1. Pojęcia podstawowe
Proces  dowolne zjawisko fizyczne, w którym zostaÅ‚y wyróżnione wielkoÅ›ci przyczynowe 5ØeÜ (5ØaÜ) oraz
skutkowe 5ØfÜ (5ØaÜ)  rys.1.
y(t)
x(t)
PROCES
(układ, obiekt sterowania itp.)
Rys.1. Ogólny schemat procesu
5ØeÜ (5ØaÜ)  wektor wielkoÅ›ci przyczynowych: wejść; wejÅ›ciowych wymuszeÅ„; sygnałów.
5ØfÜ (5ØaÜ)  wektor wielkoÅ›ci skutkowych: wyjść, sygnałów wyjÅ›ciowych, odpowiedzi.
Sygnał (wejściowy, wyjściowy, zakłócający)  nośnik informacji zawarty w przebiegu dowolnej wielkości
fizycznej (wszelkie zjawiska zmienne w czasie), np. temperatura, ciśnienie, wydatek, napięcie, prąd, itd.;
sygnał może mieć charakter naturalny wynikający ze zmian obserwowanej wielkości fizycznej lub też może
być wygenerowany wg określonego standardu przez stosowne urządzenia elektroniczne i może to być np.
napięcie o modulowanej częstotliwości, amplitudzie, fala radiowa, itd.
Sygnał ciągły (analogowy)  rozumiany w sensie ciągłości czasu.
Sygnał dyskretny (cyfrowy)  określony na przeliczalnym zbiorze wartości czasu.
Model procesu matematyczny  zwiÄ…zek 5ØeÜ (5ØaÜ) i 5ØfÜ (5ØaÜ) opisujÄ…cy w czasie rozpatrywany proces.
Model matematyczny makroskopowy  odzwierciedlajÄ…cy jedynie zjawiska zasadnicze.
Model matematyczny mikroskopowy  model o dużej liczbie równań, szczegółowy, wyjaśniający przez
fizyków określone zjawisko.
Teoria identyfikacji  naukowa metoda konstruowania modeli.
Informacja  wiedza o procesie, może być dana w sposób analityczny lub graficznie za pomocą
charakterystyk statycznych i dynamicznych. Informacja dzieli siÄ™ na poczÄ…tkowÄ… (znanÄ… na etapie syntezy
układu sterowania) i roboczą (pozyskiwaną przez układ) sterowania podczas jego funkcjonowania.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
1
Parametr fizyczny  miara okreÅ›lajÄ…ca okreÅ›lonÄ… wÅ‚aÅ›ciwość fizycznÄ…, np. ilość materii  masa 5ØZÜ, sztywność
5ØXÜ, opór 5ØPÜ, & .
Parametr dynamiczny  miara utworzona z parametrów fizycznych, określająca właściwości dynamiczne
procesu, wyróżniane na przebiegach czasowych, częstotliwościowych (charakterystykach), np. nietłumiona
5ØPÜ
czÄ™stość drgaÅ„ wÅ‚asnych 5Øß5Ø[Ü = 5ØXÜ/5ØZÜ, wzglÄ™dny wsp. tÅ‚umienia 5Ø ß = 0.5 5ØPÜ 5ØZÜ5ØXÜ , staÅ‚a czasowa 5ØGÜ = .
" "
5ØXÜ
Obiekt sterowania - proces będący przedmiotem sterowania.
Model obiektu sterowania  proces bÄ™dÄ…cy przedmiotem sterowania, dla którego z poÅ›ród wektora 5Ø™Ü (5ØaÜ)
wyróżniono:
5Ø
Ü (5ØaÜ)  wielkoÅ›ci wejÅ›ciowe (przyczynowe, nastawiajÄ…ce), za pomocÄ… których bÄ™dzie nastÄ™pować
oddziaływanie (nastawianie) na rozpatrywany proces,
5Ø6ß  parametry, wejÅ›cia procesu, które podczas sterowania bÄ™dÄ… posiadaÅ‚y wartoÅ›ci staÅ‚e,
5Ø›Ü (5ØaÜ)  zakłócenia, wejÅ›cia procesu nie wykorzystane podczas sterowania zakłócajÄ…ce sterowanie,
5ØšÜ (5ØaÜ)  wyjÅ›cia procesu (wielkoÅ›ci nastawiane), które sÄ… ważne z punktu widzenia sterowania i dla których
określane są wymagania związane z jakością sterowania.
z(t)
y(t)
x(t)
PROCES
(układ, obiekt sterowania itp.)
a
Rys.2. Ogólny schemat obiektu sterowania
Matematyczny model obiektu okreÅ›la przede wszystkim relacje 5Ø
Ü (5ØaÜ) i 5ØšÜ (5ØaÜ); opisuje zarówno
właściwości sterowanego procesu (technologicznego) jak i właściwości części aparaturowej niezbędnej do
realizacji sterowanego procesu.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
2
Cel sterowania  sformułowanie ogólnych wymagań dotyczących oczekiwanych rezultatów związanych z
budową układu sterowania.
Sterowanie  generowanie sygnaÅ‚u 5Ø
Ü (5ØaÜ) o takim przebiegu, by uzyskać oczekiwany przebieg sygnaÅ‚u 5ØšÜ (5ØaÜ).
( )
Proces jednowymiarowy, sterowanie jednowymiarowe  sygnaÅ‚y 5Ø™Ü 5ØaÜ lub 5Ø
Ü (5ØaÜ) i 5ØšÜ (5ØaÜ) sÄ…
jednowymiarowe.
Sterowanie wielowymiarowe  zarówno sygnaÅ‚ 5Ø
Ü (5ØaÜ) jak i 5ØšÜ (5ØaÜ) sÄ… wiÄ™ksze od jednoÅ›ci (sÄ… to wektory).
Jakość sterowania  wymagania związane z celem sterowania, formułowane w stosunku do przebiegu
wielkoÅ›ci 5ØšÜ (5ØaÜ), wyrażona przez stosowne miary w postaci kryteriów.
Wartość zadana  oznaczana czÄ™sto przez 5ØfÜ0(5ØaÜ), okreÅ›la oczekiwany (pożądany) przebieg wielkoÅ›ci
wyjÅ›ciowej 5ØšÜ (5ØaÜ) sterowanego procesu. Można to rozumieć jako pewien wzorzec przebiegu wielkoÅ›ci
wyjściowej procesu, którą chce się osiągnąć. Oznacza to, że sterowanie powinno zapewnić relację
( ) ( )
5ØfÜ0 5ØaÜ a" 5ØfÜ 5ØaÜ , przy czym 5ØfÜ0(5ØaÜ)  jest pewnÄ… abstrakcjÄ…, wzorcem a 5ØfÜ (5ØaÜ) jest przebiegiem konkretnej
wielkości fizycznej.
( ) ( )
BÅ‚Ä…d sterowania (uchyb)  w ogólnym przypadku 5ØRÜ 5ØaÜ = 5ØfÜ0 5ØaÜ - 5ØfÜ (5ØaÜ)  jest to funkcja (sygnaÅ‚), która
przedstawia zaistniaÅ‚e w czasie 5ØaÜ odchylenia wielkoÅ›ci wyjÅ›ciowej 5ØfÜ (5ØaÜ) sterowanego procesu od wartoÅ›ci
zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ) (od oczekiwanego wzorca).
Miary jakoÅ›ci sterowania (kryteria sterowania) formuÅ‚owane sÄ… w odniesieniu do sygnaÅ‚u 5ØRÜ (5ØaÜ) i sÄ…
podstawą do budowy określonej struktury sterowania oraz algorytmów urządzeń decyzyjnych.
Struktura procesu, algorytmu, układu sterowania  postać matematyczna procesu, algorytmu lub schemat
obiegu informacji w układzie sterowania.
Układ (proces, model) liniowy  opisany za pomocą równań liniowych; w szczególności zależności statyczne
między przyczynami i skutkami są wyrażone przez równania prostych, np. masa i stała sprężyny (układ
mechaniczny) są niezależne od siły i przesunięcia.
Układ (proces, model) nieliniowy - opisany za pomocą równań nieliniowych; np. wsp. sprężystości zmienia
się w zależności od odkształcenia.
Model o parametrach skupionych - opisany za pomocą równań różniczkowych o stałych współczynnikach;
masa w postaci punktowej, sprężyna bez masy  układ złożony z tak wyidealizowanych elementów z
rozdzielonymi efektami.
Model o parametrach rozłożonych  przeciwieństwo modeli skupionych  opisany za pomocą równań
różniczkowych cząstkowych; np. pręt zawiera nieskończenie małe elementy bezwładności i sprężystości.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
3
Układ niestacjonarny lub zmienny w czasie  parametry układu zmieniają się w czasie.
Układ stacjonarny  parametry w rozpatrywanym czasie przyjmowane są jako stałe.
Zmienne (sygnały) przypadkowe  przedstawione w sensie probabilistycznym.
Zmienna (współrzędna) stanu  zmienna reprezentująca sumę informacji przeszłej, potrzebnej do
określenia aktualnej zmiany stanu i odpowiedzi układu. Wektor stanu powinien zawierać najmniejszą liczbę
zmiennych (współrzędnych) wystarczających do opisania układu w każdej chwili czasu. W metodzie
transmitancji zmienne stanu nie występują. Najczęściej przyjmuje się za zmienną stanu wyjścia z elementów
całkujących.
Wykres (rysunek)  forma graficznego zapisu, w szczególności dowolnych zależności.
Charakterystyka  forma graficznego zapisu zależności (statycznych, w funkcji czasu, w funkcji
częstotliwości) zgodna z przyjętym układem i postacią zawartą w unormowaniach międzynarodowych, dla
jednoznacznego opisu właściwości.
Postacie charakterystyk dynamicznych dają wyobrażenie o właściwościach dynamicznych procesów,
definiują podstawowe parametry dynamiczne oraz mogą być wykorzystane jako metoda identyfikacji
właściwości procesów.
Charakterystyka statyczna  zależność między wielkością przyczynową (oś rzędnych) i skutkową (oś
odciętych) w stanie ustalonym. Charakterystyka statyczna określa liniowość procesu, zakresy wejść i wyjść,
współczynnik wzmocnienia statycznego oraz błąd nieliniowości i niejednoznaczności. W przypadku
przyrządów pomiarowych określa klasę przyrządu określoną na podstawie błędów nieliniowości i
niejednoznaczności.
Charakterystyki dynamiczne  czasowe i częstotliwościowe:
Charakterystyka czasowa przebieg sygnału wyjściowego, otrzymany w wyniku wprowadzenia wymuszenia
 typowego do procesu, który znajdował się w stanie ustalonym.  Typowe wymuszenia to: wymuszenie
impulsowe, wymuszenie skokowe, wymuszenie liniowo narastajÄ…ce, wymuszenie paraboliczne.
W przypadku charakterystyk częstotliwościowych wymuszenie ma postać sinusoidalną. Charakterystyka
czÄ™stotliwoÅ›ciowa może być przedstawiana jako przebieg moduÅ‚u 20 log(Ay/Ax) w funkcji log 5Øß oraz
przebieg fazy 5Øß w funkcji log 5Øß. Zbiór punktów tworzÄ…cych przebiegi modułów i fazy otrzymuje siÄ™ w
( ) ( )
wyniku wprowadzania wymuszeÅ„ 5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØeÜ sin 5Øß5ØaÜ i rejestracji 5ØfÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØfÜ sin(5Øß5ØaÜ + 5Øß) dla 5Øß = 5Øß5ØZÜ5ØVÜ5Ø[Ü ÷
5Øß5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ.
5Øß5ØZÜ5ØVÜ5Ø[Ü, 5Øß5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ  interesujÄ…cy badacza zakres czÄ™stoÅ›ci.
Metoda sporządzania charakterystyk częstotliwościowych przedstawiona została opisowo, w praktyce
korzysta siÄ™ z algorytmu FFT.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
4
Monitorowanie (ang. monitoring)  jest działaniem mającym na celu pokazywanie określonych zdarzeń
występujących w obserwowanym procesie (należy je zdefiniować, np. zakłócenia powodujące przesuwanie
charakterystyk jakości  np. zmiana wymiaru części obrabianych na maszynach CNC), w najprostszym
przypadku może sprowadzać się do rejestracji wielkości fizycznych, ważnych dla procesu. Tymi zdarzeniami
mogą być np. wartości graniczne niebezpieczne dla procesu. Układy monitorujące mogą być wyposażone w
urządzenia alarmowe i blokujące dalszy przebieg procesu. Takie rozwiązanie jest także nazywane
zabezpieczaniem (ang. protection).
Diagnostyka procesów  rozpoznawanie zmian stanów technicznych  zazwyczaj nie chodzi o dynamiczne
zmienne stanu procesu.
SCADA (ang.Supervisory Control and Data Acvnisition)  system informatyczny do monitorowania przebiegu
procesu  różnie rozumiane: rejestracja sygnałów lub działania obiektu a nazywane monitorowaniem stanu
obiektu (procesu).
DCS (ang. Distributed Control Systems)  system informacyjny do monitorowania i archiwizowania
zmiennych procesu, także sygnalizacji alarmów oraz wizualizacji przebiegu procesów.
Diagnozowanie  działanie związane z rozpoznawaniem stanu technicznego obiektu, którego celem jest
określenie aktualnego stanu (technicznego) obiektu.
Genezowanie  działanie rozpoznawania stanu technicznego obiektu związane z określaniem stanów
wcześniejszych.
Prognozowanie  określenie przyszłych wartości (modele matematyczne) lub przyszłych stanów obiektów
(modele diagnostyczne).
Nadzorowanie  rodzaj sterowania majÄ…cy na celu zapewnienie poprawnego przebiegu procesu.
Najczęściej dotyczy procesów częściowo zautomatyzowanych, w których operator ma podstawie wyników
monitorowania wprowadza działania korygujące do procesu.
2. Relacje w układzie
Ogólna zależność w układzie wielowymiarowym opisuje relacja:
( )
5ØmÜ 5ØšÜ, 5Ø™Ü, 5Ø™Ü , 5Ø
Ü, 5Ø›Ü, ", 5ØqÜ, 5Ø•Ü = 0.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
5
5ØmÜ  zależność macierzowa (wektorowa),
5ØšÜ  wektor wyjść (macierzowy),
5Ø™Ü  wektor stanu (wewnÄ™trzna zmienna opisu ukÅ‚adu, nie wystÄ™puje w opisie metodÄ… transmitancji),
5Ø
Ü  wektor sterowania (wejść),
5Ø›Ü  wektor zakłóceÅ„ (szumów),
" - parametry układu,
5ØqÜ  wskaz
nik jakości,
5Ø•Ü  czas.
z
y
x(t)
Obiekt
að
sterowanie
t
x, x
Rys.3. Schemat ilustrujący sterowanie i występujące relacje w układzie
W układzie jednowymiarowym (pierwszego rzędu) wektory stają się skalarami. Podstawowe relacje w
układzie przedstawia tablica.
z u x y J t
Problem 5ØüÞ
Transmitancja
Obserwowalność
Sterowanie
Niezmienniczość
Wrażliwość na
zmiany parametrów
Optymalizacja
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
6
3. Zadania syntezy sterowania
·ð OkreÅ›lenie obiektu, celu sterowania oraz jakoÅ›ci (technologicznej procesu) sterowania;
·ð Analiza istoty sterowanego procesu fizycznego i reprezentujÄ…cych ten proces wielkoÅ›ci
przyczynowych (wejść) 5Ø™Ü oraz skutkowych 5ØšÜ, definicja obiektu sterowania wraz z wyborem i
okreÅ›leniem jego: wielkoÅ›ci sterujÄ…cych 5Ø
Ü, sterowalnych 5ØšÜ, parametrów ", zakłóceÅ„ 5Ø›Ü ;
·ð Wyróżnienie (zaprojektowanie) części obiektu w postaci urzÄ…dzeÅ„, do których bÄ™dÄ… doprowadzane
wielkości sterujące i w wyniku czego będzie możliwe oddziaływanie na przebieg procesu fizycznego
będącego przedmiotem sterowania;
·ð Dobór urzÄ…dzeÅ„ pomiarowych niezbÄ™dnych do dostarczania informacji o wielkoÅ›ciach sterowanych
5ØšÜ oraz kompensowanych zakłóceniach 5Ø›Ü;
·ð OkreÅ›lenie wymaganych przebiegów zadanych 5ØfÜ0(5ØaÜ), które majÄ… być osiÄ…gniÄ™te w wyniku
sterowania;
·ð Opracowanie schematu obiegu informacji (wybór struktury sterowania) w rozpatrywanym ukÅ‚adzie
sterowania;
·ð Opracowanie algorytmu urzÄ…dzenia decyzyjnego, który ma generować wielkoÅ›ci sterujÄ…ce 5Ø
Ü;
·ð Wybór kryteriów jakoÅ›ci, przeprowadzenie analizy wrażliwoÅ›ci i niezmienniczoÅ›ci ukÅ‚adu sterowania,
dobór nastaw parametrów algorytmu sterowania;
·ð Dobór urzÄ…dzeÅ„ technicznych, za pomocÄ… których zostanie fizycznie zbudowane urzÄ…dzenie
decyzyjne, urządzenie generujące wartości zadane, urządzenie oddziaływujące na proces, urządzenie
przesyłające wielkości pomiarowe i sterujące (sygnały), ew. urządzenie monitorujące,
zabezpieczajÄ…ce i dokumentujÄ…ce przebieg sterowania;
·ð Zbudowanie ukÅ‚adu sterowania, wykonanie oprogramowania, uruchomienie, dostrajanie
parametrów algorytmu sterowania.
4. Opis matematyczny procesów
Dla potrzeb sterowania wiedza o procesie może być dana w sposób analityczny lub też graficzny  za
pomocą charakterystyk statycznych oraz dynamicznych (czasowych i częstotliwościowych).
Modele analityczne powinny mieć charakter makroskopowy,  oszczędny .  Oszczędność oznacza
liczbę zawartych w modelach parametrów, która nie powinna przekraczać 3 (max 4). Model bardziej
rozbudowany nie jest przydatny dla sterowania. Korzystniej jest stosować model  oszczędny oraz dostrajać
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
7
automatycznie przez układ sterowania jego parametry niż posługiwać się wieloma, najczęściej nie
określonymi bliżej parametrami.
Modele analityczne procesów liniowych mogą być przedstawione w sposób scharakteryzowany dalej.
1. Modele w postaci liniowych równań różniczkowych (wyrażonych w dziedzinie czasu) o parametrach
skupionych lub też ich odpowiedników w postaci równań różnicowych  patrz zależność (8) w przykładzie.
2. Modele w postaci równań stanu i wyjść w sposób (z czasem ciągłym lub dyskretnym):
5Ø™Ü ( ) ( )
5Ø•Ü = 5ØhÜ5Ø™Ü 5ØaÜ + 5ØiÜ5Ø
Ü(5ØaÜ),
( ) ( )
5ØšÜ 5ØaÜ = 5ØjÜ5Ø™Ü 5ØaÜ + 5ØkÜ5Ø
Ü(5ØaÜ),
gdzie:
5Ø™Ü(5ØaÜ)  wektor stanu,
5Ø
Ü(5ØaÜ)  wektor wejść,
5ØšÜ(5ØaÜ)  wektor wyjść,
( )
5ØhÜ  macierz procesu o wymiarze 5Ø[Ü 5ØeÜ 5Ø[Ü ,
5ØiÜ  macierz sterowania (wejść) o wymiarze (5Ø[Ü 5ØeÜ 5Ø]Ü),
5ØjÜ  macierz odpowiedzi (wyjść) o wymiarze (5Ø^Ü 5ØeÜ 5Ø[Ü),
5ØkÜ  macierz o wymiarze (5Ø^Ü 5ØeÜ 5Ø]Ü).
Równania stanu można otrzymać posługując się podczas opisu procesu równaniami różniczkowymi
pierwszego rzędu.
Przykład 1
Proces  zbiornik z cieczą wypływającą swobodnie
u(t)
zmiana poziomu
x(t)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
8
5ØQÜ
Ze schematu wynika, że zmiana poziomu 5ØQÜ5ØaÜ 5ØeÜ(5ØaÜ) jest funkcjÄ… poÅ‚ożenia poziomu 5ØeÜ(5ØaÜ) oraz dopÅ‚ywu
5ØbÜ(5ØaÜ) i czasu 5ØaÜ.
5ØQÜ
( ) ( ) ( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5ØSÜ (5ØeÜ 5ØaÜ , 5ØbÜ 5ØaÜ ). (1)
5ØQÜ5ØaÜ
Dla maÅ‚ych odchyleÅ„ sygnałów 5ØbÜ(5ØaÜ) i 5ØeÜ(5ØaÜ) od stanu równowagi otrzyma siÄ™ zależność
zlinearyzowanÄ…:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5ØSÜ (5ØeÜ 5ØaÜ , 5ØbÜ 5ØaÜ ) H" 5Ø4Ü 5ØaÜ 5ØeÜ 5ØaÜ + 5Ø5Ü 5ØaÜ 5ØbÜ (5ØaÜ) (2)
gdzie:
5Øß 5ØSÜ (5ØeÜ15ØbÜ15ØaÜ) 5Øß 5ØaÜ (5ØeÜ15ØbÜ15ØaÜ)
( ) ( )
5Ø4Ü 5ØaÜ = | 5Ø5Ü 5ØaÜ = | . (3)
5Øß5ØeÜ 5Øß5ØbÜ
5ØbÜ=0, 5ØeÜ=0 5ØbÜ=0, 5ØeÜ=0
Daje to:
5ØQÜ
( ) ( ) ( ) ( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü 5ØaÜ 5ØeÜ 5ØaÜ + 5Ø5Ü 5ØaÜ 5ØbÜ(5ØaÜ). (4)
5ØQÜ5ØaÜ
Jeżeli A i B są stałymi, to zależność (4) przyjmuje postać:
5ØQÜ
( ) ( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØeÜ 5ØaÜ + 5Ø5Ü5ØbÜ(5ØaÜ). (5)
5ØQÜ5ØaÜ
Jest to równanie liniowe, stacjonarne układu pierwszego rzędu. W zależności od pojedynczej
( )
zmiennej stanu 5ØeÜ(5ØaÜ) i wejÅ›cia ukÅ‚adu 5ØbÜ 5ØaÜ , postać kanoniczna rozpatrywanego równania
przedstawiona jest w sposób:
5ØQÜ
( ) ( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5ØNÜ 5ØeÜ 5ØaÜ + 5ØOÜ 5ØbÜ(5ØaÜ). (6)
5ØQÜ5ØaÜ
Odpowiedz
ukÅ‚adu jest funkcjÄ… liniowÄ… zmiennych 5ØeÜ(5ØaÜ) i 5ØbÜ(5ØaÜ)
( ) ( )
5ØfÜ 5ØaÜ = 5ØPÜ 5ØeÜ 5ØaÜ + 5ØQÜ 5ØbÜ(5ØaÜ), (7)
5ØNÜ, 5ØOÜ, 5ØPÜ, 5ØQÜ  sÄ… staÅ‚ymi współczynnikami.
Równania różniczkowe ze zmiennÄ… 5ØfÜ(5ØaÜ) można otrzymać przez wyeliminowanie 5ØeÜ(5ØaÜ) z równaÅ„ (6)
i (7):
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
9
5ØQÜ 5ØQÜ
( ) ( ) ( ) ( )
5ØfÜ 5ØaÜ = 5ØNÜ5ØfÜ 5ØaÜ + 5ØQÜ 5ØbÜ 5ØaÜ + 5ØOÜ5ØPÜ - 5ØNÜ5ØQÜ 5ØbÜ(5ØaÜ). (8)
5ØQÜ5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ
Dla powiÄ…zania wejÅ›cia 5ØbÜ(5ØaÜ) z wyjÅ›ciem 5ØfÜ(5ØaÜ) należy ustalić trzy niezależne wielkoÅ›ci: 5ØNÜ, 5ØQÜ i
(5ØOÜ5ØPÜ - 5ØNÜ5ØQÜ). Dla danej zależnoÅ›ci ustalony jest jedynie iloczyn 5ØOÜ5ØPÜ. ZmiennÄ… stanu ukÅ‚adu wyznacza siÄ™
przez przyjÄ™cie 5ØOÜ lub 5ØPÜ. Podobny wynik otrzyma siÄ™ dla ukÅ‚adu wielowymiarowego.
Przykład 2
Proces  dwa zbiorniki poÅ‚Ä…czone ze sobÄ… (5ØPÜ1, 5ØPÜ2  pow. przekrojów poprzecznych zbiorników 1 i 2).
Q0(t)
C1
C2
h1
R1 h2 R2
Q1 Q2
Z równania ciągłości przepływów w zależności od poziomów cieczy !1 i !2 wynika:
!1-!2
( )
5ØPÜ1 5ØQÜ!1 = - + 5ØDÜ0 5ØaÜ
5ØQÜ5ØaÜ 5ØEÜ1
}. (9)
!1-!2 !2
5ØPÜ2 5ØQÜ!2 = -
5ØQÜ5ØaÜ 5ØEÜ2 5ØEÜ2
Po uporzÄ…dkowaniu (9) otrzyma siÄ™:
5ØQÜ 1 1 1
( )
!1 = - !1 + !2 + 5ØDÜ0 5ØaÜ
5ØQÜ5ØaÜ 5ØEÜ15ØPÜ1 5ØEÜ1`5ØPÜ1 5ØPÜ1
} (10)
5ØQÜ 1 1
!2 = - !2 + (5ØEÜ 1 + ) !2
5ØQÜ5ØaÜ 5ØEÜ25ØPÜ2 5ØPÜ2 5ØEÜ25ØPÜ1
1`
( )
5Ø™Ü 5ØaÜ = [!1].
!2
1 1
1 1
-
5ØEÜ15ØPÜ1 5ØEÜ15ØPÜ1 ].
5ØhÜ = [ ] 5ØjÜ = [5ØEÜ - 5ØEÜ1
1
1
-(5ØEÜ 1 + 1/5ØEÜ25ØPÜ1)
5ØkÜ = 0
5ØEÜ15ØPÜ2 5ØPÜ2
1
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
10
( )
5ØiÜ = [1/5ØPÜ1] 5ØbÜ 5ØaÜ = 5ØDÜ0(5ØaÜ).
0
Typowa postać macierzowa dla danego procesu jest wyrażona w sposób:
1
5ØDÜ1 = [5ØEÜ , - 1/5ØEÜ1 ] [!1] + 0 5ØDÜ0(5ØaÜ) .
!2
1
3. Modele w postaci równań operatorowych, o otrzymanych z równań różniczkowych lub równań
stanu w wyniku przeksztaÅ‚cenia Laplace a, Fouriera lub 5ØMÜ (dotyczy również różnicowych)  metoda
transmitancji operatorowej.
Podane przekształcenia operatorowe  zamieniają oryginały funkcji z dziedziny czasu  t w
transformaty zmiennej zespolonej  s ; równania różniczkowe stają się łatwymi do obliczeń
równaniami algebraicznymi.
Przekształcenie Laplace a (jednostronne):
+"
( ) ( )
5ØKÜ 5Ø`Ü = +" 5ØeÜ 5ØaÜ 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ5ØQÜ5ØaÜ
0
5ØeÜ(5ØaÜ)  oryginaÅ‚ funkcji,
5ØKÜ(5Ø`Ü)  transformata ! (dalej oznaczenie 5ØKÜ5Ø?Ü(5Ø`Ü),
5Ø`Ü = 5Øß + 5ØWÜ5Øß,
5Øß  część rzeczywista,
5ØWÜ5Øß  część urojona (5ØWÜ = 5Øß  pulsacja, czÄ™stość [1]).
"-1,
5Ø`Ü
Odwrotne przekształcenie Laplace a:
1
[ ( )]
!-1 5ØeÜ 5Ø`Ü = .
2 5Øß
Dla zbioru sygnałów stosowanych w automatyce 5Øß = 0 i można przyjąć 5Ø`Ü = 5ØWÜ5Øß, wobec czego
transformaty Laplace a i Fouriera są ze sobą wzajemnie związane zależnościami:
( )
5ØKÜ5Ø?Ü 5Ø`Ü = 5ØKÜ5Ø9Ü(5ØWÜ5Øß)
|
5Ø`Ü
5Øß =
5ØWÜ
( )
5ØKÜ5Ø9Ü 5Øß = 5ØKÜ5Ø?Ü(5Ø`Ü)
|
5Ø`Ü = 5ØWÜ5Øß
{ }
Transformata 5ØMÜ ciÄ…gu 5ØeÜ5Ø[Ü
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
11
"
( ) | |
5ØKÜ5ØMÜ 5ØgÜ = " 5ØeÜ5Ø[Ü5ØgÜ-5Ø[Ü 5ØgÜ e" 5Øß5Ø[Ü
5Ø[Ü=0
1 25Øß
5ØKÜ5Ø[Ü = 5ØKÜ2(5ØgÜ5Ø[Ü) 5ØQÜ5Øß dla 5Øß5Øß›.
+"0
2 5Øß5ØWÜ
4. Modele losowe wyrażone za pomocą liniowych (nieliniowych) zależności parametrycznych
(o parametrach jawnych) wyznaczonych z sygnałów losowych.
Najczęściej w tej grupie rozpatruje się modele dyskretne jednowymiarowe. Są to modele:
AR  auto-regresyjne z zakłóceniem niemierzalnym w postaci białego szumu,
ARX  auto-regresyjne w postaci szumu kolorowego,
MA (FIR)  średniej ruchomej z zakłóceniem niemierzalnym w postaci białego szumu,
MAX - średniej ruchomej z zakłóceniem niemierzalnym w postaci szumu kolorowego,
ARMA  połączone AR i MA,
ARMAX - połączone AR i MA z kolorowym szumem.
Modele wielowymiarowe - MISO o strukturze ARMAX.
Modele nieliniowe NARMA  o strukturze ARMAX z uwzględnieniem czynników w postaci funkcji
wielowymiarowych drugiego i trzeciego stopnia.
5. Modele parametryzowane za pomocą zbiorów rozmytych. Zbiory rozmyte określają sposób
podziału zakresu zmienności wybranej wielkości fizycznej na obszary określone lingwistycznie (np.
zimno, chłodno, letnio, ciepło, gorąco). Granice przedziałów są ustalone nieostro (w sposób
rozmyty) z wykorzystaniem tzw. funkcji przynależności.
6. Modele w formie sztucznych sieci neuronowych (SSN). SÄ… to modele parametryczne,
teoretycznie o nieskończonej liczbie parametrów, które nie są jawnie wyrażone. Wartości
parametrów są ustalone podczas uczenia sieci. W pewnym sensie są podobne do modeli z pkt.4. 
tamte były modelami  oszczędnymi w sensie liczby parametrów występujących jawnie.
5. Opis graficzny procesów
Na opis graficzny składają się charakterystyki:
a) statyczne,
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
12
b) dynamiczne czasowe i częstotliwościowe.
Charakterystyki wyznacza siÄ™ eksperymentalnie. Dla pokazania zwiÄ…zku wyniku otrzymanego
z eksperymentu z zależnościami, dla potrzeb dydaktycznych i wykazania ścisłego związku a także
podstaw teoretycznych, przedstawia się również sposób wyznaczania charakterystyk z opisów
analitycznych.
5.1. Charakterystyka statyczna
(lub charakterystyki statyczne dla procesu wielowymiarowego) określa zależność w stanie
ustalonym sygnaÅ‚u 5ØeÜ od sygnaÅ‚u 5ØfÜ  patrz rys.1.
y
yk
charakterystyka
teoretyczna
charakterystyka
rzeczywista
yp
x
xp
xk
Rys.5.1 PoglÄ…dowy przebieg charakterystyki statycznej
W ogólnym przypadku dowolny liniowy proces o parametrach skupionych opisuje równanie o
postaci:
5ØZÜ 5ØZÜ-1
5Ø[Ü 5Ø[Ü-1
5ØQÜ5ØfÜ 5ØQÜ5ØfÜ 5ØQÜ5ØfÜ
5ØQÜ5ØeÜ 5ØQÜ5ØeÜ 5ØQÜ5ØeÜ
5ØNÜ5Ø[Ü 5ØQÜ5ØaÜ5Ø[Ü + 5ØNÜ5Ø[Ü-1 5ØQÜ5ØaÜ5Ø[Ü-1 + ï" + 5ØNÜ1 5ØQÜ5ØaÜ + 5ØNÜ05ØeÜ = 5ØOÜ5ØZÜ 5ØQÜ5ØaÜ5ØZÜ + 5ØOÜ5ØZÜ-1 5ØQÜ5ØaÜ5ØZÜ-1 + ï" + 5ØOÜ1 5ØQÜ5ØaÜ + 5ØOÜ05ØfÜ (5.1)
Dla zależnoÅ›ci statycznej 5ØaÜ ", 5ØQÜ/5ØQÜ5ØaÜ 0 z zależnoÅ›ci (5.1) otrzyma siÄ™:
5ØNÜ05ØeÜ = 5ØOÜ05ØfÜ,
5ØNÜ5Ø\Ü
5ØfÜ = 5ØeÜ,
5ØOÜ0
5ØfÜ = 5ØXÜ5ØeÜ. (5.2)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
13
5ØNÜ0
5ØXÜ = - wsp. wzmocnienia statycznego (parametr procesu).
5ØOÜ0
PrzeksztaÅ‚cenie 5Ø?Ü (Laplace a) dla znanych warunków poczÄ…tkowych (ukÅ‚ad znajduje siÄ™ w stanie
równowagi) wyniesie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü5ØKÜ 5Ø`Ü + 5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-15ØKÜ 5Ø`Ü + ï" + 5ØNÜ15Ø`Ü 5ØKÜ 5Ø`Ü + 5ØNÜ0 5ØKÜ 5Ø`Ü = 5ØOÜ5ØZÜ5Ø`Ü5ØZÜ 5ØLÜ 5Ø`Ü + 5ØOÜ5ØZÜ-15Ø`Ü5ØZÜ-15ØLÜ 5Ø`Ü + ï" +
( ) ( )
5ØOÜ15Ø`Ü 5ØLÜ 5Ø`Ü + ï" + 5ØOÜ15Ø`Ü 5ØLÜ 5Ø`Ü + 5ØOÜ05ØLÜ (5Ø`Ü)
( )[ ] ( )
5ØKÜ 5Ø`Ü 5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü + 5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-1 + ï" + 5ØNÜ15Ø`Ü + 5ØNÜ0 = 5ØLÜ 5Ø`Ü [5ØOÜ5ØZÜ5Ø`Ü5ØZÜ + 5ØOÜ5ØZÜ-15Ø`Ü5ØZÜ-1 + ï" + 5ØOÜ15Ø`Ü + 5ØOÜ0
5ØLÜ(5Ø`Ü) 5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü+5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-1+ï"+5ØNÜ15Ø`Ü+5ØNÜ0
( )
= 5Ø:Ü 5Ø`Ü = (5.3)
5ØKÜ(5Ø`Ü) 5ØOÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5ØZÜ+5ØOÜ5ØZÜ-15Ø`Ü5ØZÜ-1+ï"+5ØOÜ15Ø`Ü+5ØOÜ0
5Ø:Ü(5Ø`Ü)  transmitancja operatorowa opisujÄ…ca ogólnÄ… postać procesu  jest to jedna z postaci
kanonicznych transmitancji.
Z podanych zapisów wynika: transmitancja operatorowa układu  jest to stosunek
( ) ( ) ( )
transformaty sygnaÅ‚u wyjÅ›ciowego 5ØLÜ 5Ø`Ü = 5Ø?Ü [5ØfÜ 5ØaÜ ] do transformaty sygnaÅ‚u wejÅ›ciowego 5ØKÜ 5Ø`Ü =
( )
5Ø?Ü[5ØeÜ 5ØaÜ ], przy czym transformaty zostaÅ‚y obliczone dla znanych warunków poczÄ…tkowych.
Obliczanie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej
z (5.3) wynika:
5ØLÜ(5Ø`Ü)
( )
5Ø:Ü 5Ø`Ü = .
5ØKÜ(5Ø`Ü)
( ) ( )
Wobec czego odpowiedz
ukÅ‚adu 5ØLÜ 5Ø`Ü = 5ØKÜ 5Ø`Ü " 5Ø:Ü(5Ø`Ü).
Z twierdzenia o wartości końcowej (patrz przekształcenie Laplace'a) wynika, że wartość statyczna
5ØfÜ5Ø`Ü5ØaÜ sygnaÅ‚u wyjÅ›ciowego 5ØfÜ(5ØaÜ) wynosi:
( ) ( )
5ØfÜ5Ø`Ü5ØaÜ = lim 5ØfÜ 5ØaÜ = lim 5Ø`Ü " 5ØLÜ 5Ø`Ü .
5ØaÜ" 5Ø`Ü"
( )
PodstawiajÄ…c za 5ØLÜ 5Ø`Ü podanÄ… wyżej zależność wynikajÄ…cÄ… z transmitancji operatorowej otrzyma
siÄ™:
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
14
( )
5ØfÜ5Ø`Ü5ØaÜ = lim 5Ø`Ü " 5ØKÜ 5Ø`Ü " 5Ø:Ü(5Ø`Ü).
5Ø`Ü0
Dla obliczenia y należy przyjąć określone wymuszenie X(s).
st
Niech 5ØeÜ(5ØaÜ) zmienia siÄ™ skokowo o wartość 5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ tj.
( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ " 1(5ØaÜ),
5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ
( )
5ØKÜ 5Ø`Ü = ,
5Ø`Ü
otrzyma siÄ™:
5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ
5ØfÜ5Ø`Ü5ØaÜ = lim 5Ø`Ü " 5Ø:Ü(5Ø`Ü)| : 5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ ,
5Ø`Ü
5Ø`Ü0
5ØfÜ5Ø`Ü5ØaÜ
|5Ø`Ü=0
= 5Ø:Ü(5Ø`Ü) .
5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ
Po podstawieniu za (5.3) otrzyma siÄ™
5ØfÜ5Ø`Ü5ØaÜ 5ØNÜ0
= ,
5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ 5ØOÜ0
5ØNÜ0
5ØfÜ5Ø`Ü5ØaÜ = " 5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ = 5ØXÜ " 5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ.
5ØOÜ0
Oznaczenia 5ØeÜ5Ø`Ü5ØaÜ i 5ØfÜ5Ø`Ü5ØaÜ wprowadzono dla wyraz
nego zaznaczenia wartości statycznych.
t
W podobny sposób można bardzo łatwo wyznaczyć dowolną zależność statyczną między wybranymi
sygnałami w układzie po określeniu stosownej transmitancji operatorowej wiążącej rozpatrywane
sygnały.
5.2. Charakterystyki dynamiczne czasowe
Jeżeli dowolny proces lub układ sterowania znajduje się w stanie równowagi i na jego wejście
wprowadzi się jedno z wymuszeń podanych niżej w tablicy A nazywanych typowym, to uzyskany
przebieg sygnału wyjściowego tego procesu (układu) nazywa się charakterystyką dynamiczną
czasową. Jeżeli wymuszenie miało przebieg zgodny z funkcją impulsową, to otrzymana
charakterystyka dynamiczna czasowa nazywana jest odpowiednio impulsowÄ….
W praktyce najczęściej stosuje się charakterystyki skokowe. Charakterystyki impulsowe w
wielu przypadkach sÄ… trudne do technicznego wykonania, majÄ… bardziej znaczenie teoretyczne i mogÄ…
być wyznaczone graficznie z charakterystyk skokowych. Wyjątek stanowi zdejmowanie
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
15
charakterystyk impulsowych dla układów mechanicznych np. obracające się (lub nieruchome)
wrzeciono obrabiarki. Wówczas wymuszenie impulsowe można zrealizować przez lekkie uderzenie
elementem metalowym we wrzeciono. Poszukiwaną odpowiedzią są najczęściej drgania rejestrowane
przez przetwornik przyspieszeń umieszczony na obudowie wrzeciona.
Wymuszenia liniowo- lub parabolicznie narastajÄ…ce stosuje siÄ™ m. innymi do: identyfikacji
właściwości dynamicznych procesów, testów (np. test toksyczności spalin w silnikach spalinowych)
tworzenia funkcji sklejających opisujących wartości zadane w sterowaniu lub do modelowania
średnich wartości zakłóceń.
Tablica A. Typowe wymuszenia
Lp Nazwa Oryginał Transformata Schemat
funkcji f(t) F(s)
1 Impuls jednostkowy 5ØÿÞ(5ØaÜ) 1
f(t)
(Diraca)
t
Dðt=0
1
2 Skok jednostkowy 1(t)
f(t)
5Ø`Ü
1(t)
t
5ØNÜ
3 Wymuszenie at
f(t)
liniowo narastajÄ…ce 5Ø`Ü2
a
t
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
16
5ØNÜ
1
4 Wymuszenie
f(t)
5ØNÜ5ØaÜ2
paraboliczne 5Ø`Ü3
2
1
a
2
t
Obliczanie odpowiedzi układu
Z definicji charakterystyki dynamicznej czasowej wynika, że jest to odpowiedz
układu,
otrzymana dla zerowych warunków początkowych na jedno z wymuszeń przedstawionych w tablicy
A. Określenie "obliczanie odpowiedzi układu" nawiązuje do sensu fizycznego zadania
matematycznego, które jest nazywane rozwiązaniem równania różniczkowego dla określonych
warunków początkowych. Te ogólnie określone "warunki początkowe" definiowały zarówno
początkowy stan równowagi układu jak i funkcję opisującą wymuszenie. Obliczanie odpowiedzi
układu (może to być dowolny przypadek z dowolnymi warunkami początkowymi lub
charakterystyka dynamiczna czasowa) z transmitancji operatorowej przedstawia się następująco:
( )
5ØLÜ 5Ø`Ü = 5ØKÜ(5Ø`Ü) " 5Ø:Ü(5Ø`Ü).
Dla konkretnych obliczeń należy znać:
·ð warunki poczÄ…tkowe ukÅ‚adu
( )(0+)
5Ø[Ü
( ) ( )
5ØeÜ 0+ , 5ØeÜ 0+ , ï" ,
5ØeÜ
·ð równanie opisujÄ…ce wymuszenie,
( )
·ð 5ØeÜ 5ØaÜ  dane,
( )
·ð postać transmitancji operatorowej 5Ø:Ü 5Ø`Ü .
Dla przypadku ogólnego, który np. dotyczy charakterystyki impulsowej układu otrzymuje się:
( ) ( )
5ØeÜ 0+ = 0, 5ØeÜ 5ØaÜ = 5ØÿÞ(5ØaÜ)
( ) ( )
5ØeÜ 0+ = 0, 5ØKÜ 5Ø`Ü = 1
î"
( )
5Ø[Ü
( )
0+ = 0.
5ØKÜ
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
17
5ØNÜ5Ø[Ü5Ø`Ü5Ø[Ü+5ØNÜ5Ø[Ü-15Ø`Ü5Ø[Ü-1+ï"5ØNÜ15Ø`Ü+5ØNÜ0 5Ø?Ü(5Ø`Ü)
( )
5ØLÜ 5Ø`Ü = 5ØOÜ5ØZÜ5Ø`Ü5ØZÜ+5ØOÜ5ØZÜ-15Ø`Ü5ØZÜ-1+ï"5ØOÜ15Ø`Ü+5ØOÜ0 = , 5ØZÜ > 5Ø[Ü
5Ø@Ü(5Ø`Ü)
gdzie:
( )
5Ø?Ü(5Ø`Ü)- licznik transmitancji operatorowej ukÅ‚adu 5Ø:Ü 5Ø`Ü ,
( )
5Ø@Ü(5Ø`Ü)- mianownik transmitancji operatorowej 5Ø:Ü 5Ø`Ü ,
( )
5Ø@Ü 5Ø`Ü = 0- równanie charakterystyczne rozpatrywanego ukÅ‚adu rzÄ™du  m .
( )
Ponieważ równanie 5Ø@Ü 5Ø`Ü = 0 jest  m -tego rzÄ™du, to posiada m wartoÅ›ci wÅ‚asnych
(pierwiastków. WartoÅ›ci wÅ‚asne 5Ø`Ü1, 5Ø`Ü2, & , 5Ø`Ü5ØZÜ równania charakterystycznego ukÅ‚adu opisanego przez
( )
transmitancjÄ™ operatorowÄ… 5Ø:Ü 5Ø`Ü nazywajÄ… siÄ™ biegunami.
( )
Licznik 5Ø?Ü(5Ø`Ü) transmitancji operatorowej 5Ø:Ü 5Ø`Ü przyrównamy do zera:
( )
5Ø?Ü 5Ø`Ü = 0,
posiada rzÄ…d  n (m>n). WartoÅ›ci wÅ‚asne 5ØgÜ1, 5ØgÜ2, & , 5ØgÜ5Ø[Ü tak utworzonego równania nazywajÄ… siÄ™
zerami transmitancji operatorowej. Bieguny 5Ø`Ü1, 5Ø`Ü2, & , 5Ø`Ü5Ø[Ü oraz zera 5ØgÜ1, 5ØgÜ2, & , 5ØgÜ5Ø[Ü transmitancji
operatorowej mogą posiadać różne kombinacje wartości: mogą to być wartości pojedyncze i
wielokrotne, rzeczywiste lub zespolone (zespolone występują parami jako sprężone ze sobą). Dla
przejrzystości wygodnie jest zarówno bieguny jak i zera transmitancji operatorowej przedstawić
graficznie na płaszczyz
nie zespolonej.
Zgodnie z przedstawionym opisem, ogólną zależność obliczanej odpowiedzi impulsowej
układu można przedstawić w sposób zawierający postać kanoniczną transmitancji operatorowej
G(s) następująco:
(1+5ØGÜ5ØWÜ5Ø`Ü) [1+25Ø ß5ØWÜ(5ØGÜ5ØWÜ5Ø`Ü)+(5ØGÜ5ØWÜ5Ø`Ü)2]
( )
5ØLÜ 5Ø`Ü = 1 " 5ØXÜ ,
( ) [ ( ) ]
5ØFÜ5ØAÜ+  1+5ØGÜ5ØVÜ5Ø`Ü  1+25Ø ß5ØVÜ 5ØGÜ5ØVÜ5Ø`Ü +(5ØGÜ5ØVÜ5Ø`Ü)2
gdzie:
k - wzmocnienie statyczne układu,
5ØGÜ5ØVÜ, 5ØGÜ5ØWÜ - sÄ… to staÅ‚e czasowe,
5Ø ß5ØVÜ, 5Ø ß5ØWÜ - współczynniki tÅ‚umienia (5Ø ß < 1),
N - liczba biegunów w początku układu współrzędnych (si=0),
1D 5ØgÜ
5ØGÜ5ØWÜ = - dla n' zer rzeczywistych,
5ØWÜ
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
18
1D 5Ø`Ü
5ØGÜ5ØVÜ = - dla m' biegunów rzeczywistych,
5ØVÜ
1
5ØGÜ5ØWÜ2 = 1(5ØüÞ5ØWÜ2 + 5ØżÞ5ØWÜ2) = dla n-n' zer zespolonych sprzężonych,
5Øß5ØWÜ2
1
5ØGÜ5ØVÜ2 = 1(5ØüÞ5ØVÜ2 + 5ØżÞ5ØVÜ2) = dla m-m' biegunów zespolonych sprzężonych,
5Øß5ØVÜ2
n
1 Tj
D 5ØZÜ
5ØXÜ = 5Ø>Ü (
Ti),
1
5ØNÜ5ØWÜ
5Ø ß5ØWÜ = dla n-n' zer zespolonych sprzężonych,
D
"
5ØüÞ5ØWÜ2 + 5ØżÞ5ØWÜ2
5ØNÜ5ØVÜ
5Ø ß5ØVÜ = dla m-m' biegunów zespolonych sprzężonych,
D
"5ØüÞ5ØVÜ2 + 5ØżÞ5ØVÜ2
Kształt odpowiedzi impulsowej y(t) układu zależy od położenia wartości własnych
(biegunów) na płaszczyz
nie zespolonej.
Każda "para" wartości własnych zespolonych sprzężonych daje w wyniku jedną odpowiedz

impulsowÄ… oscylacyjnÄ… (dalej zostanÄ… przedstawione stosowe obliczenia ilustrujÄ…ce to), narysowanÄ…
dwukrotnie na rys. B - przy każdym punkcie oddzielnie.
Jeżeli rozważamy pierwiastek (biegun) pojawia się w równaniu charakterystycznym z
krotnością k, to wówczas należy pomnożyć odpowiedzi przez (tk/k!).
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
19
Im=wð
PÅ‚aszczyzna
s=sð+ðjwð
wð
n
A
Re=sð
-ð1ð
O
cos zð =ðQð
Rys.B Odpowiedzi impulsowe układu w zależności od położenia pierwiastka (bieguna) na
płaszczyz
nie zespolonej s
Przykładowo, dla pary pierwiastków (biegunów) zespolonych sprzężonych (byłby to układ
II rzÄ™du, tj. m=2) poÅ‚ożonych w punktach P i P' na rys. B, majÄ…cych część rzeczywistÄ… -5ØüÞ = -5Ø ß5Øß5Ø[Ü
i część urojonÄ… Ä…5ØÅ¼Þ = 5Øß5Ø[Ü"1 - 5Ø ß2. PrzeciwprostokÄ…tna OP trójkÄ…ta OAP równa siÄ™ 5Øß5Ø[Ü - tzn.
nietłumionej części własnej odpowiedzi. Kąt AOP jest dany jako
Åš = -5ØNÜ5Ø_Ü5ØPÜ cos 5Ø ß.
Wnioski wynikajÄ…ce z rys. B
1. Wszystkie wartości własne o dowolnej krotności, leżące w lewej półpłaszczyz
nie, prowadzÄ… do
odpowiedzi, które zanikają w czasie. Im dalej od osi urojonej leżą one w lewej półpłaszczyz
nie, tym
szybciej zanikają odpowiedzi. Stała czasowa odpowiedzi, lub obwiedni odpowiedzi, równa się
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
20
odwrotności części rzeczywistej wartości własnej ze znakiem ujemnym. Zatem wszystkie wartości
własne leżące wzdłuż danej prostej do osi rzeczywistej mają tę samą stałą czasową.
2. Wszystkie wartości własne pojedyncze, leżące na osi urojonej, prowadzą do odpowiedzi o stałej
amplitudzie (tj. na granicy stabilności). Dla krotności większej niż jeden odpowiedz
rośnie z czasem
i nie jest stabilna.
3. Wszystkie wartości własne w prawej półpłaszczyz
nie prowadzÄ… do odpowiedzi nieograniczonej i
wskazują zatem na to, że rozpatrywane układy są niestabilne.
4. Wszystkie wartości własne leżące wzdłuż tej samej linii poziomej mają taką samą częstość
oscylacji tÅ‚umionych 5ØÅ¼Þ = 5Øß5Ø[Ü"1 - 5Ø ß2, pojawiajÄ… siÄ™ w odpowiedzi. Im dalej od osi rzeczywistej leżą
wartości własne, tym większe są częstotliwości odpowiedzi.
5. Wszystkie wartości własne leżące wzdłuż tego samego promienia wychodzącego z początku
układu współrzędnych mają ten sam współczynnik tłumienia. Wszystkie takie wartości własne będą
zatem wskazywać na to, że stosunek dwu kolejnych amplitud odpowiedzi oscylacyjnej jest stały. Z
drugiej strony wszystkie takie wartości własne będą dawać w wyniku tę samą całkowitą liczbę
oscylacji zanim odpowiedz
wygaśnie.
6. W przypadku układu wyższego rzędu można stosować superpozycję i odpowiedz
impulsowa
równa się wtedy sumie poszczególnych odpowiedzi zaznaczonych na rys. B. Aby móc powiedzieć,
że układ ma dominującą odpowiedz
drugiego rzędu, rozmieszczenie wartości własnych musi być
następująca: dwie wartości własne zespolone sprzężone muszą leżeć stosunkowo blisko osi urojonej,
podczas gdy wszystkie pozostałe muszą leżeć daleko w lewej półpłaszczyz
nie. Im dalsza jest ta
separacja, tym lepsza jest aproksymacja odpowiedzi układu przez dominującą odpowiedz
drugiego
rzędu.
Z przedstawionej analizy wynika, że jest możliwe przewidywanie przemieszczania się
wartości własnych układu w funkcji głównych parametrów. Określone położenie wartości własnych
układu, to ściśle odpowiadający temu przebieg czasowy odpowiedzi układu, z którego wynikają
określone wskaz
niki jakości. Na tej podstawie powstała graficzna metoda konstruowania wykresu
miejsc geometrycznych wartości własnych układu (metoda projektowania układu) opracowana przez
W.R. Evansa [Evans, W.R. Control System Dynamics. New York: McGraw-Hill, 1953].
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2014/2015
21