Ćwiczenie 1 Wyznaczyć dziedzin ¾
e i zbiór wartości funkcji f , gdzie:
p
f (x) =
2 + x
x2
1
f (x) = px
1
f (x) = sin x
p
f (x) = 1 +
log (cos x)
f (x) = log (1
2 cos x)
f (x) = arccos 2x
1+x2
f (x) = arcsin log x
10
Ćwiczenie 2 Naszkicować funkcj ¾
e f , gdzie:
p
p
p
a) f (x) =
x4
2x3 + x2 ;
b) f (x) =
x4 + 4x3 + 4x2 ;
c) f (x) =
x4
12x3 + 36x2 :
Ćwiczenie 3 Wyznaczyć dziedzin ¾
e funkcji f , gdzie:
q
f (x) = (x
2)
1+x
1 x
f (x) = log x2
4
f (x) = log (x + 2)
log (x
2)
p
p
f (x) =
sin
x
p
f (x) =
cos x2
f (x) = log sin x
p
f (x) =
x
sin x
f (x) = log (cos (log x))
f (x) = ctg x + arccos (2x)
f (x) = arcsin (1
x) + log log x
f (x) =
tan x
p3 x2 2 2
p
f (x) = 4 log tg x
f (x) =
cot x
p4 2 x2
Ćwiczenie 4 Zbadaj parzystość funkcji f , gdzie: (1) f (x) = x sin x+1 , (2) f (x) = x cos x+1 , (3) cos x+5
3 sin x+2
p
p
f (x) = log 5 2x , (4) f (x) = log 7 3x , (5) f (x) = log x 3 , (6) f (x) =
x
x, (7)
5+2x
1 7+3x
2 x+3
2
f (x) = x3 3x , (8) f (x) = arcsin3 x + arcsin x, (9) f (x) = x log x2
4 .
jx 3j
1
o·
zenia funkcji: f
f; g
g; f
g; g
f ; wyznacz dziedziny i zbiory
wartości otrzymanych funkcji, gdzie:
f (x) = (x + 1)2 , g (x) = x2 + 1,
1
f (x) =
, g (x) = 2x,
x
1
p
f (x) =
x, g (x) = x2.
Ćwiczenie 6 Czy poni·zsze funkcje s ¾
a ró·znowartościowe?
f (x) = x + 2 ,
x
f (x) = log22 (x)
log2 (x),
p
f (x) =
x + log3 (x),
p
f (x) =
x2
4;
p
p
f (x) =
x +
x + 2;
p
p
f (x) =
2x + 1 +
2 x + 1;
f (x) = x arctan (x) ;
f (x) = 3x + 2 jxj ;
f (x) = arcsin2 x + 2 arcsin x;
f (x) = arcsin2 x + 4 arcsin x:
Ćwiczenie 7 Pokazać, ·ze funkcja f : Df ! f (Df ) jest ró·znowartościowa i znaleźć funkcj ¾
e
odwrotn ¾
a do f .
f (x) = 4x + 5;
f (x) = 1 x
4;
2
p
f (x) = 4 x + 3;
p
f (x) = 3 2x + 1;
p
f (x) =
1 + 32x;
f (x) = 2
6 arcsin 3x;
f (x) = 1 arcsin x ;
2
4
f (x) = cos2 x dla ka·zdego x 2 D = 0;
;
2
p
f (x) =
arctan x:
p
f (x) = x +
x;
f (x) = log
x
;
1 2x
2
x+1
8
<
x2;
je·
zeli x < 0;
f (x) =
x;
je·
zeli x 2 [0; 1) ;
: 2x 1; je·zeli x 1;
8
< 2x + 3; je·
zeli x 2 R n f 1; 0g ;
f (x) =
3;
je·
zeli x =
1;
: 1;
je·
zeli x = 0:
Ćwiczenie 8 Udowodnić, ·ze je·zeli f : X ! Y i g : Y ! X s ¾
a takimi funkcjami, ·ze
f
g = idY ; g f = idX ;
to f i g s ¾
a bijekcjami oraz f 1 = g, f = g 1.
Ćwiczenie 9 Wykazać, ·
ze je·
zeli funkcja f : R ! R jest niemalej ¾
aca i parzysta, to jest sta÷
a.
Ćwiczenie 10 Znajdź zbiory f ([3; +1)), f ([ 2; 0]), f 1 (R+), f 1 (f 1; 2g), gdzie f : R ! R, f (x) = x3
x2
x + 1, R+ = [0; +1).
x
´
1
Cwiczenie 11 Funkcja f : R ! R określona jest wzorem f (x) =
: Wyznacz taki zbiór
2
A
R, ·
ze obraz f [A] = (0; 4] :
(Odp. A = [ 2; 0))
Ćwiczenie 12 Niech f = sin, A1 = [0; ], A2 = 0;
, A
;
, A
, B
2
3 =
2
4 =
2
1 =
[0; 1], B2 = [0; 2]. Znajdź zbiory f (Aj), f 1 (Bq), f f 1 (Bq) , f 1 (f (Aj)) dla wszystkich j 2 f1; 2; 3; 4g, q 2 f1; 2g oraz zbiory f (A1 n A2), f (A2 \ A3).
Ćwiczenie 13 Wyznacz przeciwobraz zbioru 1 w odwzorowaniu f f , gdzie f (x) = log 2
0;25 (x
1).
Ćwiczenie 14 Znaleźć g (R), g ([0; 1]), g ([1; 2) [ f3g), g 1 (f3g), g 1 ([0; 10]), g 1 ((0; +1)), g 1 (( 1; 1)), gdzie
8
< x + 1;
je·
zeli x < 1;
g : R ! R;
g (x) =
3;
je·
zeli x = 1;
: x2 + 2x + 1; je·zeli x > 1:
Znaleźć sup (g (R) \ (Z n N)) oraz inf (g (R) \ N).
Ćwiczenie 15 Punkt
3; 1 nale
6
·
zy do funkcji wyk÷
adniczej f . Wyznacz f 1 ([6; +1)) :
Ćwiczenie 16 Punkt ( 1; 3) nale·
zy do funkcji wyk÷
adniczej f oraz g : R ! R, g (x) = 9x2 +
x
8x
1 .Wyznacz (g
f ) 1 (( 1; 0]). Odp. x 7 ! 1
, 9 (f (x))2 + 8f (x)
1
0; [2; +
3
1)
´
1
1
Cwiczenie 17 Funkcje f; g : R n f0g ! R określone s ¾
a wzorami f (x) = 2x2 +
, g (x) =
.
x
x
Wyznaczyć zbiory A = (f
g) 1 ((0; +1)), B = (f g) 1 ([1; +1)), C = (R n A) \ N: Ćwiczenie 18 O funkcji f : R ! R wiadomo, ·ze jest okresowa o okresie podstawowym T = 1
oraz f (x) = j1
2xj dla wszystkich x 2 [0; 1]. Naszkicować funkcj ¾
e f oraz wyznaczyć zbiór
f 1
1 ; +
2
1 .
3
a funkcje
1
f : R n f0g ! R; f (x) = ;
x
g : R ! R;
g (x) = x3:
Rozwi ¾
azać nierówność f (x)
(f
f ) (x) < (f
g) (x)
(f
f
g) (x) :
Ćwiczenie 20 Wyznacz dziedziny Df
R i Dg
R funkcji f i g określonych wzorami
1
f (x) = x +
;
g (x) = log 1 x2
16 :
x
3
Wyznacz zbiór fx 2 Df \ Dg; (f g) (x)
g (5)g :
Ćwiczenie 21 Wyznacz dziedziny Dg
R i Dh
R funkcji g i h określonych wzorami
1
g (x) = x +
;
h (x) = log 1 25
x2 :
x
4
Wyznacz zbiór fx 2 Dg \ Dh; (g h) (x)
h (3)g :
Ćwiczenie 22 Niech f (x) = x2, g (x) = 2x, h (x) = 2x. Rozwi ¾
a·
z nierówność (g
h) (x) +
(f
g) (x)
4:
Odp. x 2
1 ; +
2
1
Ćwiczenie 23 Wyznacz (f
g) 1 ([1; +1)), gdzie f (x) = 3x, g (x) = sin x: Odp. x 2 (0; +1) ; 9 k 2 Z x = log3
(1 + 4k)
= x
(1 + 4k)
2
2 R ; 9 k 2 N[ f0g x = log3 2
Ćwiczenie 24 Dla liczb rzeczywistych a; b oznaczmy przez max (a; b) element maksymalny a; je·
zeli a
b;
zbioru fa; bg, tj. max (a; b) =
. Symbolem min (a; b) oznaczmy element
b;
je·
zeli a < b
a; je·
zeli a
b;
minimalny zbioru fa; bg, czyli min (a; b) =
Niech f; g : R ! R b ¾
ed ¾
a
b
je·
zeli a > b:
funkcjami. De…niujemy funkcje max (f; g) : R ! R, min (f; g) : R ! R w ten sposób, ·
ze
(max (f; g)) (x) = max (f (x) ; g (x)) ;
(min (f; g)) (x) = min (f (x) ; g (x))
dla ka·
zdego rzeczywistego x. Wykazać, ·
ze:
jf
gj
f + g
a) max (f; g) =
+
,
2
2
f + g
jf
gj
b) min (f; g) =
,
2
2
c) je·
zeli funkcje f; g s ¾
a rosn ¾
ace [malej ¾
ace], to funkcje max (f; g) i min (f; g) s ¾
a rosn ¾
ace [male-
j ¾
ace],
d) je·
zeli funkcje f; g s ¾
a parzyste, to funkcje max (f; g) i min (f; g) s ¾
a parzyste,
e) je·
zeli funkcje f; g s ¾
a okresowe o takim samym okresie, to funkcje max (f; g) i min (f; g) s ¾
a
okresowe.
4
Ćwiczenie 25 Niech f : R ! R; g : R ! R b ¾
ed ¾
a funkcjami określonymi wzorami
max 5
x; 6 ; jeeli x 2 R n f0g ;
f (x) =
x
;
0;
jeeli x = 0
min 5
x; 6 ; je·
zeli x 2 R n f0g ;
g (x) =
x
:
1;
je·
zeli x = 0
Naszkicować funkcje f i g. Zbadać monotoniczność (i ci ¾
ag÷
ość) tych funkcji.
Ćwiczenie 26 Udowodnić, ·ze funkcja
3
3
3x + 5
f : R n
! R n
; f (x) =
2
2
2x
3
ma funkcj ¾
e odwrotn ¾
a i f jest identyczna ze swoj ¾
a odwrotności ¾
a.
Ćwiczenie 27 Pokazać dla funkcji
p
f : [0; 1] ! [0; 1] ; f (x) = n 1
xn;
·
ze f
f = id[0;1]. Znaleźć wzór funkcji odwrotnej do f .
Ćwiczenie 28 Pokazać, ·ze funkcja
f
:
[0; 1] ! [0; 1] ;
f (x) = x + E (x) ;
gdzie E (x) oznacza entier liczby rzeczywistej x (ca÷ość liczby rzeczywistej x), jest ró·znowartoś-
ciowa. Znaleźć f 1 oraz f 1 (f0g), f ([0; 1)), f 1 ((0; 1)).
Ćwiczenie 29 Wykazać, ·ze funkcja odwrotna do funkcji rosn ¾
acej [malej ¾
acej] jest funkcj ¾
a ros-
n ¾
ac ¾
a [malej ¾
ac ¾
a].
Ćwiczenie 30 Niech sign : R ! f 1; 0; 1g oznacza funkcj ¾
e znak liczby rzeczywistej. Pokazać,
·
ze funkcja
sign f
jest:
(1) okresowa dla dowolnej funkcji okresowej f : R ! R, (2) parzysta dla dowolnej funkcji parzystej f : R ! R, (3) nieparzysta dla dowolnej funkcji parzystej f : R ! R.
5