LISTA 2
Funkcje i ich podstawowe wlasności.
Definicja 1 Jeżeli każdemu elementowi x " X przyporzadkujemy dok adnie je-
den elemen y " Y , to m wimy, że na zbiorze X zosta a okréslona funkcja (lub
odwzorowanie lub przekszta cenie), odwzorowujaca zbi r X w zbi r Y .
Bedziemy pisać f : X Y , gdzie X - dziedzina funkcji f, Y - przeciwdziedz-
ina lub zapas funkcji f.
Bedziemy pisać y = f(x), gdzie x - argumentem funkcji f, y - wartość funkcji
f.
Niech f : X Y , A ‚" X i B ‚" Y . Wtedy
" f(A) := {f(x) : x " A} - obraz zbioru A w odwzorowaniu f,
" f-1(B) := {x " X : f(x) " B} - przeciwobraz zbioru B w odwzorowaniu
f.
Zbi r f(X) (obraz dziedziny) nazywamy zbiorem wartości funkcji f. W
przypadku gdy f(X) = Y , funkcje f nazywamy suriekcja lub odwzorowaniem
na.
Niech f : X Y . Wtedy G(f) = {(x, f(x)) : x " X} nazywamy wykresem
funkcji f.
Niech f : X Y , A ‚" X (A = "). Funkcje f bedziemy nazywać r żnowarto-

ściowa (lub iniekcja) na zbiorze A, jeżeli jest spelniony warunek
" (x1 = x2 Ò! f(x1) = f(x2)).

x1,x2"A
Jeżeli funkcja f jest r żnowartościowa na calej dziedzinie X, to m wimy kr tko,
że f jest r żnowartościowa (f jest iniekcja).
Definicja 2 Funkcje f : X Y , kt ra jest r żnowartósciowa i jest odw-
zorowaniem na (inaczej: jest iniekcja i suriekcja) bedziemy nazrya´ odwzorowa-
c
niem wzajemnie jednoznacznym (bijekcja).
Definicja 3 Niech f : X Y bedzie bijekcja. Wtedy funkcje f-1 : Y X
okréslona nastepujaco:
f-1(y) = x Ô! y = f(x)
nazyamy funkcja odwrotna do funkcji f.
Niech dane beda trzy zbiory (niepuste) X, Y, Z oraz dwie funkcje f : X Y
oraz g : Y Z.
Definicja 4 Z ożeniem funkcji f oraz g nazywamy funkcje h : X Z, okréslona
w nastepujacy spos b:
h(x) := g(f(x)).
Zlożenie funkcii f i g oznaczamy symbolem gć%f . Zatem (gć%f)(x) := g(f(x)),
przy czym f nazywa sie funkcja wewnetrzna, natomiast g - funkcja zewnetrzna.
Twierdzenie 5 Niech f : X Y bedzie bijekcja. Wtedy zachodza r wnósci:
(f ć% f-1)(x) = x, (f-1 ć% f)(x) = x
Bibliografia
[1] J. BanaÅ›, Podstawy matematyki dla ekonomist w, WNT 2005.
1