5 lect6 beam students


Computational Methods
1D Examples
Małgorzata Stojek
Cracow University of Technology
March 2013
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 1 / 44
Beam Example
P = qL M = qL2
q
2L L
ł ł ł ł
d1 w1
1 2 3
ł ł ł ł
d2 1
ł ł ł ł
ł ł ł ł
e1 e2
ł ł ł ł
d3 w2
w1 w2 w3
ł ł ł ł
=
ł ł ł ł
d4 2
ł ł ł ł
ł ł ł ł
ł ł ł ł
d5 w3
ł łł ł łł
d6 3
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 2 / 44



Beam Element Library
Prismatic Beam
Stiffness Matrix:
ł ł
12 6h -12 6h
ł
EI
4h2 -6h 2h2 ł
ł ł
Ke =
łł
12 -6h
h3 ł
symm 4h2
Load Vector due to q(x):
constant distributed load concentrated force
h
q(x) = q q(x) = Px(x - )
2
ł ł ł ł
1 1
2 2
ł ł ł ł
1 1
h
ł h ł ł ł
12 8
ł ł ł ł
Fe = qh Fe = P
q 1 q 1
ł ł ł ł
ł 2 łł ł 2 łł
1
-12h -1h
8
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 3 / 44
First Element
Stiffness Matrix
DOFs: 1, 2, 3, 4; h = 2L
ł ł
12 6 (2L) -12 6 (2L)
ł
EI
6 (2L) 4 (2L)2 -6 (2L) 2 (2L)2 ł
ł ł
Ke1 =
44
łł
12 -6 (2L)
(2L)3 ł -12 -6 (2L)
6 (2L) 2 (2L)2 -6 (2L) 4 (2L)2
ł ł
3 3L -3 3L
ł
EI
3L 4L2 -3L 2L2 ł
ł ł
=
łł
2L3 ł -3 -3L 3 -3L
3L 2L2 -3L 4L2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 4 / 44
First Element
Load Vector due to
q(x)
ł ł ł ł
1
1
2
ł ł ł ł
1 1
L
ł (2L) ł ł ł
12 3
ł ł ł ł
Fe1 = q (2L) = qL
q 1
ł ł ł ł
1
ł 2 łł ł łł
1
-12 (2L) -1L
3
1 1
qL2 qL2
3 3
[element 1]
! qL ! qL
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 5 / 44
Second Element
DOFs: 3, 4, 5, 6; h = L
Stiffness Matrix
ł ł
12 6 (L) -12 6L
ł
EI
6 (L) 4 (L)2 -6 (L) 2 (L)2 ł
ł ł
Ke2 =
44
(L)3 ł -12 -6 (L) 12 -6 (L) łł
6 (L) 2 (L)2 -6 (L) 4 (L)2
Load Vector due to P = qL
ł ł
1
2
1 1
qL2 qL2
ł 1 ł
8 8
L
ł ł
8
Fe2 = P [element 2]
ł ł
q
1
ł łł
1 1
2
! qL ! qL
2 2
-1L
8
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 6 / 44
Assembly
Global Stiffness Matrix
K = 066 (+) Ke1 (+) Ke2
44 44
ł ł
3 3 3
L -3 L 0 0
2 2 2 2
3
ł ł
L 2L2 -3L L2 0 0
2 2
ł ł
3
ł ł
-3 -3L + 12 -3L + 6L -12 6L
EI
ł 2 2 2 2 ł
K =
ł
(L)3 3
L L2 -3L + 6L 2L2 + 4L2 -6L 2L2 ł
ł 2 2 ł
ł łł
0 0 -12 -6L 12 -6L
0 0 6L 2L2 -6L 4L2
ł ł
3 3
L -3 3L 0 0
2 2 2 2
ł 3 ł
L 2L2 -3L L2 0 0
ł ł
2 2
ł ł
27 9
ł ł
EI -3 -3L L -12 6L
2 2 2 2
ł ł
K =
L L2 9L 6L2 -6L 2L2 ł
(L)3 ł 3
ł ł
2 2
ł ł
0 0 -12 -6L 12 -6L
ł łł
0 0 6L 2L2 -6L 4L2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 7 / 44
Assembly
Global Load Vector
Fq = 061 (+) Fe1 (+) Fe2
q41 P41
ł ł ł ł ł ł ł ł
0 qL qL qL
ł ł ł
1 1
0 qL2 ł ł qL2 ł ł 1qL2 ł
ł ł ł ł ł ł ł ł
3 3 3
ł ł ł ł ł ł ł ł
1 3
ł ł ł ł ł ł ł ł
0 qL qL + qL qL
ł ł ł ł ł 2 ł ł 2 ł
=
ł ł ł
1 5
0 ł ł ł ł ł
ł ł ł -1qL2 ł ł -1qL2 + qL2 ł ł -24qL2 ł
3 3 8
ł ł ł ł ł ł ł ł
1 1
ł ł ł ł ł ł ł ł
0 0 qL qL
ł łł ł łł ł 2 łł ł 2 łł
0 0 -1qL2 -1qL2
8 8
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 8 / 44
Assembly
Generic System of Linear Equations
Kd = Fq
ł ł ł ł ł ł
3 3
L -3 3L 0 0 w1 qL
2 2 2 2
ł ł ł ł ł
3 1
L 2L2 -3L L2 0 0 1 qL2 ł
ł ł ł ł ł ł
2 2 3
ł ł ł ł ł ł
27 9
ł ł ł ł
-3 -3L L -12 6L w2 ł ł 3qL
ł 2 2 2 2 ł ł ł ł 2 ł
EI
=
ł
(L)3 3
ł L L2 9L 6L2 -6L 2L2 ł ł 2 ł ł 5 ł
ł ł ł ł-24qL2 ł
2 2
ł ł ł ł ł ł
ł ł ł ł
0 0 -12 -6L 12 -6L w3 ł ł 1qL
ł łł ł łł ł 2 łł
0 0 6L 2L2 -6L 4L2 3 -1qL2
8
NOTE:
detK = 0, rank (K) =4.
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 9 / 44
Boundary Conditions
kinematic constraints natural BCs
(essential "BCs") (nonhomogeneous)
w1 = 0, 1 = 0, w2 = 0 at x = 3L, M = qL2
ł ł ł ł
qL qL
ł ł ł ł
w1 0
ł
1 1
qL2 ł ł qL2 ł
ł ł ł ł
ł ł ł ł 3 3
1 0
ł ł ł ł
ł ł ł ł
3 3
ł ł ł ł
ł ł ł ł qL qL
w2 0
ł 2 ł ł 2 ł
ł ł ł ł

ł
5 5
ł ł ł ł
2 2 ł -24qL2 ł ł -24qL2 ł
ł ł ł
ł ł ł ł
ł ł ł ł
ł łł ł łł
1 1
w3 w3 ł ł ł ł
qL qL
ł 2 łł ł 2 łł
3 3
-1qL2 -1qL2 + qL2
8 8
NOTE:
rank(K) =4 & 3 support constraints ! beam is statically indeterminate.
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 10 / 44
Solution I
ł ł ł ł
ł ł
3 3
L -3 3L 0 0 0
qL
2 2 2 2
ł ł ł ł
3
ł 1
L 2L2 -3L L2 0 0 0
ł ł ł ł
qL2 ł
2 2 ł ł
3
ł ł ł ł
ł ł
27 9
ł ł ł ł 3
-3 -3L L -12 6L 0
ł ł
qL
ł 2 2 2 2 ł ł ł
EI 2
ł ł
=
ł
(L)3 3
ł L L2 9L 6L2 -6L 2L2 ł ł 2 ł ł 5 ł
ł ł ł -24qL2 ł
2 2 ł
ł ł ł ł
ł ł
ł ł ł 1
0 0 -12 -6L 12 -6L w3 ł
ł łł
qL
ł łł ł łł
2
7
0 0 6L 2L2 -6L 4L2 3
qL2
8
ł ł ł ł ł ł
5
6L2 -6L 2L2 2 -24qL2
ł ł ł ł
EI
-6L 12 -6L w3 ł ł 1qL
= +
ł łł ł łł ł łł
2
(L)3
7
2L2 -6L 4L2 3 qL2
8
ł ł
ł ł
3 0
L L2 9L
2 2
ł ł
EI
ł łł
0
- 0 0 -12
ł łł
(L)3
0 0 6L
0
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 11 / 44
Solution II
RECALL:
ł ł ł ł ł ł
5
6L2 -6L 2L2 2 -24qL2
EI
ł ł ł ł
-6L 12 -6L w3 ł ł 1qL
=
ł łł ł łł ł łł
2
(L)3
7
2L2 -6L 4L2 3 qL2
8
Solution is:
ł ł
ł ł
0
0
ł ł
ł ł
0
ł ł ł ł
0
ł ł ł ł
qL3
7
ł ł
ł ł
2
12 EI ł ł
0
ł ł
ł ł 0 ł ł
ł ł ł ł
ł ł
w3 ł 19 qL4 ł
= d = =
ł łł ł ł
7
16 EI
ł łł
2 ł 12 qL3 ł
ł ł
EI
ł ł
qL3
41 ł ł
3
ł ł
qL4
ł ł 19
24 EI
w3 ł ł
ł łł
16 EI
ł łł
qL3
41
3
24 EI
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 12 / 44
Postprocessing
Siły Przywęzłowe
RECALL:
Kede = Fe = Fe + We
q
ł ł
Q1
ł ł
M1
ł ł
We = = Kede - Fe
q
ł łł
Q2
M2
M1!Q1 [beam element] !Q2 M2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 13 / 44
Siły Przywęzłowe
Element 1
M1!Q1 [beam element] !Q2 M2
We1 = Ke1de1 - Fe1
q
ł ł ł ł ł ł
0
3 3L -3 3L 1
ł ł
ł 3L 4L2 -3L 2L2 ł ł 0 ł ł 1L
ł ł ł ł ł
EI
3
ł ł ł ł ł ł
We1 = - qL
ł ł ł ł ł
0
2L3 ł -3 -3L 3 -3L 1
ł łł ł łł ł łł
qL3
7
3L 2L2 -3L 4L2 -1L
3
12 EI
ł ł ł ł
e
Q11 -1qL
8
1 3
ł ł ł
e 1
qL2 qL2
M11 qL2 ł 4 2
ł ł ł ł
4
ł ł ł ł
= [element 1]
e
ł ł ł ł
Q21 -15qL
1 15
ł łł ł 8 łł
ę! qL ę! qL
8 8
e 3
M21 qL2
2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 14 / 44
Siły Przywęzłowe
Element 2
M1!Q1 [beam element] !Q2 M2
We2 = Ke2de2 - Fe2
q
ł ł
ł ł
ł ł
0
1
12 6L -12 6L
2
ł ł
ł
7
ł 6L 4L2 -6L 2L2 ł ł 24 qL3 ł ł 1L ł
ł
EI EI
ł ł ł ł
8
ł ł
We2 =
ł ł - qL
ł ł
qL4
ł 43 1
L3 ł -12 -6L 12 -6L ł ł ł łł
ł łł
48 EI 2
ł łł
qL3
17
6L 2L2 -6L 4L2
-1L
8
12 EI
ł ł ł ł
e
Q12 -qL
3
ł ł ł
e qL2 qL2
M12 ł
ł ł ł -3qL2 ł 2
2
ł ł ł ł
= [element 2]
e
ł ł ł ł
Q22 0
ł łł ł łł
ę! qL ! 0
e
M22 qL2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 15 / 44
Reactions at Supports I
1 3
qL2 qL2 3qL2 qL2
4 2 2
[element 1] [element 2]
1 15
qL ę! ę! qL qL ę! ! 0
8 8
15
- qL + R2 = qL
8
15 23
R2 = qL + qL = qL
8 8
1
qL2 P = qL M = qL2
4
q
2L L
1 23
qL qL
8 8
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 16 / 44
Reactions at Supports II
1
qL2 P = qL M = qL2
4
q
2L L
1 23
qL qL
8 8
ł ł
ł ł
ł ł
0
qL
-1qL
8
ł ł
ł
1
0
ł ł
qL2 ł ł 1qL2 ł
ł ł
ł ł 3 ł ł
ł ł 4
ł ł ł ł
3
0
ł ł
ł ł qL ł ł
ł 2 ł -23qL
ł ł ł 8 ł
W = Kd - Fq = K =
qL3 - ł
7
5
ł ł
ł -24qL2 ł ł 0 ł
ł
12 EI
ł ł ł ł
ł ł
ł ł ł ł
qL4 1
19 ł ł
ł ł qL 0
ł łł
ł 2 łł
16 EI
ł łł
qL2
qL3
41
-1qL2
8
24 EI
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 17 / 44
Equations of Equilibrium
1
qL2 P = qL M = qL2
4
q
2L L
1 23
qL qL
8 8
?
i
Py = 0
"
i
1 23
qL - q 2L + qL - qL = 0
8 8
?
i
Mx=0 = 0
"
i
1 23 L
qL2 + q 2L L - qL 2L + qL 2L + + qL2 = 0
4 8 2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 18 / 44
Wykresy Sił Przekrojowych
2
1
qL2 P = qL M = qL
4
q
2L L
1 23
qL qL
8 8
1 Q(x)
qL
qL
8
15
qL
8
M(x)
1
3
qL2
qL2
4
2 qL2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 19 / 44


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
6 lect6 truss students
studentcanpost
student
wyklad z analizy matematycznej dla studentow na kierunku automatyka i robotyka agh
april 09 uppersecondary students
cw16 krata student
3? EXAM LANGUAGE ELEMENTSfor students
student10 2
niezbednik studenta cz 2
Dla studentów administracji
notatek pl materiały dla studentów (repetytorium) sem1
student wniosek osw dochody
studentek
WYKL 2 biol 2012 studen

więcej podobnych podstron