[e-mail]
Prof. Krzysztof Jemielniak Plan wykładu
http://www.zaoios.pw.edu.pl/kjemiel
ST 107, tel. [phone]
1 Wstęp
Cyfrowe
2 Sygnały i systemy
3 Systemy liniowe niezmienne w czasie
przetwarzanie
4 Przetwarzanie analogowo cyfrowe
5 Przekształcenie Fouriera
sygnałów
6 Analiza czasowo-częstotliwościowa
7 Przekształcenie Laplace a
9. Filtry cyfrowe
8 Przekształcenie Z
9 Filtry cyfrowe
9 Filtry cyfrowe
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
9 Filtry cyfrowe
Znaczenie filtrowania cyfrowego
" Filtracja danych cyfrowych jest najwcześniej podjętą
dyscypliną w dziedzinie przetwarzania sygnałów cyfrowych.
" Wstęp
Wstęp
" początki sięgają pięćdziesiąt lat wstecz
" Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR
" Wzrastająca dostępność komputerów we wczesnych '50:
" Odpowiedz
impulsowa i charakterystyka filtru
" Wyznaczanie transmitancji filtru
" wygładzanie spróbkowanych sygnałów dyskretnych
" Projektowanie filtrów FIR
" analiza dyskretnych systemów sterowania.
" Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR
" Poważny rozwój od pierwszej połowy '60,
" gdy grali Beatlesi J�
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Czym jest filtrowanie ?
Znaczenie filtrowania cyfrowego
" Filtracja jest procesem przetwarzania dokonanym na sygnale w dziedzinie
" Eksperci od przetwarzania danych cyfrowych zdali
czasu, powodującym zmiany w widmie sygnału oryginalnego.
sobie sprawę, że właśnie komputery pozwalają na
" Zmiana polega na redukcji, odfiltrowaniu pewnych niepożądanych
składowych sygnału wejściowego;
analizę sygnałów cyfrowych w dziedzinie ich
" filtr przepuszcza pewne częstotliwości tłumiąc inne.
rzeczywistych, zmiennych charakterystyk " Filtrowanie może być analogowe lub cyfrowe:
otrzymanych w wyniku filtracji.
sygnał
sygnał
" Obecnie filtracja cyfrowa jest stosowana tak szeroko, że Filtr
x(t) y(t)
analogowy
wejściowy
wyjściowy
liczba pozycji literatury na ten temat jest znacznie
liczniejsza niż w innych dziedzinach cyfrowego
przetwarzania sygnałów.
sygnał sygnał
Filtr
x[n] y[n]
cyfrowy
wejściowy wyjściowy
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
1
9 Filtry cyfrowe
Zalety filtrowania cyfrowego w porównaniu z
analogowym
" Filtr cyfrowy może być programem komputerowym, programowalnym
procesorem, lub dedykowanym układem scalonym.
" Wstęp
" Filtry cyfrowe są programowalne software owo, stąd łatwe do
" Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR
Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR
zbudowania i testowania
" Odpowiedz
impulsowa i charakterystyka filtru
" Wymagają jedynie operacji arytmetycznych (+-*/) stąd są
" Wyznaczanie transmitancji filtru
(stosunkowo J�) łatwe w implementacji
" Projektowanie filtrów FIR
" Nie zmieniają charakterystyki z temperaturą lub wilgotnością, nie
" Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR
wymagają precyzyjnych, drogich komponentów
" Mają doskonały stosunek jakości do kosztu
" Nie starzeją się, nie zależą od producenta czy dostawy jak analogowe
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej
M
Tradycyjne liniowe filtry cyfrowe występują jako jeden z dwóch typów:
y[n]= h[k]x[n-k]
S
I typ: filtry działające w oparciu o bieżącą i poprzednie wartości wejściowe:
k=0
gdzie x[n]  ciąg wartości wejściowych,
M
Termin skończona odpowiedz
impulsowa oznacza, że impuls jednostkowy
y[n]  ciąg wartości wyjściowych
y[n]= h[k]x[n-k] (filtrowanych), na wejściu:
S
h[k]  współczynniki filtra
k=0
x[0]=1, x[i] = 0 dla i>0
daje odpowiedz
, która zbiega do zera dla y[M],
zwane są filtrami
" o skończonej odpowiedzi impulsowej (Finite Impulse Response
gdzie M= liczba współczynników filtru.
FIR)
" lub ruchomej średniej (Moving Average MA)
Do obliczenia wartości próbek wyjściowych filtr FIR korzysta z operacji
" lub nierekurencyjnymi.
dodawania w podobny sposób jak się to dzieje w procesie uśredniania.
II typ: filtry działające w oparciu o bieżącą i poprzednie wartości wejściowe i W rzeczywistości, uśrednianie jest rodzajem filtracji FIR, co pokażemy
poprzednie wartości wyjściowe. na przykładzie
Zajmiemy się nimi póz
niej J�
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Ruchoma średnia jako filtr FIR Ruchoma średnia jako filtr FIR
" Zliczamy samochody przejeżdżające przez most w czasie jednej minuty
W ogólnym przypadku, n-ty element ciągu wyjściowego może być opisany zależnością:
" Obliczamy średnią liczbę samochodów na minutę za ostatnie pięć minut.
n
1 1

yav[n]= (x[n-4]+ x[n-3]+ x[n-2]+ x[n-1]+ x[n]) =  x[k]
Liczba samochodów
S
5 5 k=n-4
90 - Liczba samochodów na minutę
Zamknięcie mostu przy
80 -
Średnia liczba samochodów Sformalizujmy cyfrową naturę filtracyjną naszego układu uśredniającego, przez
końcu 19-tej minuty
na minutę w czasie
70 -
stworzenie schematu blokowego (struktury filtru):
ostatnich pięciu minut
60 -
50 -
x[5]=37 x[4]=42 x[3]=24 x[2]=22 x[1]=10
Opóz
- Opóz
- Opóz
- Opóz
-
40 -
nienie nienie nienie nienie
30 -
20 -
10
+
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 Minuty y[5] =27
1/5
" Pierwsza próbki wyjściowej występuje dopiero w końcu piątej minuty
" Struktura filtru ukazuje wykorzystywane wielkości gdy dostępnych jest pięć pierwszych
" Ciąg wyjściowy spada do zera dopiero 5 minut po zamknięciu mostu!
próbek wartości wejściowych.
" Nagłe zmiany liczby samochodów na minutę są spłaszczane przez operację uśredniania.
" Elementy (bloki) opóz
niające, wskazują organizację rejestru przesuwającego, gdzie
" ciąg wyjściowy jest znacznie gładszy niż ciąg wejściowy.
następuje chwilowe przechowanie wartości próbki wejściowej w czasie wykonywania
" Gwałtowne zmiany w ciągu czasowym reprezentują składowe o wysokich częstotliwościach,
operacji obliczania wartości wyjściowej.
�� układ uśredniający zachowuje się jak filtr dolnoprzepustowy
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Ruchoma średnia jako filtr FIR Ruchoma średnia jako filtr FIR
Zauważmy, że podany wzór można równie dobrze przedstawić w postaci: n
1 1
1 1 1 1
 x[n-3]+ x[n-2]+ x[n-1]+ x[n]= x[k]
yav[n]= x[n-4]+     
S
n
5 5
5 5 5 5
1 1
1 1 1 1
k=n-4
 x[n-3]+ x[n-2]+ x[n-1]+ x[n]= x[k]
yav[n]= x[n-4]+     
S
5 5
5 5 5 5
k=n-4
x[5]=37 x[4]=42 x[3]=24 x[2]=22 x[1]=10
Opóz
- Opóz
- Opóz
- Opóz
-
a strukturę filtru w postaci schematu blokowego:
nienie nienie nienie nienie
x[4]=42
x[5]=37 x[5]=37 x[3]=24 x[2]=22 x[1]=10
x[7]=89 x[6]=77 x[5]=37 x[4]=42 x[3]=24
x[6]=77 x[4]=42 x[3]=24
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
Opóz
- Opóz
- Opóz
- Opóz
- x[2]=22
nienie nienie nienie nienie
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
+
y[5] =27
+
y[5] =27 " Zatem, gdy pojawia się nowa próbka wejściowa, filtr odrzuca najstarszą próbkę,
y[6] =40.4
y[7] =53.8
mnoży próbki przez współczynnik 1/5 i sumuje iloczyny tworząc nową wartość
" Zobaczmy jak próbki są przesuwane z lewej strony do prawej
wyjściową.
" Dla obliczenia y[6] ciąg wejściowy zostaje przesunięty w prawo, gubione
" Taka struktura filtru jest często nazywana filtrem transwersalnym, ze względu
jest x[1]=10, a po lewej stronie zostaje pobrana wartość x[6]=77.
na kierunek przepływu próbek wejściowych.
" Dla obliczenia y[7], ciąg wejściowy zostaje przesunięty w prawo " Ponieważ do obliczenia wartości wyjściowej pobiera się 5 oddzielnych próbek
wejściowych, jest to filtr FIR 5go rzędu
pozbywając się x[2]=22, a x[7]=89 zostaje wprowadzona z lewej strony.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Operacja splotu na filtrach FIR Operacja splotu na filtrach FIR
n 4
1
Otrzymane ostatnio równanie możemy przedstawić ogólnie w postaci:
y[n]= 
x[k] = h[k]x[n-k]
n 4 S S
5
1
k=n-4 k=0
y[n]= 
x[k] = h[k]x[n-k]
S S
5
" Pierwszą próbkę wyjściową obliczamy mnożąc pierwsze 5 elementów w
k=n-4 k=0
" Zachowaliśmy standardową notację dla indeksowania próbek wejściowych i
odwróconej kolejności x[4..0] przez odwrócony ciąg x
współczynników filtru, czyli pierwsza wartość wejściowa jest określana jako próbka
" Przesuwamy próbki wejściowe w prawo i w każdym kroku obliczamy
x[0], następna x[1] itd.
próbkę wyjściową filtru korzystając z równania.
" Podobnie, pięć współczynników filtru będzie indeksowanych od zera do czterech,
4
4
4
4
4
yav[7]= h[k]x[7-k]
yav[5]= h[k]x[5-k]
yav[6]= h[k]x[6-k]
h[0] do h [4], tu wszystkie =1/5 yav[4]= h[k]x[4-k]
yav[8]= h[k]x[8-k]
S
S
S
S
S
k=0
k=0
k=0
k=0
k=0
" Nasze równanie możemy przestawić graficznie:
x[n] x[n]
x[n] x[n] x[n] y[n]
8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 7 6 5 4 3 2 1 0
8 7 6 5 4 3 2 1 0
4 5 6 7 8 n
x[n]
h[n]
0 1 2 3 4
8 7 6 5 4 3 2 1 0
Nietrudno zauważyć, że równanie ogólne filtra FIR M-tego rzędu ma postać:
h[n]
0 1 2 3 4
M-1
Zauważmy, że ciąg wejściowy odwrócono w dziedzinie czasu, co
y[n]= h[k]x[n-k]
S
wynika ze struktury filtru
k=0
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Ogólna struktura filtru FIR 9 Filtry cyfrowe
n 4
1
y[n]= 
x[k] = h[k]x[n-k]
S S
5
k=n-4 k=0
" Wstęp
" Oczywiście wartości h[k] nie muszą być jednakowe!
" Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR
" Ogólną strukturę filtru FIR możemy więc przedstawić jako:
" Odpowiedz
impulsowa i charakterystyka filtru
Odpowiedz
impulsowa i charakterystyka filtru
" Wyznaczanie transmitancji filtru
x[n] x[n-1] x[n-2] x[n-3] x[n-4]
Opóz
- Opóz
- Opóz
- Opóz
-
" Projektowanie filtrów FIR
nienie nienie nienie nienie
& & &
h[0] h[1] h[2] h[3] h[4] " Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR
+
y[n]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
3
M
Odpowiedz
impulsowa filtru Charakterystyka częstotliwościowa filtru
y[n]= h[k]x[n-k]
S
k=0
1 " Zachowanie się filtru oceniamy przez wyznaczenie kształtu odpowiedzi filtru w
d[n] y[n]
" Wez
my filtr 4-go rzędu
y[4]
dziedzinie częstotliwości, czyli jego charakterystyki częstotliwościowej
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
n 2 3 4 5 6 7 8 n
" Wyznaczmy jego odpowiedz
impulsową
" Możemy to zrobić dzięki właściwościom twierdzeniu o splocie.
h[n]
0 1 2 3
" Operacja splotu w zastosowaniu do filtrów FIR działa następująco: dyskretna
1
d[n] y[n]
transformata Fouriera (DFT) splotu odpowiedzi impulsowej filtru h[n] i ciągu
y[5]
n 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
2 3 4 5 6 7 8 n
wejściowego x[n] jest równa iloczynowi widma odpowiedzi impulsowej H[m] i
Zauważmy, że odpowiedz
impulsowa h[n]
0 1 2 3 widma ciągu wejściowego X[m]:
filtru FIR jest identyczna jak wartości
IDFT
1
d[n] y[n]
współczynników filtru.
y[6]
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
2 3 4 5 6 7 8 n
y[n]=h[n]*x[n] DFT H[m]"X[m]
h[n]
h[2]
0 1 2 3 czyli:
Pojęcia współczynniki filtru FIR i h[3]
h[1]
1 h[0]
d[n] y[n]
odpowiedz
impulsowa są
DFT{y[n]}=DFT{h[n]*x[n]}=DFT{h[n]} DFT{x[n]} = H[m] X[m]=Y[m]
y[7]
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
2 3 4 5 6 7 8 n
synonimami
h[n]
0 1 2 3
Wyznaczając DFT splotu h[n]*x[n] otrzymujemy iloczyn
Zauważmy, że równanie ogólne filtra FIR M-tego rzędu jest równaniem splotu:
M
H[m]"X[m], czyli widmo zespolone Y[m] sygnału na wyjściu
y[n]= h[k]x[n-k]= h[n]*x[n]
S
k=0
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Splot w dziedzinie czasu a mnożenie w dziedzinie 9 Filtry cyfrowe
częstotliwości
Sygnał wejściowy x[n]
Współczynniki h(n)
" Wstęp
*
" Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR
Dziedzina
Ciąg wyjściowy filtru w
dziedzinie czasu y[n]=h[n]*x[n] " Odpowiedz
impulsowa i charakterystyka filtru
czasu
" Wyznaczanie transmitancji filtru
Wyznaczanie transmitancji filtru
Odwrotna
DFT
DFT DFT
DFT
" Projektowanie filtrów FIR
H[m] X[m]
" Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR
Dziedzina
częstotliwości
Ciąg wyjściowy filtru w dziedzinie
częstotliwości Y[m]=H[m]�X[m]
H[m] = DFT{h[n]} jest funkcją transmitancji filtru
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Wyznaczanie transmitancji filtru Wyznaczanie transmitancji filtru
0.2
" Odnieśmy próbki dyskretnej charakterystyki amplitudowej i fazowej do fizycznych
Wróćmy do filtru uśredniającego o współczynnikach: h[n]
0 1 2 3 4 wartości szybkości próbkowania fs.
Dodajmy do nich 59 wartości zerowych...
" Wiemy, że próbka m = N/2 (tu m = 32), jest równa częstotliwości Nyqista: fs/2.
" A więc:
n
m
Wyznaczając 64-punktową DFT takiego ciągu i dokonując normalizacji wynikowej fs/8 fs/4 f32
/2 fs
s
DFT, otrzymujemy częstotliwościową charakterystykę amplitudową filtru:
sin(x)
    
x
m
Charakterystyka filtru jest okresowa z okresem =fs, ale interesuje nas tylko zakres 0-fs/2
oraz jego charakterystykę fazową charakterystyka filtru idealnego
listek główny
listki boczne
m
fs/8 fs/4 fs/2
Widać, że operacja uśredniania zachowuje się jak (dość marny) filtr dolnoprzepustowy.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
4
Wyznaczanie widma sygnału wyjściowego Podsumowanie filtrów FIR (tymczasowe J�)
Wróćmy do naszego przykładu z samochodami
" filtry FIR realizują splot w dziedzinie czasu przez sumowanie
na moście
iloczynów przesuniętego ciągu próbek wejściowych i ciągu
Mając widmo sygnału wejściowego...
oraz charakterystykę filtru.. współczynników filtru
możemy wyznaczyć widmo sygnału na wyjściu
" ciąg wyjściowy filtru FIR jest równy splotowi ciągu
wejściowego i odpowiedzi impulsowej filtru
1.0
(współczynników),
Charakterystyka amplitudowa filtru |H[m]|
0.8
" funkcja transmitancji filtru FIR to DFT odpowiedzi impulsowej
0.6
filtru
widmo amplitudowe |X[m]| sygnału wejściowego filtru
0.4 widmo amplitudowe sygnału na wyjściu filtru
" zespolone widmo sygnału wyjściowego filtru FIR jest
|Y[m]|=|X[m]�H[m]|
iloczynem zespolonego widma sygnału wejściowego i funkcji
0.2
transmitancji filtru,
0
fs/8 fs/4 fs/2
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Wpływ współczynników na transmitancję filtru 9 Filtry cyfrowe
" Proste uśrednianie okazało się dość lichym filtrem
" Listki boczne pochodzą od nagłej zmiany wartości współczynników od 0 do 0.2
" Spróbujmy zmienić współczynniki filtru by zobaczyć jak to wpłynie na jego
charakterystykę
" Wstęp
" Zmniejszmy tą zmianę, tak jak to robiliśmy stosując okna w DFT
" Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR
0.04, 0.12, 0.2, 0.12, 0.04 " Odpowiedz
impulsowa i charakterystyka filtru
0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2
" Wyznaczanie transmitancji filtru
0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.1
0 2 4 0 2 4
0 2 4
" Projektowanie filtrów FIR
Projektowanie filtrów FIR
" Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR
fs/8 fs/4 fs/2
" Minimalizacja gwałtowność zmian wartości współczynników, powoduje redukcję
listków bocznych charakterystyki amplitudowej, ale także wzrost szerokości
głównego listka naszego filtru dolnoprzepustowego.
" dokładnie taki sam efekt, jaki napotkaliśmy przy oknach stosowanych w DFT
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Projektowanie filtrów FIR Dyskretna reprezentacja transmitancji filtra FIR
H(f)
Funkcja transmitancji
" Zamiast przyjęcia zadanego zestawu współczynników filtru FIR i analizowania
Częstotliwość
filtru o zerowej fazie
1
graniczna
funkcji transmitancji, odwróćmy tę operację i zaprojektujmy nasz własny dolno-
Częstotliwość
przepustowy filtr FIR. f
-fs -fs/2 0 fs/2 fs
H[m]
" Projektowanie filtrów FIR metodą okna rozpoczyna się od zadecydowania, jaka
1
ma być funkcja transmitancji naszego filtru dolnoprzepustowego.
Częstotliwość
m=-N m=-N/2 m=0 m=N/2 m=N
" Możemy rozpocząć od rozważenia ciągłego filtru dolnoprzepustowego, a
(m)
-(fs) -(fs/2) (0) (fs/2) (fs)
następnie dokonać jego symulacji za pomocą filtru cyfrowego.
zakres -fs/2 � fs/2
" Zdefiniujemy ciągłą funkcję transmitancji H(f) jako przypadek idealny, tzn.
zakres 0 � fs
wartość jednostkowa w paśmie dolnych częstotliwości i zero (nieskończone
" Reprezentowanie ciągłej funkcji transmitancji H(f) za pomocą jej dyskretnego
tłumienie) powyżej częstotliwości granicznej
odpowiednika H[m], jest oczywiste z jedną ważną różnicą:
" Dyskretne reprezentacje w dziedzinie częstotliwości są zawsze
Funkcja transmitancji filtru H(f)
periodyczne z okresem równym szybkości próbkowania fs
Częstotliwość
o zerowej fazie
1
graniczna
" Dyskretna reprezentacja naszego idealnego, ciągłego filtru dolnoprzepustowego o
Częstotliwość
funkcji transmitancji H(f) jest okresową funkcją transmitancji H[m]
f
-fs -fs/2 0 fs/2 fs
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
5
Wyznaczanie współczynników filtra FIR Odwrotna transformata Fouriera funkcji transmitancji
filtru
" Są dwa sposoby wyznaczenia współczynników filtru
Przyjmijmy N = 32 punktów dla dyskretnej funkcji transmitancji H[m]
dolnoprzepustowego w dziedzinie czasu.
1 H[m]
1. Podejście algebraiczne:
-15 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 m
" Wyprowadzić wyrażenie dla dyskretnej funkcji transmitancji H[m]. (-fs/4) (-fs/8) (fs/8) (fs/4) (fs/2)
" Wyznaczyć odwrotną DFT tego wyrażenia, aby otrzymać ciąg h[n]
Dodatkowo dla uniknięcia ujemnych wartości indeksu m, zamiast zakresu -fs/2 � fs/2 wez
my ciąg
H[m] w zakresie m=0�31, co odpowiada zakresowi częstotliwości 0 � fs:
w dziedzinie czasu.
2. Zdefiniowanie poszczególnych próbek reprezentujących H[m] w
1
H[m]
dziedzinie częstotliwości, a następnie wykonaniu procedury
0 4 8 12 16 20 24 28 31 m
odwrotnego DFT na tych próbkach, co da w wyniku współczynniki
(fs/8) (-fs/4) (fs/2) (3fs/4) (fs)
filtru FIR.
Wykonując odwrotną DFT ciągu H[m] otrzymujemy 32 wartości h[n] dla n = -15�16
" Ta druga metoda jest znacznie prostsza, mniej podatna na
0.219
h[n]=IDFT{H[m]}
błędy przy przekształceniach algebraicznych, stąd nią się
-8 -8 16
zajmiemy!
-12 -4 0 4 12
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Projektowanie filtrów FIR metodą okna
Wpływ liczby współczynników na charakterystykę
0.219 filtru
IDFT{H[m]}
Zasadniczy wpływ na charakterystykę filtru ma liczba przyjętych współczynników
-8 -8 16
-12 -4 0 4 12
Wez
my na początek tylko 9 z nich: idealna
charakterystyka
Ponieważ chcemy, aby współczynniki h[n] filtru 31 rzędu były symetryczne, opuszczamy próbkę
Częstotliwość
n=16 i przesuwamy indeks n w lewo
graniczna
M=9
0.219 h[n] = przesunięta 0 0.1fs 0.5fs 0.9fs fs
IDFT{H[m]}
A teraz wszystkie 31:
0 8 22 30
4 12 15 18 26
" Przesunięcie indeksu n nie zmienia amplitudowej charakterystyki częstotliwościowej
0 0.1fs 0.5fs 0.9fs fs
naszego filtru FIR
" przypomnijmy, że przesunięcie w dziedzinie czasu manifestuje się jedynie jako liniowe
Oczywiście mogliśmy wyznaczyć znacznie więcej (dowolnie wiele) współczynników.
przesunięcie fazy w dziedzinie częstotliwości, nie zmieniające charakterystyki amplitudowej.
Chociażby 81:
upss! L�
" Ciąg h[n] pokazany na rysunku jest zestawem współczynników filtru
dolnoprzepustowego, czyli jego odpowiedzią impulsową
0 0.1fs 0.5fs 0.9fs fs
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Zjawisko Gibbsa Zastosowanie funkcji okna do filtrów FIR
" Nierównomierności w paśmie przepustowym, to efekt Gibbsa
Przemnóżmy nasz ciąg współczynników filtru h[n] o 31 elementach przez okno
(omawiany wcześniej)
Blackmana:
" O ile stromość charakterystyki możemy zwiększać powiększając stopień
bez okna
filtru, o tyle zakłóceń nie da się uniknąć
z oknem Blackmnana
" pojawiają się zawsze, gdy nieciągłość funkcji jest wyrażona w postaci
szeregu Fouriera.
" Żaden skończony zbiór przebiegów sinusoidalnych nie jest w stanie
odwzorować nieciągłości 1.5
1
79 0.5
0
sw79(t)= "sin(kt)]
S [-bk bez okna
-0.5
k=1
Otrzymane charakterystyki filtru:
-1
z oknem Blackmnana
-1.5
charakterystyka
0 2 4 6 8 10
t
idealna
Możemy zminimalizować nierównomierności charakterystyki powodowane
obecnością funkcji okna, w taki sam sposób, jak zmniejszaliśmy przeciek DFT
0 0.1fs 0.2fs f
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
6
square signal, sw(t)
fala prostokątna sw(t)
Porównanie skuteczności okien do filtrów FIR Projektowanie pasmowego filtru FIR
Otrzymane charakterystyki dolnoprzepustowego filtru FIR 161 rzędu:
Wykorzystajmy przedstawioną metodę projektowania dolnoprzepustowych filtrów
FIR jako pierwszy krok przy projektowaniu pasmowego filtru FIR.
bez okna Zauważmy, że omówioną charakterystykę filtru dolnoprzepustowego 31 rzędu:
z oknem Hanninga
charakterystyka
0 0.1fs 0.5fs 0.9fs fs
idealna
z oknem Blackmnana
możemy przedstawić w postaci:
0 0.1fs 0.2fs f
-0.5fs -0.1fs 0 0.1fs 0.5fs
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Projektowanie pasmowego filtru FIR Projektowanie pasmowego filtru FIR
Współczynniki filtru pasmowego (tu środkowo-przepustowego) można uzyskać przez
pomnożenie współczynników hLP[n] przez sygnał sinusoidalny ssh[n] o częstotliwości f=fs/4
hLP[n]
-0.5fs -0.1fs 0 0.1fs 0.5fs
x
Powiedzmy, że chcemy zbudować filtr FIR 31 rzędu o charakterystyce jak na tym
rysunku, ale przy przesunięciu środka pasma przepustowego charakterystyki do
ssh[n]
częstotliwości fs/4 zamiast 0 Hz.
Współczynniki filtru dolnoprzepustowego o charakterystyce przedstawionej wyżej
=
miały postać:
hLP[n]
hBP[n]
Wynikowe współczynniki środkowo-przepustowego filtru FIR 31 rzędu mają
zatem postać:
Oznaczmy je jako hLP[n] i poszukajmy współczynników hBP[n] pasmowego filtru FIR
hBP[n]=hLP[n]�ssh[n]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Projektowanie pasmowego filtru FIR Projektowanie pasmowego filtru FIR
Odpowiedz
częstotliwościowa HLP[m] zostaje dzięki temu przesunięta w prawo
" W celu zredukowania nierównomierności charakterystyki
dając HBP[m]
w paśmie przepustowym, należy używać ciągu hLP[n]
oryginalna charakterystyka filtru
|HBP[m]|
dolnoprzepustowego |HLP[m]|
poddanego operacji okienkowania
" Jeżeli chcemy wybrać środkową częstotliwość
fs/2 -fs/4 0 fs/4 fs/2
odpowiedzi filtru pasmowego inną niż fs/4, musimy po
prostu zmienić sygnał ssh[n], tak aby reprezentował on
" Wartość maksymalna modułu |HBP[m]| jest równa połowie wyjściowej wartości
HLP[m], ponieważ połowa wartości hBP[n] to zera, gdy ssh[n] odpowiada
sinusoidę o częstotliwości równej częstotliwości
dokładnie fs/4.
środkowej pasma przepustowego:
" Oznacza to, że przy projektowaniu - filtru FIR N-tego rzędu, o częstotliwości
środkowej fs/4, musimy wykonać jedynie około N/2 mnożeń dla każdej z
ssh[n]=sin(2pfnts)=sin(2pnf/fs)=sin(2pnx)
próbek sygnału wyjściowego filtru!
" Oczywiście, jeżeli środkowa częstotliwość środkowo-przepustowego filtru FIR gdzie ts=1/fs, x=f/fs
jest inna niż fs/4, musimy wykonać wszystkie N mnożeń dla każdej próbki
sygnału wyjściowego filtru.
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
7
Projektowanie górno-przepustego filtru FIR Charakterystyka filtrów FIR
" Analogicznie projektujemy górno-przepustowe filtry FIR
" Zakłócenia amplitudy
" Ciąg przesuwający ssh[n], musi reprezentować on spróbkowaną sinusoidę o
" Liniowa faza w funkcji częstotliwości
częstotliwości fs/2.
" Stabilność
" Wynikowe współczynniki hHP[n] górno-przepustowego filtru FIR rzędu mają postać:
hHP[n]=hLP[n] ssh[n]=hLP[n] [1,-1,1,-1,...]
" Odpowiadająca im charakterystyka amplitudowa |HHP[m]| ma postać:
oryginalna charakterystyka filtru
|HHP[m]|
dolnoprzepustowego |HLP[m]|
fs/2 -fs/4 0 fs/4 fs/2
" Ponieważ wartości sygnału ssh[n] są dodatnimi i ujemnymi jedynkami, hHP[n] jest
hLP[n] ze zmienionym znakiem co drugiego współczynnika.
" W przeciwieństwie do |HBP[m]|, |HHP[m] ma taką samą wartość maksymalną jak
oryginalna funkcja |HLP[m]|
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
9 Filtry cyfrowe Ogólna struktura filtru FIR
" Strukturę filtru FIR przedstawialiśmy w postaci:
x[n] x[n-1] x[n-2] x[n-3]
Opóz
- Opóz
- Opóz
-
nienie nienie nienie
& & &
b[0] b[1] b[2] b[3]
" Wstęp
+
y[n]
" Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej FIR M
x[n]
y[n]
y[n]= b[k]x[n-k] +
S
" Odpowiedz
impulsowa i charakterystyka filtru
k=0 Opóz
-
b[0]
nienie
" Przerysujmy to do postaci
" Wyznaczanie transmitancji filtru
x[n-1]
równoważnej:
Opóz
-
b[1]
" Projektowanie filtrów FIR
nienie
x[n-2]
" Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR
Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej IIR
Przypomnijmy: filtry o skończonej
Opóz
-
b[2]
nienie
odpowiedzi impulsowej działają w
x[n-3]
oparciu o bieżącą i poprzednie
b[3]
wartości wejściowe
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej
II typ: filtry działające w oparciu o bieżącą i poprzednie wartości wejściowe i
Do tych elementów możemy dodać poprzednie wartości wyjściowe&
poprzednie wartości wyjściowe:
x[n]
y[n] y[n]
+ +
N
M
Opóz
- Opóz
-
b[0]
nienie nienie
y[n]= bkx[n-k] + aky[n-k]
S
S
x[n-1] y[n-1]
k=0
k=1
Opóz
- Opóz
-
b[1] a[1]
nienie nienie
zwane są filtrami o nieskończonej odpowiedzi impulsowej
x[n-2]
y[n-2]
(Infinite Impulse Response IIR) lub rekurencyjnymi.
Opóz
- Opóz
-
b[2]
a[2]
nienie nienie
y[n-3]
x[n-3] " Odpowiedz
na impuls jednostkowy jest tu teoretycznie nieskończona,
a[3] czyli nigdy nie zbiega do zera.
b[3]
" W praktyce odpowiedz
stabilnych filtrów IIR obniża się do zera po
& uzyskując ogólną strukturę filtru o nieskończonej odpowiedzi impulsowej
skończonej liczbie próbek (operujemy na liczbach rzeczywistych, jednak
N M
w postaci cyfrowej, więc o skończonej dokładności)
y[n]= b[k]x[n-k] + a[k]y[n-k]
S S
k=0 k=1
" Filtry IIR mogą mieć lub nie zakłócenia w paśmie zaporowym i
przepustowym
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
8
& &
& &
& &
Zastosowanie przekształcenia Z do analizy filtrów IIR
Znaczenie operatora z-1
Przypomnijmy, że jednostkowe opóz
nienie czasowe interpretujemy jako odpowiednik z-1:
x[n]
d[n] y[n]
+ +
z-1
z-1
x[n-1] x[n-2] x[n-3] x[n-k]
x[n]
b[0]
Dziedzina opóz
- opóz
- opóz
- ...
opóz
-
x[n-1] y[n-1]
nienie nienie nienie nienie
czasu
z-1 z-1
b[1]
X(z) X(z)z-1 X(z)z-2 X(z)z-3 X(z)z-k a[1]
Dziedzina
...
z-1 z-1 z-1 z-1
x[n-2] y[n-2]
transformaty Z
b[2]
a[2]
z-1 z-1
Korzystając z tych zależności przerysujmy strukturę ogólnego filtru IIR
y[n-M]
x[n-N]
rzędu M, stosując operator z-1
a[M]
b[N]
x[n]
d[n] y[n]
" W rozwiązaniach sprzętowych takie operatory z-1 są realizowane jako rejestry
+ +
przesuwające, przechowujące wartości kolejnych próbek sygnału wejściowego i
z-1
z-1
b[0]
x[n-1] wyjściowego.
y[n-1]
z-1 z-1
b[1] a[1] " Gdy filtr IIR jest implementowany programowo, operacja z-1 oznacza po prostu kolejne
x[n-2] y[n-2]
komórki pamięci, gdzie przechowywane są wartości próbek sygnałów wejściowego i
b[2] wyjściowego.
a[2]
z-1 z-1
y[n-M] " Struktura filtru IIR przedstawiona na rysunku jest często nazywana strukturą o postaci
x[n-N]
bezpośredniej typu l (ang. Direct Form I).
a[M]
b[N]
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Równanie filtru IIR w dziedzinie transformaty Z Transmitancja filtru IIR
N M
Równanie filtru IIR w dziedzinie czasu jest równaniem różnicowym:
Y(z)=X(z) bkz-k + Y(z) akz-k
S S
k=0 k=1
y[n]= b0x[n]+b1x[n-1]+b2x[n-2]+& +bNx[n-N] +a1y[n-1]+a2y[n-2]+& +aMy[n-M]=
Równanie to możemy przekształcić grupując wyjście i wejście po przeciwnych stronach:
N
M
N
M
= bkx[n-k] + aky[n-k] Y(z) 1- akz-k = X(z) bkz-k
[ S ] S
S
S
k=0 k=1
k=0
k=1
a stąd już łatwo otrzymamy transmitancję filtru IIR M-tego rzędu w
W dziedzinie transformaty Z sygnał wyjściowy filtru IIR ma postać:
dziedzinie transformaty Z: N
bkz-k
S
Y(z)= b0X(z)+b1X(z)z-1+b2X(z)z-2+& +bNX(z)z-N +a1Y(z)z-1+a2Y(z)z-2+& +aMY(z)z-M
Y(z)
k=0
H(z) =     =        
M
X(z)
N M
1 6 akz-k
S
czyli Y(z)=X(z) bkz-k + Y(z) akz-k
k=1
S S
Tak jak w przypadku transformaty Laplace'a, rząd funkcji transmitancji jest określony jako
k=0 k=1
najwyższy wykładnik w mianowniku, w tym przypadku M
gdzie Y(z) i X(z) są transformatami Z ciągów y[n] i x[n]
Z równania tego wynika wszystko, co chcielibyście wiedzieć o filtrze IIR
(ale baliście się zapytać)
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Transmitancja filtru IIR Transmitancja filtru IIR
N
N
bkz-k
S
bkz-k
S Y(z)
k=0
Y(z)
H(z) =     =        
k=0
H(z) =     =         M
X(z)
M
X(z)
1 6 akz-k
S
1 6 akz-k
S
k=1
k=1
Oznacza to, że zastępując z w powyższym równaniu przez ejw, funkcja
" Możemy przebadać mianownik równania aby określić położenie biegunów
transmitancji staje się charakterystyką częstotliwościową filtru HIIR(jw) rzędu M:
filtru na płaszczyz
nie z, które wskazuje, czy filtr jest stabilny.
N
bke-jkw
" Tak jak funkcja transmitancji Laplace'a H(s) w równaniu była powierzchnią
S
k=0
zespolonych wartości nad płaszczyzną s, H(z) jest powierzchnią zespolonych
HIIR(jw) = H(z)| =        
|z=ejw M
wartości ponad lub pod płaszczyzną z
1 6 ake-jkw
S
" Przecięcie powierzchni H(z) i obwodu cylindra reprezentującego okrąg k=1
jednostkowy z = ejw jest zespoloną charakterystyką częstotliwościową filtru Ponieważ typowa charakterystyka częstotliwościowa filtru IIR jest stosunkiem
dwóch funkcji zespolonych, możemy powyższe zapisać jako:
zim
płaszczyzna z
N N N
bk[cos(kw)  j sin(kw)] bkcos(kw)  j bksin(kw)]
w=ws/2=pfs S S S
w=0 zre
k=0
k=0 k=0
HIIR(jw) =                         =                            
M M M
w=ws=2pfs=
1 6 ak[cos(kw)  j sin(kw)] 1 6 akcos(kw)  j ak sin(kw)]
w=-ws/2=-pfs =-ws=-2pfs
S S S
k=1 k=1 k=1
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
9
&
&
&
&
Przegląd filtrów IIR: filtr Butterwortha Przegląd filtrów IIR: filtr Czebyszewa I
" Zoptymalizowany dla najszybszego spadku wzmocnienia w
" Maksymalnie płaski w paśmie przenoszenia  najmniejsze
paśmie przejściowym
zniekształcenia sygnału
" Zafalowania w paśmie przepustowym
" Dość powolny spadek wzmocnienie w paśmie przejściowym
" Stosować, gdy ważny jest szybki spadek wzmocnienia i brak
" Filtr ogólnego stosowania
zafalowań w paśmie zaporowym
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Przegląd filtrów IIR: filtr eliptyczny
Przegląd filtrów IIR: filtr Czebyszewa II
" Zoptymalizowany dla najszybszego spadku wzmocnienia
" Najszybszy spadek wzmocnienia w paśmie przejściowym
w paśmie przejściowym
" Zafalowania w paśmie przepustowym i zaporowym
" Zafalowania w paśmie zaporowym
" Stosować, gdy ważny jest szybki spadek wzmocnienia
" Stosować, gdy ważny jest szybki spadek wzmocnienia i
brak zafalowań w paśmie przepustowym
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Przegląd filtrów IIR: filtr Bessela Porównanie filtrów FIR i IIR
IIR
FIR
" Najbardziej liniowa charakterystyka fazowa
1. wymagają więcej 1. wymagają mniej współczynników
" Bardzo powolny spadek wzmocnienie w paśmie współczynników
przejściowym
2. działają wolniej 2. działają znacznie szybciej
" Stosować, gdy ważny jest czasowy przebieg
3. potrzebują więcej pamięci 3. potrzebują mniej pamięci
sygnału
4. są łatwiejsze do projektowania 4. rekurencyjna natura filtrów IIR
i zastosowania sprawia, że są trudniejsze do
projektowania i zastosowania.
5. są stabilne z natury, odporne 5. mogą być niestabilne, błędy
na błędy zaokrągleń zaokrągleń się kumulują
6. mają liniową fazę  należy je 6. przesunięcie fazowe jest nieliniowe,
stosować gdy jest to ważne stąd filtry te mogą być stosowane
tam, gdzie nie jest to istotne, np. w
monitorowaniu
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
10
Wybór typu filtru
Przesunięcie fazowe powodowane przez filtr
dolnoprzepustowy
tak
sygnał oryginalny
liniowa faza? Butterworth, 20Hz, rząd=6
filtr FIR
nie
nie tak
filtr Butterwortha
zafalowania wąskie pasmo
dopuszczalne? przejściowe?
wyższego rzędu
nie
tak
tak
filtr filtr Butterwortha
wąskie pasmo
przejściowe?
eliptyczny niższego rzędu
nie
nie
Butterworth, 20Hz, rząd=3
zafalowania w paśmie
filtr Czebyszewa II
przep.? zwrotny
tak
nie
zafalowania w paśmie
filtr Czebyszewa I
zap.?
tak
filtr eliptyczny
Butterworth, 20Hz, rząd=6
sygnał oryginalny
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Filtrowanie nielicznej tablicy Filtrowanie nielicznej tablicy
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
Jakieś pytania?
Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Technik Wytwarzania
Zakład Automatyzacji, Obrabiarek i Obróbki Skrawaniem
11