Zakres zagadnień
Algebra z geometrią
1
Podstawowe pojęcia algebry liniowej w przystępnym ujęciu Iloczyn skalarny wektorów
2 Rzut prostokątny wektora na wektor
Adam Dąbrowski 3 Równanie linii prostej na płaszczyz
nie
4 Dodatnia strona prostej
Politechnika Poznańska
Wydział Informatyki
5 Równanie płaszczyzny w przestrzeni 3D
Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
6 Równania linii prostej w przestrzeni 3D
27 paz
dziernika 2012
7 Punkt w przestrzeni 3D i na płaszczyz
nie
8 Mnożenie macierzy
9 Eliminacja elementów niezerowych macierzy metodą Gaussa 
elementy osiowe
10 Carl Friedrich Gauss
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 1 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 2 / 95
Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny wektorów
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 3 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 4 / 95
Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny wektorów
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 5 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 6 / 95
Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny wektorów
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 7 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 8 / 95
Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny wektorów
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 9 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 10 / 95
Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny wektorów  podsumowanie
Niech v i w będą n elementowymi wektorami
Ą# ń# Ą# ń#
v1 w1
ó# ó#
v2Ą# w2Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
v = oraz w =
. .
ó# Ą# ó# Ą#
. .
Ł# . Ś# Ł# . Ś#
vn wn
Iloczyn skalarny tych wektorów to
vTw = wTv = ||v|| � ||w|| cos (v, w)
n

= vkwk
k=1
= v1w1 + v2w2 + . . . + vnwn
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 11 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 12 / 95
Rzut prostokątny wektora na wektor Rzut prostokątny wektora na wektor
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 13 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 14 / 95
Rzut prostokątny wektora na wektor Rzut prostokątny wektora na wektor
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 15 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 16 / 95
Rzut prostokątny wektora na wektor Równanie linii prostej na płaszczyz
nie
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 17 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 18 / 95
Równanie linii prostej na płaszczyz
nie Równanie linii prostej na płaszczyz
nie
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 19 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 20 / 95
Równanie linii prostej na płaszczyz
nie Równanie linii prostej na płaszczyz
nie
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 21 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 22 / 95
Dodatnia strona prostej Dodatnia strona prostej
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 23 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 24 / 95
Dodatnia strona prostej Dodatnia strona prostej
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 25 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 26 / 95
Dodatnia strona prostej Dodatnia strona prostej
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 27 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 28 / 95
Równanie płaszczyzny w przestrzeni 3D Dodatnia strona płaszczyzny w przestrzeni 3D
Pokazana płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Dodatnia strona płaszczyzny w przestrzeni 3D, to ta część przestrzeni 3D,
T
Ogólnie
która zawiera wektor normalny do płaszczyzny n = a b c
ax + by + cz = d
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 29 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 30 / 95
Jaką postać ma równanie prostej w przestrzeni 3D? Punkt w przestrzeni 3D i na płaszczyz
nie
Punkt w przestrzeni 3D opisują trzy równania płaszczyzn, których
Odpowiedz
wspomaga ocenę z egzaminu rozłożonego!
przecięcie definiuje ten punkt: ax + by + cz = j, dx + ey + fz = k
i gx + hy + iz = l
NIE ISTNIEJE RÓWNANIE PROSTEJ
WPRZESTRZENI 3D
Prostą w przestrzeni 3D opisują dwa równania płaszczyzn, których
przecięcie definiuje tę prostą
np.: ax + by + cz = g i dx + ey + fz = h
Punkt na płaszczyz
nie (w przestrzeni 2D) opisują dwa równania
prostych, których przecięcie definiuje ten punkt:
ax + by = e i cx + dy = f
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 31 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 32 / 95
Punkt w przestrzeni Punkt w przestrzeni
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 33 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 34 / 95
Punkt w przestrzeni Punkt w przestrzeni
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 35 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 36 / 95
Punkt w przestrzeni Punkt w przestrzeni
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 37 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 38 / 95
Punkt w przestrzeni Punkt w przestrzeni
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 39 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 40 / 95
Punkt w przestrzeni Punkt w przestrzeni
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 41 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 42 / 95
Punkt w przestrzeni Układ równań  ilustracja wierszowa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 43 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 44 / 95
Układ równań  ilustracja wierszowa Układ równań  ilustracja wierszowa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 45 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 46 / 95
Układ równań  ilustracja wierszowa Układ równań  ilustracja wierszowa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 47 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 48 / 95
Układ równań  ilustracja wierszowa Układ równań  ilustracja wierszowa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 49 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 50 / 95
Układ równań  ilustracja wierszowa i kolumnowa Układ równań  ilustracja wierszowa i kolumnowa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 51 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 52 / 95
Układ równań  ilustracja wierszowa i kolumnowa Układ równań  ilustracja wierszowa i kolumnowa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 53 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 54 / 95
Układ równań  ilustracja wierszowa i kolumnowa Układ równań  ilustracja wierszowa i kolumnowa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 55 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 56 / 95
Jedno równanie i trzy niewiadome  ilustracja wierszowa Dwa równania i trzy niewiadome  ilustracja wierszowa
a11x + a12y + a13z = b1 a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3 a31x + a32y + a33z = b3
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 57 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 58 / 95
Trzy równania i trzy niewiadome  ilustracja wierszowa Trzy równania i trzy niewiadome  ilustracja wierszowa
a11x + a12y + a13z = b1 a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
a31x + a32y + a33z = b3










rozwiązanie
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 59 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 60 / 95
Trzy równania i trzy niewiadome  ilustracja kolumnowa Istnienie rozwiązań układu równań
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
a11 a12 a13 x b1 a11 a12 a13 b1
ó# ó# ó# ó# ó# ó#
a21 a22 a23Ą# ó#yĄ# = b2Ą# czyli x a21Ą#+y a22Ą#+z a23Ą# = b2Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
a31 a32 a33 z b3 a31 a32 a33 b3
czyli
xa1 + ya2 + za3 = b
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 61 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 62 / 95
Istnienie rozwiązań układu równań Istnienie rozwiązań układu równań
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 63 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 64 / 95
Istnienie rozwiązań układu równań Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 65 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 66 / 95
Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 67 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 68 / 95
Mnożenie wektora wierszowego przez macierz Mnożenie wektora wierszowego przez macierz
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 69 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 70 / 95
Mnożenie wektora wierszowego przez macierz Zamiana wierszy lub kolumn  macierz permutacji
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 71 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 72 / 95
Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 73 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 74 / 95
Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 75 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 76 / 95
Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 77 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 78 / 95
Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 79 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 80 / 95
Operacje na wierszach  eliminacja według Gaussa Carl Friedrich Gauss
Sławny syn murarza
Carl Friedrich Gauss urodził się w biednej rodzinie pomocnika murarskiego
30. kwietnia 1777 r. w Brunszwiku (Braunschweig). W 1807 r. został
profesorem Uniwersytetu w Getyndze (G�ttingen) i funkcję tę pełnił aż do
śmierci 23. lutego 1855 r.
Uważany jest za jednego z największych matematyków wszechczasów.
Przez sobie współczesnych był nazywany  księciem matematyków .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 81 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 82 / 95
Carl Friedrich Gauss Algebraiczna interpretacja operacji wierszowych  część 1
Książę matematyków
Przekształcenie
Ą# ń# Ą# ń#
1 2 1 1 2 1
ó# ó#
A = 3 8 1Ą# 0 2 -2Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
0 4 1 0 4 1
mające na celu eliminację elementu na pozycji (2, 1) w macierzy A,
polegające na pomnożeniu 1-go wiersza przez -3 i dodaniu do 2-go
Talent matematyczny Gaussa ujawnił się bardzo wcześnie. W szkole jako
wiersza, może być interpretowane jako pomnożenie przez macierz
karę za złe zachowanie otrzymał zadanie obliczenia sumy wszystkich liczb
elementarną E21
całkowitych od 1 do 100. Nauczyciel sądził, że zabierze mu to sporo czasu,
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
zanim otrzyma prawidłowy wynik. Gauss rozwiązał jednak to zadanie w
1 0 0 1 2 1 1 2 1
ó# ó#
mgnieniu oka. Dodał dwa razy te liczby, przy czym ich drugi zestaw
E21A = 1 0Ą# ó#3 8 1Ą# = 0 2 -2Ą#
Ł#-3 Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
dodawał odwracając kolejność składników, tj. otrzymując 1 + 100 = 101,
0 0 1 0 4 1 0 4 1
2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,. . . , 50 + 51 = 101, czyli  następujący
wynik końcowy (1/2) � 100 � 101 = 5050.
Korzystając z tego rozumowania oblicza się pole powierzchni trójkąta.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 83 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 84 / 95
Algebraiczna interpretacja operacji wierszowych  część 2 Algebraiczna interpretacja operacji wierszowych  część 3
Przekształcenie
Następną macierzą elementarną jest E31 o postaci
Ą# ń# Ą# ń#
Ą# ń#
1 2 1 1 2 1
1 0 0 ó# ó#
E21A = 0 2 -2Ą# 0 2 -2Ą# = U
Ł# Ś# Ł# Ś#
ó#
E31 = 0 1 0Ą#
Ł# Ś#
0 4 1 0 0 5
� 0 1
mające na celu eliminację elementu na pozycji (3, 2) w macierzy E21A,
która eliminuje element na pozycji (3, 1) w macierzy
polegające na pomnożeniu 2-go wiersza przez -2 i dodaniu do 3-go
Ą# ń#
wiersza, może być interpretowane jako pomnożenie przez macierz
1 2 1
ó# elementarną E32
E21A = 0 2 -2Ą#
Ł# Ś#
Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
0 4 1
1 0 0 1 2 1 1 2 1
ó# ó#
E32(E21A) = 0 1 0Ą# ó#0 2 -2Ą# = 0 2 -2Ą# = U
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
ale tam jest już zero, więc � = 0 i w konsekwencji E31 = I. Zatem macierz
0 -2 1 0 4 1 0 0 5
E31 jest niepotrzebna.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 85 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 86 / 95
Algebraiczna interpretacja operacji wierszowych Metoda eliminacji według Gaussa  podsumowanie
Przekształcanie układu równań
Podsumowując wykonane w przykładzie operacje wierszowe, można
Ax = b
napisać
U = E32(E21A) =(E32E21)A = EA
w układ równoważny
przy czym
E = E32E21
EAx = Eb czyli Ux = y
Ogólnie w przypadku macierzy 3 � 3
z górnotrójkątną macierzą U = EA i kolumną wyrazów wolnych y = Eb
polega na sukcesywnym eliminowaniu pewnych niezerowych elementów
E = E32E31E21
macierzy rozszerzonej A|b za pomocą odpowiednich kolejnych operacji
elementarnych. Procedura ta jest nazywana
Ogólnie w przypadku macierzy n � n
metodą eliminacji według Gaussa
E = En(n-1)En(n-2)E(n-1)(n-2) �. . .�En2E(n-1)2 �. . .�E32En1E(n-1)1 �. . .�E21
lub eliminacją metodą Gaussa nie zaś  jak mówi wielu   metodą
eliminacji Gaussa lub jeszcze gorzej  eliminacją Gaussa .
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 87 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 88 / 95
Deser z 2012 r. dla koneserów Deser z 2012 r. dla koneserów
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 89 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 90 / 95
Deser z 2012 r. dla koneserów Deser z 2012 r. dla koneserów
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 91 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 92 / 95
Eliminacja Gaussa Zmiana nastroju osób przedstawionych na banknotach
Smutna Królowa Elżbieta II Wesoła Królowa Elżbieta II
(opuściła wykład z Algebry) (po wykładzie z Algebry)
Eliminacja Gaussa odyła się za sprawą zastąpienia marek niemieckich przez
Euro. Wówczas banknot dziesięciomarkowy z podobizną Gaussa został
wyeliminowany przez monetę 5 Euro.
To smutne nie tylko dla samego Gaussa, ale i dla wszystkich osób
Bardziej zaawansowane metody przetwarzania obrazów poznają Ci
zafascynowanych Algebrą!
z Państwa, którzy wybiorą specjalność Systemy wizyjne.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 93 / 95 Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 94 / 95
Królowa Elżbieta II na poważnie
Dla porządku  na serio  Królowa Elżbieta II tak wygląda na banknocie
20-tu dolarów kanadyjskich z lat 1986-91 w serii z ptakami na odwrocie.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra z geometrią 27 paz
dziernika 2012 95 / 95