Biostatystyka,
# 2
/Biologia II-III/
dr n. mat. Zdzisław Otachel
Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie
Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki
ul. Akademicka 15, p.211A bud. Agro II,
e-mail: [e-mail]
materiały: http://kzmi.up.lublin.pl/�zotachel/Biol2i3
Lublin, 2014
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Elementy rachunku prawdopodobieństwa
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Wprowadzenie
Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zjawisk
przypadkowych. W praktyce każdy proces czy doświadczenie jest
losowe, bo zależy od wielu przyczyn, z których tylko część udaje się
kontrolować. Dwa doświadczenia uznamy za identyczne, jeśli mają
te same zbiory kontrolowanych przyczyn. Wyniki doświadczeń
nazywamy zdarzeniami. Zjawiska polegające na przeprowadzaniu
lub przebieganiu dużej liczby tych samych doświadczeń nazywamy
zjawiskami masowymi. Takie zjawisko nie zależy od indywidualnych
własności obiektu. Zjawiska masowe mają swoje prawidłowości.
Jeżeli przeprowadzamy N razy to samo doświadczenie i n razy
zaszło zdarzenie A, to stosunek n/N nazywamy częstością
zdarzenia A w tym doświadczeniu. W zjawiskach masowych
częstości zdarzeń mają własność skupiania się (wraz ze wzrostem
N) wokół tej samej liczby zależnej od zdarzenia. Dla ustalonego
zdarzenia A oznaczymy ją przez P(A) i nazwiemy
prawdopodobieństwem tego zdarzenia. Jest to treść tzw.
statystycznej definicji prawdopodobieństwa
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
W tabeli podane są częstości otrzymania orła w przeprowadzonej
jeden raz serii 10000 rzutów monetą.
Liczba rzutów N Liczba n pojawień się orła Częstość n/N
200 116 0,5800
300 153 0,5100
500 251 0,5020
1000 504 0,5040
2000 1002 0,5010
5000 2529 0,5058
10000 4982 0,4982
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Widać, że n/N 1/2, gdy N rośnie.
Na początku XVIII w. Bernoulli udowodnił, że przy dużej liczbie
doświadczeń, z praktyczną pewnością, częstość względna zdarzenia
n/N różni się mało od prawdopodobieństwa tego zdarzenia.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Pojęcia podstawowe
Doświadczenie losowe  proces przyrodniczy lub zaplanowany
eksperyment, którego wyniku nie można przewidzieć, natomiast
znany jest zbiór wszystkich wyników.
Przykład 1
Doświadczeniem losowym jest wylosowanie obiektu z ustalonej
populacji i dokonanie pomiaru interesujących nas cech.
W praktyce, wynikami eksperymentów losowych będą liczby, pary
liczb, trójki liczb rzeczywistych itd.
Zdarzenie elementarne  pojedyńczy wynik eksperymentu losowego.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych  zbiór wszystkich zdarzeń
elementarnych.
Zdarzenie losowe (w skrócie: zdarzenie)  zbiór złożony ze zdarzeń
elementarnych, najczęściej opisany przez spełnienie pewnych
warunków.
Uwaga: nie każdy podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych musi
być zdarzeniem losowym.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Oznaczenia i nomenklatura
D  doświadczenie losowe (eksperyment);
&! - przestrzeń zdarzeń elementarnych;
� - zdarzenie elementarne;
&! = {�1, �2 . . . , �n}  przestrzeń zdarzeń elementarnych
składająca się z n możliwych wyników : �1, �2 . . . , �n;
A, B, C, . . . - zdarzenia losowe;
zapis � " A (mat.: � jest elementem zbioru A) czytamy:
zdarzenie elementarne � sprzyja zdarzeniu A, tzn. jeżeli w
wyniku eksperymentu losowego dostaniemy wynik �, to
powiemy zaszło zdarzenie A.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Klasa zdarzeń losowych
Klasę zdarzeń losowych oznaczymy przez S.
&! " S, zdarzenie pewne, zachodzi zawsze;
" " S, zdarzenie niemożliwe, nigdy nie zachodzi;
jeżeli Ai " S, to C = A1 *" A2 *" � � � " S, zdarzenie C
nazywamy sumą (alternatywą) zdarzeń Ai, C zachodzi, gdy
zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń Ai;
jeżeli Ai " S, to D = A )" A2 )" � � � " S, zdarzenie D
nazywamy iloczynem (koniunkcją) zdarzeń Ai, D zachodzi,
gdy zachodzi każde ze zdarzenie Ai;
jeżeli A " S, to A := &! \ A " S, zdarzenie A nazywamy
zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, A zachodzi, gdy nie
zachodzi zdarzenie A;
w szczególności: jeżeli A, B " S, to E = A \ B " S, zdarzenie
E nazywamy różnicą zdarzeń A i B, E zachodzi, gdy zachodzi
zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B.
Klasę S nazywamy �-ciałem zdarzeń.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Definicja 1 (Pierre Simon de Laplace, 1812)
Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym,
złożonym z N zdarzeń elementarnych, to
n
P(A) = ,
N
n jest ilością zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Przykład 2
1. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła przy jednokrotnym rzucie
monetą: 1/2;
2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej 3 oczek przy
jednokrotnym rzucie sześcienną kostką do gry: 4/6;
3. Prawdopodobieństwo wylosowania figury z talii 52 kart do gry:
16/52.
4. Prawdopodobieństwo głównej wygranej w  totka :
1/(49) = 1/13983836.
6
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Geometryczna definicja prawdopodobieństwa
Definicja 2
Niech A �" &! �" Rp. Prawdopodobieństwo tego, że dowolny punkt
należący do &! będzie należał również do A wynosi:
mp(A)
,
mp(&!)
gdzie mp jest miarą na przestrzeni Rp, w szczególności m1 jest
długością, m2 - polem, a m3 - objętością.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Przykład 3
Na ulicy znajdują się 2 bankomaty. Każdy z nich wymaga obsługi
(jest niefunkcjonalny) przez 30min na dobę. Moment rozpoczęcia
obsługi jest losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że urządzenia
będą niefunkcjonalne w tej samej chwili (- konflikt)?
x - moment rozpoczęcia obsługi 1-go bankomatu,
y - moment rozpoczęcia obsługi 2-go bankomatu,
&! = {0 x, y 24}, m2(&!) = 242,
A - konflikt, A = {(x, y) : 0 x, y 24, |x - y| 0, 5},
m2(A) = 242 - 23, 52.
2
m2(A)
47
Stąd = 1 - H" 4, 12%.
m2(&!) 48
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Definicja 3 (Andrej Nikołajewicz Kołmogorow, 1933)
Niech będzie dana przestrzeń zdarzeń elementarnych &! i �-ciało
zdarzeń losowych S. Prawdopodobieństwem (miarą/rozkładem
prawdopodobieństwa) nazywamy rzeczywistą funkcję P określona
na klasie zdarzeń S spełniającą aksjomaty:
Aksjomat I 0 P(A), A " S
Aksjomat II P(&!) = 1,
Aksjomat III P(A1 *" A2 *" . . . ) = P(A1) + P(A2) + . . . dla
dowolnych zdarzeń Ai wykluczających się parami, tj.
Ai " S, Ai )" Aj = ", i = j.

Trójkę (&!, S, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Definicja aksjomatyczna określa jak zbudować matematyczny
model prawdopodobieństwa dla zdarzeń w rozpatrywanym
doświadczeniu, analiza statystyczna - który z dopuszczalnych
modeli wybrać.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Własności prawdopodobieństwa
Niech (&!, S, P) będzie przestrzenią probabilistyczną i A, B, C " S.
0 P(A) 1;
P(") = 0,
P(A ) = 1 - P(A);
Jeżeli A pociąga B (A �" B), to P(A) P(B) oraz
P(B \ A) = P(B) - P(A);
P(A *" B) = P(A) + P(B) - P(A )" B),
P(A *" B *" C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A )" B) - P(B )"
C) - P(A )" C ) + P(A )" B )" B )" C).
Zauważmy, że jeżeli utożsamimy przestrzeń zdarzeń elementarnych
&! z figurą na płaszczyz
nie o polu 1, to prawdopodobieństwo ma
analogiczne własności jak pole figur będących częścią tej
przestrzeni.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Informacja a prawdopodobieństwo
Informacja o zajściu zdarzenia B ma wpływ na wartość obliczanego
prawdopodobieństwa zdarzenia A.
Przykład 4
D polega na jednokrotnym rzucie sześcienną kostką do gry.
Zdarzenie A to parzysta liczba oczek, P(A) = 1/2 wg. klasycznej
definicji .
Przypuśćmy, że eksperymentator wykonał doświadczenie D w
zamkniętym pokoju, po czym przekazał nam informację B 
wypadło więcej niż 3 oczka.
Jest to nowy eksperymet losowy. Oznaczymy go D|B zajście
zdarzenia A w tym eksperymencie oznaczymy A/B. Zdarzeniu A/B
sprzyja 2 spośród 3 możliwych wyników, stąd P(A/B) = 2/3.
Z drugiej strony: P(B) = 1/2, P(A )" B) = 2/6, stąd
2/6 P(A)"B)
P(A/B) = 2/3 = = .
1/2 P(B)
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Prawdopodobieństwo warunkowe
Definicja 4
Niech (&!, S, P) będzie przestrzenią probabilistyczną związaną z
eksperymentem D, B " S, P(B) > 0. Prawdopodobieństwo
zdarzeń w eksperymencie D|B, zwane prawdopodobieństwem
warunkowym, określa wzór:
P(A )" B)
P(A/B) = , A " S.
P(B)
Zdarzenie B będzie nazywane warunkiem.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Zdarzenia niezależne
Jeżeli zajście jakiegoś zdarzenia nie zmienia prawdopodobieństwa
zajścia innego, to o takich zdarzeniach mówi się, że są to zdarzenia
niezależne. Zdarzenia A i B z poprzedniego przykładu takie nie są.
Bardziej ściśle:
Definicja 5
Zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli P(A )" B) = P(A) � P(B).
Jeżeli A i B są niezależne, to przy założeniu P(A) = 0 i P(B) = 0

otrzymujemy:
P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B).
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Prawdopodobieństwo całkowite - przykład
Przykład 5
O pewnej populacji złożonej z dwóch różnych rodzajów obiektów
(A) i (B) w proporcji k/m wiadomo, że własność W wykazuje p%
obiektów A i q% obiektów B. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wybierając losowo obiekt z tej populacji trafimy na taki z
własnością W ?
p k q m
P(W ) = � + � = P(W /A)�P(A)+P(W /B)�P(B).
100 k + m 100 k + m
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite
Bardziej ogólnie:
Niech H1, H2, . . . , Hn będzie układem zdarzeń wykluczających się
parami, których suma jest zdarzeniem pewnym tj.:
Hi )" Hj = ", i = j,

H1 *" H2 *" � � � *" Hn = &!.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia A:
P(A) = P(A/H1) � P(H1) + � � � + P(A/Hn) � P(Hn).
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Wzór Bayesa
Załóżmy, że zdarzenie A może zaistnieć wtedy i tylko wtedy, gdy
zaistnieje jedno z jedynie możliwych i wzajemnie wykluczających
się zdarzeń H1, H2, . . . , Hn tj.:
Hi )" Hj = ", i = j,

H1 *" H2 *" � � � *" Hn = &!.
Nazwijmy zdarzenie A skutkiem, a zdarzenia H1, H2, . . . , Hn
przyczynami. W wyniku zaistnienia jednej z przyczyn
zaobserwowaliśmy zajście skutku A. Znając a priori
prawdopodobieństwa zaistnienia przyczyn - P(Hi) i
prawdopodobieństwa zaistnienia skutku A w wyniku działania
przyczyny Hi - P(A/Hi) chcemy znać odpowiedz
na pytanie: jakie
jest prawdopodobieństwo, że to przyczyna Hi doprowadziła do
skutku A. Odpowiedz
daje wzór Bayesa:
P(A/Hi) � P(Hi)
P(Hi/A) = .
P(A/H1) � P(H1) + � � � + P(A/Hn) � P(Hn)
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Schemat Bernoulliego
Mówimy, że ciąg (seria) niezależnych doświadczeń jest schematem
Bernoulliego, jeżeli:
każde doświadczenie (zwane próbą) może zakończyć się
jednym z wyników: zdarzeniem A  zwanym sukcesem, lub
zdarzeniem przeciwnym A  porażką,
prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu
jest stałe i równe p.
Wtedy prawdopodobieństwo, że schemacie n prób Bernoulliego
sukces pojawi się dokładnie k razy, określa wzór:
Pn,k = (n)pk(1 - p)n-k, k = 0, 1, 2, . . . , n,
k
n!
gdzie: (n) = jest symbolem Newtona, a n! = 1 � 2 � � � � � n
k
k!(n-k)!
(n!: czytamy n silnia) przy czym 0! = 1.
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/
Przykład schematu Bernoulliego
Przykład 6
Klasycznym przykładem schematu Bernoulliego jest seria rzutów
monetą. Np. prawdopodobieństwo, że w serii n = 8 rzutów monetą
orzeł pojawi się k = 4 jest równe:
4 4

1 1 8 � 7 � 6 � 5 1 1 70
8
= � � = H" 0, 273.
4
2 2 1 � 2 � 3 � 4 16 16 256
dr n. mat. Zdzisław Otachel Biostatystyka, # 2 /Biologia II-III/