1) Wyznaczyć iloraz oraz resztę przy dzieleni liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b, jeśli:
a) a=47, b=11;
b) a=11, b=-47;
c) a=-11, b=47;
d) a=-11, b=-47.
2) Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
3) Stosując sito Eratosthenesa, ułóż tablicę liczb pierwszych mniejszych od 200.
4) Znajdź rozkład kanoniczny liczby 11849.
5) Udowodnić, że w trójkącie Pitagorasa (trójkącie prostokątnym długości boków którego są
liczbami naturalnymi) długość przynajmniej jednego boku dzieli się przez 3.
6) Przy dzieleniu liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b otrzymali resztę r. Jaka reszta jest przy dzieleniu liczby całkowitej - a przez liczbę całkowitą b?
7) Udowodnić, że jeśli a|bc i NWD(a,b)=1, to a|c dla ∀a, b, c ∈ Z.
8) Udowodnić, że jeśli p|ab, to p|a lub p|b, gdzie p jest liczbą pierwszą, oraz a, b ∈ Z.
9) Wiadomo, że przy dzieleniu liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą 19 otrzymali resztę 5. Jaka resztą jest przy dzieleniu liczby całkowitej 12 a przez liczbę całkowitą 19?
10) Rozwiąż układ równań: NWD(a,b)=10, NWW(a,b)=100.
11) Udowodnić, że NWD( m, n) = NWD( n, m mod n) dla ∀ m, n ∈ Z i n ≠0.
12) Za pomocą algorytmu Euklidesa obliczyć NWD( a, b) w Z, gdzie:
a) a = 844, b = 5442;
b) a = 9744, b = -1248;
c) a = -2891, b =1589.
13) Za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa znajdź liczby x, y takie że
a) 33 x + 42 y =NWD(33,42);
b) 11 x + 31 y = NWD(11,31);
c) 12 x + 20 y = NWD(12,20);
d) 27 x + 15 y = NWD(27,15).