Sygnały i Systemy
Sygnały i Systemy
Wykład 5
Filtracja dyskretna sygnałów
Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Zakład Podstaw Elektrotechniki i Informatyki
E-mail: [e-mail]
http://maslowski.sd.prz.edu.pl/
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry cyfrowe - wstęp
Filtry cyfrowe - wstęp
Filtracja cyfrowa to jedna z najstarszych metod Cyfrowego
Przetwarzania Sygnałów CPS (lub DSP  Digital Signal Procesing),
stosowana już od pierwszej połowy lat 60-tych.
Filtr analogowy działa na sygnał ciągły zmieniając jego widmo,
natomiast filtr cyfrowy przetwarza ciąg wartości próbek dyskretnych
(co też powoduje zmianę widma sygnału dyskretnego)
Filtr cyfrowy można zrealizować za pomocą:
- programu komputerowego
- programowalnego procesora
- dedykowanego układu scalonego
2
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry SOI (FIR)
Filtry SOI (FIR)
Nazwa filtru (SOI - Skończona Odpowiedz
Impulsowa lub z ang. FIR
 Finite Impulse Response) pochodzi stąd, że każdy skończony ciąg
próbek wejściowych, przekształcany jest w skończony ciąg
niezerowych próbek wyjściowych.
Filtry SOI sÄ… filtrami nierekursywnymi, czyli do uzyskania
odpowiedzi wykorzystują próbkę bieżącą i próbki wcześniejsze ciągu
wejściowego, natomiast nie korzystają z wartości wcześniejszych
próbek wyjściowych (brak sprzężenia zwrotnego).
Właściwości filtru SOI określają współczynniki, przez które
wymnażamy wartości próbek wejściowych.
3
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykład  filtr SOI 3-go i 6-go rzędu
Przykład  filtr SOI 3-go i 6-go rzędu
W trakcie semestru wyznaczana była na bieżąco średnia frekwencja z ostatnich
3 i 6 wykładów. Pokazać, iż uzyskane po 15 wykładach dwa ciągi próbek są
rezultatem dyskretnej filtracji uśredniającej.
Ilość studentów Średnia z ostatnich Średnia z ostatnich
Nr wykładu
3 wykładów 6 wykładów
1 x[0]=179 ----------- -----------
2 x[1]= 140 ----------- -----------
3 x[2]= 120 y1[2]=146,33 -----------
4 x[3]= 99 y1[3]=119,67 -----------
5 x[4]= 110 y1[4]=109,67 -----------
6 x[5]= 87 y1[5]=98,67 y2[5]=122,50
7 x[6]= 93 y1[6]=96,67 y2[6]=108,17
8 x[7]= 45 y1[7]=75,00 y2[7]=92,33
9 x[8]= 115 y1[8]=84,33 y2[8]=91,50
10 X[9]= 73 y1[9]=77,67 y2[9]=87,17
11 x[10]= 69 y1[10]=85,67 y2[10]=80,33
12 x[11]= 76 y1[11]=72,67 y2[11]=78,50
13 x[12]= 81 y1[12]=75,33 y2[12]=76,50
14 x[13]= 75 y1[13]=77,33 2y[13]=81,50
15 x[14]= 148 y1[14]=101,33 y2[14]=87,00
4
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Efekty filtracji uśredniającej
5
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry SOI 3-go rzędu
Filtry SOI 3-go rzędu
Pierwszy ciąg próbek wyjściowych jest przykładem działania filtru
cyfrowego SOI 3-go rzędu, który opisuje następujące równanie:
1
y 1[n ] = (x [n - 2]+ x [n -1]+ x [n ])
3
lub
n
1
y 1[n ] =
"x [k ]
3
k =n -2
6
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtr SOI 3-go rzędu
Filtr SOI 3-go rzędu
Do realizacji praktycznej wykorzystywana jest równoważna postać
równania rozpatrywanego filtru SOI 3-go rzędu:
1 1 1
y 1[n ] = x [n - 2]+ x [n -1]+ x [n ]
3 3 3
W naszym przypadku filtr cyfrowy jest określony trzema takimi
samymi współczynnikami:
y 1[n ] = h[2]x [n - 2]+ h[1]x [n -1]+ h[0]x [n ]
1
h[0] = h[1] = h[2] =
gdzie
3
7
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
SPLOT DYSKRETNY
SPLOT DYSKRETNY
Równanie określające nasz filtr SOI 3-go rzędu można zapisać :
2
SPLOT
y 1[n ] =
SYGNAA
ÓW
"h[k ]x [n - k ]
DYSKRETNYCH
k =0
Uproszczony zapis
Sygnał wyjściowy to splot
dyskretny sygnału
y 1[n ] = h[n ]" x [n ]
wejściowego ze
współczynnikami filtru SOI
Splot dyskretny dla filtru M-tego rzędu definiuje się analogicznie jako :
M -1
y1[n] = h[k]x[n - k]
"
k=0
8
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
2
y [2] =
Splot sygnałów dla n=2
Splot sygnałów dla n=2
"h[k ]x [2 - k ]
k =0
x[2]
x[3]
9
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
2
y [3] =
Splot sygnałów dla n=3
Splot sygnałów dla n=3
"h[k ]x [3 - k ]
k =0
10
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
2
y [4] =
Splot sygnałów dla n=4
Splot sygnałów dla n=4
"h[k ]x [4 - k ]
k =0
11
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
2
Splot sygnałów dla n=7
Splot sygnałów dla n=7
y [7] =
"h[k ]x [7 - k ]
k =0
12
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
itd.
itd.
13
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry SOI 6-go rzędu
Filtry SOI 6-go rzędu
Drugi ciąg próbek wyjściowych jest przykładem działania filtru
cyfrowego SOI 6-go rzędu, który opisuje następujące równanie:
5
y 2[n ] =
"h[k ]x [n - k ]
k =0
W naszym przypadku filtru uśredniającego mamy 6 stałych (i takich
samych) współczynników charakteryzujących filtr cyfrowy.
Oczywiście w ogólnym przypadku współczynniki h[k] mogą być różne
dla różnych wartości k.
14
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Struktura uśredniającego filtru SOI 3-go rzędu
Struktura uśredniającego filtru SOI 3-go rzędu
x[n]
y1[n]
h[0]
+
=1/3
opóz
nienie
z-1
h[0]
x[n-1]
=1/3
opóz
nienie
z-1
x[n-2]
h[0]
=1/3
15
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Struktura uśredniającego filtru SOI 6-go rzędu
Struktura uśredniającego filtru SOI 6-go rzędu
16
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI 3-go rzędu
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI 3-go rzędu
1
h[0]
y[2]
2
7 6 5 4 3 2 1 0
h[1]
h[0] h[2]
0 1 2
17
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI 3-go rzędu
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI 3-go rzędu
1
h[1]
h[0]
y[3]
2 3
7 6 5 4 3 2 1 0
h[1]
h[0] h[2]
0 1 2
18
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI 3-go rzędu
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI 3-go rzędu
1
h[1]
h[0] h[2]
y[4]
2 3 4
7 6 5 4 3 2 1 0
h[1]
h[0] h[2]
0 1 2
19
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI
dowolnego rzędu
dowolnego rzędu
Odpowiedz
impulsowa filtru SOI jest identyczna jak
wartości współczynników tego filtru.
Wyznaczanie odpowiedzi impulsowej jest zatem
równoznaczne z wyznaczaniem współczynników h[k]
filtru SOI k+1 rzędu.
20
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Transmitancja filtru SOI
Transmitancja filtru SOI
DFT odpowiedzi impulsowej określa zatem własności filtru w
dziedzinie częstotliwości a zatem definiuje transmitancję
częstotliwościową filtru SOI.
y [n ] = h[n ]" x [n ] = h[k ]
gdzie k=0, 1 , ... jest indeksem kolejnych wartości współczynników
filtru i zakres wartości zależy od rzędu tego filtru.
DFT
y [n ] "!Y [m ] = H [m ]
´ ´
21
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Twierdzenie o splocie dyskretnym
Twierdzenie o splocie dyskretnym
Podstawowym prawem wykorzystywanym w DSP jest
twierdzenie o splocie dyskretnym:
Jeżeli mamy dwa sygnały dyskretne h[n] i x[n], których
dyskretne transformaty Fouriera DFT wynoszÄ…
odpowiednio H[m] i X[m] to DFT splotu tych sygnałów
jest iloczynem H[m]X[m].
Twierdzenie to umożliwia m. in. wyznaczenie odpowiedzi filtru
na podstawie widma dyskretnego sygnału wejściowego i
transmitancji częstotliwościowej filtru.
22
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Wykorzystanie twierdzenia
Wykorzystanie twierdzenia
o splocie dyskretnym
o splocie dyskretnym
Filtr realizuje to działanie,
czyli operuje na próbkach
y [n ] = h[n ]" x [n ]
czasowych
DFT
h[n ] "! H [m ] üÅ‚
DFT
ôÅ‚
Y [m ] = H [m ]X [m ]
x [n ] "! X [m ]
żł
DFT
ôÅ‚
y [n ] "!Y [m ]
W fazie projektowania filtru można
þÅ‚
wykorzystać tw. o splocie aby przewidzieć
właściwości filtru na podstawie jego
transmitancji (modelowanie matematyczne).
23
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Wyznaczanie odpowiedzi systemu dyskretnego
Wyznaczanie odpowiedzi systemu dyskretnego
Dziedzina próbek czasowych
Dziedzina dyskretnych częstotliwości
24
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI 3-go rzędu
z poprzedniego przykładu:
1
h[k ] = dla k = 0, 1, 2
3
Aby wyznaczyć transmitancję filtru
SOI wystarczy obliczyć DFT
odpowiedzi impulsowej, czyli DFT
ciągu jaki tworzą współczynniki filtru.
Wyznaczenie DFT na podstawie tylko 3
próbek daje bardzo niską rozdzielczość
widmową, więc w praktyce przy
wyznaczaniu transmitancji dodaje siÄ™
dodatkowo z prawej strony
odpowiednią ilość zer.
25
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
3-go rzędu (dopisano 5 zer co daje w sumie 8 próbek):
26
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
3-go rzędu (dopisano 29 zer co daje w sumie 32 próbki):
27
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI 6-go rzędu
z poprzedniego przykładu:
1
h[k ] = dla k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
6
28
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
6-go rzędu (dopisano 10 zer co daje w sumie 16 próbek):
29
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
6-go rzędu (dopisano 58 zer co daje w sumie 64 próbek):
30
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI 6-go rzędu
określonego następującym zestawem współczynników:
31
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Przykłady transmitancji filtrów SOI
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Znormalizowana transmitancja dolnoprzepustowego filtru SOI
6-go rzędu (dopisano 58 zer co daje w sumie 64 próbek):
32
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
SYGNAA
Y I SYSTEMY - dr inż. Grzegorz Masłowski
Politechnika Rzeszowska
Politechnika Rzeszowska
Filtry cyfrowe - podsumowanie
Filtry cyfrowe - podsumowanie
Filtr cyfrowy SOI przekształca skończony i dyskretny sygnał
wejściowy w skończony i dyskretny sygnał wyjściowy.
Działanie filtru cyfrowego SOI jest równoważne splotowi wejściowego
sygnału dyskretnego z ciągiem współczynników określających
właściwości tego filtru.
Transmitancja częstotliwościowa filtru SOI jest transformatą dyskretną
Fouriera DFT odpowiedzi impulsowej filtru.
Transmitancję tę wyznacza się dodając odpowiednią ilość zer do ciągu
współczynników filtru, który jest tożsamy z odpowiedzią impulsową.
Dyskretne widmo sygnału wyjściowego wyznacza się mnożąc widmo
sygnału wejściowego przez transmitancję filtru.
33