6) Symulacja stochastyczna DANE:
Temat zadania:
Zakładając, że α jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, przyjmij parametry tego rozkładu (na podstawie uzyskanych już wyników). Sporządź wykresy dystrybuanty i gęstości prawdopodobieństwa oraz wyznacz w Mathcadzie prawdopodobieństwo wyboczenia .
Siła obciążająca belkę: Psr := 4000
Odch. st. siły obciążającej belkę: σP := 200
Ciężar belki:
Q := 200
Długość belki:
a := 3
Odległość w której podparta jest belka: b := 2
Średnik kąt przyłożenia siły: α := 40⋅deg
Odch. st. kata przułożenia siły: σα := 5deg
Analiza:
Siła obciążająca P i kąt jej przyłożenia to wielkości nieporównywalne, a więc należy wyznaczyć siłę zależną od kąta. Wyznaczoną siłe następnie należy porównać z siłą P
Obliczenia:
Średnia siła zleżna od kąta α: 3
Pαsr := Psr⋅sin(α)
Pαsr = 2.571 × 10
Odchl. standardowe siły zależnej od kąta α: σPαsr := Psr⋅sin(σα) σPαsr = 348.623
Zakres zmienności dla siły obciążającej belkę: 3
3
Pmi := Psr − 3⋅σP
Pma := Psr + 3⋅σP
Pmi = 3.4 × 10
Pma = 4.6 × 10
Zakres zmienności dla siły obciążającej belkę: 3
3
Pαmi := Pαsr − 3⋅σPαsr Pαma := Pαsr + 3⋅σPαsr Pαmi = 1.525 × 10
Pαma = 3.617 × 10
3
Pmin := min(Pmi P
, αmi Pma
,
P
, αma)
Pmax := max(Pmi P
, αmi Pma
,
P
, αma) Pmin = 1.525 × 10
3
Pmax = 4.6 × 10
Zdefiniowanie przyrostu zmiennej niezależnej: Df := (Pmax − Pmin)⋅0.01
P := Pmin Pmin
,
+ Df .. Pmax
2 10−
×
3
1.5 10−
×
dnorm(P Psr
,
σ
, P)
dnorm(P P
, αsr σ
, Pαsr )
3
1 10−
×
dnorm(Psr Psr
,
σ
, P)
dnorm(Pαsr P
, αsr σ
, Pαsr )
4
5 10−
×
0
3
3
3
3
3
1×10
2×10
3×10
4×10
5×10
P P
,
Psr
,
P
, αsr
Wykres 2: Gęstości prawdopodobieństwa siły P i wartości siły obciążającej pręt w zależności od kąta α.
1
0.8
0.6
pnorm(P Psr
,
σ
, P)
pnorm(P P
, αsr σ
, Pαsr )
0.4
0.2
0
3
3
3
3
3
1×10
2×10
3×10
4×10
5×10
P P
,
Wykres 3: Dystrybuanty siły P i wartości siły obciążającej pręt w zależności od kąta α.
7) Wyznaczenie prawdopodobieństwa wyboczenia Obliczenia:
ORIGIN ≡ 1
N := 100000
M := rnorm(N Psr
,
σ
, P)
A := rnorm(N α
,
σα
,
)
i := 1 .. N
→
a
M⋅sin(A)⋅a + Q⋅
2
N
kc :=
j := 1 .. round
2
100
0.158⋅0.012 ⋅b
3
1×10
800
600
j
400
200
0
8
8
8
8
1×10
1.5×10
2×10
2.5×10
kcj
Wykres 4. Prawdopodobieństwa wyboczenia pręta.
Objaśnienie:
Wykres przedstawia prawdopodobieństwo wyboczenia pręta. Punkty znajdujące się po prawej stronie od lini 2x10 są to przypadki kiedy pręt ulegnie wyboczeniu.
1
8
PR :=
⋅
if
kc > 2⋅10
∑
PR = 10.268⋅%
N
i
1
,
0
,
i
Podsumowanie:
Prawdopodobieństwo wyboczenia pręta przy założonym rozkładzie normalnym dla siły obciążającej belkę oraz kąta działania tej siły wynosi 10,179%