Powtórzenie z algebry liniowej cz.2- zadania Zad.1 Zbadać czy następujące układy wektorów są liniowo zależne:
0
0
1
1
−2
4
a) X =
, X =
; b) X =
, X =
; c) X = 1 , X = 1 ; 1
1
2
1
−
1
3
2
−6
1
2
2
3
2
1
1
2
1
1
d) X = 1 , X = 0 , X = 1 ; e) X = 1 , X = 0 , X = 1 .
1
2
3
1
2
3
0
1
−
1
0
1
−
0
1
Zad 2. Przedstawić wektor X = 2
w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy X1, X2, X3
0
1
0
0
1
0
1
=
=
=
=
=
=
a) X
0 , X
1 , X
0 ; b) X
2 , X
1 , X
1 ;
1
2
3
1
2
3
0
0
1
1
1
1
1
1
0
c) X = 1 , X = 2 , X = 1 .
1
2
3
1
0
0
Zad 3. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne następujących macierzy:
1 2
1 0
1 1
1
1
a)
, b)
, c)
, d)
,
2 1
0 1
0 0
−1 1
1 0 0
0 0 0
e) 0
2
0
, f) 0 1 0
, g) .
0 0 3
0 0 3
Zad 4. Znaleźć macierz A mając dane jej wartości własne λ i odpowiadające tym wartościom i
wektory własne X : i
1
1
−
0
a) λ = −1, λ = 2 , λ = 2
− , X = 0 , X = 1 , X = 1
− ;
1
2
3
1
2
3
1
0
1
1
2
3
b) λ = λ = λ = 2 , X = 0 , X = 1 , X = 1 .
1
2
3
1
2
3
1
0
2