Przemiana adiabatyczna gazu doskonałego
przemiana adiabatyczna – bez wymiany ciepła z otoczeniem
Wyprowadzenie równania Poissona I zasada termodynamiki w postaci różniczkowej dε =
+
w
{
dQ
dW
(1)
=0
gdzie różniczkowa praca wykonana nad gazem dW = − p dV
(2)
energia wewnętrzna gazu doskonałego f
ε =
n T
R = C
n
T
w
V
2
stąd:
dε = C
n
dT
w
V
(3)
podstawiamy (2) i (3) do (1):
C
n
dT = − p dV
V
(4)
obliczamy różniczkę równania stanu gazu doskonałego V
p
= n T
R (zmienne: p, V, T) p dV + V dp = nR dT
podstawiamy R = C −
p
V
C
p dV + V dp = n C
(
− C ) dT
p
V
(5)
dzielimy stronami (5) przez (4), a następnie zamieniamy stronę lewą z prawą: C − C
p
V
p dV + V dp
C p
V dp
= −
→
−1 = −
−1
C
p dV
V
C
p dV
V
V dp
= −
/ ⋅ dV, : V
C
p dV
V
C p dV
dp
= −
C
V
p
V
całkujemy obustronnie (czynniki stałe wyłączamy przed znak całki) C p 1
1
∫ dV = −∫ dp
C
V
p
V
C p
ln V = −ln p + α
CV
stała całkowania
korzystamy z własności logarytmu naturalnego (obowiązuje dla logarytmu o dowolnej podstawie): a ln x = ln x a: C p
ln V V
C
+ ln p = α
suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu
C p
C
V
ln
V
p
= α
stosujemy obustronnie funkcję odwrotną do logarytmu naturalnego – funkcję wykładniczą e x C p
V
C
V
p
= e α = β = const stosujemy oznaczenie
C p
≡ κ
V
C
κ – współczynnik Poissona ostatecznie równanie przyjmuje postać: κ
V
p
= const
(6)
jest to najczęściej używana forma równania Poissona korzystając z równania stanu gazu doskonałego można zapisać równanie Poissona korzystając z innej pary parametrów termodynamicznych (np. T i V lub T i p) 1
1
p =
n T
R
→
κ
κ
κ 1
−
V
p
= n T
R V
= n T
R V
V
V
1
κ
V
p
= β = const
→
κ 1
−
T V
=
β = const
nR
druga forma równania Poissona: κ 1
−
T V
= const
(7)
κ
1
1
V =
n T
R
→
κ
κ
−( κ − )
1
V
p
= p
n T
R
= ( n T
R )
p
p
p
1
κ
1
κ
− κ
−
1
1
1
κ
V
p
= β = const →
κ
1− κ
T
p
=
β = const → pT
=
β
= const
κ
( nR) κ
( nR)
trzecia forma równania Poissona: κ
1− κ
pT
= const
(8)
Obliczenie całkowitej pracy wykonanej nad gazem przy przejściu gazu doskonałego od stanu początkowego (objętość VP) do stanu końcowego (objętość VK) nad gazem wykonywana jest praca VK
W = − ∫ p dV
(9)
VP
z równania Poissona (6):
κ
κ
κ 1
V
p
= const = p
=
PV
→
p
p V
P
P P
κ
V
podstawiamy do (9):
V
V
V
K
K
κ 1
κ K 1
κ − κ +1
V
W = − ∫ pPV
dV = − p V
dV
p V
P
κ
P P
∫
= − P
=
κ
P
V
V
V V
P
P
− κ +1 VP
κ
κ
1
1
1
κ
1
1
−1
V
= pPV
p V
P
−
P
κ −1
κ −1 = P P
κ −1
−
κ −1
1 =
κ −1 V
V
V
V
K
P
κ −
1 P
K
κ −1
=
1
p V
V
P
P P
−
κ −
1
1
VK
z równania stanu gazu doskonałego podstawiamy p
=
PVP
n
P
T
R
i otrzymujemy
κ −1
1
V
P
W = n T
R
P
−
κ −
1
(10)
1
VK