5 grudnia 2011 r.
Wariant 100
Zadanie nr 1
Studenci z akademikowej meliny, chcąc dostosować poziom alkoholowych zakupów do popytu
zgłaszanego przez brać studencką postanowili oszacować model ekonometryczny. Założyli, że
wielkość popytu na piwo zależy od dnia tygodnia (wprowadzili rozróżnienie pomiędzy piątkiem,
sobotą i pozostałymi dniami tygodnia), pory roku akademickiego (rozróżnienie pomiędzy okresem
sesji oraz dwóch tygodni bezpośrednio poprzedzających sesję i pozostałym okresem), temperaturą na
zewnątrz i liczbą ogłoszeń reklamujących działalność wywieszonych na akademikowych tablicach. W
modelu uwzględniono następujące zmienne:
Dt – popyt na piwo (w sztukach)
Ft – zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 1 jeżeli w danym dniu jest piątek i 0 w pozostałych
przypadkach
St – zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 1 jeżeli w danym dniu jest sobota i 0 w pozostałych
przypadkach
Ot – zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 0 jeżeli w danym dniu jest piątek lub sobota i 1 w
pozostałych przypadkach
Et – zmienna zerojedynkowa przyjmująca wartość 1 jeżeli dzień należy do okresu sesji bądź dwóch tygodni poprzedzających ten okres i 0 w pozostałych przypadkach
Ct – temperatura na zewnątrz (w stopniach Celsjusza)
Nt – liczba wywieszonych ogłoszeń (w sztukach)
Model oparto na podstawie 84 dziennych obserwacji z 12 kolejnych tygodni. Otrzymano następujące
wyniki (w nawiasach pod oszacowaniami podano średnie błędy szacunku parametrów):
24,3 10,5 4,1 0,7 1,1
4,7 0,1 1,2 2,9 0,2 0,3
Wiadomo ponadto, że wartość współczynnika determinacji wyniosła 0,93, wartość statystyki Durbina-
Watsona 1,87, statystyki testu White’a 2,11, a składnik losowy okazał się normalny.
a) (1 pkt) Wyznacz wartość parametru δ, wiedząc, że zgodnie z oszacowanym modelem popyt na
piwo w soboty jest średnio o 7,9 piwa wyższy od popytu w zwykłe dni tygodnia.
b) (2 pkt) Zapisz oszacowanie modelu po zastąpieniu zmiennej Ot zmienną Ft.
c) (1 pkt) Zinterpretuj oszacowanie parametru przy zmiennej N t.
d) (2 pkt) Czy prawdą jest twierdzenie, że im więcej jest wywieszonych ogłoszeń, tym studenci
zgłaszają większy popyt na piwo w melinie? Zweryfikuj odpowiednią hipotezę.
e) (2 pkt) Zbadaj czy składnik losowy w modelu jest homoskedastyczny.
f) (2 pkt) O czym świadczy fakt, że krytyczny poziom istotności w teście Chowa wyniósł 0,118?
Jakie to ma konsekwencje dla modelu?
g) (2 pkt) Model prognozuje, że w najbliższy piątek popyt na piwo wyniesie 31 sztuk. Jaka
byłaby prognoza na sobotę przy założeniu, że w nocy z piątku na sobotę zdartych zostanie 5
ogłoszeń a temperatura w sobotę będzie niższa o 2 stopnie w stosunku do piątku?
h) (2 pkt) Prognozy pogody i liczby ogłoszeń się sprawdziły. W rzeczywistości sprzedano 35 piw
w piątek i 30 w sobotę. Policz i zinterpretuj współczynnik Theila dla prognozy na piątek i
sobotę wyliczonej w poprzednim punkcie.
Sędzimir, student II roku SGH zaobserwował, że jego wydatki w przeciągu 16 ostatnich dni
wykazywały charakterystyczną sezonowość. 17 dni temu dostał on stypendium, które stanowi
podstawowe źródło jego dochodu. Przez pierwsze 4 dni po otrzymaniu stypendium jego wydatki z
każdym dniem gwałtownie rosły. Przez kolejne 4 dni wydatki wciąż rosły, ale wolniej niż przedtem.
Potem Sędzimirowi zaczęło brakować kasy i jego wydatki spadały w ciągu kolejnych 4 dni. W ciągu
ostatnich 4 dni wydatki wciąż spadały ale wolniej niż przedtem, gdyż wówczas Sędzimir kupował już
tylko najpotrzebniejsze produkty z których ciężko było mu zrezygnować. Wydatki Sędzimira
wynosiły w przeciągu ostatnich 16 dni odpowiednio: 17, 20, 24, 27, 32, 33, 35, 37, 34, 30, 26, 22, 19,
18, 17, 16. Sędzimir uważa, że w każdej czterodniowej próbie jego wydatki można opisać za pomocą
modelu trendu wykładniczego z odpowiednimi parametrami:
a) (2 pkt) Dokonaj linearyzacji modelu trendu wykładniczego zaproponowanego przez Sędzimira
i zapisz go w postaci umożliwiającej estymację za pomocą KMNK.
b) (2 pkt) Zapisz wektor wartości zmiennej objaśnianej i macierz wartości zmiennych
objaśniających odpowiadających zlinearyzowanemu modelowi dla próbki czwartych 4 dni.
c) (2 pkt) Oszacuj za pomocą KMNK parametry modelu dla tej próbki.
d) (2 pkt) Wiedząc, że wariancja składnika losowego została oszacowana na poziomie 1,4
wyznacz średni błąd oceny parametru β w tym modelu.
Zadanie nr 3
W przedsiębiorstwie „Wielka kupa”, produkującym papier toaletowy, zależność pomiędzy produkcją
( Yt w mln PLN) a nakładami kapitału ( Kt w mln PLN) i zatrudnienia ( Lt w osobach) opisuje następująca funkcja produkcji:
!
exp %
,
gdzie t jest zmienną czasową ( t = 1,2, … ,12; t = 1 dla pierwszego kwartału roku 2007), jest składnikiem losowym, a α, β, γ i δ są parametrami strukturalnymi.
Powyższy model poddano linearyzacji, a następnie jego parametry oszacowano za pomocą KMNK na
podstawie danych kwartalnych z lat 2007-2009 dla przedsiębiorstwa „Wielka kupa” przy założeniu
restrykcji mówiącej o stałych efektach skali wykazywanych przez funkcję produkcji.
Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 2007:1-2009:4 (N = 12)
Zmienna zależna: lnY
współczynnik błąd standardowy t-Studenta wartość p
---------------------------------------------------------------
const -0,223 0,018 ***** <0,00001
lnK **** ***** 15,66 <0,00001
lnL **** 0,051 14,70 <0,00001
t 0,003 ***** 2,999 0,0171
Zmienne ln Y, ln K i ln L na powyższym wydruku oznaczają logarytm naturalny ze zmiennych Y, K i L
odpowiednio.
a) (2 pkt) Zapisz oszacowanie funkcji produkcji dla przedsiębiorstwa „Wielka kupa” w postaci
przed linearyzacją.
b) (1 pkt) Zinterpretuj oszacowanie parametru γ.
c) (2 pkt) Wyznacz i zinterpretuj krańcową produkcyjność kapitału dla drugiego kwartału roku
2010 i technicznego uzbrojenia pracy wynoszącego 1/16.
d) (2 pkt) Jeżeli w ostatnim kwartale roku 2009 produkcja wynosiła 50 mln PLN, to ile wyniesie
ona w pierwszym kwartale 2010 roku na podstawie oszacowanego modelu, jeżeli w
pierwszym kwartale roku 2010 zatrudnienie spadło o 3% w porównaniu do ostatniego
kwartału roku 2009 a pozostałe czynniki nie uległy zmianie?
e) (2 pkt) Na początku pierwszego kwartału roku 2010 zepsuła się jedna z maszyn warta 900.000
PLN. Maszyna ta nie będzie nadawała się do użytku przez cały kwartał. Licząc odpowiednią
krańcową stopę substytucji odpowiedz na pytanie, ile ludzi należy dodatkowo zatrudnić, aby
fakt zepsucia się maszyny nie spowodował zmiany wielkości produkcji w tym kwartale?
Przyjmij, że techniczne uzbrojenie pracy przed zepsuciem się maszyny wynosiło 0,1.
Zadanie nr 4
Na podstawie próby dotyczącej charakterystyk 8000 kobiet zamieszkujących Warszawę oszacowano
parametry modelu logitowego, opisującego zależność faktu przynależności do organizacji
feministycznej (zmienna FEMI równa 1) od wieku kobiety (zmienna WIEK) w latach, wieku kobiety
do kwadratu (zmienna WIEK^2), pozostawania w związku małżeńskim (zerojedynkowa zmienna
ZAMĘśNA równa 1), posiadania wyższego wykształcenia (zerojedynkowa zmienna WYKSZT równa
1) oraz liczby posiadanych dzieci (zmienna DZIECI).
Model 1: Estymacja Logit z wykorzystaniem 8000 obserwacji 1-8000
Zmienna zależna: FEMI
Zmienna
Współczynnik
Błąd stand. Statystyka t Efekt krańcowy
const
0,378
0,650
0,582
WIEK
0,082
0
,
0
05
1
6,400
0
,
009
WIEK^2
-0,001
0
,
0
0
0
-5,000
-
9,13E-05
ZAMĘśNA
-1,926
0
,
0
9
1
-
2
1,165
-
0,284
WYKSZT
1,822
0
,
2
43
7
,
498
0
,267
DZIECI
-0,368
0
,
0
2
8
-
13,143
-
0,118
Średnia dla zmiennej FEMI = 0,232
Liczba przypadków 'poprawnej predykcji' = 6426 (80,3%)
Tablica trafności:
Prognoza
0 1
Empiryczne 0 6362 ***
1 *** ***
a) (1 pkt) Zinterpretuj na podstawie ilorazu szans wpływ wykształcenia na prawdopodobieństwo
przynależności do organizacji feministycznej.
b) (2 pkt) Dokonaj prognozy faktu przynależności do organizacji feministycznej w przypadku
Józefiny, która jest 40-letnią, zamężną kobietą bez wyższego wykształcenia, posiadającą
trójkę dzieci.
c) (2 pkt) Policz i zinterpretuj efekt krańcowy wzrostu liczby dzieci o 1 dla Józefiny.
d) (2 pkt) Zgodnie z oszacowaniami parametrów modelu prawdopodobieństwo przynależności
do organizacji feministycznej najpierw rośnie stopniowo wraz z wiekiem kobiety, a po
osiągnięciu przez nią pewnego wieku zaczyna maleć. Oblicz wiek kobiety, dla którego
prawdopodobieństwo przynależności do organizacji feministycznej osiąga wartość
maksymalną.
e) (2 pkt) Uzupełnij brakujące elementy tablicy trafności.
Zadanie nr 5
Gienia jest początkującą ekonometryczką, która dopiero zaczęła bawić się szeregami czasowymi. Przy
budowie modelu straciła głowę i nie wiedziała co ma robić, w efekcie oszacowała na chybił trafił 9
modeli, których wyniki zamieszczone są poniżej ( Ct oznacza konsumpcję, Yt dochód, ut reszty z modelu 1, et reszty z modelu drugiego; liczby w nawiasach pod oszacowaniami oznaczają błędy szacunku parametrów). Dane pochodzą z 60 miesięcznych obserwacji. Krytyczna wartość testu ADF
na 5% poziomie istotności wynosi -2,89.
& 2,3 0,7
1,8 0,1
& 1,7 0,8()
1,1 0,2
1,7 0,8() 9,4(* 5,5 0,6()
5,6 0,2 1,4 3,1 0,1
& 0,5 0,2() 0,4 0,3()
0,4 0,0 0,1 0,1
∆& 0,8 0,6∆() 1,2()
0,5 0,1 0,9
∆& 0,5 0,2-() 0,1∆() 0,4∆ 0,3∆()
0,1 0,0 0,0 0,1 0,2
∆*& 1,1 0,2∆*() 4,4() 4,5∆()
2,1 0,1 5,4 0,7
∆̂ 0,9 0,8∆() 0,5()
0,6 0,1 0,2
∆-/ 0,4 0,9∆-() 0,2-()
0,3 0,2 0,1
Pomóż Gieni odpowiedzieć na podstawie oszacowań na następujące pytania:
a) (2 pkt) Oceń stopień zintegrowania procesu stochastycznego konsumpcji.
b) (2 pkt) Czy zmienne Ct i Yt są skointegrowane? Zweryfikuj odpowiednią hipotezę.
c) (2 pkt) Na podstawie modelu ARMA wyznacz prognozę konsumpcji na okres 62 wiedząc, że
w okresie 61 konsumpcja wyniosła 58, a składnik resztowy modelu 1,2 zaś w okresie 60
konsumpcja wyniosła 55, a składnik resztowy -0,7.
d) (2 pkt) Na podstawie modelu ADL zinterpretuj wartość mnożnika krótkookresowego.
e) (2 pkt) Na podstawie modelu ECM zinterpretuj wartość okresu połowicznego wygaśnięcia.