4.3. Gradient funkcji. Różniczka zupełna

Definicja

Wektor n , którego składowymi są pochodne cząstkowe funkcji z = f (x1, x2, .... xn) w punkcie P( x , x , .... x ) nazywamy gradientem funkcji w tym punkcie i oznaczmy: 1

2

n





∂ f





∂ f





∂ f

n = grad f (x1, x2, .... xn) = [ '

f , '

f

, …, '

f

] = [ 

 , 

 , …, 

 ].

1

x

x 2

xn

 ∂ x

∂ x

∂ x

1 



2 



n 

Gradient w danym punkcie jest prostopadły do warstwicy i wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu funkcji.

Przykład

2

y

1

Rozważamy funkcję f(x, y) =

+

(x – 5)2.

9

4

2 y

Mamy '

f = ½ x –10, '

f =

.

x

y

9

Jeżeli P(20,9) , to n = grad f(20, 9) = [0, 2].

2

y

1

Wykresem funkcji f(x, y) =

+

(x – 5)2 w układzie współrzędnych Oxyz

9

4

jest powierzchnia o równaniu

1

2

y

z =

(x – 5)2 +

.

4

9

Jest to paraboloida eliptyczna.

1

2

y

Plan warstwicowy tej powierzchni jest rodziną krzywych o równaniu (x – 5)2 +

= h

4

9

(dla konkretnie danych h rzeczywistych). Jest to zatem rodzina elips.

Dla h =1 otrzymamy elipsę o półosiach

równych 2 i 3 i wierzchołkach A(3, 0), A’

(7,0), B(5,-3), B’(5,3).

1

2

y

Aby wyznaczyć warstwicę funkcji z =

(x – 5)2 +

przechodzącą przez P

4

9

1

92

261

Obliczamy: h =

(20 – 5)2 +

=

.

4

9

4

1

2

y

261

Jest nią elipsa o równaniu

(x – 5)2 +

=

. Otrzymamy ją rzutując prostopadle na

4

9

4

1

2

y

płaszczyznę Oxy przekrój paraboloidy z =

(x – 5)2 +

płaszczyzną o równaniu

4

9

261

z =

. Ta płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny Oxy i przechodzi przez punkt

4

261

P’(20,9,

).

4

Gradient, jako wektor n = grad f(20, 9) = [0, 2] jest prostopadły do warstwicy w punkcie P(20, 9) (czyli prostopadły do stycznej przechodzącej przez punkt P(20, 9) tej warstwicy) i wskazuje kierunek maksymalnego wzrostu funkcji f .

Rysunek przedstawia gradient rozważanej funkcji oraz styczną do tej warstwicy.

y

[0,2]

9

x

0

20

Przykład

Rozważmy funkcję f(x, y, z) = 9x2 + 4y2 + z2 – 24 oraz powierzchnię o równaniu 9x2 + 4y2 + z2 – 25 = 0. Powierzchnią tą jest elipsoida.

a) Wyznacz współrzędne wektora prostopadłego do tej elipsoidy w punkcie P(1, 2, 0) tej

elipsoidy.

b) Napisz równanie płaszczyzny stycznej do tej elipsoidy przechodzącej przez punkt P(1, 2, 0).

a) Wektor prostopadły do tej elipsoidy jest gradientem funkcji f.

Zatem wyznaczamy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji f:

fx = 18x, fy = 8y, fz = 2z.

Stąd gradient n = grad f (x, y, z) = [18x, 8y, 2z] .

Punkt P(1, 2, 0) jest punktem tej elipsoidy (jego współrzędne spełniają równanie elipsoidy).

Gradient n = grad f (1, 2, 0) = [18, 16, 0] jest wektorem prostopadłym do tej elipsoidy w punkcie P.

b)

Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni o równaniu f(x, y, z) = 0 w jej punkcie P0 (x0, y0,z0) ma postać

fx(P0) (x – x0) + fy(P0) (y – y0) + fz(P0) (z – z0) = 0.

Podstawiając wyznaczone w a) wielkości otrzymujemy:

18(x– 1) + 16(y – 2) + 0(z – 0) = 0.

Równanie płaszczyzny stycznej do elipsoidy 9x2 + 4y2 + z2 – 25 = 0 przechodzącej przez punkt P(1, 2, 0) jest następujące: 18x + 16y – 50 = 0.

Różniczka zupełna

Załóżmy, że funkcja z = f(x1, x2, …, xn) n – zmiennych jest różniczkowalna, czyli ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego '

f , '

f

, … , '

f

w punkcie P0 swojej dziedziny.

1

x

x 2

xn

Definicja

Różniczką zupełną (symbol df ) funkcji f w punkcie P0 dla przyrostów dx1, dx2, … , dxn zmiennych x1, x2, …, xn nazywamy wyrażenie df = '

f dx1 + '

f

dx2 + … + '

f

dxn .

1

x

x 2

xn

W przypadku funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) mamy

df = '

f dx + '

f dy.

x

y

Niech ∆f oznacza przyrost funkcji z = f(x, y) między punktami (x0 + dx , y0 + dy ) i (x0, y0 ), czyli ∆f = f(x0 + dx , y0 + dy ) − f(x0, y0 ). Mamy: Twierdzenie

Jeżeli funkcja z = f(x, y) ma w pewnym otoczeniu punktu P0 (x0, y0 ) ciągłe pochodne cząstkowe oraz punkt P1(x0 + dx , y0 + dy ) należy do tego otoczenia, to dla małych przyrostów dx, dy. zmiennych x, y różnica ∆f – df jest liczbą dowolnie małą.

Fakt ten jest podstawą do zastąpienia przyrostu funkcji ∆f jej różniczką zupełną df jako przybliżeniem, jeżeli tylko przyrosty zmiennych są małe. W szczególności możemy oszacować błąd przy obliczaniu wartości f(x, y) funkcji dla wartości argumentów x i y

uzyskanych w wyniku pomiarów lub obliczeń.

Niech, np. x0 i y0 oznaczają przybliżenia pewnych wielkości x i y oraz δx, δy

odpowiednie błędy pomiarów, δf maksymalny błąd bezwzględny przybliżenia f(x0, y0)

wartości f(x, y) i niech funkcja z = f(x, y ) spełnia założenia udowodnionego wyżej twierdzenia. Wówczas, dla małych przyrostów dx = x - x0 , dy = y – y0 mamy równość przybliżoną

∆f ≈ '

f (x

f (x

x

0, y0 ) dx +

'

y

0, y0 )dy

oraz δf ≈ | '

f | δx +| '

f |δy , gdy błędy pomiarów δx δy są małe.

x

y

Przykład

Zmierzono prostokątny plac z dokładnością do 0,1 m i otrzymano wyniki 60m i 50 m.

Oszacuj maksymalny błąd, jaki popełniamy twierdząc, że pole powierzchni tego prostokąta wynosi 30 arów.

Rozwiązanie

Niech f(x, y) = xy będzie funkcją określoną w zbiorze D = {(x,y): x > 0 i y > 0}.

Funkcja f spełnia założenia cytowanego wyżej twierdzenia.

Wtedy '

f (x, y) = y,

'

f (x, y) = x

x

y

oraz d f = y dx + x dy.

Skoro δf ≈ | '

f | δx +| '

f |δy, więc δf ≈ y δx + x δy.

x

y

Dzieląc obustronnie ostatnią równość przez f(x, y) = xy otrzymamy

δ f

δ x

δ y

≈

+

.

f ( x, y)

x

y

Mamy x = 60, y = 50, δx = δy = 0,1.

δ f

1

,

0

1

,

0

11

Zatem

≈

+

=

≈ 0,004 = 0,4%.

f ( x, y)

60

50

3000

Maksymalny błąd względny obliczenia pola nie przekracza 0,4% .

Zadania

1. Napisz równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni o równaniu f(x,y,z) = 0

i przechodzącej punkt P tej powierzchni, gdy:

a) f(x, y, z) = –5x2 + 2y – 3xz + 4, P(0, –2, 5),

b) f(x, y, z) = 7x2 + 2y-3 – xz2 + 4z –9, P(1, -1, 2).

2. Zmierzono niektóre wymiary obiektu P z dokładnością do 0,01 m. Oszacuj maksymalny błąd, jaki popełniamy twierdząc, że miara tego obiektu wynosi a, gdy a) P jest prostopadłościanem o wymiarach 15cm, 12cm, 8cm, zaś a = 1440 cm3.

b) P jest kulą o średnicy równej 1m, zaś a = 4,17 m3.