Równowaga 1
ZADANIA
1
1. Popyt rynkowy na pewne dobro X dany jest równaniem: Q =
, natomiast podaż rynkową tego
X
PX
dobra można opisać funkcją liniową postaci: Q = P . Krzywa popytu zmieniła położenie i teraz X
X
4
opisuje ją równanie: Q =
. Wykonaj następujące polecania:
X
PX
a) Wyznacz
dziedzinę funkcji tak, żeby miały sens matematyczny i ekonomiczny.
b) Przedstaw graficznie opisaną sytuację oraz wymień kilka przyczyn, które mogły spowodować zmianę położenia krzywej popytu.
c) Oblicz
cenę i wielkość równowagi w pierwotnym i nowym punkcie równowagi rynkowej.
d) Oblicz
elastyczność cenową popytu i podaży w obydwu punktach równowagi.
2. Popyt rynkowy na pewne dobro X dany jest równaniem: Q = 400 −100 P , natomiast podaż rynkową tego dobra można opisać funkcją postaci: Q = 50 P −50. Krzywa podaży zmieniła położenie; teraz opisuje ją równanie: Q = 50 P +100.
a) Wyznacz
dziedzinę funkcji tak, żeby miały sens matematyczny i ekonomiczny.
b) Przedstaw graficznie opisaną sytuację oraz wymień kilka przyczyn, które mogły spowodować zmianę położenia krzywej podaży.
c) Oblicz
cenę i wielkość równowagi w pierwotnym i nowym punkcie równowagi rynkowej.
d) Oblicz
elastyczność cenową popytu i podaży w obydwu punktach równowagi.
3. Krzywe popytu i podaży na rynku dobra X dane są równaniami: X = P 1
− , X = 7 − P. Oceń, czy rynek znajdzie się po pewnym czasie w równowadze, jeżeli wyjściową ceną jest P = 6 j.p. Przedstaw graficznie zmiany ceny jako funkcję czasu.
4. Krzywe popytu i podaży na rynku dobra X to: P =12− Q; P = 5
,
1 Q−3.
a) Oblicz
elastyczność cenową popytu i podaży w punkcie równowagi rynkowej.
b) Wiedząc, że w wyjściowej sytuacji na rynku sprzedawcy oferują swój towar po cenie 9 j.p.
przedstaw na drugim rysunku zmiany ceny jako funkcję (ścieżkę) czasu.
c) Czy rynek dojdzie po pewnym czasie do stanu równowagi?
5. Dany jest rynek owiec, na którym sprzedaje 200 hodowców i kupuje 100 nabywców. Załóż, że wszyscy hodowcy mają tę samą funkcję podaży, opisaną równaniem: Q = 005
,
0
P + 5
,
1 oraz że funkcja popytu
S
nabywców to: Q = 12 − 02
,
0
P . Hodowcy ustalają swoje plany produkcji na każdy rok wg ceny D
równowagi w roku poprzednim licząc, że cena bieżąca ustali się na poziomie ubiegłorocznym (przy czym hodowcy nie mogą ani gromadzić owiec, ani zmieniać swojego planu produkcji).
a) Ustal popyt i podaż na rynku.
b) Wyznacz ceny, jakie zostaną ustalone w latach następnych, przyjmując, że w roku pierwszym cena owiec wynosi 500 zł.
c) Przedstaw graficznie zmiany cen jako funkcji czasu.
6. Dany jest model rynku, na którym występują dwa dobra. Popyt i podaż opisane są poniższymi równaniami. Wyznacz ceny i wielkości równowagi obydwu dóbr oraz określ, czy są to dobra komplementarne, substytucyjne, czy neutralne.
Q = 15 − 3 P + P
Q = 20 − 2 P − 2 P
Q = 20 − 2 P
1
D
1
2
1
D
1
2
1
D
1
Q = 6 P − 5
Q = 2 P −10
Q = 2 P −10
a) S 1
1
b)
S 1
1
c)
S 1
1
Q = 16 + 2 P − P
Q
= 16 − 2 P − P
Q
= 16 − P
D 2
1
2
D 2
1
2
D 2
2
Q = 9 P − 4
Q = 5 P − 4
Q = 4 P − 4
S 2
2
S 2
2
S 2
2
Równowaga
7. Dany jest model rynku, na którym występują dwa dobra. Popyt i podaż opisane są poniższymi równaniami. Zapisz w postaci funkcyjnej.
Q = A⋅ P + B
D
, gdzie:
Q = C ⋅ P + D
S
q
q
−
−
p 1
S 1
1
D
3 1
15
6 0
5
Q =
Q =
A =
B =
C =
D =
P =
D
S
q
q
2
−
−
p
D 2
1
16
0 9
4
;
S 2 ;
;
;
;
;
2 .
8. Dane
są następujące modele rynku. Wyznacz ceny i wielkości równowagi dóbr.
a) Model z dwoma dobrami:
Q = A ⋅ P + B
D
, gdzie:
Q = C ⋅ P + D
S
q
q
−
S 1
1
D
3
2
18
1 0
12
Q =
Q =
A =
B =
C =
D =
D
S
q
q
1
−
D 2
5
,
0
5
,
10
0 2
8
;
S 2 ;
;
;
;
;
p 1
P =
p 2 ;
b) Model z trzema dobrami:
Q = A⋅ P + B
D
, gdzie:
Q = C ⋅ P + D
S
q
q
−10
20
12
6
20 0
0
S 1
1
D
Q = q
Q = q
A = −15 −10 36
B = 10
C = 0 10
0
D
D 2
S
S 2
q
q
− 30 14
− 5
55
0
0 15
D 3 ;
S 3 ;
;
;
;
− 4
p 1
D =
P
p
20
= 2
10
p 3
;
.
9. Zapisz w innej postaci (macierzowej lub funkcyjnej) oraz rozwiąż następujący model dochodu narodowego, zakładając, że inwestycje wynoszą 100 j.p., natomiast wydatki rządowe 60 j.p.: a)
c)
Y = C + I + G
Y = C + I + G
0
0
0
0
C = 2 +
Y
5
,
0
C = 26 + ,
0 Y
4
;
;
b)
d)
1
−
1 Y I + G
1
−
1 Y I + G
0
0
0
0
⋅
=
⋅
=
− ,
0 2
1 C 4
−
;
5
,
0
1 C 20
10. Na pewnym rynku występuje dwóch handlowców H1 i H2, którzy dokonują wymiany barterowej dotyczącej dwóch dóbr: x
1
1 i x2. Podaż pierwszego z handlowców można opisać wektorem a
= ( 5
,
8 ),
drugiego natomiast 2
a = ( 7
,
4 ). Preferencje obydwu handlowców przedstawia funkcja U
T ( x , x = x x .
1
2 )
1 2
a) Przedstaw graficznie zbiór dopuszczalnych alokacji (różnych kombinacji wymiany pomiędzy handlowcami) w postaci prostokąta Edgewortha.
b) Nanieś na rysunek kilka krzywych obojętności obydwu handlowców oraz zaznacz krzywą kontraktów.
Równowaga 3
c) Omów, co będzie się działo na rynku, jeżeli wyjściową sytuację opisują wektory a1 i a2. Które dobra i w jakiej ilości będą sprzedawali i kupowali handlowcy, aby dojść do równowagi?
11. Rysunek przedstawia model rynku, na którym występuje dwóch handlowców sprzedających i kupujących dobra x1 i x2. Handlowcy znajdują się w punkcie opisanym jako A. Na podstawie rysunku odpowiedz na pytania:
a) Ile
dobra
x1 i x2 ma każdy z handlowców?
b) Ile i którego dobra musi sprzedać każdy z handlowców, aby dojść do równowagi?
c) Znacz na wykresie te transakcje (kombinacje dóbr), które są niegorsze od tej w wyjściowym punkcie A.
d) Zaznacz
krzywą kontraktową.
e) Znacz na wykresie ścieżkę dochodzenia do równowagi, zaczynając od wyjściowego punktu A.
I.
x2
H
2
x1
A
H1
x1
x2
II.
x2
H2
x
1
A
H1
x1
x2
Równowaga
12. Rysunek przedstawia skrzynkę Edgewortha, dotyczącą dwóch handlowców H1 i H2, którzy handlują dwoma dobrami x1 i x2 (sytuację, w której znajdują się obecnie handlowcy opisuje punkt E). Odpowiedz na poniższe pytania:
a) Które
dobro
–
x1 czy x2 – kupuje handlowiec H1, a które handlowiec H2?
b) Które
dobro
–
x1 czy x2 – sprzedaje handlowiec H1, a które handlowiec H2?
c) Czy na rynku jest niedobór czy nadwyżka dobra x1?
d) Czy na rynku jest niedobór czy nadwyżka dobra x2?
e) Jak
będzie się przedstawiał proces dostosowawczy i w jaki sposób będzie się zmieniać ograniczenie budżetowe? Jak zmieni się wielkość sprzedaży obu dóbr u handlowców w równowadze doskonale konkurencyjnej?
x
2
H2
x1
A
B
E
H1
x1
x2
13. Na rynku jest dwóch handlowców, obydwaj mają do wymiany dwa towary: x1 i x2. Podaż pierwszego handlowcy to 1
a = ( ,
3 4), drugiego natomiast: 2
a = ( 7
,
2 ). Funkcję preferencji pierwszego handlowcy można opisać następująco:
U
T ( x , x = x x ; funkcja preferencji drugiego handlowca to: 1
2 )
1 2
U
T ( x , x = x
x
. Znajdź taką kombinację dóbr, która będzie maksymalizowała użyteczności 1
2 )
0,5
0,5
1
2
całkowite handlowców oraz wyznacz ceny (proporcje cen) gwarantujące równowagę na rynku (model Arrowa-Hurwicza).
14. Na rynku jest dwóch handlowców, którzy mają do wymiany dwa dobra: x1 i x2. Podaż pierwszego handlowca można opisać wektorem 1
a = ( 10
,
4
), drugiego natomiast – 2
a = ( ,
6 4). Indywidualne
funkcje popytu handlowców na te dwa dobra to: 4 p +10 p
6 p + 4 p
1
1
2
2
1
2
x =
x =
1
1
2 P
2 p
1
1
4 p + 10 p
6 p + 4 p
1
1
2
2
1
2
x =
x =
2
2
2 p
2 p
2
2
a) Ustal wektor popytu rynkowego i podaży rynkowej; b) Zapisz
funkcję (wektorową) nadwyżkowego popytu;
c) Ustal parametry równowagi w modelu Arrowa-Hurwicza (wielkości popytu handlowców na dobra x1 i x2 oraz proporcje cen tych dóbr).
d) Oblicz przychód ze sprzedaży każdego z handlowców (zakładając, że sprzedają wszystko co mają w wyjściowej sytuacji), jeżeli p1 = 1.
Równowaga 5
15. Na rynku jest dwóch handlowców, którzy mają do wymiany dwa dobra: x1 i x2. Indywidualne funkcje popytu handlowców na te dwa dobra to (model Arrowa-Hurwicza): 5 p +12 p
10 p + 4 p
1
1
2
2
1
2
x =
x =
1
1
2 p
2 p
1
1
5 p +12 p
10 p + 4 p
1
1
2
2
1
2
x =
x =
2
2
2 p
2 p
2
2
Ich podaż przedstawia punkt A zaznaczony na wykresie (model Edgewortha).
x2
H
2
x1
A
H1
x1
x2
a) Ustal wektor popytu rynkowego i podaży rynkowej; b) Zapisz
funkcję (wektorową) nadwyżkowego popytu;
c) Ustal parametry równowagi w modelu Arrowa-Hurwicza (wielkości popytu handlowców na dobra x1 i x2 oraz proporcje cen tych dóbr).
d) Oblicz przychód ze sprzedaży każdego z handlowców (zakładając, że sprzedają wszystko co mają w wyjściowej sytuacji), jeżeli p1 = 1.