P R O G R A M Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ
DLA STUDENTÓW
UNSM I MSU
1. Teoria produkcji
2. Teoria równowagi
3. Teoria wzrostu gospodarczego
4. Teoria cyklu koniunkturalnego
LITERATURA PODSTAWOWA:
1. C. Chiang: Podstawy ekonomii matematycznej, PWE 1994
a. C. Chiang: Elementy dynamicznej optymalizacji, Warszawa 2002
2. W. A
yszkiewicz: Industrial organization. Organizacja rynku i konkurencja,
Warszawa 2000
3. E. Panek: Ekonomia matematyczna, AE Poznań 2000
4. T. Kamińska (red): Ekonomia matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo
UG, Gdańsk 2006
1. TEORIA PRODUKCJI
Wyznaczanie krzywej możliwości produkcyjnych za pomocą funkcji
produkcji
Funkcja produkcji określa maksymalne rozmiary produkcji (Q), jakie
można osiągnąć przy różnym poziomie nakładów czynników wytwórczych,
czyli przyjmuje ogólnÄ… formuÅ‚Ä™: QX = f(L,K,S,Z,Å‚,Ä), gdzie:
QX  wielkość produkcji, L  nakłady pracy, K  nakłady kapitału, S  surowce,
półfabrykaty i materiaÅ‚y, Z  nakÅ‚ad ziemi, Å‚ - korzyÅ›ci skali, Ä - parametr
efektywności.
Przy założeniu, że przedsiębiorstwo (gospodarka) używa dwóch czynników
wytwórczych  kapitału (K) i pracy (L)  można ją zapisać w postaci ogólnej
jako: Q = f(L,K) w długim okresie i Q = f(L, ) w krótkim, gdy kapitał jest
czynnikiem stałym.
Y
TPLY A
H G
II I
F E
K
B C 0 D J
LY X
C H
III IV
B TPLX
LX
Rys. 3.1. Krzywa możliwości produkcyjnych kmp i krzywa jednakowego
produktu
Gdy MRT = PX/PY, to styczna jest krzywÄ… jednakowego przychodu, czyli
TR = PXX + PYY. StÄ…d:
przestrzenie produkcyjne i przekształcenia technologiczne
Proces produkcji to każdy zespół czynności, w wyniku którego określona
wiązka nakładów zostaje przekształcona w określoną wiązkę wyników.
Opisuje siÄ™ go za pomocÄ… nieujemnego wektora z = (x, y)
złożonego z n-wymiarowego wektora nakładów x = (x1, & , xn)
i n-wymiarowego wektora wyników y = (y1, & , yn).
Takie rozumienie procesów technologicznych sprawia, że zbiór Z ‚" R+2n
wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji nazywa się
przestrzeniÄ… p - produkcyjnÄ….
Niech z = (x, y) " Z ‚" R+2n oznacza technologicznie dopuszczalny proces
produkcji.
Przekształceniem technologicznym jest odwzorowanie, które każdemu
wektorowi nakładów x " R+n przyporządkowuje zbiór
a (x) = {y " R+n ïÅ‚(x, y) " Z}, czyli wszystkie wektory wyników y"R+n, jakie
można otrzymać z wektora x.
x2 y2
"
a (x)
x1 y1
przekształcenie technologiczne
(odwzorowanie punktowo  zbiorowe, czyli multifunkcja)
Dopuszczalny proces produkcji z = (x, y) " Z ‚" R+2n, nazywany jest
technologicznie efektywnym, jeżeli nie istnieje inny technologicznie
dopuszczalny proces produkcji
z = (x, y ) " Z ‚" R+2n,
który z tego samego wektora nakładów x pozwoliłby uzyskać taki wektor
wyników y , że żadna składowa tego wektora nie byłaby mniejsza od
odpowiadającej jej składowej wektora y, a przynajmniej jedna byłaby większa,
co zapisuje siÄ™:
Å‚Å‚ " (x, y )" Z (y e" y) '" y `"y)
Inaczej, proces produkcji z = (x, y) jest technologicznie efektywny, jeżeli dla
danego wektora nakładów x zwiększenie produkcji jakiegokolwiek produktu jest
możliwe jedynie kosztem zmniejszenia produkcji przynajmniej jednego, innego
produktu.
Przekształceniem technologicznie efektywnym jest odwzorowanie
(multifunkcja), które każdemu wektorowi nakładów x e" 0 przyporządkowuje
zbiór aE (x) wszystkich wektorów y, tworzących z wektorem x procesy
technologicznie efektywne.
x2 y2
aE (x)
"
x1 y1
przekształcenie technologicznie efektywne
W szczególnym przypadku każdemu wektorowi nakładów x może odpowiadać
dokładnie jeden wektor wyników y, tworzący z wektorem x proces
technologicznie efektywny. Przekształcenie technologicznie efektywne staje się
wtedy funkcjÄ….
Wektorową funkcję produkcji nazywa się funkcję f : R+n R+n, która każdemu
wektorowi nakładów x przyporządkowuje dokładnie jeden taki wektor wyników
y = f(x), że para (x, y) tworzy proces technologicznie efektywny.
y2 "
x2 "
x1 y1
funkcja wektorowa
Dla nas istotne tylko funkcje produkcji opisujące zależność pomiędzy
wielkością produkcji pojedynczego produktu a niezbędnymi do jej uzyskania
nakładami różnych czynników produkcji.
Skalarną funkcją produkcji jest funkcja f : R+k R+1, która każdemu
wektorowi nakładów x = (x1, .., xk) e" 0 przyporządkuje maksymalną wielkość
produkcji danego produktu y = f (x), możliwą do uzyskania z wektora x.
 x2 x "
"
x1 0 y
funkcja skalarna
W skalarnej funkcji produkcji para (x, f(x)) tworzy proces technologicznie
efektywny, należący do przestrzeni p  produkcyjnej Z ‚" R+k+1.
właściwości skalarnej funkcji produkcji
1. funkcja jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna (rosnąca)
dla i = 1, .. , k dla i = 1, & , k
2. zerowym nakładom odpowiada zerowy poziom produkcji:
f (0, & ,0) = 0
3. funkcja jest dodatnio jednorodna
f (x) =  f (x), "x e" 0 "  > 0
4. funkcja odzwierciedla prawo malejącej produktywności krańcowej
dla i = 1, & , k
dla i = 1, & , k
5. Krańcowa efektywność i-tego czynnika (produktywność krańcowa: o
ile wzrośnie produkcja, gdy nakład czynnika wzrośnie o jednostkę,
przy pozostałych = constans)
gdzie: "f (x) = f (x1, & , xi + "xi, & ,xk)  f (x1, & , xi,& ,xk)
6. elastyczność produkcji względem i tego czynnika określa się:
Eif względem i-tego czynnika pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja,
gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o 1%, a nakłady pozostałe = constans.
7. elastyczność produkcji względem skali nakładów (korzyści skali)
Ef pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli wszystkie czynniki
produkcji wzrosnÄ… o 1%.
Jeżeli funkcja produkcji f : R+k R+1 jest dodatnio jednorodna stopnia ¸ >0,
to elastyczność produkcji względem skali nakładów jest równa stopniowi
jednorodności tej funkcji produkcji.
Jednorodna funkcja produkcji Niejednorodna funkcja produkcji
kapitał kapitał
0 (a) praca 0 (b) praca
Homogeniczność funkcji produkcji
Graficzną ilustracją jednakowej relacji kapitału do pracy jest promień wychodzący z początku
układu współrzędnych, łączący kombinacje nakładów, leżące na różnych krzywych
jednakowego produktu z jednej mapy izokwant.
Szczególnie ważnym przypadkiem zależności funkcjonalnej jest ten, w którym
własności określone dla jednego promienia są prawdziwe dla pozostałych.
Izokwantą produkcji na poziomie y0 > 0 jest zbiór G wszystkich
wektorów nakładów x, którym odpowiada ten sam poziom produkcji y0, to:
G = {x "R+k ïÅ‚f (x) = y0}
Do podstawowych cech funkcji produkcji należy zaliczyć substytucyjność, która
określa, w jaki sposób można zastępować czynniki produkcji bez zmiany wielkości produkcji.
Miarą stopnia zastępowalności w tym wypadku kapitału przez pracę i pracy przez kapitał jest
krańcowa stopa technicznej substytucji MRTS, która informuje o relacji, w jakiej producent
zastępuje jeden czynnik drugim, tak aby utrzymać produkcję na niezmienionym poziomie.
MRTS wyprowadza się z różniczki zupełnej funkcji produkcji: .
Wzór pokazuje, że na wzrost wielkości produkcji (dQ) składa się jej wzrost
spowodowany dodatkowym zatrudnieniem pracy ("f/"L)dL oraz wzrost wywołany
dodatkowym zatrudnieniem kapitału ("f/"K)dK. Gdy dQ=0, wówczas wielkość produkcji się
nie zmienia (dotychczasowa krzywa jednakowego produktu). Różniczka przyjmuje postać:
. Stąd łatwo obliczyć: .
oznacza przyrost produkcji (wartości funkcji) spowodowany bardzo małym
przyrostem nakładu czynnika L, czyli krańcowy produkt pracy (MPL), a przyrost
produkcji w efekcie małej zmiany zatrudnienia i nazywa się krańcowym produktem kapitału
MPK. Jeśli badana funkcja jest ciągła i różniczkowalna, to powinna - dla celów ekonomisty 
spełniać warunek: . Oba produkty krańcowe są dodatnie, co
oznacza, że funkcja jest rosnąca ze względu na kapitał i pracę. MRTS, dla stałej wielkości
produkcji, maleje wraz ze wzrostem substytucyjności.
Krańcowa stopa technicznej substytucji i-tego czynnika produkcji przez j-
ty w wektorze nakładów x to:
wskazuje, o ile jednostek w wektorze nakładów x należy zwiększyć ilość
j-tego czynnika, gdy ilość i-tego czynnika produkcji zmniejszyła się o jednostkę,
aby poziom produkcji nie uległ zmianie.
Z definicji:
Izokwantom odpowiada funkcja produkcji Cobba  Douglasa:
Q = AÅ"LaKb, gdzie: parametry (A, a, b >0).
Parametr A pokazuje, ile jednostek produkcji można uzyskać z jednostkowych
nakładów obu czynników, a i b określają reakcję poziomu produkcji na przyrost nakładów
czynników produkcji. Innymi słowy, A jest współczynnikiem proporcjonalności
wskazującym na stan technologii (zwanym niekiedy parametrem wydajności); wykładniki
każdej zmiennej są miarą elastyczności cząstkowej produkcji względem odpowiedniego
czynnika produkcji.
" Funkcja produkcji tego typu jest funkcją niemalejącą, ponieważ wzrost
choćby jednej zmiennej pozwala przynajmniej utrzymać dotychczasową jej
wartość. Izokwanty są ściśle wypukłe, co oznacza, że styczne do nich zawsze
leżą pod nimi.
" Jest jednorodna stopnia (a +b), czyli f(x) = a+b·f(x)
Q = AÅ"LaKb, w której korzyÅ›ci skali mierzy siÄ™ sumÄ… wykÅ‚adników (a+b) = ¸.
Powiększenie pracy L i kapitału K przez  spowoduje wzrost produkcji
Q1 = A(L)a(K)b = A(LaKb)(a+b). Z czego wynika, że ¸ = (a+b).
stałe rosnące malejące
K 3K
2K 2K
5Q
2Q
3K K 4Q K
2K 3Q
K 2Q Q 3Q Q
Q 2Q
0 L 2L 3L L 2L 3L 0 L 2L L
(a) (b) (c)
Korzyści skali dla jednorodnej funkcji produkcji
kapitał
5Q
4Q
3Q
2Q
Q
0 praca
Zmieniające się korzyści skali
K K K
Q3
Q2 Q3
Q1 Q1 Q2 Q3 Q1 Q2
0 L L L
(a) (b) (c)
Rys. 3.7. Szczególne przypadki funkcji produkcji
Minimalizacja kosztów
Przy założeniu dwóch czynników produkcji pracy L i kapitału K oraz stawki
płacy w i ceny kapitału r,
problem optymalizacyjny sprowadza siÄ™ do znalezienia
TC (w,r,q) = min (wÅ"L + rÅ"K)
L, K
pod warunkiem, że q = f(L,K).
rozwiązanie problemu występuje za pomocą funkcji Lagrange a, będącą
zmodyfikowanÄ… funkcjÄ… celu, zawierajÄ…cÄ… warunek ograniczajÄ…cy.
Istota metody mnożnika Lagrange a polega na sprowadzeniu poszukiwań
ekstremum warunkowego do postaci, w której można zastosować warunek
pierwszego rzędu, typowy dla poszukiwania ekstremum bezwarunkowego.
V (X,Y,) = TC (w,r,q) + (q- f(L,K))
gdzie:  mnożnik Lagrange a (tyle mnożników, ile warunków ograniczających).
Wyznaczenie ekstremum bezwarunkowego wymaga zniknięcia , stąd wynika
potraktowanie  jak kolejnej zmiennej.
Warunkami koniecznymi, aby zaistniał punkt optymalny, są pierwsze pochodne
funkcji V względem wszystkich zmiennych, które muszą być równe zeru:
Funkcja Lagrange a przyjmuje postać:
V(L, K, ) = wÅ"L + rÅ"K +[q  f(L, K)]
Różniczkując względem wszystkich zmiennych i wykorzystując warunek
konieczny istnienia ekstremum otrzymuje siÄ™:
W wyniku podzielenia dwóch pierwszych warunków:
Lewa strona równania to nachylenie izokoszty, a prawej relacja produktywności
krańcowych pracy i kapitału, czyli MRTS, a więc nachylenie izokwanty.
Producent, chcąc zrealizować zamówienie klienta musi rozwiązać
następujący problem:
znalez
ć takie wielkości x1 i x2,
aby
zminimalizować TC(x1, x2)
przy warunku Q(x1, x2) = q0.
To przykład szukania ekstremum warunkowego funkcji. Zatem należy
utworzyć funkcję Lagrange a
V(x1, x2,) = TC(x1,x2) + ( q0  Q(x1, x2)) =
= p1Å"x1 +p2 Å"x2+ ( q0  Q(x1, x2)).
Z pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego
Punkt stacjonarny (optimum) wyznacza rozwiązanie układu równań:
StÄ…d
lub
Oznacza to, że kombinacja nakładów surowców jest optymalna, gdy
produktywności krańcowe z ostatniej jednostki wydanej na zakup obu
surowców są jednakowe.
Mnożnik Lagrange a  i jego interpretacja ekonomiczna
Wówczas
 pokazuje zmianę produkcji spowodowaną zmianą wydatków odpowiednio na
nakład x1 lub x2.
 mierzy więc produktywność krańcową z wydatku na zakup czynników
wytwórczych albo bardziej ogólnie, że stanowi miarę wrażliwości zarówno
optimum warunkowego, jak i bezwarunkowego na przesunięcie ograniczenia.
Zadanie 1
Przedsiębiorstwo  Matrix produkuje dobro X. Do produkcji tego dobra
potrzebne są dwa czynniki produkcji: A i B w takich ilościach, że produkt
caÅ‚kowity TPX może zostać opisany równaniem: TPX = AÅ"B.
W danym miesiącu przedsiębiorstwo otrzymało zamówienie na 160 sztuk X.
Jeżeli w tym miesiącu ceny czynników wynoszą odpowiednio: PA = 4jp., PB =
10jp.
Oblicz, ile czynników wytwórczych A i B powinno zatrudnić przedsiębiorstwo
 Matrix , aby minimalizować koszty wytworzenia tego zamówienia.
Problem do rozwiÄ…zania:
pod warunkiem, że 160=AÅ"B
Zadanie 2
Funkcja produkcji pewnego przedsiębiorstwa opisana jest funkcją Cobba 
Douglasa TP = K½L½, gdzie K- kapitaÅ‚, l  praca. WiedzÄ…c, że przedsiÄ™biorstwo
ma podpisać kontrakty na produkcję równą 50 jednostek produktu, wyznacz, ile
kapitału oraz ile pracy powinno zatrudniać, aby minimalizować koszty
produkcji, jeżeli wynagrodzenie kapitału r=8, a stawka płacy wynosi 2jp.