Przemiana adiabatyczna gazu doskonałego

przemiana adiabatyczna – bez wymiany ciepła z otoczeniem

Wyprowadzenie równania Poissona I zasada termodynamiki w postaci różniczkowej dε =

+

w

{

dQ

dW

(1)

=0

gdzie różniczkowa praca wykonana nad gazem dW = − p dV

(2)

energia wewnętrzna gazu doskonałego f

ε =

n T

R = C

n

T

w

V

2

stąd:

dε = C

n

dT

w

V

(3)

podstawiamy (2) i (3) do (1):

C

n

dT = − p dV

V

(4)

obliczamy różniczkę równania stanu gazu doskonałego V

p

= n T

R (zmienne: p, V, T) p dV + V dp = nR dT

podstawiamy R = C −

p

V

C

p dV + V dp = n C

(

− C ) dT

p

V

(5)

dzielimy stronami (5) przez (4), a następnie zamieniamy stronę lewą z prawą: C − C

p

V

p dV + V dp

C p

V dp

= −

→

−1 = −

−1

C

p dV

V

C

p dV

V

C p

V dp

= −

/ ⋅ dV, : V

C

p dV

V

C p dV

dp

= −

C

V

p

V

całkujemy obustronnie (czynniki stałe wyłączamy przed znak całki) C p 1

1

∫ dV = −∫ dp

C

V

p

V

C p

ln V = −ln p + α

CV

stała całkowania

korzystamy z własności logarytmu naturalnego (obowiązuje dla logarytmu o dowolnej podstawie): a ln x = ln x a: C p

ln V V

C

+ ln p = α

suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu



C p 



C



V

ln

V

p

= α









stosujemy obustronnie funkcję odwrotną do logarytmu naturalnego – funkcję wykładniczą e x C p

V

C

V

p

= e α = β = const stosujemy oznaczenie

C p

≡ κ

V

C

κ – współczynnik Poissona ostatecznie równanie przyjmuje postać: κ

V

p

= const

(6)

jest to najczęściej używana forma równania Poissona korzystając z równania stanu gazu doskonałego można zapisać równanie Poissona korzystając z innej pary parametrów termodynamicznych (np. T i V lub T i p) 1

1

p =

n T

R

→

κ

κ

κ 1

−

V

p

= n T

R V

= n T

R V

V

V

1

κ

V

p

= β = const

→

κ 1

−

T V

=

β = const

nR

druga forma równania Poissona: κ 1

−

T V

= const

(7)

κ

1

 1



V =

n T

R

→

κ

κ

−( κ − )

1

V

p

= p

n T

R

= ( n T

R )





p

p

 p



1

κ

1

κ

− κ



 −

1

1

1

κ

V

p

= β = const →

κ

1− κ

T

p

=

β = const → pT

=

β

= const



κ



( nR) κ

( nR)





trzecia forma równania Poissona: κ

1− κ

pT

= const

(8)

Obliczenie całkowitej pracy wykonanej nad gazem przy przejściu gazu doskonałego od stanu początkowego (objętość VP) do stanu końcowego (objętość VK) nad gazem wykonywana jest praca VK

W = − ∫ p dV

(9)

VP

z równania Poissona (6):

κ

κ

κ 1

V

p

= const = p

=

PV

→

p

p V

P

P P

κ

V

podstawiamy do (9):

V

V

V

K

K

κ 1

κ K 1

κ  − κ +1

V



W = − ∫ pPV

dV = − p V

dV

p V

P

κ

P P

∫

= − P

=

κ

P 



V

V

V V

P

P

− κ +1 VP

κ

κ

1 

1

1



κ

1

1



−1

V



= pPV

p V

P



−

P

κ −1

κ −1  = P P

κ −1 

−

κ −1



1 =

κ −1  V

V

V

V

K

P



κ −



1 P

 K





κ −1



=

1

p V

 V 

P

P P

− 

κ −

1

1 



 VK 







z równania stanu gazu doskonałego podstawiamy p

=

PVP

n

P

T

R

i otrzymujemy



κ −1



1

 V 

P

W = n T

R



P

− 

κ −

1

(10)

1 



 VK 





