1. Pojęcia podstawowe
1.1. Stosowane pojęcia
Proces  dowolne zjawisko fizyczne, w którym zostaÅ‚y wyróżnione wielkoÅ›ci przyczynowe 5ØeÜ (5ØaÜ) oraz
skutkowe 5ØfÜ (5ØaÜ)  rys.1.1.
y(t)
x(t)
PROCES
(układ, obiekt sterowania itp.)
Rys.1.1. Ogólny schemat procesu
5Ø™Ü (5ØaÜ)  wektor wielkoÅ›ci przyczynowych: wejść; wejÅ›ciowych wymuszeÅ„; sygnałów.
5ØšÜ (5ØaÜ)  wektor wielkoÅ›ci skutkowych: wyjść, sygnałów wyjÅ›ciowych, odpowiedzi.
Sygnał (wejściowy, wyjściowy, zakłócający)  nośnik informacji zawarty w przebiegu dowolnej wielkości
fizycznej (wszelkie zjawiska zmienne w czasie), np. temperatura, ciśnienie, wydatek, napięcie, prąd,
itd.; sygnał może mieć charakter naturalny wynikający ze zmian obserwowanej wielkości fizycznej lub
też może być wygenerowany wg określonego standardu przez stosowne urządzenia elektroniczne i
może to być np. napięcie o modulowanej częstotliwości, amplitudzie, fala radiowa, itd.
Sygnał ciągły (analogowy)  rozumiany w sensie ciągłości czasu.
Sygnał dyskretny (cyfrowy)  określony na przeliczalnym zbiorze wartości czasu.
Model procesu matematyczny  zwiÄ…zek 5ØeÜ (5ØaÜ) i 5ØfÜ (5ØaÜ) opisujÄ…cy w czasie rozpatrywany proces.
Model matematyczny makroskopowy  odzwierciedlajÄ…cy jedynie zjawiska zasadnicze.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
1
Model matematyczny mikroskopowy  model o dużej liczbie równań, szczegółowy, wyjaśniający przez
fizyków określone zjawisko.
Teoria identyfikacji  naukowa metoda konstruowania modeli.
Informacja  wiedza o procesie, może być dana w sposób analityczny lub graficznie za pomocą
charakterystyk statycznych i dynamicznych. Informacja dzieli siÄ™ na poczÄ…tkowÄ… (znanÄ… na etapie
syntezy układu sterowania) i roboczą (pozyskiwaną przez układ sterowania podczas jego
funkcjonowania).
Parametr fizyczny  miara okreÅ›lajÄ…ca okreÅ›lonÄ… wÅ‚aÅ›ciwość fizycznÄ…, np. ilość materii  masa 5ØZÜ,
sztywność 5ØXÜ, opór 5ØPÜ, & .
Parametr dynamiczny  miara utworzona z parametrów fizycznych, określająca właściwości
dynamiczne procesu, wyróżniane na przebiegach czasowych, charakterystykach częstotliwościowych,
np. nietÅ‚umiona czÄ™stość drgaÅ„ wÅ‚asnych 5Øß5Ø\Ü = 5ØXÜ/5ØZÜ, wzglÄ™dny wsp. tÅ‚umienia 5Ø ß = 0.5 5ØPÜ 5ØZÜ5ØXÜ , staÅ‚a
" "
5ØPÜ
czasowa 5ØGÜ = .
5ØXÜ
Obiekt sterowania - proces będący przedmiotem sterowania.
Model obiektu sterowania  proces będący przedmiotem sterowania, dla którego z pośród wektora
przyczynowego 5Ø™Ü (5ØaÜ) wyróżniono:
5Ø
Ü (5ØaÜ)  wielkoÅ›ci wejÅ›ciowe (przyczynowe nastawiajÄ…ce), za pomocÄ… których bÄ™dzie nastÄ™pować
oddziaływanie na rozpatrywany proces (nastawianie procesu),
5Ø6ß  parametry, wejÅ›cia procesu, które podczas sterowania bÄ™dÄ… posiadaÅ‚y wartoÅ›ci staÅ‚e,
5Ø›Ü (5ØaÜ)  zakłócenia, wejÅ›cia procesu nie wykorzystane podczas sterowania, zakłócajÄ…ce sterowanie,
5ØšÜ (5ØaÜ)  wyjÅ›cia procesu (wielkoÅ›ci nastawiane), które sÄ… ważne z punktu widzenia sterowania i dla
których określane są wymagania związane z jakością sterowania.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
2
z(t)
y(t)
u(t)
OBIEKT STEROWANIA
að
Rys.1.2. Ogólny schemat obiektu sterowania
Matematyczny model obiektu okreÅ›lajÄ… przede wszystkim relacje 5Ø
Ü (5ØaÜ) i 5ØšÜ (5ØaÜ); opisuje zarówno
właściwości sterowanego procesu (technologicznego) jak i właściwości części aparaturowej niezbędnej
do realizacji sterowania.
Cel sterowania  sformułowanie ogólnych wymagań dotyczących oczekiwanych rezultatów związanych
z budową układu sterowania.
Sterowanie  generowanie sygnaÅ‚u 5Ø
Ü (5ØaÜ) o takim przebiegu, by uzyskać oczekiwany przebieg sygnaÅ‚u
5ØšÜ (5ØaÜ).
( )
Proces jednowymiarowy, sterowanie jednowymiarowe  sygnaÅ‚y 5Ø™Ü 5ØaÜ lub 5Ø
Ü (5ØaÜ) i 5ØšÜ (5ØaÜ) sÄ…
jednowymiarowe.
Sterowanie wielowymiarowe  zarówno sygnaÅ‚ 5Ø
Ü (5ØaÜ) jak i 5ØšÜ (5ØaÜ) sÄ… wiÄ™ksze od jednoÅ›ci (sÄ… to wektory).
Jakość sterowania  wymagania związane z celem sterowania, formułowane w stosunku do przebiegu
wielkoÅ›ci 5ØšÜ (5ØaÜ), wyrażona przez stosowne miary w postaci kryteriów.
Wartość zadana  oznaczana czÄ™sto przez 5ØfÜ0(5ØaÜ), okreÅ›la oczekiwany (pożądany) przebieg wielkoÅ›ci
wyjÅ›ciowej 5ØšÜ (5ØaÜ) sterowanego procesu. Można to rozumieć jako pewien wzorzec przebiegu wielkoÅ›ci
wyjściowej procesu, którą chce się osiągnąć. Oznacza to, że sterowanie powinno zapewnić relację
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
3
( ) ( )
5ØfÜ0 5ØaÜ a" 5ØfÜ 5ØaÜ , przy czym 5ØfÜ0(5ØaÜ)  jest pewnÄ… abstrakcjÄ…, wzorcem a 5ØfÜ (5ØaÜ) jest przebiegiem konkretnej
wielkości fizycznej.
( ) ( )
BÅ‚Ä…d sterowania (uchyb)  w ogólnym przypadku 5ØRÜ 5ØaÜ = 5ØfÜ0 5ØaÜ - 5ØfÜ (5ØaÜ)  jest to funkcja (sygnaÅ‚), która
przedstawia zaistniaÅ‚e w czasie 5ØaÜ odchylenia wielkoÅ›ci wyjÅ›ciowej 5ØfÜ (5ØaÜ) sterowanego procesu od
wartoÅ›ci zadanej 5ØfÜ0(5ØaÜ) (od oczekiwanego wzorca).
Miary jakoÅ›ci sterowania (kryteria sterowania) formuÅ‚owane sÄ… głównie na podstawie przebiegu 5ØfÜ(5ØaÜ),
a także w odniesieniu do sygnaÅ‚u 5ØRÜ(5ØaÜ) i sÄ… podstawÄ… do budowy okreÅ›lonej struktury sterowania oraz
algorytmów urządzeń decyzyjnych.
Struktura procesu, algorytmu, układu sterowania  postać matematyczna procesu, algorytmu lub
schemat obiegu informacji w układzie sterowania.
Układ (proces, model) liniowy  opisany za pomocą równań liniowych; o stałych współczynnikach, w
szczególności zależności statyczne między przyczynami i skutkami są wyrażone przez równania
prostych, np. masa i stała sprężyny (układ mechaniczny) są niezależne od siły i przesunięcia.
Układ (proces, model) nieliniowy - opisany za pomocą równań nieliniowych; np. wsp. sprężystości
zmienia się w zależności od odkształcenia.
Model o parametrach skupionych - opisany za pomocą równań różniczkowych o stałych
współczynnikach; masa w postaci punktowej, sprężyna bez masy  układ złożony z tak
wyidealizowanych elementów z rozdzielonymi efektami.
Model o parametrach rozłożonych  przeciwieństwo modeli skupionych  opisany za pomocą równań
różniczkowych cząstkowych; np. pręt zawiera nieskończenie małe elementy bezwładności i
sprężystości.
Układ niestacjonarny lub zmienny w czasie  parametry układu zmieniają się w czasie.
Układ stacjonarny  parametry w rozpatrywanym czasie przyjmowane są jako stałe.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
4
Zmienne (sygnały) przypadkowe  przedstawione w sensie probabilistycznym.
Zmienna (współrzędna) stanu  zmienna reprezentująca sumę informacji przeszłej, potrzebnej do
określenia aktualnej zmiany stanu i odpowiedzi układu. Wektor stanu powinien zawierać najmniejszą
liczbę zmiennych (współrzędnych) wystarczających do opisania układu w każdej chwili czasu. W
metodzie transmitancji zmienne stanu nie występują. Najczęściej przyjmuje się za zmienną stanu
wyjścia z elementów całkujących.
Wykres (rysunek)  forma graficznego zapisu, w szczególności dowolnych zależności.
Charakterystyka  forma graficznego zapisu zależności (statycznych, w funkcji czasu, w funkcji
częstotliwości), dla jednoznacznego opisu właściwości, zgodna z przyjętym układem i postacią zawartą
w unormowaniach międzynarodowych,.
Postacie charakterystyk dynamicznych dają wyobrażenie o właściwościach dynamicznych procesów,
definiują podstawowe parametry dynamiczne oraz mogą być wykorzystane jako metoda identyfikacji
właściwości procesów.
Charakterystyka statyczna  zależność między wielkością przyczynową (oś rzędnych) i skutkową (oś
odciętych) w stanie ustalonym. Charakterystyka statyczna określa liniowość procesu, zakresy wejść i
wyjść, współczynnik wzmocnienia statycznego oraz błąd nieliniowości i niejednoznaczności. W
przypadku przyrządów pomiarowych określa klasę przyrządu obliczoną na podstawie błędów
nieliniowości i niejednoznaczności.
Charakterystyki dynamiczne  czasowe i częstotliwościowe:
·ð Charakterystyka czasowa - przebieg sygnaÅ‚u wyjÅ›ciowego, otrzymany w wyniku wprowadzenia
do procesu znajdujÄ…cego siÄ™ w stanie ustalonym wymuszenia  typowego .  Typowe
wymuszenia to: wymuszenie impulsowe, wymuszenie skokowe, wymuszenie liniowo
narastajÄ…ce, wymuszenie paraboliczne.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
5
·ð W przypadku charakterystyk czÄ™stotliwoÅ›ciowych wymuszenie ma postać sinusoidalnÄ….
Charakterystyka częstotliwościowa może być przedstawiana jako przebieg modułu 20
log(Ay/Ax) w funkcji log 5Øß oraz przebieg fazy 5Øß w funkcji log 5Øß. Zbiór punktów tworzÄ…cych
( )
przebiegi modułów i fazy otrzymuje siÄ™ w wyniku wprowadzania wymuszeÅ„ 5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØeÜ sin 5Øß5ØaÜ
( )
i rejestracji 5ØfÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØfÜ sin(5Øß5ØaÜ + 5Øß), dla 5Øß = 5Øß5ØZÜ5ØVÜ5Ø[Ü ÷ 5Øß5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ;
5Øß5ØZÜ5ØVÜ5Ø[Ü, 5Øß5ØZÜ5ØNÜ5ØeÜ  interesujÄ…cy badacza zakres czÄ™stoÅ›ci.
Metoda sporządzania charakterystyk częstotliwościowych przedstawiona została opisowo, w
praktyce korzysta siÄ™ z algorytmu FFT.
Monitorowanie (ang. monitoring)  jest działaniem mającym na celu pokazywanie określonych zdarzeń
występujących w obserwowanym procesie (należy je zdefiniować, mogą to być zakłócenia powodujące
przesuwanie charakterystyk jakości  np. zmiana wymiaru części obrabianych na maszynach CNC), w
najprostszym przypadku może sprowadzać się do rejestracji wielkości fizycznych, ważnych dla procesu.
Tymi zdarzeniami mogą być, np. wartości graniczne niebezpieczne dla procesu. Układy monitorujące
mogą być wyposażone w urządzenia alarmowe i blokujące dalszy przebieg procesu. Takie rozwiązanie
jest także nazywane zabezpieczaniem (ang. protection).
Diagnostyka procesów  rozpoznawanie zmian stanów technicznych  zazwyczaj nie chodzi o
dynamiczne zmienne stanu procesu.
SCADA (ang.Supervisory Control and Data Acvnisition)  system informatyczny do monitorowania
przebiegu procesu  różnie rozumiane: rejestracja sygnałów lub działania obiektu a nazywane
monitorowaniem stanu obiektu (procesu).
DCS (ang. Distributed Control Systems)  system informacyjny do monitorowania i archiwizowania
zmiennych procesu, także sygnalizacji alarmów oraz wizualizacji przebiegu procesów.
Diagnozowanie  działanie związane z rozpoznawaniem stanu technicznego obiektu, którego celem
jest określenie aktualnego stanu (technicznego) obiektu.
Genezowanie  działanie rozpoznawania stanu technicznego obiektu związane z określaniem stanów
wcześniejszych.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
6
Prognozowanie  określenie przyszłych wartości (modele matematyczne) lub przyszłych stanów
obiektów (modele diagnostyczne).
Nadzorowanie  rodzaj sterowania majÄ…cy na celu zapewnienie poprawnego przebiegu procesu.
Najczęściej dotyczy procesów częściowo zautomatyzowanych, w których operator ma podstawie
wyników monitorowania wprowadza działania korygujące do procesu.
1.2. Relacje w układzie
Ogólną zależność w układzie wielowymiarowym opisuje relacja:
( )
5ØmÜ 5ØšÜ, 5Ø™Ü, 5Ø™Ü , 5Ø
Ü, 5Ø›Ü, ", 5ØqÜ, 5Ø•Ü = 0. (1.1)
5ØmÜ  zależność macierzowa (wektorowa),
5ØšÜ  wektor wyjść (macierzowy),
5Ø™Ü  wektor stanu (wewnÄ™trzna zmienna opisu ukÅ‚adu, nie wystÄ™puje w opisie metodÄ… transmitancji),
5Ø
Ü  wektor sterowania (wejść),
5Ø›Ü  wektor zakłóceÅ„ (szumów),
" - parametry układu,
5ØqÜ  wskaz
nik jakości,
5Ø•Ü  czas.
z
y
Obiekt
a
sterowanie
u(t)
t
x, x
Rys.1.3. Schemat ilustrujący sterowanie i występujące relacje w układzie
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
7
W układzie jednowymiarowym (pierwszego rzędu) wektory stają się skalarami. Podstawowe relacje w
układzie przedstawia tablica 1.1.
Tablica 1.1.
Problem 5ØüÞ z u x y J t
Transmitancja
Obserwowalność
Sterowanie
Niezmienniczość
Wrażliwość na
zmiany parametrów
Optymalizacja
1.3. Zadania syntezy sterowania
·ð OkreÅ›lenie obiektu, celu sterowania oraz jakoÅ›ci sterowania (na podstawie jakoÅ›ci
technologicznej procesu);
·ð Analiza istoty sterowanego procesu fizycznego i reprezentujÄ…cych ten proces wielkoÅ›ci
przyczynowych (wejść) 5Ø™Ü oraz skutkowych 5ØšÜ, definicja obiektu sterowania wraz z wyborem i
okreÅ›leniem jego wielkoÅ›ci: sterujÄ…cych 5Ø
Ü, sterowanych 5ØšÜ, parametrów ", zakłóceÅ„ 5Ø›Ü ;
·ð Wyróżnienie (zaprojektowanie) części obiektu w postaci urzÄ…dzeÅ„, do których bÄ™dÄ…
doprowadzane wielkości sterujące i w wyniku czego będzie możliwe oddziaływanie na przebieg
procesu fizycznego będącego przedmiotem sterowania;
·ð Dobór urzÄ…dzeÅ„ pomiarowych, niezbÄ™dnych do dostarczania informacji o wielkoÅ›ciach
sterowanych 5ØšÜ oraz kompensowanych zakłóceniach 5Ø›Ü;
·ð OkreÅ›lenie wymaganych przebiegów zadanych 5ØfÜ0(5ØaÜ), które majÄ… być osiÄ…gniÄ™te w wyniku
sterowania;
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
8
·ð Wybór kryteriów jakoÅ›ci, przeprowadzenie analizy wrażliwoÅ›ci i niezmienniczoÅ›ci obiektu
sterowania,
·ð Opracowanie modelu ukÅ‚adu sterowania oraz opracowanie schematu obiegu informacji (wybór
struktury sterowania) w rozpatrywanym układzie sterowania;
·ð Opracowanie algorytmu sterowania dla urzÄ…dzenia decyzyjnego, który ma generować wielkoÅ›ci
sterujÄ…ce 5Ø
Ü;
·ð Dobór urzÄ…dzeÅ„ technicznych, za pomocÄ… których zostanie fizycznie zbudowane urzÄ…dzenie
decyzyjne, urządzenie generujące wartości zadane, urządzenie przesyłające wielkości
pomiarowe i sterujące (sygnały), ew. urządzenie monitorujące, zabezpieczające i
dokumentujÄ…ce przebieg sterowania;
·ð Zbudowanie ukÅ‚adu sterowania, wykonanie oprogramowania, uruchomienie, dostrajanie
parametrów algorytmu sterowania.
1.4. Opis matematyczny procesów
Procesy są zdefiniowane przez dochodzące i wychodzące z nich sygnały. Zatem modele
sygnałów tworzą modele procesów.
Dla potrzeb sterowania wiedza o procesie może być dana w sposób analityczny lub też graficzny
 za pomocą charakterystyk statycznych oraz dynamicznych (czasowych i częstotliwościowych)
otrzymywanych w wyniku wykonanego eksperymentu.
Modele analityczne procesów powinny mieć charakter makroskopowy,  oszczędny .
 Oszczędność oznacza liczbę zawartych w modelach procesów parametrów, która nie powinna
przekraczać 3 (max 4). Model bardziej rozbudowany nie jest przydatny dla sterowania. Korzystniej jest
stosować model procesu  oszczędny oraz dostrajać automatycznie przez układ sterowania jego
parametry, niż posługiwać się wieloma, najczęściej nieokreślonymi bliżej parametrami.
Modele analityczne procesów liniowych mogą być przedstawione w sposób scharakteryzowany dalej.
Modele procesów mogą być otrzymywane w wyniku stosownego eksperymentu składającego się na
metodę identyfikacji lub też otrzymywane w wyniku postępowania analitycznego wynikającego z praw
fizyki. W przypadku pierwszym wykorzystywane są modele matematyczne sygnałów a w drugim
podobieństwa fizykalne procesów.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
9
1. Modele w postaci liniowych równań różniczkowych (wyrażonych w dziedzinie czasu) o parametrach
skupionych lub też ich odpowiedników w postaci równań różnicowych.
2. Modele w postaci równań stanu i wyjść (z czasem ciągłym lub dyskretnym) o postaci:
( ) ( )
5Ø™Ü 5Ø•Ü = 5ØhÜ5Ø™Ü 5ØaÜ + 5ØiÜ5Ø
Ü(5ØaÜ),
( ) ( )
5ØšÜ 5ØaÜ = 5ØjÜ5Ø™Ü 5ØaÜ + 5ØkÜ5Ø
Ü(5ØaÜ), (1.2)
gdzie:
5Ø™Ü(5ØaÜ)  wektor stanu,
5Ø
Ü(5ØaÜ)  wektor wejść,
5ØšÜ(5ØaÜ)  wektor wyjść,
( )
5ØhÜ  macierz procesu o wymiarze 5Ø[Ü 5ØeÜ 5Ø[Ü ,
5ØiÜ  macierz sterowania (wejść) o wymiarze (5Ø[Ü 5ØeÜ 5Ø]Ü),
5ØjÜ  macierz odpowiedzi (wyjść) o wymiarze (5Ø^Ü 5ØeÜ 5Ø[Ü),
5ØkÜ  macierz o wymiarze (5Ø^Ü 5ØeÜ 5Ø]Ü).
Równania stanu można otrzymać posługując się podczas opisu procesu równaniami różniczkowymi
pierwszego rzędu.
Przykład 1.1
Modelowanie analityczne, proces  zbiornik z cieczą wypływającą swobodnie; wielkość przyczynowa
(sygnaÅ‚ wejÅ›ciowy), dopÅ‚yw 5ØbÜ(5ØaÜ) (wydatek objÄ™toÅ›ciowy), wielkość skutkowa (sygnaÅ‚ wyjÅ›ciowy),
poÅ‚ożenie poziomu cieczy 5ØeÜ(5ØaÜ).
u(t)
zmiana poziomu
x(t)
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
10
5ØQÜ
Ze schematu wynika, że zmiana poziomu 5ØQÜ5ØaÜ 5ØeÜ(5ØaÜ) jest funkcjÄ… poÅ‚ożenia poziomu 5ØeÜ(5ØaÜ) oraz dopÅ‚ywu
5ØbÜ(5ØaÜ) i czasu 5ØaÜ.
5ØQÜ
( ) ( ) ( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5ØSÜ (5ØeÜ 5ØaÜ , 5ØbÜ 5ØaÜ ). (1.3)
5ØQÜ5ØaÜ
Dla maÅ‚ych odchyleÅ„ sygnałów 5ØbÜ(5ØaÜ) i 5ØeÜ(5ØaÜ) od stanu równowagi otrzyma siÄ™ zależność zlinearyzowanÄ…:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5ØSÜ (5ØeÜ 5ØaÜ , 5ØbÜ 5ØaÜ ) H" 5Ø4Ü 5ØaÜ 5ØeÜ 5ØaÜ + 5Ø5Ü 5ØaÜ 5ØbÜ (5ØaÜ) (1.4)
gdzie:
5Øß 5ØSÜ (5ØeÜ15ØbÜ15ØaÜ) 5Øß 5ØaÜ (5ØeÜ15ØbÜ15ØaÜ)
( ) ( )
5Ø4Ü 5ØaÜ = | 5Ø5Ü 5ØaÜ = | . (1.5)
5Øß5ØeÜ 5Øß5ØbÜ
5ØbÜ=0, 5ØeÜ=0 5ØbÜ=0, 5ØeÜ=0
Daje to:
5ØQÜ
( ) ( ) ( ) ( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü 5ØaÜ 5ØeÜ 5ØaÜ + 5Ø5Ü 5ØaÜ 5ØbÜ(5ØaÜ). (1.6)
5ØQÜ5ØaÜ
Jeżeli A i B są stałymi, to zależność (1.4) przyjmuje postać:
5ØQÜ
( ) ( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5Ø4Ü5ØeÜ 5ØaÜ + 5Ø5Ü5ØbÜ(5ØaÜ). (1.7)
5ØQÜ5ØaÜ
Jest to równanie liniowe, stacjonarne układu pierwszego rzędu. W zależności od pojedynczej
( )
zmiennej stanu 5ØeÜ(5ØaÜ) i wejÅ›cia ukÅ‚adu 5ØbÜ 5ØaÜ , postać kanoniczna rozpatrywanego równania przedstawiona
jest w sposób:
5ØQÜ
( ) ( )
5ØeÜ 5ØaÜ = 5ØNÜ 5ØeÜ 5ØaÜ + 5ØOÜ 5ØbÜ(5ØaÜ). (1.8)
5ØQÜ5ØaÜ
Odpowiedz
ukÅ‚adu jest funkcjÄ… liniowÄ… zmiennych 5ØeÜ(5ØaÜ) i 5ØbÜ(5ØaÜ)
( ) ( )
5ØfÜ 5ØaÜ = 5ØPÜ 5ØeÜ 5ØaÜ + 5ØQÜ 5ØbÜ(5ØaÜ), (1.9)
5ØNÜ, 5ØOÜ, 5ØPÜ, 5ØQÜ  sÄ… staÅ‚ymi współczynnikami.
Równania różniczkowe ze zmiennÄ… 5ØfÜ(5ØaÜ) można otrzymać przez wyeliminowanie 5ØeÜ(5ØaÜ) z równaÅ„ (1.8)
i (1.9):
5ØQÜ 5ØQÜ
( ) ( ) ( ) ( )
5ØfÜ 5ØaÜ = 5ØNÜ5ØfÜ 5ØaÜ + 5ØQÜ 5ØbÜ 5ØaÜ + 5ØOÜ5ØPÜ - 5ØNÜ5ØQÜ 5ØbÜ(5ØaÜ). (1.10)
5ØQÜ5ØaÜ 5ØQÜ5ØaÜ
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
11
Dla powiÄ…zania wejÅ›cia 5ØbÜ(5ØaÜ) z wyjÅ›ciem 5ØfÜ(5ØaÜ) należy ustalić trzy niezależne wielkoÅ›ci: 5ØNÜ, 5ØQÜ i (5ØOÜ5ØPÜ -
5ØNÜ5ØQÜ). Dla danej zależnoÅ›ci ustalony jest jedynie iloczyn 5ØOÜ5ØPÜ. ZmiennÄ… stanu ukÅ‚adu wyznacza siÄ™ przez
przyjÄ™cie 5ØOÜ lub 5ØPÜ. Podobny wynik otrzyma siÄ™ również dla ukÅ‚adu wielowymiarowego.
Przykład 1.2.
Modelowanie analityczne, proces  dwa zbiorniki poÅ‚Ä…czone ze sobÄ… (5ØPÜ1, 5ØPÜ2  pow. przekrojów
poprzecznych zbiorników 1 i 2).
Q0(t)
C1
C2
h1
R1 h2 R2
Q1 Q2
Z równania ciągłości przepływów w zależności od poziomów cieczy !1 i !2 wynika:
!1-!2
( )
5ØPÜ1 5ØQÜ!1 = - + 5ØDÜ0 5ØaÜ
5ØQÜ5ØaÜ 5ØEÜ1
}. (1.11)
!1-!2 !2
5ØPÜ2 5ØQÜ!2 = -
5ØQÜ5ØaÜ 5ØEÜ2 5ØEÜ2
Po uporzÄ…dkowaniu (1.11) otrzyma siÄ™:
5ØQÜ 1 1 1
( )
!1 = - !1 + !2 + 5ØDÜ0 5ØaÜ
5ØQÜ5ØaÜ 5ØEÜ15ØPÜ1 5ØEÜ1`5ØPÜ1 5ØPÜ1
} (1.12)
5ØQÜ 1 1
!2 = - !2 + (5ØEÜ 1 + ) !2
5ØQÜ5ØaÜ 5ØEÜ25ØPÜ2 5ØPÜ2 5ØEÜ25ØPÜ1
1`
( )
5Ø™Ü 5ØaÜ = [!1].
!2
1 1
1 1
-
5ØEÜ15ØPÜ1 5ØEÜ15ØPÜ1 ].
5ØhÜ = [ ], 5ØjÜ = [5ØEÜ - 5ØEÜ1
1
1
-(5ØEÜ 1 + 1/5ØEÜ25ØPÜ1)
5ØEÜ15ØPÜ2 5ØPÜ2
1
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
12
5ØkÜ = 0 .
( )
5ØiÜ = [1/5ØPÜ1] 5ØbÜ 5ØaÜ = 5ØDÜ0(5ØaÜ).
0
Typowa postać macierzowa dla danego procesu jest wyrażona w sposób:
1
5ØDÜ1 = [5ØEÜ , - 1/5ØEÜ1 ] [!1] + 0 5ØDÜ0(5ØaÜ) .
!2
1
3. Modele w postaci równań operatorowych, otrzymanych z równań różniczkowych lub równań stanu
w wyniku przeksztaÅ‚cenia Laplace a, Fouriera lub 5ØMÜ (dotyczy również różnicowych)  metoda
transmitancji operatorowej.
Podane dalej przekształcenia operatorowe  zamieniają oryginały funkcji z dziedziny czasu  t
w transformaty zmiennej zespolonej  s ; równania różniczkowe stają się łatwymi do obliczeń
równaniami algebraicznymi.
PrzeksztaÅ‚cenie Laplace a - 5Ø?Ü (jednostronne):
+"
( ) ( )
5ØKÜ 5Ø`Ü = 5ØeÜ 5ØaÜ 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ5ØQÜ5ØaÜ, (1.13)
+"0
5ØeÜ(5ØaÜ)  oryginaÅ‚ funkcji,
5ØKÜ(5Ø`Ü)  transformata 5Ø?Ü (dalej stosowane jest oznaczenie 5ØKÜ5Ø?Ü(5Ø`Ü)),
5Ø`Ü = 5Øß + 5ØWÜ5Øß,
5Øß  część rzeczywista,
5ØWÜ5Øß  część urojona (5ØWÜ = "-1, 5Øß  pulsacja, czÄ™stość [1]).
5Ø`Ü
Odwrotne przekształcenie Laplace a:
1 1 "
[( )]
5Ø?Ü-1 5Ø`Ü = = 5Ø™Ü(5Ø`Ü) 5ØRÜ5Ø`Ü5ØaÜ5ØQÜ5Ø`Ü
+"0
2 5Øß 25Øß
Dla zbioru sygnałów stosowanych w automatyce 5Øß = 0 i można przyjąć 5Ø`Ü = 5ØWÜ5Øß, wobec czego
transformaty Laplace a i Fouriera są ze sobą wzajemnie związane zależnościami:
( )
5ØKÜ5Ø?Ü 5Ø`Ü =5ØKÜ5Ø9Ü(5ØWÜ5Øß)
| ,
5Øß=5Ø`Ü
5ØWÜ
( )
5ØKÜ5Ø9Ü 5Øß =5ØKÜ5Ø?Ü(5Ø`Ü)
| . (1.14)
5Ø`Ü=5ØWÜ5Øß
{ }
Transformata 5ØMÜ ciÄ…gu 5ØeÜ5Ø[Ü :
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
13
( ) "" | |
5ØKÜ5ØMÜ 5ØgÜ = 5ØeÜ5Ø[Ü5ØgÜ-5Ø[Ü 5ØgÜ e" 5Øß5Ø[Ü,
5Ø[Ü=0
1 25Øß
5ØeÜ5Ø[Ü = 5ØKÜ5ØMÜ(5ØgÜ5Ø[Ü) 5ØQÜ5Øß dla 5Øß5Øß›. (1.15)
+"0
2 5Øß5ØWÜ
4. Modele losowe wyrażone za pomocą liniowych (nieliniowych) zależności parametrycznych
(o parametrach jawnych) wyznaczonych z sygnałów losowych.
Najczęściej w tej grupie rozpatruje się modele dyskretne jednowymiarowe. Są to modele:
AR  auto-regresyjne z zakłóceniem niemierzalnym w postaci białego szumu,
ARX  auto-regresyjne w postaci szumu kolorowego,
MA (FIR)  średniej ruchomej z zakłóceniem niemierzalnym w postaci białego szumu,
MAX - średniej ruchomej z zakłóceniem niemierzalnym w postaci szumu kolorowego,
ARMA  połączone AR i MA,
ARMAX - połączone AR i MA z kolorowym szumem.
Modele wielowymiarowe - MISO o strukturze ARMAX.
Modele nieliniowe NARMA  o strukturze ARMAX z uwzględnieniem czynników w postaci funkcji
wielowymiarowych drugiego i trzeciego stopnia.
5. Modele parametryzowane za pomocą zbiorów rozmytych. Zbiory rozmyte określają sposób
podziału zakresu zmienności wybranej wielkości fizycznej na obszary określone lingwistycznie (np.
zimno, chłodno, letnio, ciepło, gorąco). Granice przedziałów są ustalone nieostro (w sposób rozmyty) z
wykorzystaniem tzw. funkcji przynależności.
6. Modele w formie sztucznych sieci neuronowych (SSN). SÄ… to modele parametryczne, teoretycznie
o nieskończonej liczbie parametrów, które nie są jawnie wyrażone. Wartości parametrów są ustalone
podczas uczenia sieci. W pewnym sensie są podobne do modeli z pkt.1.4.4.  tamte były modelami
 oszczędnymi w sensie liczby parametrów występujących jawnie.
1.5. Opis graficzny procesów
Na opis graficzny składają się charakterystyki:
a) statyczne,
b) dynamiczne czasowe i częstotliwościowe.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
14
 Charakterystyki wyznacza siÄ™ eksperymentalnie. Dla pokazania zwiÄ…zku wyniku otrzymanego z
eksperymentu z zależnościami matematycznymi, dla potrzeb dydaktycznych i wykazania ścisłego ich
zwiÄ…zku z zapisem matematycznym i podstawami teoretycznymi, przedstawione zostanÄ… metody
wyznaczania charakterystyk z opisów analitycznych.
S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016
15