Slajd 1
ELEKTRYCZNOŚĆ i
MAGNETYZM
ELEKTROSTATYKA
zagadnienia zwiÄ…zane z
oddziaływaniem ładunków
elektrycznych w spoczynku
Slajd 2
q
Podstawowe pojęcia
q
 =
l
elektrostatyki q
à =
S
siły elektrostatyczne wywołane
q
Á =
sÄ… Å‚adunkiem elektrycznym
V
Å‚adunek elementarny e = 1.60×10 19 C
Å‚adunek punktowy, liniowy,
powierzchniowy i objętościowy
w układzie zamkniętym całkowity ładunek
pozostaje stały
1 q1 Å" q2 q1 Å" q2
F = = k
4Ä„ µo r 2 r 2
prawo Coulomba
k
gdzie µ0=8.854×10 12 C2/(Nm2) to przenikalność dielektryczna próżni
Slajd 3
F
q
Pole elektryczne
r
E
Natężenie pola elektrycznego
P
r
v
F
r r
E = [N/C] lub [V/m] r=rÅ" r'
Q
q
Pole elektryczne Å‚adunku punktowego
r
r
r
1 Q
gdzie r' jest wektorem jednostkowym
E = r'
4Ä„ µo r 2 skierowanym od Å‚adunku Q do punktu P(x, y, z)
r
r
Q1 E1 E2
Pole od n ładunków punktowych r
E3
n n
r Q
r, r
j
1
E = r =
" "E (x,y,z) Q2
P
4Ä„ µo j =1 r j2 j j =1 j
Q3
r
Pole od Å‚adunku rozÅ‚ożonego z gÄ™stoÅ›ciÄ… Á
r
r
r
r
Á(x, y, z)
1
E = dxdydz
+"
4Ä„ µo V r 2
V
r
Slajd 4
Dipol elektryczny
r
r
moment dipolowy p = Ql
F l
r
=
z podobieństwa trójkątów
p
F1 r
l l Qq p
ëÅ‚ öÅ‚
F = F1 = k = qk
ìÅ‚ ÷Å‚
2
r r r
íÅ‚ r Å‚Å‚ r3
F2
r
F
p
1
E =
4Ä„ µo r 3
r
F1
Slajd 5
Energia potencjalna
prawo
Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym tzn.
Faradaya
r
r r r
r r
dla pola
WABA = F Å" ds = q E Å" ds = 0 Ò!
E Å" ds = 0
+" +"
elektrosta
+"
-tycznego
Energia potencjalna to praca jaką muszą wykonać siły
zewnętrzne, aby przenieść ładunek z nieskończoności do danego
punktu pola
A "
r r
r r
UA = -q E Å" ds = q E Å" ds
+" +"
" A
Energia potencjalna Å‚adunku punktowego q umieszczonego w
polu ładunku Q (tor radialny więc ds = dr)
r
Q 1 qQ
1
rA rB r
U = -q dr = U
+"
4Ä„ µoµr r 2 4Ä„ µoµr r
"
Q, q różnoimienne to U<0
przy rozsuwaniu siły zew. wykonują pracę to U wzrasta
Slajd 6
Potencjał pola
elektrostatycznego
Potencjał elektryczny określamy jako energię
potencjalnÄ… jednostkowego Å‚adunku
U
V = wolt V = J/C
q
Potencjał elektryczny jest to praca jaką należy
wykonać aby przenieść jednostkowy ładunek z
nieskończoności na odległość r od danego
Å‚adunku Q
A
r
r
Q
1
V = - E Å" ds V =
+"
4Ä„µoµr r
"
Slajd 7
Różnica potencjałów  napięcie elektryczne
V+dV
A
r
r
V
V-dV
"V = VA - VB = - E Å" ds
+"
r
ds B
E
r
r
r
dV r
E = - Å"
E = - grad V
dr r

r r r
ëÅ‚ "V "V "V öÅ‚
V = i + j + k
grad -ìÅ‚ ÷Å‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
powierzchnie ekwipotencjalne  stały potencjał
r r
r r
V=const Ò!"V=0 Ò! E Å" dr = 0 czyli E Ä„" dr
powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do linii sił pola
Slajd 8
Strumień pola elektrycznego
r
strumień to iloczyn natężenia
S
pola przez powierzchniÄ™
S
r r
ÅšE = E Å" S = EScosÄ… [Vm]
r r r r
ÅšE = E Å""S = E Å" dS
"
j j +"
j
S
r
"Sj
strumień określa liczbę linii sił pola
przechodzÄ…cych przez danÄ… powierzchniÄ™
Slajd 9
Prawo Gaussa
strumień natężenia pola elektrycznego przez
dowolną, zamkniętą powierzchnię równy jest
całkowitemu ładunkowi zamkniętemu w tej
powierzchni podzielonemu przez µoµr
n
qi
ÅšE =
"µ µ
o r
i=1
w przypadku ładunku o gęstości objętościowej
r r
1
E Å" dS = ÁdV
+" +"
µoµr V
S
Slajd 10
PRZYKA
AD - nieskończona
płaszczyzna o gęstości
powierzchniowej Å‚adunku Ã
r r
Ã
E
E Å" dS = 2ESo
+"
ÃSo
2ESo =
µ µ
o r
S0
Ã
E =
2µoµ
r
Slajd 11
Pole elektryczne w dielektrykach
Dielektryk umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym E0
pow. Gaussa
Ã
E0
Ãz
dielektryk
Prawo Gaussa
r r
(Ã - Ã )Å" "S (Ã - Pn)"S
z
Ep E Å" dS = =
+"
Ãz µ0 µ0
S
E=E0-Ep
zamiast mówić o ładunkach
zwiÄ…zanych wprowadzamy wektor
dielektryk ulega polaryzacji
polaryzacji dielektrycznej P
na powierzchni indukujÄ… siÄ™
r r r r r
Å‚adunki zwiÄ…zane o gÄ™stoÅ›ci Ãz
(µoE + P)dS = D Å" dS = Ã"S = Q
+" +"
S S
r r r r r r r
D = µoE + P D = µoE + µoÇ E = µo(1 + Ç )E
r r
µr = 1 + Ç
wektor indukcji elektrostatycznej D = µoµrE
Slajd 12
Prawo Gaussa w dielektrykach
r r r r
D Å" dS = Q
D = µoµrE
+"
S
Strumień wektora indukcji przez powierzchnię zamkniętą
równy jest ładunkowi swobodnemu zawartemu w obszarze
ograniczonym rozpatrywanÄ… powierzchniÄ…
r r
r r
1
o
+"µ µrE Å" dS = Q
+"E Å" dS = Q
µoµr
S
S
informacja o dielektryku zawarta jest w przenikalnoÅ›ci dielektrycznej µr
r r
1
E Å" dS = Q
Dla próżni µr=1, a Ç=0 +"
µo
S
Slajd 13
linie sił prądu
I
PrÄ…d elektryczny
prąd elektryczny to ilość ładunku przepływająca
przez dany przekrój w jednostce czasu (1A)
r r
dQ
Q
I = = I = j Å" S
t
dt
r
r r
r r
j = Ávd = nevd
I = j Å" dS
gęstość prądu
+"
S
Prawo Ohma: stosunek R = "V/I nie zależy od
natężenia prądu I dla metali przy stałej
temperaturze (1om &! =V/A)
r r r
r
Ã
- przewodność
"V
j = nevd = neµE = Ã E
I =
R właściwa (S)
Slajd 14
Pole magnetyczne
Oddziaływania magnetyczne
elektrostatyka  oddziaływanie nieruchomych
ładunków
gdy Å‚adunki poruszajÄ… siÄ™ pojawia siÄ™ nowy
typ oddziaływania  oddziaływanie
magnetyczne, zależne od prędkości ładunków
na naładowaną cząstkę poruszającą się w
polu magnetycznym działa siła, wynikająca z
istnienia tego pola
Slajd 15
Istnienie siły magnetycznej jest
następstwem uwzględnienia szczególnej
teorii relatywistycznej w prawie Coulomba
wzór Lorentza konsekwencją fizyki
relatywistycznej F=qvB
pole magnetyczne B=F/qv  indukcja
magnetyczna [B]=Ns/Cm=N/Am=T (tesla)
µ0=1/µ0c2  przenikalność magnetyczna
próżni = 4Ä„·10-7 V·s/A·m c2 =1/(µ0·µ0)
względność pól: magnet. i elektrycznego
indukcja, a natężenie pola magnetycznego
r r
1 I
B = Å" = µ0 Å" H
µ0c2 2Ä„ r
Slajd 16
Prawo Ampera
Pozwala wyznaczyć pole magnetyczne
w przypadku symetrii układów prądów
Rozważmy nieskończenie długi przewód
prostoliniowy w którym płynie prąd I I
r
r
r
ds
r
Cyrkulacja wektora B po okręgu:
B
I
r
r
µoµr 2I
B Å" ds = Bds = B ds = Å" 2Ä„ r = µoµr I
r
+"+"
r +"
B|ds B=const. 4Ä„ r
|
Slajd 17
Treść prawa Ampera
Cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej jest równa
sumie algebraicznej natężeń prądów płynących
wewnątrz konturu całkowania pomnożonych przez
przenikalność magnetyczną ośrodka
n
r
r
S
B Å" ds = µoµr Ii = µoµr Ic
"
+"
i =1
C
w przypadku prÄ…du niejednorodnego:
C
r r r
r
I
B Å" ds = µoµr j Å" dS
+" +"
C S
gdzie powierzchnia S jest rozpięta na konturze C
Slajd 18
Właściwości pola
magnetycznego
Pole magnetyczne nie jest polem zachowawczym,
r
B
ponieważ cyrkulacja wektora po konturze
r
r
zamkniętym jest różna od zera
B Å" ds = µoµr Ic
+"
C
Pole magnetyczne jest polem wirowym
Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym, bo
jest polem zachowawczym:
r
r
E Å" ds = 0
+"
C
Slajd 19
r r
ÅšB = B Å" dS
Strumień magnetyczny
+"
S
Tw. Gaussa: Strumień magnetyczny przez dowolną
zamkniętą powierzchnię równa się zeru
S1
ÅšB = 0
N S
r r
B Å" dS = 0
+"
S
S2
linie pola magnetycznego są zawsze zamknięte
w przyrodzie nie występują ładunki magnetyczne
pole magnetyczne jest bezz
ródłowe
jednostka strumienia weber Wb=Tm2
Slajd 20
Obwód z prądem, a magnes stały
Skąd wynika podobny kształt linii sił pola
magnetycznego magnesu stałego (a) i solenoidu (b)?
Slajd 21
Magnetyczny moment dipolowy
Występowanie biegunów magnetycznych N i S rozsuniętych
na odległość l kojarzy się z pojęciem dipola magnetycznego
Właściwości dipolowe w czasie przepływu prądu mają
zarówno solenoid, jak i obwód kołowy czy pojedyncza ramka
Pojedynczy zamknięty obwód o powierzchni przekroju S
r
przez który płynie prąd o natężeniu I charakteryzuje się
B
dipolowym momentem magnetycznym pm:
r
r
pm = I Å" S
[1 Am2]
r
r
pm
indukcja pola na osi obwodu w odległości r wynosi
I
r
r
IR2 IÄ„R2 IS pm B = µo pm
B = µo = µo = µo = µo
2r3 2Ä„r3 2Ä„r3 2Ä„r3 2Ä„ r3
analogia do dipola
elektrycznego
Slajd 22
r
r
pm = I Å" S
Dipole magnetyczne
Przykładowe wartości niektórych
dipolowych momentów magnetycznych
cewka z prÄ…dem 1 J/T
magnes sztabkowy 5 J/T
Ziemia 8,0 1022 J/T
proton 1,4 10-26 J/T
elektron 8,0 10-24 J/T
r
pm
pm
pm
r
I
- pm
Slajd 23
Indukcja
elektromagnetyczna
Czy pole
magnetyczne
powoduje powstanie
pola elektrycznego?
Slajd 24
Doświadczenie Faraday a
I
1
M
K
K
1
B
+
B
1
+
K
2
2
G
G
I
2
Slajd 25
Siła elektromotoryczna SEM
y
ródło siły elektromotorycznej wykonuje pracę nad nośnikami ładunku
utrzymując różnicę potencjałów między zaciskami (biegunami)
y
ródła siły elektromotorycznej:
ogniwo elektryczne (bateria)
prÄ…dnica elektryczna (SEM indukcji)
ogniwa słoneczne
ogniwa paliwowe (np. wodorowe)
termoogniwa
dW
ozn. SEM, U0, µ
SEM = [V]- volt
dq
Siła elektromotoryczna z
ródła SEM jest pracą przypadającą na
jednostkÄ™ Å‚adunku, jakÄ… wykonuje z
ródło, przenosząc ładunek z
bieguna o mniejszym potencjale, do bieguna o większym potencjale
Slajd 26
Prawo indukcji Faraday a
Siła elektromotoryczna indukcji
dÅšB
równa się szybkości zmiany
SEM = -
dt
strumienia indukcji magnetycznej
r r r
r r
dÅšB E Å" ds = - d B Å" dS
r
+" +"
E Å" ds = -
+"
dt
S
dt
Cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego
wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej równa się
szybkości zmian strumienia pola magnetycznego
obejmowanego przez tÄ™ krzywÄ…
Slajd 27
Reguła r
r v
v
Lenza
prąd indukowany w obwodzie ma zawsze taki kierunek, że
wytworzony przezeń strumień magnetyczny przez
powierzchnię ograniczoną przez ten obwód przeciwdziała
zmianom strumienia, które wywołały pojawienie się prądu
indukowanego
reguła Lenza jest konsekwencją zasady zachowania energii
pole elektryczne wywołane zmianami indukcji
magnetycznej powstaje niezależnie czy w polu są
przewodniki czy nie
pole elektryczne wywołane przez zmiany strumienia nie
jest polem zachowawczym  jest polem wirowym
Slajd 28
jeśli zmienne pole
magnetyczne powoduje
powstanie pola
elektrycznego, to czy
Indukowane pole
zmiany pola elektrycznego
nie powodujÄ… powstania
magnetyczne
pola magnetycznego?
rozważmy płaski kondensator ładowany przez
opór R ze z
ródła o stałej sile elektromotorycznej
r
r
r
B
B
B
I(t)
wokół przewodnika powstaje
r
pole magnetyczne, a co w
dD
obszarze między okładkami?
R
dt
U0
Slajd 29
Uogólnione prawo Ampera
prawo Ampera powinno być spełnione dla
dowolnej powierzchni rozpiętej na okręgu
v
r r r r
r
"E
B Å" ds = µo(I + IP ) = µo j Å" dS +µoµo Å" dS
+" +" +"
"t
C S S
Slajd 30
r r
D = µoµrE
r r
B = µoµrH
Równania Maxwella
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego
r r
z
ródłowość pola  ładunek elektryczny
D Å" dS = ÁdV
+" +"
wytwarza pole elektryczne
S
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
r r
nie istnieje Å‚adunek magnetyczny, pole
B Å" dS = 0
+" magnetyczne jest bezz
ródłowe
S
Prawo indukcji elektromagnetycznej
r
r r
r
" B
zmienne pole magnetyczne wytwarza
E Å" ds = - Å" dS
+"+"
wirowe pole elektryczne (prÄ…d elektryczny)
"t
CS
Uogólnione prawo Ampera
r
r r r
r ëÅ‚ öÅ‚
" D
prÄ…d elektryczny lub zmienne pole elektryczne
ìÅ‚ ÷Å‚
H Å" ds = j + Å" dS
+" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
wytwarzajÄ… wirowe pole magnetyczne
"t
íÅ‚ Å‚Å‚
C S
Slajd 31
Fale elektromagnetyczne
Przyspieszony Å‚adunek emituje pola
elektryczne i magnetyczne propagujÄ…ce
się z prędkością światła c
Slajd 32
Faraday
Amper
zmiana BE
zmiana EB
dÅšB r r dÅšE r r
= - E Å" ds µ0µ0 = B Å"ds
+" +"
dt dt
J = Jo cos É t
y dB dE dE dB
J
= - µ0µ0 = -
dt dx dt dx
E E
E=E0 sin (Ét-kx) ; B=B0 sin (Ét-kx)
B
B
B B
E E
ÉB0 = kE0 µ0µ0É E0 = k B0
É E0
0 x v = = µ0µ0v E0 = B0
k B0
z Rozwiązanie równań Faraday a i Ampera 1
r r r v = = c
r
to fala elektromagnetyczna poruszajÄ…ca
B Å" ds = µo j Å" dS µ0µ0
+" +"
się w próżni z prędkością światła c
C S
Slajd 33
r
r r
y
E
r
r E × B
n
n = r r
E × B
r x
Wnioski z
B
wokół płaszczyzny z prądem zmiennym w
czasie powstajÄ… pola magnetyczne i
elektryczne, spełniające równanie falowe,
tzn. pola magnetyczne i elektryczne
rozchodzÄ… siÄ™ jak fala w kierunku osi x, z
prędkością fazową c
pola te są wzajemnie prostopadłe do
siebie i do kierunku rozchodzenia siÄ™ tych
pól w przestrzeni (kierunku propagacji
fali), tzn. Bz Ä„" Ey Ä„" Å„
1
c = = 3 Å" 108 m s
µoµo
Slajd 34
r
y
E
x
r
z
B
x
öÅ‚
x öÅ‚
Bz (x,t) = Bo cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚
ìÅ‚
Ey (x, t) = Eo cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚
ìÅ‚
c
c íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
y
É 2Ä„ 2Ä„
E
B
c = , k = , É =
J
k  T
c
x
E B
z
Pole elektryczne i magnetyczne wokół płaszczyzny z sinusoidalnie zmieniającym
się prądem jest falą sinusoidalną rozchodzącą się w kierunku osi x z prędkością c
nazywanÄ… falÄ… elektromagnetycznÄ…
Slajd 35
Widmo fal elektromagnetycznych