakłady kapitału (k), np. ilość wykorzystywanych w procesie produkcji maszyn, natomiast
jako drugą współrzędną wektora x, będziemy przyjmować nakłady pracy (z), mierzone np.
w roboczogodzinach. Przy tych zało\
eniach funkcję produkcji zapisujemy w ogólnej postaci:
y = f (k, z) .
Je\
eli producent wytwarza produkcję wg ilości y = f (k, z) , stosując kombinację czynników
k
produkcji (k, z) e" 0 (z `" 0) , to iloraz u = nazywamy technicznym uzbrojeniem pracy,
z
y
a iloraz w = nazywamy wydajnością pracy.
z
Techniczne uzbrojenie pracy jest wa\
nÄ… charakterystykÄ… stosowanej technologii produkcji
i odzwierciedla średni koszt stanowiska pracy.
dr Agnieszka Bobrowska 10
Ekonomia matematyczna I
5.4.1. Funkcja produkcji Cobb a-Douglas a
Funkcja Cobb a-Douglas a jest to dwuargumentowa (dwuczynnikowa) funkcja produkcji, o której
zakłada się, \
e spełnia cztery następujące warunki:
2
(I) f (0) = 0 , gdzie 0 oznacza wektor zerowy przestrzeni R+ .
ëÅ‚ öÅ‚
"f (x)
2
ìÅ‚ ÷Å‚
(II) "x " R+ , "i > 0÷Å‚
ìÅ‚
"xi Å‚Å‚
íÅ‚
"f (x)
2
(III) Macierz funkcyjna H (x) = jest niedodatnio określona na R+ .
"xi
2
(IV) "x " R+ , " e" 0 ( f (x) = f (x)) .
Warunki (I)-(IV) są to te same warunki, o których zakładamy, \
e spełnia je ka\
da skalarna funkcja
k 1 2
produkcji f : R+ R+ ( f " C ) na obszarze określoności tylko, \
e dla szczególnego przypadku
dwuwymiarowego (k=2). Oprócz tych warunków funkcja Cobb a-Douglas a spełnia dodatkowy
warunek, tzw. zało\
enie rosnÄ…cej stopy substytucji:
(V) Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał rośnie liniowo wraz ze wzrostem
technicznego uzbrojenia pracy co zapisujemy:
"f "f k
f
à = : = Ä…u = Ä…ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
z,k
"z "k z
íÅ‚ Å‚Å‚
Uwagi:
1. Warunek (I) oznacza, \
e w wyniku zerowych nakładów otrzymujemy zerową produkcję.
2. Warunek (II) oznacza, \
e funkcja produkcji jest rosnÄ…ca, czyli \
e wraz ze wzrostem czynników
produkcji rośnie produkcja y.
3. Trzeci z kolei warunek funkcji Cobb a-Douglas a jest równowa\
ny z wklęsłością funkcji
produkcji.
4. Warunek (IV) oznacza zało\
enie o proporcjonalnych przychodach i mówi, \
e funkcja produkcji
Cobb a-Douglas a jest jednorodna stopnia pierwszego lub inaczej, \
e jest liniowo jednorodna.
5. Zgodnie z warunkiem (V) krańcowa stopa substytucji zale\
y od technicznego uzbrojenia
f
pracy u. Na jego podstawie wnioskujemy, \
e: u const Ò! Ã const . Warunek (V)
z,k
oznacza dokładnie tyle, \
e krańcowa stopa substytucji rośnie liniowo wraz ze wzrostem
technicznego uzbrojenia pracy u (zało\
enie rosnÄ…cej stopy substytucji).
dr Agnieszka Bobrowska 11
Ekonomia matematyczna I
Na podstawie warunków (I)-(V) wyprowadzimy dwuczynnikową funkcję Cobb a-Douglas a. W tym
celu przyjmujemy następujące oznaczenia:
1
µ = ,
1+ Ä…
k
u = - techniczne uzbrojenie pracy,
z
a-stała dodatnia.
k
Z warunku (IV) mamy, \
e: f (k, z) = zf ( ,1) = zf (u,1) .
z
StÄ…d:
"f "f (u,1) "u "f (u,1) k "f (u,1) k "f (u,1)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
= f (u,1) + z Å" = f (u,1) + z Å" - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= f (u,1) - Å" = f (u,1) - u
ìÅ‚
"z "u "z "u z2 Å‚Å‚ "u z "u
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
oraz
"f "f (u,1) "u "f (u,1) 1 "f (u,1)
= z Å" = z Å" =
"k "u "k "u z "u
Otrzymujemy zatem, \
e:
"f (u,1) "f (u,1)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
f
à = f (u,1) - u ÷ .
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
z,k
"u "u
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Z powy\
szej równości i warunku (V) otrzymujemy równanie ró\
niczkowe:
"f (u,1) f (u,1)
= ,
"u (1+ Ä… )u
którego rozwiÄ…zaniem jest funkcja: f (u,1) = auµ .
k 1
Poniewa\
jednak u = oraz f (u,1) = f (k, z) , więc ostatecznie otrzymujemy dwuczynnikową
z z
funkcjÄ™ produkcji Cobb a-Douglas a:
k
µ
f (k, z) = zf ( ,1) = zf (u,1) = zuµ = za(k / z)µ = ak z1-µ
z
dr Agnieszka Bobrowska 12
Ekonomia matematyczna I
Bezpośrednio z definicji funkcji produkcji Cobb a-Douglas a wynikają funkcje wydajności pracy
i efektywności kapitału, określone poni\
ej:
Funkcja w postaci:
1 y
w(u) = f (u,1) = f (k, z) =
z z
y
charakteryzuje zale\
ność wydajności pracy od technicznego uzbrojenia pracy.
z
Funkcja e postaci:
1 y
e(u) = f (1,u-1) = f (k, z) =
k k
y
charakteryzuje zale\
ność efektywności kapitału od technicznego uzbrojenia pracy.
k
Uwagi:
k "f
1. Parametr µ = ÷ charakteryzuje elastyczność produkcji wzglÄ™dem kapitaÅ‚u.
f "k
z "f
2. Parametr 1- µ = : charakteryzuje z kolei elastyczność produkcji wzglÄ™dem nakÅ‚adów
f "z
pracy.
3. Parametr ą jest z kolei marą elastyczności substytucji pracy względem kapitału:
"f "f z
Ä… = ( ÷ ) Å" .
"z "k k
k
Je\
eli ustalimy wielkość produkcji na poziomie y* > 0 , to zbiór G = {x " R+ : f (x) = y*}
wszystkich kombinacji nakładów x dających w wyniku transformacji produkcję y* będziemy
nazywać izokwantą produkcji na poziomie y*.
Przykład izokwant produkcji dla funkcji produkcji Cobb a-Douglas a przedstawia rysunek 5.1.
dr Agnieszka Bobrowska 13
Ekonomia matematyczna I
z
* *
f (k, z) = y2 > y1
*
f (k, z) = y1
k
* *
Rys. 5.1. Przykład izokwant na poziomie y1 , y2 dla funkcji Cobb a-Douglas a.
5.4.2. Funkcja produkcji CES
Kolejnym przykładem funkcji produkcji jest funkcja CES (constant elasticity of substitution)
charakteryzująca się stałą elastycznością krańcowej stopy substytucji względem technicznego
uzbrojenia pracy u.
O funkcji CES zakładamy, \
e spełnia te same warunki (I)-(III) co funkcja Cobb a-Douglas a.
Warunek (IV) zastępujemy w tym przypadku ogólniejszym warunkiem dodatniej jednorodności stopnia
¸ :
2
(IV) "x " R+ , " e" 0 ( f (x) = ¸ f (x))
Z kolei warunek (V) zastępujemy warunkiem:
Ã
k
f
(V) à = Ä…ëÅ‚ öÅ‚ = Ä…uà , à > 0 .
ìÅ‚ ÷Å‚
z,k
z
íÅ‚ Å‚Å‚
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
à = 1- ł ,
a, b- dowolne stałe dodatnie.
RozumujÄ…c tak jak w przypadku funkcji Cobb a-Douglas a otrzymujemy dodatnio jednorodnÄ…
funkcjÄ™ produkcji stopnia ¸ o postaci:
-Å‚ -Å‚
y = [ak + bz ]-¸Å‚
dr Agnieszka Bobrowska 14
Ekonomia matematyczna I
Wyra\
enie:
f
"Ã
u
z,k
Ã
µu = Å"
f
à "u
z,k
nazywamy elastycznością krańcowej stopy substytucji względem technicznego uzbrojenia
pracy.
f Ã
Poniewa\
à = Ä…uà , to otrzymujemy: µ = à = const > 0 , co dowodzi, \
e funkcja produkcji
z,k u
CES charakteryzuje się stałą elastycznością krańcowej stopy substytucji względem technicznego
uzbrojenia pracy.
W przypadku funkcji CES, w odró\
nieniu od funkcji Cobb a-Douglas a, elastyczność substytucji
oraz elastyczność produkcji względem czynników wytwórczych zmienia się wraz ze zmianą
technicznego uzbrojenia pracy. Z funkcji CES wyprowadzamy funkcję wydajności pracy w:
Funkcja w postaci:
w(u) = [au-Å‚ + b]-1/Å‚
to funkcja wydajności pracy w zale\
ności od technicznego uzbrojenia pracy.
W przypadku, gdy à 1, (Å‚ 0) i gdy ¸ `" 1, funkcja produkcji CES redukuje siÄ™ do funkcji
Cobb a-Douglas a o postaci:
f (k, z) = akÅ‚ z´
Natomiast, gdy ¸ = 1 o postaci:
f (k, z) = akµ z1-µ .
5.4.3. Liniowa funkcja produkcji
LiniowÄ… funkcjÄ™ produkcji postaci:
y = ak + bz
otrzymujemy z funkcji CES, przy zało\
eniu, \
e ¸ = 1 oraz à 0 (Å‚ -1) , przy czym a, b to
dowolne parametry dodatnie.
dr Agnieszka Bobrowska 15
Ekonomia matematyczna I
Funkcja ta charakteryzuje się zerową elastycznością krańcowej stopy substytucji względem
technicznego uzbrojenia pracy oraz ograniczoną substytucją czynników.
5.4.4. Funkcja produkcji Leontiefa-Koopmansa
Przyjmijmy, \
e:
1
¾ = > 0 - współczynnik pracochÅ‚onnoÅ›ci, przy czym w to wydajność pracy wzglÄ™dem
w
technicznego uzbrojenia pracy.
1
µ = > 0 - współczynnik kapitaÅ‚ochÅ‚onnoÅ›ci, przy czym e wydajność kapitaÅ‚u wzglÄ™dem
e
technicznego uzbrojenia pracy.
.
Funkcja Leontiefa-Koopmansa ma wówczas postać:
Å„Å‚ k z üÅ‚
y = minòÅ‚ , .
żł
ółµ ¾ þÅ‚
Otrzymujemy ją z funkcji produkcji CES dodatnio jednorodnej stopnia 1, przy à +" (ł -") .
f f
Funkcja ta charakteryzuje siÄ™ caÅ‚kowitym brakiem substytucji czynników (à = 0 Ò! µ = 0) .
k ,z k ,z
Związaną z funkcją produkcji Leontiefa-Koopmansa funkcję wydajności pracy mo\
na przedstawić
w postaci:
Å„Å‚ u 1 üÅ‚
w(u) = f (u,1) = minòÅ‚ , .
żł
ółµ ¾ þÅ‚
2
Funkcja produkcji Leontiefa-Koopmansa jest ciągła na R+ , lecz nie jest ró\
niczkowalna na
Å„Å‚ ¾ üÅ‚
promieniu P =
òÅ‚(1, ) :  e" 0żł , to znaczy wszÄ™dzie tam, gdzie ma miejsce peÅ‚ne wykorzystanie
µ
ół þÅ‚
czynników wytwórczych.
dr Agnieszka Bobrowska 16
Ekonomia matematyczna I
Przykład 5.1.:
Ze względu na specyficzną postać funkcji Leontiefa-Koopmansa warto podać przykład procesu
produkcyjnego, który charakteryzuje brak substytucji czynników wytwórczych.
Załó\
my, \
e zadaniem do wykonania jest wykopanie rowu, a technologia, którą stosuje producent
polega na kopaniu rowów przez człowieka przy u\
yciu łopaty. Producent zatrudnia 10 pracowników
i wyposa\
a ich w 10 łopat. Zastąpienie dwóch pracowników łopatami nie jest sensowne, poniewa\

dodatkowe łopaty nie mogą być w \
aden sposób wykorzystane przez pracowników i odwrotnie.
5.4.5. Funkcja produkcji Solowa
Zakładając, \
e nakłady k- kapitału i z- pracy zmieniają się w sposób ciągły oraz, \
e ka\
dej
kombinacji (k,z) odpowiada jednoznacznie produkcja q, mo\
na zapisać funkcję produkcji w postaci:
q = f (k, z)
dla k e" 0, z e" 0 .
Q mo\
na interpretować, jako produkcję odpowiadającą pełnemu wykorzystaniu mocy wytwórczych
dla zasobu kapitału k i pracy z, albo jako faktyczną produkcję przy danych nakładach w ramach
rozporządzalnych zasobów czynników wytwórczych.
Na funkcję q = f (k, z) nakłada się następujące ograniczenia:
- jest funkcją ciągłą i dwukrotnie ró\
niczkowalnÄ…,
- jest funkcją rosnącą, wklęsłą,
- przy zerowych nakładach czynników produkcji przyjmuje wartości równe 0.
O pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu oznaczanych przez:
"f "f
fk = , f = ,
z
"k "z
zakładamy, \
e sÄ… dodatnie.
Natomiast o pochodnych cząstkowych rzędu drugiego, oznaczanych przez:
"2 f "2 f
fkk = , f = ,
zz
2 2
"k "z
zakładamy , \
e sÄ… ujemne.
dr Agnieszka Bobrowska 17
Ekonomia matematyczna I
Pochodne cząstkowe fk , f interpretujemy jako produktywności krańcowe kapitału i pracy. Są one
z
dodatnie, ale maleją wraz ze wzrostem nakładów czynników wytwórczych. Jest to potwierdzeniem
prawa malejącej produktywności marginalnej czynników wytwórczych.
5.5. Neoklasyczna teoria przedsiębiorstwa (doskonała konkurencja, monopol, oligopol)
5.5.1. Przedsiębiorstwo w warunkach konkurencji doskonałej
Przedsiębiorstwo działające na doskonale konkurencyjnym rynku, traktowane jest jako podmiot
o niewielkiej mocy ekonomicznej, który nie ma wpływu na warunki rynkowe i musi dostosować się do
poziomu cen równowagi. Jego decyzje są niezale\
ne od konkurentów, je\
eli zaakceptuje ceny
równowagi, mo\
e na rynku sprzedać cała wytworzona przez siebie produkcję i kupić nieograniczoną
ilość czynników produkcji. Dla pojedynczego przedsiębiorstwa, działającego w warunkach konkurencji
doskonałej, zarówno przestrzeń towarów, jak i przestrzeń produkcyjne są nieograniczone. Zakładamy
ponadto, \
e przedsiębiorca jest podmiotem zachowującym się w sposób racjonalny, którego celem
jest maksymalizacja dochodu.
W tych warunkach interesuje nas model opisujÄ…cy proces decyzyjny pojedynczego producenta,
polegającego na wyborze wielkości produkcji i skali nakładów, przy określonej (zało\
onej) technologii
produkcji, który zapewnia osiągnięcie zamierzonego celu, czyli maksymalizację dochodu.
Zakładamy, \
e przedsiębiorstwo wytwarza jeden produkt zu\
ywając w tym celu k innych towarów
(czynników produkcji).
Działalność produkcyjną przedsiębiorstwa opisuje k - argumentowa skalarna funkcja produkcji
k 1
f : R+ R+ .
Zakładamy, \
e w warunkach konkurencji doskonałej działanie pojedynczego przedsiębiorcy nie
wpływa na kształtowanie się globalnego popytu i poda\
y na rynkach, na których występuje jako
sprzedawca i nabywca.
Przyjmuje siÄ™ ponadto, \
e pozostałe przedsiębiorstwa są tak elastyczne, \
e sÄ… w stanie
natychmiast dostosować poda\
swoich towarów do zmieniającego się popytu danego
przedsiębiorstwa na czynniki wytwórcze.
O rynku zakładamy, \
e jest on na tyle chłonny, by zapewnić zbyt ka\
dej ilości wytworzonej przez
przedsiębiorstwo produkcji (przy cenie rynkowej).
Zachowania przedsiębiorstwa na rynku mogą być rozwa\
ane w ró\
nej skali czasowej.
W przypadku długiego okresu, mówimy o strategii długookresowej przedsiębiorstwa, natomiast
w przypadku krótkiego okresu o strategii krótkookresowej.
W długim okresie przedsiębiorstwo ma mo\
liwość wyboru dowolnego wektora nakładów, a zadanie
maksymalizacji dochodu w warunkach długookresowej strategii rozwoju przyjmuje postać:
max{pf (x) - v, x }, dla x e" 0
dr Agnieszka Bobrowska 18
Ekonomia matematyczna I
gdzie:
p - cena wytwarzanego towaru,
x - wektor towarów zu\
ywanych jako czynniki produkcji,
v - wektor cen czynników produkcji.
Zatem producent maksymalizuje ró\
nicę między przychodami z produkcji pf (x) a kosztami
wytwarzania v, x . Przedsiębiorca nie ma wpływu na ceny czynników wytwórczych v i cenę
wytworzonego przez siebie towaru. Przedmiotem decyzji przedsiębiorstwa jest wielkość produkcji
f (x) oraz nakładów czynników wytwórczych x .
Rozwiązanie zadania maksymalizacji dochodu przedsiębiorstwa wyjaśnia następujące twierdzenie:
Twierdzenie 5.2. Je\
eli funkcja produkcji f ma własności (I), (II) (patrz podrozdział 5.2.) i jest
silnie wklęsła na obszarze określoności, a ceny p i v spełniają warunki
"f "f
p > 0, lim p < v < p ,
x+"
"x "x
x=x
to:
1. Po pierwsze zadanie maksymalizacji dochodu producenta ma rozwiÄ…zanie x >0.
2. Po drugie warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia rozwiÄ…zania zadania jest
spełnienie układu równań:
"f
p = v
"x
x=x
(Dla zainteresowanych dowód twierdzenia: E. Panek,  Ekonomia matematyczna , Poznań 2000,
s. 93).
Oznaczmy przez ¾ funkcjÄ™ produkcyjnego popytu na czynniki wytwórcze: x = ¾ ( p,v) . Jest to
funkcja wyjaśniająca jak popyt produkcyjny na towary zale\
y od cen towaru wytwarzanego i cen
zu\
ywanych czynników wytwórczych.
Zakłada się, \
e funkcja ¾ jest ciÄ…gÅ‚a wraz z pierwszymi pochodnymi w otoczeniu punktu (p,v)>0
i jest dodatnio jednorodna stopnia 0, czyli:
"p > 0, "v > 0, " > 0 (¾ (p,v) = ¾ ( p,v))
Gdy podstawimy funkcjÄ™ ¾ produkcyjnego popytu na towary do funkcji produkcji f, otrzymamy
funkcjÄ™ poda\
y towaru · , ustalajÄ…cÄ… zale\
ność optymalnego rozmiaru produkcji od ceny towaru
wytwarzanego (p) i cen czynników wytwórczych (v):
dr Agnieszka Bobrowska 19
Ekonomia matematyczna I
y = f (x) = f (¾ ( p,v)) = ·( p,v)
2 k 1
Je\
eli f " C (R+ R+ ) (f jest dwukrotnie ró\
niczkowalna i ciągła wraz z pochodnymi
czÄ…stkowymi pierwszego i drugiego rzÄ™du), to funkcja · jest ciÄ…gÅ‚a wraz z pierwszymi pochodnymi
wszÄ™dzie tam gdzie wÅ‚asność tÄ™ ma funkcja popytu produkcyjnego na towary, funkcja · jest tak\
e
dodatnio jednorodna stopnia 0, czyli:
"p > 0, "v > 0, " > 0 (·(p,v) = ·( p,v))
Gdy zało\
ymy, \
e na rynku ustaliły się ceny p>0, v>0, a przedsiębiorstwo zdecydowało się na
poziom produkcji y>0 i interesuje je minimalizacja kosztów produkcji, wówczas mówimy o zadaniu
minimalizacji kosztów produkcji. Zadaniem to sprowadza się do znalezienie minimum iloczynu
skalarnego wektorów v i x, przy czym y = f (x), x e" 0 , co zapisujemy:
min v, x
przy ograniczeniach:
y = f (x), x e" 0 .
FunkcjÄ™ c postaci:
c( y) = min v, x
f ( x)=y,xe"0
nazywamy funkcją kosztów przedsiębiorstwa, ustalającą zale\
ność minimalnych kosztów od
wielkości produkcji.
Twierdzenie 5.3. Je\
eli funkcja produkcji f spełnia warunki (I)-(IV) i jest silnie quasi wklęsła,
to funkcja kosztów c jest określona na przedziale [0,+"), ciągła i dodatnio jednorodna stopnia 1
na obszarze określoności.
Wniosek:
Poniewa\
funkcja kosztów przedsiębiorstwa c charakteryzuje optymalne koszty przedsiębiorstwa
przy ró\
nych poziomach produkcji, wnioskujemy stÄ…d, \
e optymalną dla przedsiębiorstwa wielkość
produkcji mo\
na ustalić znajdując maksimum ró\
nicy py - c(y) :
dr Agnieszka Bobrowska 20
Ekonomia matematyczna I
max{py - c(y)}
przy ograniczeniach:
y e" 0 .
O ile funkcja kosztów jest ciągła, ró\
niczkowalna i ma typowy kształt odwróconej litery s, to
optymalny poziom produkcji jest osiągany, gdy cena towaru wytwarzanego równa jest kosztom
krańcowym. Po przekroczeniu punktu optymalnego koszty krańcowe wzrastają.
W przypadku funkcji produkcji z malejącymi (rosnącymi) krańcowymi wydajnościami nakładów,
krzywa kosztów jest funkcją wypukłą (wklęsłą).
W szczególności, gdy funkcja produkcji spełnia zało\
enie o proporcjonalnych przychodach, funkcja
kosztów przedsiębiorstwa jest liniowa, a koszty krańcowe są wtedy stałe.
Przykład rozwiązania zadania max{py - c(y)}dla y e" 0 ilustruje rysunek 5.2.
py
c( y)
0
y
y
Rys.5.2.
Przedsiębiorstwo w krótkim okresie, inaczej ni\
w przypadku długich okresów, napotyka na bariery
związane z ograniczonością czynników wytwórczych, np. na rynku dostępna jest ograniczona oferta
określonego typu maszyn, czy surowców, czy siły roboczej. Zakładając, \
e warunki ograniczajÄ…ce
mo\
na zapisać w postaci funkcji niejawnej g(x) = 0 , w zadaniu maksymalizacji dochodów pojawiają
siÄ™ dodatkowe ograniczenia. Zadanie maksymalizacji dochodu polega w tej sytuacji na znalezieniu
dr Agnieszka Bobrowska 21
Ekonomia matematyczna I
maksimum ró\
nicy pf (x) - v, x , przy dodatkowych zało\
eniach, tym razem w postaci:
g(x) = 0, x e" 0 i zapisujemy je następująco:
max{pf (x) - v, x }, dla g(x) = 0, x e" 0 .
Model racjonalnie zachowującego się przedsiębiorstwa, działającego w warunkach konkurencji
doskonałej w teorii przedsiębiorstwa, opisuje zachowania producentów (przedsiębiorców) oraz jest
próbą wyjaśnienia, w jaki sposób rynek wpływa na decyzje producentów (przedsiębiorców), których
ograniczają określone przychody ze sprzeda\
y wytworzonych towarów oraz ceny wytworzonych
towarów.
Wnioski:
1. Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwiększenia optymalnej wielkości produkcji
(przy ustalonych cenach towarów zu\
ywanych w procesie produkcji krzywa poda\
y towaru
wytwarzanego jest rosnÄ…cÄ… funkcjÄ… jego ceny). Symbolicznie:
"·
> 0 .
"p
1. Wzrost ceny wytwarzanego towaru powoduje wzrost (spadek) popytu na i-ty środek produkcji,
wtedy i tylko wtedy, gdy zwiększenie ceny tego środka prowadzi do obni\
enia (wzrostu)
optymalnego poziomu produkcji. Symbolicznie:
"· "¾
= - .
"v "p
2. Wpływ zmiany ceny i-tego środka produkcji na popyt na j-ty środek produkcji jest taki sam jak
wpływ, jaki zmiana ceny j-tego środka wywiera na popyt na i-ty środek produkcji. Symbolicznie:
ëÅ‚
"¾i "¾ j öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"i, j = .
ìÅ‚
"v "vi ÷Å‚
j
íÅ‚ Å‚Å‚
3. Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwiększenia popytu na przynajmniej niektóre
środki produkcji. Wniosek ten zapisujemy w postaci:
dr Agnieszka Bobrowska 22
Ekonomia matematyczna I
ëÅ‚ "¾i öÅ‚
"i ìÅ‚ > 0÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
"p
íÅ‚ Å‚Å‚
4. IstniejÄ… te\
środki produkcji, których wzrost ceny prowadzi do spadku optymalnego poziomu
produkcji, co zapisujemy:
ëÅ‚ öÅ‚
"·
ìÅ‚
"j > 0÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
"v
j
íÅ‚ Å‚Å‚
5.5.2. Przedsiębiorstwo w warunkach monopolu.
Monopol oznacza sytuację, w której na rynku występuje jedyny producent (sprzedawca)
określonego towaru, który nie ma bliskich substytutów. Sytuacja monopolistyczna mo\
e dotyczyć
tak\
e popytowej strony rynku. Wtedy istnieje jedyny nabywca danego towaru oferowanego przez wielu
sprzedawców. Podmiot, mający na rynku pozycję monopolisty, mo\
e dyktować warunki, wpływać na
cenę wytwarzanego przez siebie towaru, decydując o ilościach, które wytwarza lub wpływać na cenę
zakupywanych towarów manipulując wielkością popytu. Celem monopolisty jest osiąganie jak
największego dochodu. W swoich decyzjach musi jednak uwzględniać pewne ograniczenia rynkowe,
i tak w przypadku monopolu poda\
y jest to funkcja popytu nabywców oraz znana mu technologia
produkcji. Z kolei w przypadku monopolu popytu (monopsonu) ograniczeniem dla nabywcy
posiadającego wyłączność są funkcje poda\
y producentów oferujących dany towar na rynku, mo\
na
to kolokwialnie nazwać wytrzymałością sprzedawców na warunki cenowe monopsonisty. Je\
eli na
rynku występuje jednocześnie monopol popytu i poda\
y to mówimy, \
e na rynku panuje pełny
monopol. Przedsiębiorca działający w warunkach monopolu pełnego uzale\
nia cenÄ™ swojego
produktu od wielkości sprzeda\
y i gotowy jest w ka\
dej chwili obni\
yć tę cenę, je\
eli pozwoli to
zwiększyć sprzeda\
oraz skłonny jest płacić wy\
szą cenę za dodatkowe niezbędne nakłady, pod
warunkiem, \
e osiągnie w ten sposób wy\
szy dochód.
Zakładamy zatem, \
e:
dp
(I) < 0 ,
dy
ëÅ‚ dvi öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
(II) "i > 0÷Å‚ .
ìÅ‚
dxi Å‚Å‚
íÅ‚
Przy tych zało\
eniach zadanie maksymalizacji dochodu w warunkach konkurencji niedoskonałej
(monopolu pełnego) mo\
na zapisać:
dr Agnieszka Bobrowska 23
Ekonomia matematyczna I
max{p(y)y - v(x), x }, dla y = f (x), x e" 0 .
Oznaczmy przez r( y) = p(y)y funkcjÄ™ dochodu monopolisty, a przez c( y) = v(x), x funkcjÄ™
kosztu. Przy tych oznaczeniach zadanie maksymalizacji zysku monopolisty przybiera postać:
max{r( y) - c( y)}, dla y e" 0 .
Optimum producenta znajduje się wtedy na poziomie produkcji, przy którym krańcowy przychód jest
równy krańcowemu kosztowi:
"r "c
= .
"y "y
Wynika to z tego, \
e zrównanie krańcowego przychodu z krańcowym kosztem jest jedyną sytuacją,
w której przedsiębiorstwo nie ma powodu do zmiany poziomu produkcji.
Dla porównania w sytuacji, w której krańcowy przychód byłby mniejszy od krańcowego kosztu,
przedsiębiorstwu opłacałoby się zmniejszyć produkcję, bowiem oszczędności po stronie kosztu
przewy\
szałyby stratę po stronie przychodu.
Natomiast w przypadku wy\
szego krańcowego przychodu w stosunku do krańcowego kosztu,
przedsiębiorstwu opłacałoby się z kolei powiększenie produkcji.
5.5.3. Przedsiębiorstwo w warunkach oligopolu
Obok omówionych w poprzednich podrozdziałach teoretycznych modeli rynków, tj. modelu
doskonałej konkurencji oraz monopolu pełnego, nie występujących w rzeczywistości gospodarczej
w swojej czystej postaci, na uwagę zasługuje model rynku oligopolistycznego.
Oligopol jest sytuacją, w której na rynku występuje niewielu uczestników po stronie poda\
y, a po
stronie popytu jest wiele podmiotów. Taką sytuację na rynku nazywamy oligopolem poda\
y. Mo\
e
wystąpić tak\
e oligopol popytu, zwany tak\
e oligopsonem. Wtedy na rynku występuje niewielu
nabywców a wielu sprzedawców.
Rynek oligopolistyczny nie jest doskonale przejrzysty. Jego uczestnicy mogą nie dysponować
pełną informacją. Powoduje to ograniczenia optymalizacji decyzji.
Mo\
e wystąpić przypadek oligopolu homogenicznego, gdy dostarczany jest na rynek jednorodny
produkt, a sprzedawcy nie mają preferencji co do nabywców. Mo\
e tak\
e mieć miejsce przypadek
oligopolu heterogenicznego, gdy na rynku oferowane są produkty zró\
nicowane, będące bliskimi
substytutami.
Przyczyną pojawienia się oligopolu są rosnące korzyści skali produkcji, przy ograniczonej
pojemności rynku. W takiej sytuacji na rynku mo\
e działać niewielu przedsiębiorców. Konkurencja
między oligopolistami sprowadza się do uzale\
niania decyzji o cenach i ilościach produkcji od
przewidywanych zachowań konkurentów.
dr Agnieszka Bobrowska 24
Ekonomia matematyczna I
 Biorąc pod uwagę, liczbę oligopolistów, ich udziały w rynku, szybkość uczenia się, mo\
liwości
przewidywania, wyodrębnić mo\
na wiele odmian oligopolu, a tak\
e wiele form konkurencji
oligopolistycznej. Powstało w związku z tym wiele teorii oligopolu.
W naszym wykładzie ograniczymy się do zaprezentowania szczególnego (uproszczonego)
przypadku oligopolu po stronie poda\
y, jakim jest duopol poda\
y. Duopol poda\
y ma miejsce
wówczas, gdy na rynku występują dwie konkurujące ze sobą firmy.
W celu wyjaśnienia zachowania dwóch oligopolistów, w przypadku, gdy ka\
dy z nich podejmuje
decyzje zakładając, \
e druga konkurencyjna firma nie zmieni swej pozycji, przedstawimy najstarszy
model produkcji w oligopolu homogenicznym, tak zwany model Cournota.
Model ten zakłada, \
e na rynku działają dwie firmy, co do których nabywcy nie posiadają
określonych preferencji. Firmy te produkują to samo dobro, a swoje decyzje odnośnie ilości produkcji
podejmujÄ… niezale\
nie od drugiego. Nabywcy znajÄ… ceny oferowanego przez obie firmy dobra. Celem
ka\
dego z producentów jest maksymalizacja zysku. Obaj przypuszczają, \
e wielkość produkcji drugiej
firmy jest z góry zadana i się nie zmienia. Jeśli jednak wystąpią u konkurenta jakieś zmiany w ilości
produkcji, wówczas druga firma dostosowuje się do nich ex post.
Zanim przejdziemy do omówienia zachowań producentów w przedstawionej powy\
ej formie
duopolu, wprowadz
my następujące oznaczenia:
Q1 - wielkość produkcji pierwszej firmy,
Q2 - wielkość produkcji drugiej firmy,
Z1 - zysk pierwszej firmy,
2
Z - zysk drugiej firmy,
R1 - przychód całkowity pierwszej firmy,
R2 - przychód całkowity drugiej firmy,
C1 - koszt całkowity pierwszej firmy,
C2 - koszt całkowity drugiej firmy,
c
µ - elastyczność cenowa popytu,
Przychody obu firm zale\
ą od ilości wyprodukowanych przez nich dóbr, tj. od Q1 i Q2 , natomiast
koszty są wyłącznie funkcją ich własnej produkcji, co zapisujemy następująco:
R1 = R1(Q1,Q2 ) i C1 = C1(Q1) , dla pierwszej firmy
oraz
2 2
R2 = R2 (Q1,Q2 ) i C = C (Q2 ) , dla firmy drugiej.
StÄ…d otrzymujemy, \
e zysk pierwszej firmy Z1 wynosi:
dr Agnieszka Bobrowska 25
Ekonomia matematyczna I
1
Z1 = R1(Q1,Q2 ) - C1(Q1), (Z = Z1(Q1,Q2 ))
2
Z kolei zysk drugiej firmy Z wynosi:
2 2 2 2
Z = R2 (Q1,Q2 ) - C (Q2 ), (Z = Z (Q1,Q2 )).
Zanim wyznaczymy równowagę duopolu w modelu Cournota, wyjaśnijmy potrzebne nam do tego
pojęcie izokwanty zysku oraz pojęcie krzywej reakcji:
Izokwanta zysku ( Z ) to zbiór wszystkich punktów stanowiących kombinację ilości produkcji
Q1,Q2 obu producentów, dla których jedna z firm osiąga zyski na stałym poziomie Z .
Krzywa reakcji to zbiór punktów reprezentujących ró\
ne ilości produkcji jednego
z producentów, działającego w warunkach duopolu, w zale\
ności od ilości produkcji drugiego
producenta, które przy danych kosztach maksymalizują zysk.
Jak ju\
wiemy, zysk jednego duopolisty przy danych kosztach zale\
y od niekontrolowanej przez
niego wielkości produkcji jego konkurenta. W celu ułatwienia rozwa\
ań, mo\
emy przyjąć, \
e koszty
2
obu duopolistów wynoszą zero ( C1 = 0, C = 0 ). Wtedy ich zyski są równe ich całkowitym
przychodom:
Z1 = R1(Q1,Q2 ) , dla firmy pierwszej
oraz
2
Z = R2 (Q1,Q2 ) , dla firmy drugiej.
Przy tych zało\
eniach, w sytuacji, gdy pierwsza firma będzie produkować Q1 dóbr, natomiast
produkcja drugiej firmy wyniesie zero ( Q2 = 0 ), wówczas firma pierwsza osiągnie maksymalny zysk:
Z1 = max ,
a więc:
c
R1 = max , gdy µ = 1.
Wraz ze zwiększaniem swojej produkcji od zera do Q1 , zysk pierwszej firmy będzie wzrastał,
c
poniewa\
µ > 1. Elastyczność cenowa popytu wiÄ™ksza od 1 oznacza, \
e obni\
anie siÄ™ ceny jest
wolniejsze ni\
wzrost produkcji. W przypadku, gdy firma będzie powiększać produkcję ponad Q1,
dr Agnieszka Bobrowska 26
Ekonomia matematyczna I
wówczas jej zysk będzie się zmniejszać, poniewa\
tempo zmniejszania się cen będzie większe ni\

c
tempo wzrostu produkcji (µ < 1).
Zatem, aby zysk pierwszej firmy utrzymał się na stałym poziomie, gdy ona będzie zwiększać
produkcję od zero do Q1 , firma druga będzie musiała zwiększać odpowiednio ilość produkowanych
przez siebie dóbr, co spowoduje przyspieszenie tempa spadku cen. W momencie, gdy firma pierwsza
będzie zwiększać produkcję ponad ilość Q1 , wówczas firma druga będzie musiała zmniejszyć swoją
produkcjÄ™, co przyhamuje spadek cen. Analogiczne rozumowanie przeprowadza siÄ™ w odniesieniu do
drugiej firmy.
Wniosek:
Na podstawie przeprowadzonych rozwa\
ań, wnioskujemy, ze izokwanty zysku obu firm przyjmują
kształt paraboli.
Uwaga:
Na kształt izokwant zysku obu firm wpływa przebieg linii popytu na ich produkt.
Przebieg izokwant zysku wraz z krzywymi reakcji przedstawia rysunek 5.3.
Firma 1 Firma 2
Q2 Q2
Q1 = f (Q2 )
Q2
Q2 = f (Q1)
0 Q1 Q1 0 Q1
Rys.5.3. Izokwanty zysku i krzywe reakcji dla duopolistów w modelu Cournota.
Na rysunku 5.3. widać wyraz
nie, \
e im dalej od osi rzędnych poło\
ona jest izokwanta pierwszej
firmy, tym większa jest produkcja drugiej firmy, zatem cena produktu maleje.
Wniosek:
1. Im bli\
ej osi Q1 poło\
ona jest izokwanta zysku pierwszej firmy, tym większy zysk ona osiąga.
2. Im bli\
ej osi Q2 poło\
ona jest izokwanta zysku drugiej firmy, tym większy zysk ona osiąga.
dr Agnieszka Bobrowska 27
Ekonomia matematyczna I
W punktach styczności izokwant zysku pierwszej firmy z prostymi równoległymi do osi Q1
znajdują się punkty wyznaczające ilość produkcji pierwszej firmy przy danej produkcji drugiej firmy,
przy której osiąga ona największy zysk. Analogiczne jest w przypadku firmy drugiej i odpowiadających
jej izokwant. W wyniku połączenia tych punktów otrzymujemy krzywe reakcji obu duopolistów, opisane
przez funkcje:
Q1 = f (Q2 ) dla firmy pierwszej
oraz
Q2 = f (Q1) dla firmy drugiej.
Zestawienie krzywych reakcji obu firm, pozwala odtworzyć mechanizm interakcji między nimi, który
prowadzi do ustalenia równowagi duopolu. Proces wzajemnych dostosowań obu firm przedstawia
rysunek 5.4.
Załó\
my, \
e produkcja drugiej firmy wynosi Q2 . Wówczas przypuszcza się, \
e produkcja pierwszej
firmy wyniesie zero, jednak tak siÄ™ nie dzieje. Pierwsza firma, zgodnie z jej krzywÄ… reakcji
Q1 = f (Q2 ) , ustala produkcjÄ™ na poziomie Q1 . W tym momencie firma druga, niespodziewajÄ…ca siÄ™
takiego zachowania firmy pierwszej, reaguje na nie zmniejszeniem produkcji do poziomu Q2' .
Pierwsza firma decyduje się w tej sytuacji zwiększyć produkcję do poziomu Q1' , czym po raz kolejny
zaskakuje firmÄ™ drugÄ….
Q2
Q1 = f (Q2 )
Q2
Q2'
E
Q2''
Q2 = f (Q1)
0 Q1 Q1'Q1'' & Q1
Rys. 5.3. Równowaga duopolu w modelu Cournota.
dr Agnieszka Bobrowska 28
Ekonomia matematyczna I
Jak Å‚atwo zauwa\
yć ka\
dorazowa zmiana zachowania jednej z firm wywołuje reakcję drugiej,
Dzieje siÄ™ tak dlatego, \
e producenci, aby móc osiągnąć maksymalne zyski, podejmują ka\
dorazowo
odpowiednie działania dostosowawcze. Proces wzajemnych dostosowań obu producentów zakończy
się w momencie przecięcia krzywych ich reakcji, czyli w momencie, gdy jeden duopolista produkuje
dokładnie taką ilość, której oczekiwał konkurent.
Punkt przecięcia krzywych reakcji (E) wyznacza równowagę duopolu. Nale\
y podkreślić, \
e
osiągniecie stanu równowagi jest mo\
liwe, o ile krzywe reakcji obu firm majÄ… odpowiednie nachylenie,
a dokładniej kiedy wartość nachylenia krzywej reakcji pierwszej firmy jest większa od wartości
nachylenia krzywej reakcji firmy drugiej.
Podsumowanie:
1. Teoria produkcji wykorzystując prakseologiczne prawa produkcji pozwala sformułować
matematyczne modele zwane funkcjami produkcji.
2. Neoklasyczna teoria produkcji jest podstawą sformułowania modelu funkcjonowania
przedsiębiorstwa w warunkach rynku doskonałego i warunkach rynku niedoskonałego
(doskonała konkurencja, monopol i oligopol,
3. Zało\
enia neoklasycznej teorii produkcji dotyczą racjonalnych zachowań przedsiębiorców,
funkcjonowania mechanizmu rynkowego tp
dr Agnieszka Bobrowska 29
Ekonomia matematyczna I
Pytania kontrolne:
1. Zdefiniuj przestrzeń towarów.
2. Które z praw produkcji są bezwzględnie obowiązujące?
3. Jakie są standardowe własności funkcji produkcji?
4. Podaj postać i interpretację parametrów funkcji produkcji Cobb a-Douglas a.
5. Dla jakiego typu procesów produkcyjnych stosować mo\
na funkcjÄ™ CES?
6. Podaj zadania decyzyjne producentów w warunkach doskonałej konkurencji i monopolu
pełnego, zinterpretuj ró\
nice.
7. Podaj zało\
enia modelu duopolu Cournota.
dr Agnieszka Bobrowska 30
Ekonomia matematyczna I