Computational Methods
1D Examples
Małgorzata Stojek
Cracow University of Technology
March 2013
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 1 / 44
Truss Example
4
EA
3
5 P
1
1
3
2EA EA 2EA
4
y
1
2
2
x
EA
1 1
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 20 / 44
Truss Discretization
u6 u8
EA
u5 5 4 u7
3
1
1
3
2 EA EA 2 EA
y
4
u4
u2
2
x
1
u1 EA 2 u3
1 1
no elem. nodes global DOFs length Ä… c = cos Ä… s = sin Ä…
" " "
1 1, 3 1, 2, 5, 6 2 Ä„/4 2/2 2/2
2 1, 2 1, 2, 3, 4 1 0 1 0
Ä„
3 3, 2 5, 6, 3, 4 1 - -1
2
" "0 "
4 2, 4 3, 4, 7, 8 2 Ä„/4 2/2 2/2
5 3, 4 5, 6, 7, 8 1 0 1 0
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 21 / 44
Truss Element Library
Prismatic Bar
Stiffness Matrix:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
c2 cs -c2 -cs c2 cs -c2 -cs
ìÅ‚
EA EA
cs s2 -cs -s2 ÷Å‚ ìÅ‚ s2 -cs -s2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Ke = =
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
L -c2 -cs c2 cs c2 cs
L
-cs -s2 cs s2 symm s2
Load Vector due to q(x):
constant distributed load
q(x) = q
ëÅ‚ öÅ‚
c
ìÅ‚ ÷Å‚
s
qL
ìÅ‚ ÷Å‚
Fe =
q
2 íÅ‚ Å‚Å‚
c
s
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 22 / 44
Element Stiffness Matrix
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2 2
- -
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
- -
ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚
" " "2 "2
Ke1 = Ke4 = EA
ìÅ‚ ÷Å‚
4×4 4×4
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
- -
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
" " " "
2 2 2 2
- -
2 2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 -1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Ke2 = Ke5 = EA
4×4 4×4
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 1 0
0 0 0 0
ëÅ‚ öÅ‚
0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 0 -1
ìÅ‚ ÷Å‚
Ke3 = EA
4×4
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0
0 -1 0 1
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 23 / 44
Assembly
Global Stiffness Matrix
K = 08×8 (+) Ke1 (+) Ke2 (+) Ke3 (+) Ke4 (+)Ke5
4×4 4×4 4×4 4×4 4×4
Fq = 08×1 (no distributed loads)
Before assembly
ëÅ‚ öÅ‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
K =
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 24 / 44
no elem. global DOFs
1 1, 2, 5, 6
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2 2
- -
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
- -
ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚
" " "2 "2
Ke1 = EA
ìÅ‚ ÷Å‚
4×4
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
- -
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
" " " "
2 2 2 2
- -
2 2 2 2
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2 2
0 0 - - 0 0
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
0 0 - - 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
K = EA
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
- - 0 0 0 0
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ " " " " ÷Å‚
ìÅ‚ 2 2 2 2 ÷Å‚
- - 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 25 / 44
no elem. global DOFs
2 1, 2, 3, 4
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 -1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Ke2 = EA
4×4
íÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 1 0
0 0 0 0
ëÅ‚ " " " " öÅ‚
2 2 2 2
+ 1 + 0 -1 0 - - 0 0
2 2 2 2
ìÅ‚ " " " " ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
+ 0 + 0 0 0 - - 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 0 1 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
K = EA
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ - - 0 0 0 0
÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ " " " " ÷Å‚
ìÅ‚ 2 2 2 2 ÷Å‚
- - 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 26 / 44
no elem. global DOFs
3 5, 6, 3, 4
ëÅ‚ öÅ‚
0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 0 -1
ìÅ‚ ÷Å‚
Ke3 = EA
4×4
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0
0 -1 0 1
ëÅ‚ " " " " öÅ‚
2 2 2 2
+ 1 -1 0 - - 0 0
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 - - 0 0
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 0 1 + 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 1 0 -1 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
K = EA
ìÅ‚ " " " " ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
- - 0 0 + 0 + 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
- - 0 -1 + 0 + 1 0 0
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 27 / 44
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2 2
- -
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
- -
no elem. global DOFs
ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚
" " "2 "2
Ke4 = EA ìÅ‚ ÷Å‚
4×4
2 2 2 2
4 3, 4, 7, 8 ìÅ‚ ÷Å‚
- -
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
" " " "
2 2 2 2
- -
2 2 2 2
ëÅ‚ " " " " öÅ‚
2 2 2 2
+1 -1 0 - - 0 0
2 2 2 2
ìÅ‚ " " " " ÷Å‚
ìÅ‚ 2 2 2 2
0 0 - - 0 0÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 0 1+ 0 0 - -
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ 0 0 1+ 0 -1 - - ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
K = EA
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚
- - 0 0 0 0÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚
- - 0 -1 +1 0 0÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 - - 0 0
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2
0 0 - - 0 0
2 2 2 2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 28 / 44
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 -1 0
ìÅ‚ ÷Å‚
no elem. global DOFs 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
Ke5 = EA
4×4
íÅ‚ Å‚Å‚
5 5, 6, 7, 8 -1 0 1 0
0 0 0" 0
ëÅ‚" " " öÅ‚
2 2 2 2
+1 -1 0 - - 0 0
2 2 2 2
ìÅ‚ " " " " ÷Å‚
ìÅ‚ 2 2 2 2
0 0 - - 0 0÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 0 1+ 0 0 - -
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ 0 0 1+ 0 -1 - - ÷Å‚
2 2 2 2
÷Å‚
" "
K=EAìÅ‚ "2 "2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
ìÅ‚
- - 0 0 +1 +0 -1 0÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚
- - 0 -1 +0 +1+0 0 0÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 - - -1 0 +1 +0÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚
" " " "
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2
0 0 - - 0 0 +0 +0
2 2 2 2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 29 / 44
Assembly
Generic System of Linear Equations
Kd = Fq = 0
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2 2
+1 -1 0 - - 0 0
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚
0 0 - - 0 0÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 0 1+ 0 0 - -
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 1 + 0 -1 - -
2 2 2 ÷Å‚
" "
K=EAìÅ‚ "2 "2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
ìÅ‚
- - 0 0 + 1 -1 0÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚
- - 0 -1 +1 0 0÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 - - -1 0 +1
2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
" " " "
2 2 2 2
0 0 - - 0 0
2 2 2 2
detK = 0, rank (K) =5
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 30 / 44
Boundary Conditions
kinematic constraints external nodal forces
(essential "BCs") (natural "BCs")
u1 = 0, u2 = 0, u4 = 0 at node no 4, P = 10
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
0
u1 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ 0
u2 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
u3 u3 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
u4 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚

ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
u5 u5 0 ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
u6 u6 0 ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0
u7 u7 0 íÅ‚ Å‚Å‚
-P
u8 u8 0
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 31 / 44
Solution I
" " " " ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2 2
0 0
+1 -1 0 - - 0 0
2 2 2 2
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ 0 0 - - 0 0 0 0
÷Å‚
2 2 2 2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚u3 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ -1 0 1+ 0 0 - - ÷Å‚ 0
2 2 2 2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 1+ 0 -1 - - ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0
ìÅ‚ 2 2 2 2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
÷Å‚
EAìÅ‚ "2 "2 0 0 "2 "2 =ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
- - +1 -1 0
ìÅ‚u5 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ 2 2 2 2 ÷Å‚
" " " " ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
- - 0 -1 +1 0 0
ìÅ‚u6 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2 0
ìÅ‚ ÷Å‚
" " " " ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 - - -1 0 +1
ìÅ‚u7 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2 2
0
íÅ‚ Å‚Å‚
" " " "
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2
0 0 - - 0 0
2 2 2 2
u8 -P
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 32 / 44
Solution II
" " "
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2 2 2
0
u3
1+ 0 0 - -
2 2 2
" "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
ìÅ‚
0 + 1 -1 0÷Å‚ ìÅ‚u5 ÷Å‚ ìÅ‚ 0÷Å‚
ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
ìÅ‚ ìÅ‚
0÷Å‚
EA 0 +1 0 0÷Å‚ ìÅ‚u6 ÷Å‚ = +
ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" " "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚u7 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0Å‚Å‚
- -1 0 +1
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
" " "
2 2 2
- 0 0 -P
u8
2 2 2
"
ëÅ‚ öÅ‚
2
-1 0
2
" "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ëÅ‚ öÅ‚
- - 0
ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚
0
" "
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
-EA - - -1 0
ìÅ‚ 2 2 ÷Å‚
"
ìÅ‚ ÷Å‚
0
2
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 -
2
íÅ‚ Å‚Å‚
"
2
0 0 -
2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 33 / 44
Solution III
Solution is:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
0 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
u3 -P ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ " ÷Å‚ u3 -P
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚u5 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
P 2+1 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ 0 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚u6 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ "
1 1
-P ìÅ‚ ÷Å‚
= d=ìÅ‚ ÷Å‚=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
EA ìÅ‚ ÷Å‚ EAìÅ‚ P 2+1 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ " ÷Å‚ u5
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚u7 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
P 2+2 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ -P ÷Å‚
u6
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
" ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"
u8 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
-P 2 2+3
P
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ 2+2 ÷Å‚
u7
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ " Å‚Å‚
u8 -P 2 2+3
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 34 / 44
Reactions at Supports
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
0
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
-P
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ -P
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
2P
ìÅ‚ ÷Å‚
1 "
W = Kd - Fq = KEA ìÅ‚ P 2 1 ÷Å‚ - 0 =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
+
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
-P
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
"
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
P 2 + 2
íÅ‚ Å‚Å‚
0
íÅ‚ Å‚Å‚
"
-P 2 2 + 3 -P
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 35 / 44
Equations of Equilibrium
1 1
y
4
3
P
x
1
1
0 2
P
2P
?
i
Py = 0 -P + 2P - P = 0
"
i
?
i
M1 = 0 2P · 1 - P · 2 = 0
"
i
?
i
M4 = 0 P · 2 - 2P · 1 = 0
"
i
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 36 / 44
Postprocessing in Global Coordinate System
Siły przywęzłowe W
- Wxe2, Ä™! Wye2
Ä…
- Wxe1, Ä™! Wye1
ëÅ‚ öÅ‚
Wxe1
ìÅ‚ ÷Å‚
Wye1
ìÅ‚ ÷Å‚
We = = Kede - Fe = Kede
q
íÅ‚ Å‚Å‚
Wxe2
Wye2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 37 / 44
u1 u2 u3 u4 " u6 " u"
u5 u7
8
P 2+1 P 2+2 -P 2 2+3
( ) ( ) ( )
-P -P
0 0 0
EA EA EA EA EA
no elem. nodes global DOFs
1 1, 3 1, 2, 5, 6
ëÅ‚ öÅ‚
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1
0
2 2 2
"2 2 "2 -1 "2 -1 "2 ìÅ‚ 0 ÷Å‚ -P
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 -1 2 -1 2
ìÅ‚ " ÷Å‚ -P
ìÅ‚ 2 2 2 2 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" " " "
EA ìÅ‚ P 2+1 ÷Å‚ =
( )
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
P
-1 "2 -1 "2 1 "2 1 "2 Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2 2 EA
1 1
-P P
-1 2 -1 2 2 2
2 2 2 2
EA
P
y
P
3
x
1
P
1
"
P
pręt rozciągany P 2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 38 / 44
u1 u2 u3 u4 " u6 " u"
u5 u7
8
P 2+1 P 2+2 -P 2 2+3
( ) ( ) ( )
-P -P
0 0 0
EA EA EA EA EA
no elem. nodes global DOFs
2 1, 2 1, 2, 3, 4
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
0
1 0 -1 0 P
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
EA ìÅ‚ -P
÷Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
-1 0 1 0
íÅ‚ Å‚Å‚ -P
EA
0 0 0 0 0
0
y
x
P P
1 2
2
pręt ściskany P
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 39 / 44
u1 u2 u3 u4 " u6 " u"
u5 u7
8
P 2+1 P 2+2 -P 2 2+3
( ) ( ) ( )
-P -P
0 0 0
EA EA EA EA EA
no elem. nodes global DOFs
3 3, 2 5, 6, 3, 4
ëÅ‚ " öÅ‚
P 2+1
( )
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
0 0 0 0 EA 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ -P
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 0 -1
ìÅ‚ ÷Å‚ -P
EA
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
EA ìÅ‚ ÷Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚ -P
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 0 ìÅ‚ ÷Å‚ 0
EA
íÅ‚ Å‚Å‚
0 -1 0 1 P
0
P
3
y
3
x
2
P
pręt ściskany P
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 40 / 44
u1 u2 u3 u4 " u6 " u"
u5 u7
8
P 2+1 P 2+2 -P 2 2+3
( ) ( ) ( )
-P -P
0 0 0
EA EA EA EA EA
no elem. nodes global DOFs
4 2, 4 3, 4, 7, 8
ëÅ‚ öÅ‚
-P
" " " "
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
EA
1 1
2 2 2
"2 2 "2 -1 "2 -1 "2 ìÅ‚ 0 ÷Å‚ P
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 -1 2 -1 2 P
ìÅ‚ ÷Å‚
"
ìÅ‚ 2 2 2 2 ÷Å‚
" " " "
EA =ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 "2 -1 "2 1 "2 1 "2 Å‚Å‚ íÅ‚ P( 2+2) íÅ‚ -P
2 2 2 2
EA
Å‚Å‚
"
1 1
-P
-1 2 -1 2 2 2
-P 2 2+3
( )
2 2 2 2
EA
P
y
P
4
x
4
P
2
"
P pręt ściskany P 2
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 41 / 44
u1 u2 u3 u4 " u6 " u"
u5 u7
8
P 2+1 P 2+2 -P 2 2+3
( ) ( ) ( )
-P -P
0 0 0
EA EA EA EA EA
no elem. nodes global DOFs
5 3, 4 5, 6, 7, 8
ëÅ‚ " öÅ‚
P 2+1
( )
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
EA
ìÅ‚ ÷Å‚
1 0 -1 0 -P
ìÅ‚ -P
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 EA 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ " ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
EA =
ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ P 2+2 ÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
( )
-1 0 1 0 P
ìÅ‚ ÷Å‚
EA
íÅ‚ Å‚Å‚
"
0 0 0 0 0
-P 2 2+3
( )
EA
5
3 4
P P
y
x
pręt rozciągany P
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 42 / 44
Sprawdzenie
Siły przywęzłowe w prętach. Reakcje więzów, obciążenia węzłów.
4
5 3
P 3 4 P
y
P
P
P P
y
x
P 3
P
3
x 4
3
1
4
P 2 P 2
1
1
0 2
P
P P
P
P P
2P
1 2
2
Równowaga węzłów:
2P
1 2 3 4
P4
P1
P3
4
P2 P1 P P2 P1 P5 P5 P4
1
P
P3 P1
P
4
P
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 43 / 44
Axial Forces
Globaliz ation: Force Transformation
_
ëÅ‚ öÅ‚
fyj fyj
_
c s 0 0
fxj
ìÅ‚ ÷Å‚
-s c 0 0
fxj
ìÅ‚ ÷Å‚
T =
j
íÅ‚ Å‚Å‚
y
_ 0 0 c s
fyi
_
fyi
0 0 -s c
fxi Ä…
x
fxi
i
Node f orces transf orm as
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
f c s 0 0 fxi
xi
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
f -s c 0 0 fyi ÷Å‚
yi
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
=
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
f 0 0 c s fxj Å‚Å‚
xj
0 0 -s c fyj
f
yj
e
W = T We
MS (L-53 CUT) Beam & Truss 03/2013 44 / 44