2011-01-20
Sterowanie Dyskretne
Filtracja
Filtracja
Filtry cyfrowe
Filtry cyfrowe
y y
y y
Cyfrowa
Cyfrowa
Cyfrowa
Cyfrowa
2
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Definicje
Czym jest filtrowanie ?
Filtracja jest procesem przetwarzania dokonanym na
Filtracja proces przetwarzania sygnału w dziedzinie
Filtracja -
sygnale w dziedzinie czasu, powodującym zmiany w widmie
czasu. polega na redukowaniu i odfiltrowywaniu
sygnału oryginalnego.
niepożądanych składowych zawartych w sygnale
Zmiana polega na redukcji, odfiltrowaniu pewnych
wejściowym
niepożądanych składowych sygnału wejściowego;
Filtr przepuszcza pewne częstotliwości tłumiąc inne.
p p p ę
Filtr cyfrowy - algorytm lub proces
Filt f
Filt f
Filtr cyfrowy l t l b
Filtrowanie może być analogowe lub cyfrowe:
obliczeniowy w wyniku którego jedna sekwencja
liczb (tzn. sygnał wejściowy) zamieniany jest w inną
sekwencję (tzn. sygnał wyjściowy)
Filtr każde urządzenie posiadające selektywne
Filtr -
charakterystyki częstotliwościowe
3 4
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Po co stosować filtrację ? Zalety filtrowania cyfrowego w porównaniu
z analogowym
W celu:
Filtr cyfrowy może być programem komputerowym,
redukcji zakłóceń sygnału (np. zakłóceń od sieci
programowalnym procesorem, lub dedykowanym układem
energetycznej)
scalonym;
Filtry cyfrowe są programowalne software owo, stąd łatwe do
Filtry cyfrowe są programowalne software owo, stąd łatwe do
zmiany charakterystyki widmowej sygnału
zmiany charakterystyki widmowej sygnału
zbudowania i testowania;
Wymagają jedynie operacji arytmetycznych (+-*/) stąd są
wyodrębnienia zadanych składowych sygnału spośród
(stosunkowo) łatwe w implementacji;
jego innych składowych (detekcja)
Nie zmieniają charakterystyki z temperaturą lub wilgotnością,
nie wymagają precyzyjnych, drogich komponentów;
Mają doskonały stosunek jakości do kosztu;
Nie starzeją się, nie zależą od producenta czy dostawy jak
analogowe;
5 6
1
2011-01-20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Idea filtracji cyfrowej Sposoby opisu filtrów
Opisując filtry cyfrowe używa się tych samych
współczynniki współczynniki zależności co do opisu układów dyskretnych.
ruchomej średniej autoregresji
Poszukuje się liniowej zależności pomiędzy dwoma
ciągami reprezentującymi sygnały wejściowe i
wyjściowe. Zależność taka nosi nazwę równania
różnicowego i jest jednym ze sposobów opisu filtrów
różnicowego i jest jednym ze sposobów opisu filtrów
cyfrowych. Ogólna postać liniowego równania
różnicowego przedstawiona jest poniżej:
M N
y(kT)= u((k-m)Ts)- y((k-n)Ts)
s "am "bn
m=0 n=1
7 8
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Sposoby opisu filtrów Sposoby opisu filtrów
Można też opisać filtr za pomoc przekształcenia Z
Filtr cyfrowy opisuje się również za pomocą splotu M
- m
a z
" m
dyskretnego przedstawionego poniżej:
Y ( z )
m = 0
H ( z ) = =
N
U ( z )
- n
1 + b z
" n
" n
"
"
n = 1
y(kTs) = )u((k -m)Ts)
"h(mTs
m=-"
Funkcja H(z) jest transmitancją liniowego
stacjonarnego układu dyskretnego. Transmitancja
jest funkcją zmiennej zespolonej
9 10
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Elementy filtru liniowego cyfrowego Kryteria oceny filtrów
Opóz
nienie
Mnożenie
Sumator
Odpowiedz
amplitudowa
jednostkowe
przez stałą
Odpowiedz
fazowa
u1(k)
u(k) y(k) u(k) y(k)
y(k) c
z-1
Odpowiedz
na skok jednostkowy
u2(k)
y(k)= u1(k)+ u2(k) y(k)= cu(k) y(k)= u(k -1)
11 12
2
2011-01-20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Odpowiedz
amplitudowa Odpowiedz
amplitudowa
Parametry oceny filtru - to tętnienie pasma
Parametry oceny filtru
przepustowego i zaporowego oraz stromość nachylenia
Tętnienie pasma przepustowego
charakterystyki.
Wzależności od przeznaczenia filtru dopuszcza się pewien
Tętnienie
poziom tętnienia jak i określoną szerokość obszaru
pasma
p
zaporowego przejścia, możliwe jest zaprojektowanie filtru z bardzo
jś i żli j t j kt i filt b d
stromą charakterystyką lub taki, który nie wprowadza
Pasmo przepustowe
Obszar Pasmo zakłóceń wpaśmie przepustowym.
przejściowy zaporowe
Obszar przejściowy nazywany stromością nachylenia charakterystyki
Obszar przejściowy
Pasmo zaporowe to obszar częstotliwości , w którym sygnał
Pasmo zaporowe to pasmo częstotliwości, których amplituda ma
Pasmo przepustowe
Pasmo przepustowe
określa szybkość zmiany wzmocnienia wraz z częstotliwością, zawiera
zostać zmniejszona poniżej zaprojektowanego poziomu.
przechodzi przez układ praktycznie nie osłabiony. Pasmo to rozciąga
się między pasmem przepustowym a zaporowym.
się do punktu w którym amplituda spada poniżej 3dB wartości
nominalnej. Punkt ten nazywany jest częstotliwością odcięcia f 3dB.
13 14
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Odpowiedz
fazowa
Odpowiedz
na skok jednostkowy
Charakterystyka fazowa to zależność fazy do
częstotliwości. Odpowiedz
fazowa jest ściśle związana z
czasem opóz
nienia przechodzącego przez filtr sygnału dla
różnych częstotliwości.
Filtry o liniowej odpowiedzi fazowej opóz
niają wszystkie
Filtry o liniowej odpowiedzi fazowej opóz
niają wszystkie
liniowej odpowiedzi fazowej
liniowej odpowiedzi fazowej
częstotliwości o taki sam czas.
Filtry o nieliniowej odpowiedzi fazowej opóz
niają różne
nieliniowej odpowiedzi fazowej
częstotliwości o różne okresy, co wprowadza zakłócenia
podobne do zjawiska  rozproszenia sygnału radiowego
wynikające z nieustannie zmieniającą się drogą
emitowanych fal.
15 16
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Odpowiedz
na skok jednostkowy
Podział filtrów cyfrowych
Czas narastania odpowiedzi- jest to czas w którym
Czas narastania
napięcie wyjściowe osiągnie poziom 90% do swojej
Ze względu na rodzaj przetwarzanych informacji
wartości maksymalnej (tr)
(pasmo przenoszenia) dzielimy na:
" DOLNOPRZEPUSTOWE " GÓRNOPRZEPUSTOWE
DOLNOPRZEPUSTOWE GÓRNOPRZEPUSTOWE
Czas ustalania - czas w jakim napięcie wyjściowe
Czas ustalania
ustala się w obrębie 5% odchylenia od swojej wartości
ę ę yj j
końcowej (ts)
Przerzut - maksymalna wartość napięcia o jakie
Przerzut
napięcie wyjściowe przewyższa chwilowo swoją
wartość końcową.
Tętnienie - oscylacje wokół średniej wartości
Tętnienie
końcowej
17 18
3
2011-01-20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Podział filtrów cyfrowych
Podział filtrów cyfrowych
Ze względu na sposób przetwarzanych informacji (typ
" PASMOWE; odpowiedzi impulsowej) dzielimy na:
PASMOWE
(ŚRODKOWOZAPOROWE,ŚRODKOWOPRZEPUSTOEWE)
" NIEREKURSYWNE
NIEREKURSYWNE
(o skończonej dopowiedzi impulsowej SOI);
x(n) x(n-1) x(n-2)
Z-1 Z-1
0,25 0,5 0,25
y(n)
ŁŁ
- liniowe charakterystyki fazowe,
- stabilne,
19 20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Zalety filtrów FIR:
Filtry nierekursywne
Filtry nierekursywne
Filtry nierekursywne o skończonej odpowiedzi
prostota projektowania
impulsowej (SOI)( ang. finite impulse response FIR).
stabilność
liniowa charakterystyka fazowo-częstotliwościowa
(zachowywany jest kształt sygnałów po wykonaniu filtracji)
Są to filtry w strukturze których nie występuje pętla
sprzężenia zwrotnego, każda próbka odpowiedzi nie zależy
od poprzednich a jedynie od próbek wymuszenia
od poprzednich a jedynie od próbek wymuszenia.
Wady filtrów FIR:
Odpowiedz
impulsowa dowolnego filtru nierekursywnego
ma zawsze skończoną liczbę próbek. duża złożoność obliczeniowa (by uzyskać tak strome
zbocza jak dla filtrów rekursywnych konieczne jest użycie
bardzo dużej ilości współczynników)
Układy te są zawsze stabilne i charakteryzują się
liniowymi charakterystykami fazowymi.
21 22
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Filtry nierekursywne
Filtry nierekursywne
Parametry projektowe to zera zm transmitancji,
wszystkie bieguny leżą zawsze w początku układu
Filtry SOI opisuje równanie różniczkowe:
współrzędnych. Przykładową strukturę filtru SOI
M
przedstawia rysunek
y ( kT ) = a u (( k - m )T )
s " m s
m = 0
Transmitancja:
M M M
-m
H(z) = z-m = z-1)
"am "h(mT)z =K"(1-zm
s
m=0 m=0 m=1
K = a0 = h(0);
23 24
4
2011-01-20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Projektowanie filtrów FIR Dyskretna reprezentacja transmitancji filtra
Zamiast przyjęcia zadanego zestawu współczynników filtru FIR i analizowania FIR
funkcji transmitancji, można odwróć tę operację i zaprojektować własny
dolnoprzepustowy filtr FIR;
Projektowanie filtrów FIR metodą okna rozpoczyna się od zadecydowania, jaka
ma być funkcja transmitancji filtru dolnoprzepustowego;
Można rozpocząć od rozważenia ciągłego filtru dolnoprzepustowego, a następnie
dokonać jego symulacji za pomocą filtru cyfrowego;
Definiujemy ciągłą funkcję transmitancji H(f) jako przypadek idealny, tzn. wartość
jednostkowa w paśmie dolnych częstotliwości i zero (nieskończone tłumienie)
jednostkowa w paśmie dolnych częstotliwości i zero (nieskończone tłumienie)
powyżej częstotliwości granicznej
Reprezentowanie ciągłej funkcji transmitancji H(f) za pomocą jej
dyskretnego odpowiednika H[m], jest oczywiste z jedną ważną różnicą:
Dyskretne reprezentacje w dziedzinie częstotliwości są zawsze
periodyczne z okresem równym szybkości próbkowania fs;
Dyskretna reprezentacja idealnego, ciągłego filtru dolnoprzepustowego
25 26
o funkcji transmitancji H(f) jest okresową funkcją transmitancji H[m].
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Odwrotna transformata Fouriera funkcji
Wyznaczanie współczynników filtra FIR
transmitancji filtru
Są dwa sposoby wyznaczenia współczynników filtru dolnoprzepustowego
Przyjmijmy N = 32 punktów dla dyskretnej funkcji transmitancji H[m]
w dziedzinie czasu:
1. Podejście algebraiczne:
Wyprowadzić wyrażenie dla dyskretnej funkcji transmitancji H[m].
Wyznaczyć odwrotną DFT tego wyrażenia, aby otrzymać ciąg h[n] w
Dodatkowo dla uniknięcia ujemnych wartości indeksu m, zamiast zakresu -fs/2 � fs/2
dziedzinie czasu wez
my ciąg H[m] w zakresie m=0�31, co odpowiada zakresowi częstotliwości 0 � f :
dziedzinie czasu. wez
my ciągH[m] wzakresiem 0�31 co odpowiada zakresowi częstotliwości 0 � fs:
2. Zdefiniowanie poszczególnych próbek reprezentujących H[m] w
dziedzinie częstotliwości, a następnie wykonaniu procedury odwrotnego
DFT na tych próbkach, co da w wyniku współczynniki filtru SOI.
Wykonując odwrotną DFT ciągu H[m] otrzymujemy 32 wartości h[n] dla n = -15�16
Ta druga metoda jest znacznie prostsza, mniej podatna na błędy przy
h[n]=IDFT{H[m]}
przekształceniach algebraicznych.
27 28
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Projektowanie filtrów FIR metodą okna
Wpływ liczby współczynników na
charakterystykę filtru
IDFT{H[m]}
Zasadniczy wpływ na charakterystykę filtru ma liczba przyjętych współczynników
Wez
my na początek tylko 9 z nich:
Ponieważ chcemy, aby współczynniki h[n] filtru 31 rzędu były symetryczne,
opuszczamy próbkę n=16 i przesuwamy indeks n w lewo
h[n]=przesunięta IDFT{H[m]}
" Przesunięcie indeksu n nie zmienia amplitudowej charakterystyki
Oczywiście mogliśmy wyznaczyć znacznie więcej (dowolnie wiele) współczynników.
częstotliwościowej naszego filtru FIR
Chociażby 81:
" przypomnijmy, że przesunięcie w dziedzinie czasu manifestuje się jedynie jako
liniowe przesunięcie fazy w dziedzinie częstotliwości, nie zmieniające
charakterystyki amplitudowej.
" Ciąg h[n] pokazany na rysunku jest zestawem współczynników filtru
dolnoprzepustowego, czyli jego odpowiedzią impulsową
29 30
5
2011-01-20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Zjawisko Gibbsa
Podsumowanie filtrów FIR
Nierównomierności w paśmie przepustowym, to efekt Gibbsa
O ile stromość charakterystyki możemy zwiększać powiększając stopień
filtry FIR realizują splot w dziedzinie czasu przez sumowanie
filtru, o tyle zakłóceń nie da się uniknąć
iloczynów przesuniętego ciągu próbek wejściowych i ciągu
" pojawiają się zawsze, gdy nieciągłość funkcji jest wyrażona w postaci
współczynników filtru;
szeregu Fouriera.
" Żaden skończony zbiór przebiegów sinusoidalnych nie jest w stanie
odwzorować nieciągłości
ciąg wyjściowy filtru FIR jest równy splotowi ciągu
wejściowego i odpowiedzi impulsowej filtru (współczynników);
wejściowego i odpowiedzi impulsowej filtru (współczynników);
Efekt Gibbsa
funkcja transmitancji filtru FIR to DFT (dyskretna
~9% amplitudy impulsu
transformata Fouriera) odpowiedzi impulsowej filtru;
zespolone widmo sygnału wyjściowego filtru FIR jest
iloczynem zespolonego widma sygnału wejściowego i funkcji
Efekt Gibbsa można zredukować stosując zamiast okna prostokątnego
transmitancji filtru.
wycinającego odpowiedz impulsowa, okno o kształcie podobnym do funkcji
Gaussa, np. okno Hamminga 31 32
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Wpływ współczynników na transmitancję
Filtry rekursywne
filtru
" REKURSYWNE
" REKURSYWNE
" Proste uśrednianie okazało się dość słabym filtrem
" Listki boczne pochodzą od nagłej zmiany wartości współczynników od 0 do 0.2
(o nieskończonej odpowiedzi impulsowej)
" Spróbujmy zmienić współczynniki filtru by zobaczyć jak to wpłynie na jego
charakterystykę
x(n) y(n)
" Zmniejszmy tą zmianę, tak jak to robiliśmy stosując okna w DFT
Ł Ł
a1
a1
Z-1
a2
Z-1
- filtry niższych rzędów czyli wymagające mniejszej liczby
" Minimalizacja gwałtowność zmian wartości współczynników, powoduje redukcję
mnożeń i szybsze, posiadają lepsze charakterystyki
listków bocznych charakterystyki amplitudowej, ale także wzrost szerokości
amplitudowe,
głównego listka naszego filtru dolnoprzepustowego.
33 34
" dokładnie taki sam efekt, jaki napotkaliśmy przy oknach stosowanych w DFT
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Filtry rekursywne Zalety filtrów IIR:
można uzyskać strome charakterystyki przy użyciu
Filtry rekursywne
Filtry rekursywne o nieskończonej odpowiedzi impulsowej
mniejszej liczby współczynników an i bn niż w przypadku
(NOI) (ang. infinite impulse response IIR).
filtrów FIR
konsekwencja tego faktu jest mniejsza w stosunku do
Filtry w strukturze których występuje pętla sprzężenia
filtrów FIR złożoność obliczeniowa
zwrotnego, każda próbka odpowiedzi zależy od
poprzednich.
d i h
Wady filtrów IIR:
Odpowiedz
impulsowa dowolnego filtru rekursywnego
nieliniowość charakterystyki fazowo  częstotliwościowej
możemieć nieskończoną liczbę próbek.
(konsekwencja jest deformacja kształtu sygnału)
możliwość wzbudzania sie filtrów z uwagi na niestabilność
Filtry te charakteryzują się lepszymi charakterystykami
amplitudowymi przy niższym rzędzie filtru niż filtry SOI.
35 36
6
2011-01-20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Filtry rekursywne
Istnieją dwie grupy metod projektowania filtrów cyfrowych
typu IIR:
Filtry NOI opisuje równanie różniczkowe
M N
metoda bezpośrednia - transmitancja H(z) jest
y(kT)= u((k-m)Ts)- y((k-n)Ts)
uzyskiwana bezpośrednio na podstawie wymagań
s "am "bn
m=0 n=1
charakterystyki amplitudowej filtru
np metoda Yule a Walkera
np. metoda Yule a-Walkera
Transmitancja:
m M
metoda pośrednia - konstruuje sie filtr analogowy a
- m - 1
a z (1 - z z )
" m " i
Y ( z ) następnie jego charakterystykę przekształca
m = 0 i = 1
H ( z ) = = = K
N N
się w charakterystykę filtru cyfrowego; można wyróżnić tu
U ( z )
- n - 1
1 + b z (1 - p z )
" n " j
np. metody niezmienności odpowiedzi
n = 1 j = 1
impulsowej lub transformacji biliniowej
K = a ;
0
37 38
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Filtry rekursywne Typy filtrów
Parametrami projektowymi filtrów NOI są
Bessela
bieguny pj i zera zi transmitancji H(z)
Butterwortha
Czebyszewa ( I , II )
Cauera (eliptyczny)
39 40
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Filtr Butterwortha
Filtr Butterwortha
Filtr Butterwortha charakteryzuje się płaskim pasmem
Filtr opisany jest wzorem:
przepustowym, nieliniowością charakterystyki fazowej oraz
małą stromością charakterystyki, którą można zwiększyć
2 1
zwiększając rząd filtru co jednak radykalnie zwiększa ilość
H ( j� ) =
a a
2 N
obliczeń
�# ś#
�a
ś# ź#
1 +
ś# ź#
�
�
ap
�# #
�# #
Gdzie:
N- rząd filtru;
wa -częstotliwość kątowa;
wap -częstotliwość graniczna;
Filtr Butterwortha wykorzystywany jest rzadko zarówno z
powodu nie spełnienia wymagań na ostre nachylenie
charakterystyki jak i nieodpowiedniej odpowiedzi fazowej
41 42
7
2011-01-20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Filtr Czybeszewa
Filtr Czybeszewa
Filtr Czebyszewa charakteryzuje się tętnieniami pasma
Filtr Czebyszewa stanowi ulepszenie filtru Butterwortha w
przepustowego oraz zaporowego, nieliniowością
stosunku do nachylenia charakterystyki, tym niemniej
charakterystyki fazowej i większą w porównaniu z filtrem
obydwa te filtry mają niezadowalającą odpowiedz fazową a
Butterwortha stromością charakterystyki. Filtr opisany jest
filtr Czebyszewa nawet gorszą. Filtr Czebyszewa jest też
wzorem:
czasem nazywany filtrem o równomiernym falowaniu,
gdyż tętnienia w obrębie całego pasma przepustowego są
2 1
jednakowe. Ponadto gęstość ich wzrasta wraz ze
Ha ( j�a ) =
2 2
wzrostem rzędu filtru.
1+ � TN (�a )
Gdzie:
�" - stała określająca ilość tętnień w paśmie przepustowym;
TN(�a ) - wielomian Czebyszewa;
43 44
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Filtr Czybeszewa I
Filtr Czybeszewa II
Zoptymalizowany dla najszybszego spadku wzmocnienia
Zoptymalizowany dla najszybszego spadku wzmocnienia
w paśmie przejściowym
w paśmie przejściowym
Zafalowania w paśmie zaporowym
Zafalowania w paśmie przepustowym
Stosować, gdy ważny jest szybki spadek wzmocnienia i
Stosować, gdy ważny jest szybki spadek wzmocnienia i
brak zafalowań w paśmie przepustowym
brak zafalowań w paśmie zaporowym
45 46
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Filtr Bessela
Filtr Eliptyczny (Cauera)
Najbardziej liniowa charakterystyka fazowa
Charakteryzuje się dużą nieliniowością charakterystyki
Bardzo powolny spadek wzmocnienie w paśmie
fazowej oraz dużą stromością nachylenia charakterystyki.
przejściowym
W paśmie przepustowym jak i zaporowym występują
Stosować, gdy ważny jest czasowy przebieg sygnału
tętnienia. Filtr Eliptyczny można stosować tylko tam, gdzie
faza nie stanowi istotnego parametru projektowego.
2 1
2
U (�a ) - funkcja Jacobiego
Ha(j�a) =
N
2
1+�2UN(�a)
47 48
8
2011-01-20
Sterowanie Dyskretne Sterowanie Dyskretne
Przesunięcie fazowe powodowane przez Porównanie filtrów FIR i IIR
filtr dolnoprzepustowy
FIR IIR
wymagają więcej współczynników wymagają mniej współczynników
działają wolniej działają znacznie szybciej
potrzebują więcej pamięci potrzebują mniej pamięci
są łatwiejsze do projektowania rekurencyjna natura filtrów IIR
są łatwiejsze do projektowania rekurencyjna natura filtrów IIR
i zastosowania sprawia, że są trudniejsze do
projektowania i zastosowania.
są stabilne z natury, odporne mogą być niestabilne, błędy
na błędy zaokrągleń zaokrągleń się kumulują
mają liniową fazę  należy je przesunięcie fazowe jest nieliniowe,
stąd filtry te mogą być stosowane tam,
stosować gdy jest to ważne
gdzie nie jest to istotne, np. w
monitorowaniu
49 50
Sterowanie Dyskretne
Wybór typu filtru
TAK
Liniowa faza filtr FIR
NIE
NIE TAK
filtr Butterwortha
Zafalowania Wąskie pasmo
dopuszczalne przejściowe
wyższego rzędu
TAK NIE
TAK
Wąskie pasmo filtr Butterwortha
Wąskie pasmo filtr Butterwortha
filtr
filtr
przejściowe
niższego rzędu
eliptyczny
NIE
NIE
Zafalowania w paśmie
filtr Czybyszewa II
przepustowym
TAK
NIE
Zafalowania w paśmie
filtr Czybyszewa I
zaporowym
TAK
51 52
filtr eliptyczny
9