Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

ZADANI E 1

Podczas GNR obserwowano wiązkę złożoną z 5 łączy otrzymano następujące wyniki: 5

azc 4

r łąe 3

muN 2

1

1T

2T

3T

4T

Liczba okresów zajętości

Na podstawie uzyskanych wyników, wykorzystują c róż ne definicje natęż enia ruchu, wyznacz natęż enie ruchu.

Dane:

Poszukiwane:

N=5 łączy

B=?

Tobs=4T (czas obserwacji) oraz T=15 minut

A=?

Rozwiązanie:

Def.1. Natęż enie ruchu jest równe ś redniej liczbie jednocześ nie zaję tych łą czy (kanałów). W pierwszym okresie zaję toś ci zaję te były 4 łą cza, w drugim okresie zaję toś ci zaję te były 2 łą cza itd., czyli w sumie 4+2+3+3=12 okresów zaję toś ci w okresie obserwacji. Ostatecznie otrzymujemy:

12 okresów zaj.

12

A =

=

= 3Erl

Liczba okresów zaj.

4

Def.2. Natęż enie ruchu jest stosunkiem sumy czasów zaję toś ci kanałów w okresie obserwacji do czasu obserwacji, czyli 1 łą cze było zaję te przez 2 okresy zaję toś ci w czasie obserwacji, 2 łą cze było zaję te przez 2 okresy zaję toś ci w czasie obserwacji, 3 łą cze było zaję te przez 3 okresy zaję toś ci w czasie obserwacji, 4 łą cze było zaję te przez 3 okresy zaję toś ci w czasie obserwacji i 5 łą cze było zaję te przez 2 okresy zaję toś ci w czasie obserwacji T

2 + T

2 + T

3 + T

3 + T

2

1 T

2

A =

=

= 3Erl

T

4

T

4

Def.3. Natęż enie ruchu jest równe iloczynowi ś redniej liczby zestawionych połą czeń w jednostce czasu i ś redniego czasu trwania połą czenia. Ś redni liczba zestawionych połą czeń równa jest stosunkowi liczby połą czeń w czasie obserwacji do czasu obserwacji, czyli 9/4T. Ś redni czas trwania połą czenia jest równy ilorazowi całkowitej sumy czasów zaję toś ci kanałów w wią zce, w okresie obserwacji, do liczby zrealizowanych w wią zce połą czeń :12T/9.

Ostatecznie otrzymujemy:,

9

1 T

2

A =

×

= 3Erl

T

4

9

Def.4. Natęż enie ruchu jest równe ś redniej liczbie połą czeń w okresie równym ś redniemu czasowi trwania połą czenia.

9

1 T

2

A =

×

= 3Erl

T

4

9

Odpowiedź : Natęż enie ruchu wynosi 3Erl.

13-03-04

1

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

ZADANI E 2

W ogłoszeniu reklamującym firmę handlową znalazł się błąd w jej numerze telefonu. Konsekwencje tego błędu spadły na osobę prywatną, której numer telefonu został omyłkowo zamieszczony w ogłoszeniu. Średnio w ciągu jednej godziny jej telefon odzywa się około 180 razy, na szczęście nie ma jej w domu i zgłoszenia nie są odbierane. Osoba zainteresowana kontaktem z firmą handlową słucha zwrotnego sygnału dzwonienia średnio przez około 20 sekund zanim odłoży mikrotelefon.

Oblicz ś rednie natęż enie ruchu generowanego przez abonentów inicjują cych połą czenia.

Dane:

Poszukiwane:

λ=180 wywołań/godz.

A=?

h=20 sek.

Rozwiązanie:

Zgodnie z Def.4.natęż enie ruchu równe jest ś redniej liczbie połą czeń w okresie równym ś redniemu czasowi trwania połą czenia, czyli:

20 sek.

zgl.

1

A = h × λ =

×180

=

×180 = E

1 rl

3600 sek.

godz.

180

Odpowiedź : Natęż enie ruchu oferowanego wynosi 1 Erl.

ZADANI E 3

Natężenie ruchu oferowanego wiązce złożonej z 3 łączy wynosi 2 Erl, natomiast średni czas trwania połączenia wynosi 2 minuty.

Oblicz ś rednią liczbę zgłoszeń w cią gu godziny.

Jakie jest prawdopodobień stwo, ż e w cią gu godziny nie pojawi się ż adne zgłoszenie?

Dane:

Poszukiwane:

A=2 Erl

λ=? (liczba zgłoszeń w ciągu godziny)

N=3 łącza

P (0)=? (prawd. braku zgł. w ciągu godziny)

h=2 min

Rozwiązanie:

Zgodnie z Def.4.natęż enie ruchu równe jest ś redniej liczbie połą czeń w okresie równym ś redniemu czasowi trwania połą czenia, czyli:

A

2 Erl

60

zgl.

A = h

⇒

× λ

λ = =

= 2 ×

= 60

h

2 min

2

godz.

60 min

Poszukiwane prawdopodobień stwo jest prawdopodobień stwem nie pojawienia się ż adnego zgłoszenia w strumieniu Poissona:

0



2 min 

30

k

×



λ

P

λ

k ( t )

( × t)

− ×





=

×

− ×

e

t ⇒ P t =

=

× e

= −

e

= =

≅

≈

0 (

1

30

2 min)

60 min

1

1

1

30

3

,

0 67

37%

k!

!

0

e

,

2 73

Odpowiedź : Ś rednia w cią gu godziny ma miejsce 60 zgłoszeń , natomiast prawdopodobień stwo braku zgłoszenia wynosi około 37%.

2

13-03-04

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

ZADANI E 4

W GNR obserwowano 6 łączy. Otrzymano następujące wyniki obserwacji:

6

az 5

c

r łą 4

e

m 3

uN 2

1

1T

2T

3T

4T

5T

6T

Liczba okresów zajętości

1. Obliczyć natęż enie ruchu oferowanego na podstawie rysunku.

2. Zakładają c, ż e łą cza tworzą wią zkę doskonałą , obliczyć natęż enie ruchu załatwianego i traconego 3. Zakładają c, ż e łą cza tworzą wią zkę doskonałą oraz ż e łą cza zajmowane są w sposób przypadkowy, wyznacz natęż enia ruchu załatwianego przez 1,2,3 i 4 łą cze.

Uwaga: Wszystkie okresy zajętości mają jednakową długość.

Dane:

Poszukiwane:

N=6 łączy

B=? A'=? Y=?

t=6T (czas obserwacji)

η1=?, η2=?, η3=?, η4=?

Rozwiązanie:

Ad.1

Na podstawie rysunku wyznaczamy natężenie ruchu korzystając z definicji mówiącej, że natęż enie ruchu jest stosunkiem sumy czasów zaję toś ci kanałów w okresie obserwacji do czasu obserwacji, otrzymujemy: T

2 + T

3 + T

1 + T

2 + T

2 + T

2

1 T

2

A =

=

= 2Erl

6T

6T

Ad.2

System

Ruch oferowany

telekomunikacyjny

Ruch obsłużony

( A )

( Y )

Ruch tracony

(A')

A = Y + A' oraz

A' = B × A = E

× =

2

× 2

= 0

,

0 1208 × 2 = 0

,

0 2416

N ( A)

A

E 6 ( Erl)

Erl

Erl

⇓

Y = A − A' = 2 Erl − 0

,

0 2416 Erl = 9

,

1 7584 Erl

Ad.3

Y

1.975

η = =

= 0.329 Erl

6

6

Odpowiedź : Natęż enie ruchu oferowanego wynosi 2 Erl, natęż enie ruchu traconego wynosi 0,24 Erl, natęż enie ruchu załatwianego wynosi 1,975Erl, natomiast ś redni ruch załatwiany przez pojedyncze łą cze wynosi 0,32Erl.

13-03-04

3

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

ZADANI E 5

Wiązka złożona z 3 kanałów obsługuje 5 źródła ruchu. Intensywność zgłoszeń pochodzących od jednego wolnego źródła wynosi α=12 zgłoszeń na godzinę. Średni czas obsługi jednego źródła zgłoszeń wynosi 30 sekund.

Narysuj diagram stanów systemu.

Oblicz prawdopodobień stwo znalezienia się wią zki w stanach zaję toś ci 0, 1, 2 i 3 kanałów.

Dane:

Poszukiwane:

N=3

Rozkład zaję toś ci wią zki.

S=5

α=12 zgl/godz.

h.=30 sek.

Rozwiązanie:

Diagram stanów systemu przedstawia poniż szy rysunek.

5α

4α

3α

0

1

2

3

µ

2µ

3µ

Prawdopodobień stwo blokady zgłoszeń w wią zce wyznaczamy na podstawie modelu Engseta ( S>N).

 S 

k

  ×α

 k 

λ

zgl

30sek

1

P =

oraz

I

α =

= λ × h ⇒ α = 12

×

= 12×

= 0 1

,

k

I

N

≠

 

µ

k 0

S

godz

3600sek

120

i

∑  ×α

=  i

i 0



Wyznaczamy na podstawie powyż szego wzoru prawdopodobień stwo znalezienia się systemu w poszczególnych stanach zaję toś ci i otrzymujemy ostatecznie:

P ≅ 0 3

, 10559006 P ≅ 0 0

, 62111801 P ≅ 0 0

, 062111801

1

2

3

Prawdopodobień stwo stanu braku zgłoszeń w systemie (stan zero) wyznaczamy na podstawie poniż szego wzoru: 1

P =

= 0 6

, 2111801

0

N  S 

i

∑  × Λ

=  i

i 0



Odpowiedź : Prawdopodobień stwo zaję toś ci 0 kanałów w wią zce wynosi 0,62, prawdopodobień stwo zaję toś ci 1 kanału w wią zce wynosi 0,31, prawdopodobień stwo zaję toś ci 2 kanałów w wią zce wynosi 0,062, natomiast prawdopodobień stwo zaję toś ci 3 kanałów w wią zce wynosi 0,00062.

4

13-03-04

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

ZADANI E 6

Wiązka złożona z N=3 kanałów obsługuje S=6 źródeł ruchu. Intensywność zgłoszeń oferowanych przez jedno wolne źródło wynosi α=12 zgłoszeń na godzinę.

Średni czas obsługi zgłoszenia wynosi 120 sekund.

1. Oblicz prawdopodobień stwo wystą pienia stanu blokady w tej wią zce. (bez uż ycia tablic rozkładu Engseta) 2. Wyznacz prawdopodobień stwo wystą pienia strat w tej wią zce.

Dane:

Poszukiwane:

N=3

P(strat)=?.=?

S=6

P(blokady)=?.

α=12 zgl/godz.

h=120 sek.

Rozwiązanie:

Ad.1

Prawdopodobień stwo blokady zgłoszeń w wią zce wyznaczamy na podstawie modelu Engseta ( S>N).

 S 

k

  × Λ

 k 

α

zgl

120sek

P =

oraz

Λ =

= α × h ⇒ Λ = 12

×

= 0, 4

k

N

≠

 

µ

k 0

S

godz

3600sek

i

∑ × Λ

=  i

i 0



Wyznaczamy na podstawie powyż szego wzoru prawdopodobień stwo znalezienia się systemu w poszczególnych stanach zaję toś ci i otrzymujemy ostatecznie:

P ≅ 0 3

, 3898305 P ≅ 0, 33898305 P ≅ 0 1

, 8079096

1

2

3

Prawdopodobień stwo stanu braku zgłoszeń w systemie (stan zero) wyznaczamy na podstawie poniż szego wzoru: Stanem blokady jest stan P3.

1

P =

= 0 1

, 412429

0

N  S 

i

∑ × Λ

=  i

i 0



Ad.2

Prawdopodobień stwo strat zgłoszeń w wią zce wyznaczamy na podstawie wzoru:

 S − 1

N



 × Λ

 N 

B =

= 0 1

, 22137404

Z

N  S − 1

i

∑

 × Λ

= 

i

i 0



Odpowiedź : Prawdopodobień stwo blokady wią zki wynosi 0,1807, natomiast prawdopodobień stwo wystą pienia strat wynosi 0,122.

13-03-04

5

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

ZADANI E 7

Wiązka złożona z N=3 kanałów obsługuje S=5 źródeł ruchu. Intensywność zgłoszeń oferowanych przez jedno wolne źródło wynosi α=12 zgłoszeń na godzinę. Średni czas obsługi zgłoszenia wynosi 180 sekund.

1. Wyznacz rozkład zaję toś ci wią zki (bez uż ycia tablic rozkładu Engseta).

2. Wyznacz prawdopodobień stwo wystą pienia strat w tej wią zce.

Dane:

Poszukiwane:

N=3

Rozkład zaję toś ci

S=5

P(strat)=?.

α=12 zgl/godz.

h=180 sek.

Rozwiązanie:

Ad.1

Prawdopodobień stwo blokady zgłoszeń w wią zce wyznaczamy na podstawie modelu Engseta ( S>N).

 S 

k

  × Λ

 k 

α

zgl

180sek

P =

oraz

Λ =

= α × h ⇒ Λ = 12

×

= 0 6

,

k

N

≠

 

µ

k 0

S

godz

3600sek

i

∑ × Λ

=  i

i 0



Wyznaczamy na podstawie powyż szego wzoru prawdopodobień stwo znalezienia się systemu w poszczególnych stanach zaję toś ci i otrzymujemy ostatecznie:

P ≅ 0 3

, 07377049 P ≅ 0, 368852459 P ≅ 0 1

, 221311475

1

2

3

Prawdopodobień stwo stanu braku zgłoszeń w systemie (stan zero) wyznaczamy na podstawie poniż szego wzoru: 1

P =

= 0 1

, 02495016

0

N  S 

i

∑ × Λ

=  i

i 0



Ad.2

Prawdopodobień stwo strat zgłoszeń w wią zce wyznaczamy na podstawie wzoru:

 S − 1

N



 × Λ

 N 

B =

= 0 1

, 34495641

Z

N  S − 1

i

∑

 × Λ

= 

i

i 0



Odpowiedź : Prawdopodobień stwo zaję toś ci 0 kanałów w wią zce wynosi 0,10, prawdopodobień stwo zaję toś ci 1 kanału w wią zce wynosi 0,31, prawdopodobień stwo zaję toś ci 2 kanałów w wią zce wynosi 0,37, natomiast prawdopodobień stwo zaję toś ci 3 kanałów w wią zce wynosi 0,22 , natomiast prawdopodobień stwo wystą pienia strat wynosi 0,134.

6

13-03-04

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

ZADANI E 8

Wiązka złożona z N=5 kanałów obsługuje S=6 źródeł ruchu. Intensywność zgłoszeń oferowanych przez jedno wolne źródło wynosi α=9 zgłoszeń na godzinę.

Średni czas obsługi zgłoszenia wynosi 120 sekund.

Oblicz prawdopodobień stwo wystą pienia stanu blokady w tej wią zce.

Wyznacz prawdopodobień stwo wystą pienia strat na tej wią zce.

Dane:

Poszukiwane:

N=5

Bz(Engset)=?

S=6

P(Engset)=?

α=9 zgl/godz

h.=120 sek.

Rozwiązanie:

Prawdopodobień stwo blokady w wią zce wyznaczamy na podstawie modelu Engseta ( S > N ).

 S 

k

  × Λ

 k 

α

zgl

120sek

1

P =

oraz

Λ =

= α × h ⇒ Λ = 9

×

= 9 ×

= 0, 3

k

N

≠

 

µ

k 0

S

godz

3600sek

30

i

∑  × Λ

=  i

i 0



Wyznaczamy na podstawie powyż szego wzoru prawdopodobień stwo znalezienia się systemu w poszczególnych stanach zaję toś ci i otrzymujemy ostatecznie:

P ≅ 0, 37297351 P ≅ 0, 279730132 P ≅ 0 1

, 11892053 P = 0 0

, 25175711 P = 0 0

, 030210854

1

2

3

4

5

Prawdopodobień stwo stanu braku zgłoszeń w systemie (stan zero) wyznaczamy na podstawie poniż szego wzoru: 1

P =

= 0, 20721094

0

N  S 

i

∑  × Λ

=  i

i 0



Prawdopodobień stwo wystą pienia strat w wią zce okreś lone jest wzorem:

 S − 1

N



 × Λ

 N 

B =

= 0 0

, 0065

Z

N  S − 1

i

∑

 × Λ

= 

i

i 0



Odpowiedź : Prawdopodobień stwa wystą pienia stanu blokady w wią zce wynosi 0,003, natomiast prawdopodobień stwo strat zgłoszeń wynosi 0,00065.

13-03-04

7

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

ZADANI E 9

Wiązka pełnodostępna składająca się z 10 kanałów obsługuje 20 źródła ruchu. Intensywność zgłoszeń pochodzących od jednego wolnego źródła wynosi α=6 zgłoszeń na godzinę. Średni czas obsługi jednego zgłoszenia jest równy 324

sekund.

Wyznacz prawdopodobień stwo blokady.

Jakie byłoby prawdopodobień stwo strat zgłoszeń dla modelu Erlanga?

Wskazówka:

Skorzystaj z tablic

Dane:

Poszukiwane:

N=10,

B(Engset)=?

S=20 (źródła),

B(Erlang)=?

α=6 zgl/godz.

h.=324 sek.

Rozwiązanie:

Prawdopodobień stwo strat zgłoszeń w wią zce wyznaczamy na podstawie modelu Engseta ( S > N ).

 S 

k

  × Λ

 k 

α

zgl

324sek

P =

oraz

Λ =

= α × h ⇒ Λ = 6

×

= 0, 54

k

N

≠

 

µ

k 0

S

godz

3600sek

i

∑  × Λ

=  i

i 0



Rozważ my system bez strat, czyli N=S=1. Korzystają c z równań równowagi statystycznej otrzymujemy: α

1

µ

α

0, 54

P =

oraz

P =

⇒ a =

=

= 0, 35064935 ≅ 0, 35

0

1

α

α

1 + α

1, 54

1 +

1 +

µ

µ

Natęż enie ruchu oferowanego wią zce wyznaczmy ze wzoru: A = a × S = 3

,

0 5× 20 = 7 Erl

Z tablic rozkładu Engseta otrzymujemy:

P

k = N ( N , S ) = P

=

10 (1 ,

0 20)

,

0 05

Z tablic rozkładu Erlanga otrzymujemy:

E

N ( A) = E

(7 Erl ≅

10

) ,00787

Moż na wię c wysnuć wniosek, ż e prawdopodobień stwo dla tego samego natęż enia ruchu oferowanego mniejszej jest dla rozkłady Engseta aniż eli dla rozkładu Erlanga.

E

>

,

N ( A)

Pk ( N S )

Odpowiedź : Prawdopodobień stwo straty zgłoszeń wynosi 0,05, natomiast dla modelu Erlanga wynosiłoby 0,0787.

8

13-03-04

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

ZADANI E 10

Rozważmy system jednokanałowej wiązki ze stratami. Na wejście sytemu oferowany jest poissonowski strumień zgłoszeń z intensywnością λ. Czas obsługi jest zgodny z rozkładem wykładniczym z parametrem µ. Pracujący kanał

może od czasu do czasu ulegać uszkodzeniom. Strumień uszkodzeń kanału jest strumieniem poissonowskim z parametrem α. Naprawa uszkodzenia kanału zaczyna się zaraz po jego uszkodzeniu i ma charakter wykładniczy z parametrem γ. Zgłoszenia oferowane podczas naprawy oraz obsługiwane w momencie uszkodzenia są tracone.

1. Okreś l przestrzeń stanów i narysuj diagram przedstawiają cy zależ noś ci pomię dzy stanami.

2. Ułóż równania równowagi statystycznej.

3. Jakie jest prawdopodobień stwo uszkodzenia kanału?

Uwaga: Obliczenia w podpunkcie 3 należy przeprowadzić dla wartości λ=µ=α=γ=1.

Rozwiązanie:

Ad.1 Przestrzeń stanów określimy na podstawie rysunku wiązki.

λ

wolny (w)

zaję ty (z)

uszkodzony (u)

Przestrzeń stanów składać się więc będzie z następujących stanów: {w}, {z} i {u}.

Diagram stanów przyjmuje następującą postać.

λ

w

z

µ

γ

α

u

Ad.2

Równania równowagi statystycznej przyjmują następującą postać:

λ × P = µ × P + γ × P

(1)

w

z

u

(α + µ)× P = λ × P

(2)

z

w

γ × P = α × P

(3)

u

z

Dodatkowo odpowiednie prawdopodobieństwa spełniają następującą zależność: P + P + P = 1

(4)

w

z

u

Ad.3

Korzystają c z uwagi do zadania otrzymujemy:

P = P + P

(5)

w

z

u

2 × P = P

(6)

z

w

P = P

(7)

u

z

Podstawiąjąc do (4) równia (6) i (7) otrzymujemy:

1

2 × P + P + P

1 ⇒

=

P =

= 0. 25 oraz P = P = 0. 25

z

z

z

z

4

u

z

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo uszkodzenia kanału wynosi 0.25

13-03-04

9

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

ZADANI E 11

Rozważamy system jednokanałowej wiązki ze stratami. Na wejście systemu oferowany jest poissonowski strumień zgłoszeń z intensywnością λ. Czas obsługi zgłoszenia ma charakter wykładniczy z parametrem µ. Kanał bez względu na stan /zajęty czy wolny/ może ulec uszkodzeniu. Strumień uszkodzeń ma charakter poissonowski z parametrem γ.

Naprawa uszkodzenia kanału rozpoczyna się natychmiast po jego uszkodzeniu i ma charakter wykładniczy z parametrem ξ. Zgłoszenia obsługiwane w momencie uszkodzenia są tracone.

1. Okreś l przestrzeń stanów i narysuj diagram przedstawiają cy zależ noś ci pomię dzy stanami.

2. Ułóż równania równowagi statystycznej.

3. Jakie jest prawdopodobień stwo uszkodzenia kanału?

Uwaga: Obliczenia w podpunkcie 3 należy przeprowadzić dla wartości λ=µ=γ=ξ=1.

Rozwiązanie:

Ad.1 Przestrzeń stanów określimy na podstawie rysunku wiązki.

λ

wolny (w)

zaję ty (z)

uszkodzony (u)

Przestrzeń stanów składać się więc będzie z następujących stanów: {w}, {z} i {u}.

Diagram stanów przyjmuje następującą postać.

λ

w

z

µ

γ

ξ

γ

u

Ad.2

Równania równowagi statystycznej przyjmują następującą postać:

(λ + γ )× P = µ × P +ξ × P

(1)

w

z

u

(α + µ)× P = λ × P

(2)

z

w

ξ × P = γ × P + γ × P

(3)

u

z

w

Dodatkowo odpowiednie prawdopodobieństwa spełniają następującą zależność: P + P + P = 1

(4)

w

z

u

Ad.3

Korzystają c z uwagi do zadania otrzymujemy:

2 × P = P + P

(5)

w

z

u

2 × P = P

(6)

z

w

P = P + P

(7)

u

z

w

Podstawiąjąc do (4) równia (6) i (7) otrzymujemy:

1

2 × P + ( P + P ) + P

1 ⇒

=

2 × P + ( P + 2 × P ) + P

1 ⇒

=

P =

= 0. 16 .

7 ..( 6)

(8)

z

)

w

z

z

)

z

z

z

6

Podstawiąjąc do (7) równie (6) i korzystając z (8) otrzymujemy:

1

3

1

P = 3 × P = 3 ×

= = = 0. 5

u

z

6

6

2

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo uszkodzenia kanału wynosi 0.5

10

13-03-04

Z a d a n i a ć w i c ze n i o w e

S i e c i t e l e k o m u n i k a c y j n e

ZADANI E 12

Na wejście jednokanałowej wiązki ze stratami, oferowany jest poissonowski strumień zgłoszeń z intensywnością ξ.

Czas obsługi zgłoszenia ma charakter wykładniczy z parametrem δ. Wiązka może ulec uszkodzeniu zarówno podczas obsługi zgłoszenia jak i wówczas, gdy nie obsługuje zgłoszenia. Strumień uszkodzeń ma charakter poissonowski z parametrem γ. Naprawa wiązki rozpoczyna się zaraz po jej uszkodzeniu, a proces naprawy ma charakter wykładniczy z parametrem α. Zgłoszenia obsługiwane w momencie uszkodzenia nie są tracone.

1. Okreś l przestrzeń stanów i narysuj diagram przedstawiają cy zależ noś ci pomię dzy stanami.

2. Ułóż równania równowagi statystycznej.

3. Jakie jest prawdopodobień stwo uszkodzenia wią zki?

Uwaga: Obliczenia w podpunkcie 3 należy przeprowadzić dla wartości ξ=δ=γ=α=1.

Rozwiązanie:

Ad.1 Przestrzeń stanów określimy na podstawie rysunku wiązki.

ξ

wolny (w)

zaję ty (z)

uszkodzony (u)

Przestrzeń stanów składać się więc będzie z następujących stanów: {w}, {z} i {u}.

Diagram stanów przyjmuje następującą postać.

ξ

w

z

δ

γ

α

α

γ

u

Ad.2

Równania równowagi statystycznej przyjmują następującą postać:

(ξ + γ )× P =δ × P +α × P

(1)

w

z

u

(δ + γ )× P =ξ × P +α × P

(2)

z

w

u

(α +α)× P =γ × P + γ × P

(3)

u

z

w

Dodatkowo odpowiednie prawdopodobieństwa spełniają następującą zależność: P + P + P = 1

(4)

w

z

u

Ad.3

Korzystają c z uwagi do zadania otrzymujemy:

2 × P = P + P

(5)

w

z

u

2 × P = P + P

(6)

z

w

u

2 × P = P + P

(7)

u

z

w

Podstawiąjąc (6) i (7) do siebie wzajemnie:

P + P

P

P

Z

w

Z

w

2 × P = P

⇒

+

2 × P −

= P

⇒

+

P = P

(8)

z

w

z

w

z

w

2

2

2

P + P

P

P

w

u

u

w

2 × P =

+ P ⇒ 2 × P −

=

+ P ⇒ P = P

(9)

u

w

u

w

u

w

2

2

2

Podstawiąjąc do (4) równie (8) i korzystając z (9) otrzymujemy:

1

P + P + P

1 ⇒

=

P =

= 0. 3 .

3 ..( 3)

u

u

u

u

3

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo uszkodzenia kanału wynosi 0.33

13-03-04

11