6) Symulacja stochastyczna DANE:

Temat zadania:

Zakładając, że α jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, przyjmij parametry tego rozkładu (na podstawie uzyskanych już wyników). Sporządź wykresy dystrybuanty i gęstości prawdopodobieństwa oraz wyznacz w Mathcadzie prawdopodobieństwo wyboczenia .

Siła obciążająca belkę: Psr := 4000

Odch. st. siły obciążającej belkę: σP := 200

Ciężar belki:

Q := 200

Długość belki:

a := 3

Odległość w której podparta jest belka: b := 2

Średnik kąt przyłożenia siły: α := 40⋅deg

Odch. st. kata przułożenia siły: σα := 5deg

Analiza:

Siła obciążająca P i kąt jej przyłożenia to wielkości nieporównywalne, a więc należy wyznaczyć siłę zależną od kąta. Wyznaczoną siłe następnie należy porównać z siłą P

Obliczenia:

Średnia siła zleżna od kąta α: 3

Pαsr := Psr⋅sin(α)

Pαsr = 2.571 × 10

Odchl. standardowe siły zależnej od kąta α: σPαsr := Psr⋅sin(σα) σPαsr = 348.623

Zakres zmienności dla siły obciążającej belkę: 3

3

Pmi := Psr − 3⋅σP

Pma := Psr + 3⋅σP

Pmi = 3.4 × 10

Pma = 4.6 × 10

Zakres zmienności dla siły obciążającej belkę: 3

3

Pαmi := Pαsr − 3⋅σPαsr Pαma := Pαsr + 3⋅σPαsr Pαmi = 1.525 × 10

Pαma = 3.617 × 10

3

Pmin := min(Pmi P

, αmi Pma

,

P

, αma)

Pmax := max(Pmi P

, αmi Pma

,

P

, αma) Pmin = 1.525 × 10

3

Pmax = 4.6 × 10

Zdefiniowanie przyrostu zmiennej niezależnej: Df := (Pmax − Pmin)⋅0.01

P := Pmin Pmin

,

+ Df .. Pmax

3

2 10−

×

3

1.5 10−

×

dnorm(P Psr

,

σ

, P)

dnorm(P P

, αsr σ

, Pαsr )

3

1 10−

×

dnorm(Psr Psr

,

σ

, P)

dnorm(Pαsr P

, αsr σ

, Pαsr )

4

5 10−

×

0

3

3

3

3

3

1×10

2×10

3×10

4×10

5×10

P P

,

Psr

,

P

, αsr

Wykres 2: Gęstości prawdopodobieństwa siły P i wartości siły obciążającej pręt w zależności od kąta α.

1

0.8

0.6

pnorm(P Psr

,

σ

, P)

pnorm(P P

, αsr σ

, Pαsr )

0.4

0.2

0

3

3

3

3

3

1×10

2×10

3×10

4×10

5×10

P P

,

Wykres 3: Dystrybuanty siły P i wartości siły obciążającej pręt w zależności od kąta α.

7) Wyznaczenie prawdopodobieństwa wyboczenia Obliczenia:

ORIGIN ≡ 1

N := 100000

M := rnorm(N Psr

,

σ

, P)

A := rnorm(N α

,

σα

,

)

i := 1 .. N

 →





a





M⋅sin(A)⋅a + Q⋅



2





 N 

kc :=

j := 1 .. round





2





 100 

0.158⋅0.012 ⋅b



3

1×10

800

600

j

400

200

0

8

8

8

8

1×10

1.5×10

2×10

2.5×10

kcj

Wykres 4. Prawdopodobieństwa wyboczenia pręta.

Objaśnienie:

Wykres przedstawia prawdopodobieństwo wyboczenia pręta. Punkty znajdujące się po prawej stronie od lini 2x10 są to przypadki kiedy pręt ulegnie wyboczeniu.

1





8



PR :=

⋅

if

kc > 2⋅10

∑

PR = 10.268⋅%

N





i

 1

,

0

, 

i

Podsumowanie:

Prawdopodobieństwo wyboczenia pręta przy założonym rozkładzie normalnym dla siły obciążającej belkę oraz kąta działania tej siły wynosi 10,179%