LISTA 1
Elementy logiki matematycznej, zbiory.
Zdaniem logicznym bedziemy nazywać każde zdanie, kt remu można przy-
pisać dokladnie jedna z dw ch ocen: prawda (1) lub falsz (0).
Zdania bedziemy oznaczać malymi literami: p, q, r, s...
Funktory zdaniotw rcze (sp jniki logiczne):
" <" - negacja (<" p - nieprawda, że p ),
" (" - alternatywa (p (" q - p lub q ). Alternatywa dw ch zdań jest falszywa
tylko wtedy, gdy oba te zdania sa falszywe,
" '" - koniunkcja (p '" q - p i q ). Koniunkcia dw ch zdań jest prawdziwa
tylko wtedy, gdy obydwa te zdania sa prawdziwe.
" Ò! - implikacja (p Ò! q - jeżeli p to q , z p wynika q ). Zdanie p
nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie q nastepnikiem implikacji.
Zdanie p jest warunkiem wystarczajacym (dostatecznym) dla q, a q jest
warunkiem koniecznym dla p. Implikacja jest falszywa tylko wtedy, gdy
jej p jest zdaniem prawdziwym, a q jest zdaniem falszywym.
" Ô! - r wnoważność (p Ô! q - p r wnoważne q , p wtedy i tylko wtedy, gdy
q ). R wnoważność dw ch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy obydwa
te zdania maja taka sama wartość logiczna (falszywa lub prawdziwa).
Za pomoca sp jnik w logicznych i skończonej liczby zdań możemy budować
wyrażenia logiczne. Wyrażenia logiczne, kt re sa prawdziwe bez wzgledu na
to, jaka wartość logiczna maja zdania, z kt rych te wyrażenia sa zbudowane,
nazywamy tautologiami lub prawami logicznymi.
Podstawowe prawa logiczne:
" [<" (<" p)] Ô! p (prawo podw jnej negacji),
" (p (" q) Ô! (q (" p) (prawo przemiennoÅ›ci dla alternatywy),
" (p '" q) Ô! (q '" p) (prawo przerniennoÅ›ci dla koniunkcji),
" [p '" (q (" r)] Ô! [(p '" q) (" (p '" r)] (prawo rozdzielnoÅ›ci koniunkcji wzgledem
alternatywy),
" [p ("(q '" r)] Ô! [(p ("q)'" (p ("r)] (prawo rozdzielnoÅ›ci alternatywy wzgledem
koniunkcji),
" [(p (" q) (" r] Ô! [p (" (q (" r)] (prawo lacznoÅ›ci dla alternatywy),
" [(p '" q) '" r] Ô! [p '" (q '" r)] (prawo lacznoÅ›ci dla koniunkcji),
" (p Ò! q) Ô! [(<" q) Ò! (<" p)] (prawo kontrapozycji),
" [<" (p (" q)] Ô! [(<" p) '" (<" q)] prawo de Morgana,
" [<" (p '" q)] Ô! [(<" p) (" (<" q)] prawo de Morgana.
Kwantyfikatory:
1
" maly kwantyfikator "( ). Wtedy "f(x) ( f(x)) - istnieje takie x, że
x
x
f(x) lub dla pewnega x zachodzi f(x) .
" duży kwantyfikator "( ). Wtedy "f(x) ( f(x)) - dla każdego x zachodzi
x
x
f(x) lub dla wszystkich x zachodzi f(x) .
Prawa de Morgana dla kwantyfikator w:
" <" "f(x) Ô! " <" f(x),
x x
" <" "f(x) Ô! " <" f(x).
x x
Zbiory oznaczamy dużymi literami: A, B, C...
Elementy zbioru oznaczamy malymi literami: a, b, c...
a " A - a należy do zbioru A , a jest elementem zbioru A , a należy do
A .
a " A - a nie należy do A .
/
Używamy dw ch sposob w określania (zadawania) zbioru. Pierwszy spos b
polega na wypisaniu wszystkich element w zbioru. Drugi spos b polega na
podaniu warunku (funkcji zdaniowej) charakteryzujacego elementy zbioru:
A = {x : w(x)}.
A ‚" B - A zawiera sie w B , A jest podzbiorem zdioru B , B jest
nadzbiorem zbioru A .
Jeżeli A ‚" B i A = B, to A nazywamy podzbiorem wlaÅ›ciwym zbioru B i

piszemy A B.
Zbi r, kt ry nie zawiera żadnych element w bedziemy nazywać zbiorem
pustym i oznaczać przez ".
Dzialania na zbiorach:
" A *" B := {x : x " A (" x " B} - suma zbior w A i B,
" A )" B := {x : x " A '" x " B} - iloczyn (cześć wsp lna) zbior w A i B,
" A \ B := {x : x " A '" x " B} - r żnica zbior w A i B,
/
" A := {x : x " A} - dopelnienie zbioru A,
/
" A ÷ B := (A \ B) *" (B \ A) - r żnica symetryczna zbior w A i B.
Prawa rachunku zbior w:
" A *" B = B *" A, A )" B = B )" A - prawa przemienności,
" (A *" B) *" C = A *" (B *" C), (A )" B) )" C = A )" (B )" C) - prawa laczności,
" A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C) - prawo rozdzielności mnożenia wzgledem
dodawania,
" A*"(B )"C) = (A*"B))"(A*"C) - prawo rozdzielności dodawania wzgledem
mnożenia,
" (A *" B) = A )" B , (A )" B) = A *" B - prawa de Morgana.
2
Rodzina zbior w
" {Xt}t"T - rodzina zbior w o zbiorze indeks w T .
Dla T = = {1, 2, ...}, mamy {Xn}n" = {Xn}" = {X1, X2, X3, ...} -
n=1
ciag zbior w.
" Xt := {x : " x " Xt} - suma rodziny zbior w {Xt}t"T
t"T
t"T
"
Dla {Xn}n" oznaczamy Xn lub Xn.
n" n=1
" Xt := {x : " x " Xt} - iloczyn (cześć wsp lna) rodziny zbior w
t"T
t"T
{Xt}t"T
"
Dla {Xn}n" oznaczamy Xn lub Xn.
n" n=1
Prawa dla rodzin zbior w:
" A )" Xt = (A )" Xt),
t"T t"T
" ( Xt) = Xt,
t"T t"T
" ( Xt) = Xt.
t"T t"T
Iloczyn kartezjański
" (a1, a2, , ..., an) - ciag n-elementowy (uporzadkowany zbi r n-elementowy)
" A B := {(a, b) : a " A, b " B} - iloczyn kartezjański zbior w A i B,
" A1 A2 ... An := {(a1, a2, , ..., an) : a1 " A1, a2 " A2, ..., an " An}
Jeżeli A1 = A2 = ... = An = A to A1 A2 ... An = An
Zbiory liczbowe:
" = {1, 2, 3, 4, ...} - zbi r liczb naturalnych,
" = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} - zbi r liczb calkowitych,
m
" = { : m, n " , n = 0} - zbi r liczb wymiernych,

n
" - zbi r liczb rzeczywistych.
Przedzialy
" [a, b] - przedzial domkniety o końcach a i b
" (a, b) - przedzial otwarty o końcach a i b
" [a, b) - przedzial lewostronnie domkniety i prawostronnie otwarty o koń-
cach a i b
3
" (a, b] - przedzial lewostronnie otwarty i prawostronnie domkniety o koń-
cach a i b
" (a, +") = {x " : x > a}
" [a, +") = {x " : x e" a}
" (-", a) = {x " : x < a}
" (-", a] = {x " : x d" a}
" (-", +") =
" = [0, +")
+
" = (-", 0]
-
Bibliografia
[1] J. BanaÅ›, Podstawy matematyki dla ekonomist w, WNT 2005.
4