KARTOGRAFIA ELIPSOIDY OBROTOWEJ
o Przy tworzeniu map wielkoskalowych (mianownik skali < 25 000) konieczne jest
uwzględnienie spłaszczenia Ziemi. Z tego powodu przyjmujemy, \
e kształt Ziemi
zbli\
ony jest do elipsoidy obrotowej, a nie kuli.
o Przejście z fizycznej powierzchni Ziemi (przybli\
onej odpowiednio zdefiniowaną
elipsoidą obrotową, np.: GRS-80) mo\
emy realizować na dwa sposoby:
a) jednoetapowo:
ELIPSOIDA PA
ASZCZYZNA
bezpośrednie odwzorowanie elipsoidy na płaszczyznę,
analogiczne zasady konstruowania odwzorowań co dla kuli,
wykorzystywane są wzory na długość łuku południka i równole\
nika oraz średni
promień krzywizny ziemi dla elipsoidy;
b) dwuetapowo, tzw. odwzorowanie podwójne:
ELIPSOIDA KULA PA
ASZCZYZNA
pierwszy etap: odwzorowanie elipsoidy na kulę według ró\
nych metod, np:
�! rzut środkowy elipsoidy na kulę,
�! rzut elipsoidy na kulę przy pomocy szerokości zredukowanych,
�! rzut wiernopolowy elipsoidy na kulę,
�! wiernokątny rzut Lagrange a elipsoidy na kulę,
�! wiernokątny rzut Gaussa (tzw. pruski rzut podwójny),
drugi etap: odwzorowanie kuli na płaszczyznę  według poznanych wcześniej
zasad konstruowania odwzorowań azymutalnych, walcowych i sto\
kowych
dla kuli.
PRZYKA
ADY ODWZOROWAC
WYKORZYSTYWANYCH DO TWORZENIA MAP WIELKOSKALOWYCH
ODWZOROWANIE WIERNOK
TNE ROUSSILHE A
jest to quasi-stereograficzne odwzorowanie elipsoidy na płaszczyznę,
punkt przyło\
enia płaszczyzny odwzorowawczej do elipsoidy nazywany jest punktem
głównym lub środkowym odwzorowania,
odwzorowanie to odpowiada ukośnemu odwzorowaniu stereograficznemu kuli
o promieniu R0 = M0 �" N0 , gdzie M0 i N0 są to główne promienie krzywizny
powierzchni elipsoidy w punkcie głównym,
zaletą odwzorowania są małe zniekształcenia liniowe,
zmniejszenie bezwzględnej wartości zniekształceń liniowych i pól na płaszczyz
nie
otrzymuje się poprzez zmniejszenie promienia kuli R0 o pewną dowolną wartość
zwaną stałą skali,
str. 1/5
Z. Muszyński, 2006 Układy współrzędnych
 siatka geograficzna przedstawi się na płaszczyz
nie jako zespół linii krzywych, bardzo
zbli\
onych do łuków kół
ODWZOROWANIE WIERNOK
TNE GAUSSA-KR�GERA
wiernokątne odwzorowanie elipsoidy na płaszczyznę powszechnie stosowane
w geodezji,
przebiega w trzech etapach:
a) wiernokątne odwzorowanie (Lagrange a) elipsoidy na sferę (przekształcenie
szerokości geodezyjnej B w szerokość sferyczną �,
�! odwzorowanie wiernokątne całej powierzchni elipsoidy na całą sferę,
�! długość geodezyjna L przechodzi bez zmian w długość sferyczną ,
b) wiernokątne odwzorowanie walcowe poprzeczne (Mercatora) wąskiego pasa
południkowego sfery na płaszczyznę (walec styczny w południku, który jest
południkiem środkowym odwzorowania Gaussa-Kr�gera),
c) wiernokątne przekształcenie płaszczyzny odwzorowania Mercatora w płaszczyznę
Gaussa-Kr�gera, przy wykorzystaniu szeregów trygonometrycznych,
południk środkowy zostaje odwzorowany wiernie (skala długości m = 1.0) i jest linią
prostą
TOPOGRAFICZNE UKA
ADY WSPÓA
RZ
DNYCH PA
ASKICH PROSTOK
TNYCH
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH 1992
powstał poprzez
jednostrefowe (dla obszaru
całej Polski) odwzorowanie
Gaussa-Kr�gera elipsoidy
GRS-80 z południkiem
osiowym (środkowym)
L0 =19o ,
przyjęta skala długości na
południku osiowym (skala
kurczenia) m0 = 0.9993
ma na celu równomierne
rozło\
enie zniekształceń
liniowych (od -70 cm/km
na południku osiowym do
ok. +90 cm/km w skrajnych obszarach Polski).
str. 2/5
Z. Muszyński, 2006 Układy współrzędnych
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH GUGIK  80
jednostrefowe odwzorowanie
quasi-stereograficzne dla
Gdańsk
obszaru całej Polski Koszalin
Olsztyn
x
GUGIK 1980
Szczecin
opierające się
Białystok
Bydgoszcz B = 52� 10
0
L = 19� 10
0
na odwzorowaniu
m = 0.9997142857
0
Poznań
Roussilhe a elipsoidy
Warszawa
y = 500 000 m
0
Krasowskiego,
A
ódz

Zielona Góra
średni promień krzywizny
Wrocław x = 500 000 m
0
Lublin
elipsoidy w punkcie
Opole
Kielce
głównym Katowice
R0 = 6383515.6754446 m
Kraków
Rzeszów
układ współrzędnych
stosowany dawniej dla map
y
GUGIK 1980
w skalach 1:100 000 oraz
1:500 000
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH 1942(6)
utworzony przez
zastosowanie
odwzorowania
Gaussa-Kr�gera
elipsoidy
Krasowskiego
w pasach
szerokości 6o, przy
zało\
eniu wiernego
odwzorowania
południka środkowego
ka\
dej strefy
( m0 =1.0 ),
na obszarze Polski istniały dwie strefy: 1942/15(6) i 1942/21(6) z południkami
osiowymi odpowiednio 15o (cecha: 3) i 21o(cecha: 4),
współrzędne pełne obliczano według wzorów:
x1942(6) = xGK , y1942(6) = cecha �"1000000 + yGK + 500000
u\
ywany dawniej dla map średnioskalowych i drobnoskalowych.
str. 3/5
Z. Muszyński, 2006 Układy współrzędnych
GEODEZYJNE UKA
ADY WSPÓA
RZ
DNYCH PA
ASKICH PROSTOK
TNYCH
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH 2000
utworzony przez
odrębne odwzorowania
Gaussa-Kr�gera
elipsoidy GRS-80
w pasach szerokości 3o,
tworzy na obszarze
Polski cztery strefy:
2000/15, 2000/18,
2000/21 i 2000/24
z południkami
osiowymi 15o, 18o, 21o
i 24o oznaczonymi cechami: 5, 6, 7 i 8,
skala długości dla wszystkich południków osiowych wynosi: m0 = 0.999923
(zniekształcenia długości wynoszą od -7,7 cm/km na południku osiowym do
ok. +7 cm/km na styku sąsiednich stref),
aktualny układ współrzędnych mapy zasadniczej, pełne współrzędne określa się
według wzorów: x2000 = m0 �" xGK , y2000 = cecha �"1000000 + m0 �" yGK + 500000 .
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH 1965
Okręgi jednakowych zniekształceń
składa się z pięciu stref: liniowych [mm/km]
1965/1, 1965/2, 1965/3,
B0 = 53� 00 07
Koszalin
Gdańsk
1965/4 i 1965/5
L0 = 21� 30 10
B0 = 53� 35 00
m0 = 0.9998
0 50 100 150
stanowiących odrębne
L0 = 17� 00 30
III Olsztyn
Szczecin
200
m0 = 0.9998
odwzorowania
II Białystok
powierzchni elipsoidy
150 100 50
Bydgoszcz 200
Poznań
Krasowskiego,
Warszawa
Zielona Góra
100
w strefach 1-4
150
A
ódz

200
zastosowano
IV
B0 = 50� 37 30
B0 = 51� 40 15
L0 = 21� 05 00
odwzorowanie quasi-
Wrocław
L0 = 16� 40 20
m0 = 0.9998
Lublin
m0 = 0.9998
stereograficzne
Opole
Kielce
I
100 0
(Roussilhe a) ze skalą 150 50
Katowice
200
w punkcie głównym V
Odwzorowanie G-K
Południk środkowy:
Kraków
Rzeszów
m0 = 0.9998 ,
L0 = 18� 57 30
m0 = 0.999983
(zniekształcenia długości
równe -0,2 m/km),
str. 4/5
Z. Muszyński, 2006 Układy współrzędnych
 zasada odwzorowania południka środkowego (dla stref 1-4) przechodzącego przez
punkt główny: łuk "sx rozciągany jest na sferze stycznej do elipsoidy w punkcie
głównym (o promieniu R0 ) a następnie jest stosowany rzut stereograficzny
i skalowanie,
Odwzorowanie
południka
Płaszczyzna
x = 2Rstg("sx / 2Rs )
środkowego
odwzorowania
x1965 = m0x + x0
y1965
Elipsoida
"sx Punkt główny
P
o
x1965
Rs
Rs
m0=0,9998
Rs = RM
B0 s0 "s /R
x s
L0 W kierunku prostopadłym y:
"sx/2Rs
y = 2Rstg("sy / 2Rs )
Sfera
y1965 = m0 y + y0
piąta strefa to odwzorowanie Gaussa-Kr�gera o skali na południku środkowym
m0 = 0.999983 ,
w ka\
dej strefie początek układu współrzędnych został przesunięty i posiada pewne
określone współrzędne,
przejściowo (do końca 2009 r.) funkcjonuje jako układ współrzędnych mapy
zasadniczej, zastąpiony układem 2000.
UKA
AD WSPÓA
RZ
DNYCH 1942(3)
utworzony przez zastosowanie odwzorowania Gaussa-Kr�gera elipsoidy
Krasowskiego w pasach szerokości 3o, przy zało\
eniu wiernego odwzorowania
południka środkowego ka\
dej strefy ( m0 =1.0 )
tworzył na obszarze Polski cztery strefy: 1942/15, 1942/18, 1942/21 i 1942/24
z południkami osiowymi 15o, 18o, 21o i 24o oznaczonymi cechami: 5, 6, 7 i 8,
współrzędne pełne tworzone według wzorów z układu 1942(6) z właściwymi cechami
układu 1942(3),
u\
ywany dla map wielkoskalowych od roku 1952 do wprowadzenia układu 1965.
Literatura:
[1] Wytyczne techniczne G-1.10. Formuły odwzorowawcze i parametry układów
współrzędnych. Wydanie drugie zmienione. GUGiK, Warszawa 2001
[2] E. Osada: Geodezja. Podręcznik elektroniczny w Mathcadzie 2001i. Wydanie II
rozszerzone. Oficyna Wydawnicza PWr, Wrocław 2002.
[3] J. Tatarkowski: Kartografia, Wyd. Akademii Rolniczej w Krakowie, Kraków 1993.
Zamieszczone w tekście rysunki pochodzą z [1] i [2].
str. 5/5
Z. Muszyński, 2006 Układy współrzędnych