WST
P DO ELEKTRONIKI
Część IV
Czwórniki
Linia długa
Janusz Brzychczyk IF UJ
Czwórniki
Czwórnik (dwuwrotnik) posiada cztery zaciski elektryczne. Dwa z tych zacisków
uważamy za wejście czwórnika, a pozostałe dwa za wyjście.
sygnał wejściowy sygnał wyjściowy
(wymuszenie) (odpowiedz
)
u2(t)
czwórnik
u1(t)
wyjście
wejście
Sprzężenie wyjścia z wejściem opisywane jest przez funkcję (operator) przejścia,
zwany też transmisją układu lub transmitancją:
u2
odpowiedz

T = =
wymuszenie u1
Rodzaje czwórników
liniowe Ä… nieliniowe
bierne (pasywne) Ä… aktywne
Przykłady czwórników:
u2(t) = K u1(t)
wzmacniacz
u1(t)
K ą wzmocnienie układu
u2(t) = |u1(t)|
u1(t) prostownik
u1(t)
u2(t)
filtr
Czwórniki liniowe
u2(t)
u1(t)
j tƒÄ…ÔÄ…1
śąÎÄ… źą j´Ä…

Ä…
Dla fali sinusoidalnej funkcja przejścia ma postać T = T e
u1 t =U1e #" #"
śą źą
j j
śąÎÄ…tƒÄ…ÔÄ… źą= T U1ejśąÎÄ…tƒÄ…ÔÄ… ƒÄ…´Ä…źą śąÎÄ…tƒÄ…ÔÄ… źą
j´Ä…
1 1 2

Ä…
Ä…
Odpowiedz
: u2 t = Tu1 t = T e U1e =U2e
śą źą śą źą #" #" #" #"
Amplituda sygnału wyjściowego: U2 = T U1
#" #"
ÔÄ…2-ÔÄ…1 = ´Ä…
Przesunięcie fazy:
W ogólnym przypadku funkcja przejÅ›cia zależy od czÄ™stoÅ›ci sygnaÅ‚u T = T ÎÄ…
.
śą źą
Funkcję określającą zależność T od częstości nazywamy charakterystyką
#" #"
amplitudowÄ….
FunkcjÄ™ okreÅ›lajÄ…cÄ… zależność ´Ä… od czÄ™stoÅ›ci nazywamy charakterystykÄ… fazowÄ….
Czwórnik liniowy ą filtr sygnałów elektronicznych
Jeżeli sygnał wejściowy jest superpozycją
a
fal sinusoidalnych o amplitudach ak a1
a2
a3
i czÄ™stoÅ›ciach wð
k
j tƒÄ…ÔÄ…k
śąÎÄ… źą
k

Ä…
u1 t = ake
śą źą
"
k
wð2
wð1 wð3
wð
to dla
T
#" #"
TśąÎąźą=#"TśąÎąźą#"ej´Ä…śąÎąźą
wð
napięcie wyjściowe wynosi:
T a
#" #"
j tƒÄ…ÔÄ…k
śąÎÄ… źą
k

Ä…
u2 t = T ake
śą źą
"
śąÎÄ… źą
k
k
j tƒÄ…ÔÄ…kƒÄ…´Ä…
śąÎÄ… źąźą
k k
=
"
#"TśąÎÄ… źą#"a e śąÎÄ…
k k
k
wð
Rodzaje filtrów
T
#" #"
Filtr dolnoprzepustowy
wð
Filtr środkowoprzepustowy
Filtr górnoprzepustowy
Filtr środkowozaporowy
Czwórniki liniowe bierne
Czwórniki te zbudowane są z elementów R, L, C.
Rozważamy czwórniki zawierające impedancje Z1 oraz Z2 , połączone według
nastepujÄ…cego schematu:
Dla sygnałów sinusoidalnych:
i(t)
j
śąÎÄ…tƒÄ…ÔÄ… źą
1

Ä…
u1 ÎÄ…t =U1e
śą źą
Z1

Ä…
u1 ÎÄ…t
śą źą

Ä…

Ä…
u2 ÎÄ…t = Z2 ÎÄ… i ÎÄ…t = Z2 ÎÄ…
śą źą śą źą śą źą śą źą
Z2
u1(t)
u2(t)
Z1 ÎÄ… ƒÄ…Z2 ÎÄ…
śą źą śą źą

Ä…
Ä…
u2 ÎÄ…t =T ÎÄ… u1 ÎÄ…t
śą źą śą źą śą źą
Z2 ÎÄ…
śą źą
T ÎÄ… =
śą źą
Z1 ÎÄ… ƒÄ…Z2 ÎÄ…
Czwórnik ten nazywany jest śą źą śą źą
filtrem typu Gð lub też
uogólnionym dzielnikiem napięcia.
Czwórnik R R (dzielnik napięcia)
Dla sygnałów o dowolnych
i(t)
przebiegach czasowych:
R1
u1 t R2
śą źą
R2
u1(t)
u2(t)
u2 t = R2 i t = R2 = u1 t
śą źą śą źą śą źą
R1ƒÄ…R2 R1ƒÄ…R2
Z1 ÎÄ… = R1 = const ÎÄ…
śą źą śą źą
R2
Z2 ÎÄ… = R2 = const ÎÄ…
śą źą śą źą
T =
R1ƒÄ…R2
Czwórnik C R ą filtr górnoprzepustowy
ą układ różniczkujący
i(t)
1
Z1 =
C
jÎÄ…C
u1(t)
u2(t)
R
Z2 = R
ÎÄ…
j
Z2 ÎÄ…0
R jÎÄ… RC
T ÎÄ… = = = =
śą źą
ÎÄ…
Z1ƒÄ…Z2 1 1ƒÄ… jÎÄ…RC
1ƒÄ… j
ƒÄ…R
ÎÄ…0
jÎÄ…C
1 1
gdzie: ÎÄ…0 = =
ÉÄ…
RC
(stała czasowa)
ÉÄ… = RC
Czwórnik C R ą charakterystyka amplitudowa
ÎÄ…
j
ÎÄ…0
TśąÎąźą =
ÎÄ…
1ƒÄ… j
C
ÎÄ…0
u1(t)
u2(t)
R
2
ÎÄ…
śąÎÄ…0źą
T ÎÄ… =
#" śą źą#"
2
T
#" #"
ÎÄ…
1ƒÄ…
1
ÎÄ…0
śą źą
ćą
0.71
ÎÄ…
1
ÎÄ…0
Czwórnik C R ą charakterystyka fazowa
2
ÎÄ… ÎÄ… ÎÄ…
j
ÎÄ…0 ÎÄ…0 ƒÄ… j ÎÄ…0
śą źą
T ÎÄ… = =
śą źą
2
ÎÄ…
C
ÎÄ…
1ƒÄ… j
u1(t)
u2(t)
R
1ƒÄ…
ÎÄ…0
ÎÄ…0
śą źą
ÎÄ…0
ImT ÎÄ…
śą źą
´Ä… ÎÄ… = arctg = arctg
śą źą
śą źą
śą źą
ÎÄ…
´Ä… ÎÄ…
śą źą ReT ÎÄ…
śą źą
Ćą
2
Ćą
4
1 ÎÄ…
ÎÄ…0
Czwórnik CR : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie
Q ą ładunek na okładce kondensatora
i(t)
C
u1(t)
u2(t)
R
Q t
śą źą
u1 t = ƒÄ… u2 t
śą źą śą źą
C
dQ t
śą źą
=i t
śą źą
różniczkując względem czasu oraz uwzględniając, że
dt
du1 t du2 t
śą źą śą źą
i t
śą źą
u2 t
śą źą
= ƒÄ…
, ponieważ otrzymujemy:
i t =
śą źą
dt C dt
R
du1 t u2 t du2 t
śą źą śą źą śą źą
Rozwiązując to równanie różniczkowe znajdujemy
= ƒÄ…
odpowiedz
u2(t) na zadany sygnał wejściowy u1(t).
dt RC dt
Dla małych stałych czasowych RC, przy powolnych zmianach napięcia w czasie:
Napięcie wyjściowe śledzi zróżniczkowany
du1 t
du1 t u2 t śą źą
śą źą śą źą
u2 t C" ÉÄ…
C" śą źą
czyli sygnał wejściowy. Dlatego nazwa:
dt
dt RC
układ różniczkujący
sygnał wejściowy
u1(t)
Układ różniczkujący :
U
Przechodzenie impulsów prostokątnych
t
u1 t = 0 dla t"Ä…0 i tÄ…tp
śą źą
tp
u1 t = U dla 0"Ä…t"Ä…tp
śą źą
u2(t)
sygnał wyjściowy gdy
U
du1 t u2 t du2 t
śą źą śą źą śą źą
ÉÄ… = 0.1tp
= ƒÄ… , ÉÄ…= RC
ÉÄ…
dt dt
Poza punktami t = 0 oraz t = tp :
du1 t u2 t du2 t
śą źą śą źą śą źą
= 0 0 = ƒÄ…
ÉÄ…
dt dt
du2 t
śą źą
ÉÄ… = tp
u2 t = -ÉÄ…
śą źą
dt
Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem
warunków początkowych otrzymujemy:
u2 t =U e-t/ÉÄ… dla 0"Ä… t "Ä… tp
śą źą
ÉÄ… = 10t
p
t /ÉÄ…
p
śą źą
u2 t =U 1- e e-t/ÉÄ… dla t Ä… t
śą źą
p
Czwórnik R C ą filtr dolnoprzepustowy
ą układ całkujący
i(t)
Z1 = R
R
1
u1(t) C
u2(t)
Z2 =
jÎÄ…C
1
Z2
jÎÄ…C
1 1
TśąÎąźą = = = =
ÎÄ…
Z1ƒÄ…Z2 1 1ƒÄ… jÎÄ…RC
1ƒÄ… j
RƒÄ…
ÎÄ…0
jÎÄ…C
1 1
gdzie: ÎÄ…0 = =
ÉÄ…
RC
(stała czasowa)
ÉÄ… = RC
Czwórnik R C ą charakterystyka amplitudowa
skala liniowa
T
#" #"
R
1
u1(t)
C
u2(t)
0.71
1
0
T ÎÄ… =
śą źą
0
1 2
ÎÄ…
ÎÄ…
1ƒÄ… j
ÎÄ…0
ÎÄ…0
T
#" #"
skala log Ä… log
1
0.1
ÎÄ…0
1
T C"
#" #"
#"TśąÎąźą#"=
ÎÄ…
2
ÎÄ…
0.01
1ƒÄ…
śąÎÄ…0źą
ćą
0.01 0.1 1 10 100
ÎÄ…
ÎÄ…0
Czwórnik R C ą charakterystyka fazowa
R
´Ä… ÎÄ…
śą źą
u1(t)
C
u2(t)
1
2
0
ÎÄ…
ÎÄ…0
ÎÄ…
1- j
Ćą
ÎÄ…0
-
1
4
TśąÎąźą = =
2
ÎÄ…
ÎÄ…
1ƒÄ… j
ÎÄ…0 1ƒÄ…
śąÎÄ…0źą
Ćą
-
2
ImT
ÎÄ…
´Ä… ÎÄ… = arctg = -arctg
śą źą
śą źą
ÎÄ…0
śą źą
ReT
Czwórnik R C : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie
i(t)
Q ą ładunek na okładce kondensatora
R
u1(t) C
u2(t)
u1 t = Ri t ƒÄ… u2 t
śą źą śą źą śą źą
du2 t
śą źą
dQ t
śą źą
uwzględniając, że otrzymujemy:
i t = =C
śą źą
dt dt
du2 t du2 t
śą źą śą źą
u1 t = RC ƒÄ…u2 t = ÉÄ… ƒÄ…u2 t
śą źą śą źą śą źą
dt dt
du2 t
śą źą
Gdy (duża częstotliwość, duża stała czasowa) wówczas:
ÉÄ… k" t
#"u śą źą
#"
2
#" #"
dt
t
du2 t Napięcie wyjściowe śledzi scałkowany
śą źą
1
u1 t C" ÉÄ…
śą źą u2 t C" u1 t©dt©
śą źą śą źą
czyli
+" sygnał wejściowy. Dlatego nazwa:
ÉÄ…
dt
t0
układ całkujący
u1(t)
sygnał wejściowy
U
Układ całkujący :
Przechodzenie impulsów prostokątnych
u1 t = 0 dla t"Ä…0 i tÄ…tp
śą źą
tp t
u1 t = U dla 0"Ä…t"Ä…tp
śą źą
u2(t)
sygnał wyjściowy gdy:
U
ÉÄ… = 0.1t
p
du2 t
śą źą
u1 t = ÉÄ… ƒÄ…u2 t , ÉÄ… = RC
śą źą śą źą
dt
t
tp
Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem
warunków początkowych otrzymujemy:
U
ÉÄ… = tp
u2 t = Uśą1-e-t/Éąźą dla 0 "Ä… t "Ä… t
śą źą
p
t /ÉÄ…
p
śą źą
u2 t = U e -1 e-t/ ÉÄ… dla t Ä… t
śą źą
p
U
ÉÄ… = 10t
p
Czwórnik Wiena ą filtr środkowo-przepustowy
ą układ różniczkująco-całkujący
R1
i(t)
C1
u1(t)
R2
u2(t)
C2
1
Z1 = R1ƒÄ…
jÎÄ…C1
Z2
1
T ÎÄ… = = ‹Ä…
śą źą
Z2 =
Z1ƒÄ…Z2
1
ƒÄ… jÎÄ…C2
R2
Czwórnik Wiena ą filtr środkowo-przepustowy
ą układ różniczkująco-całkujący
Symetryczny czwórnik Wiena
R
i(t)
1
Z1= RƒÄ…
jÎÄ…C
C
u1(t)
R u2(t)
1 1
= ƒÄ… jÎÄ…C
C
Z2 R
ÎÄ…0
ÎÄ…
3- j
śą źą
Z2 ÎÄ…0 - ÎÄ…
1 1
T ÎÄ… = = =
śą źą
ÎÄ…0 =
Z1ƒÄ… Z2 Z1
ÎÄ…0 2
ÎÄ…
ÎÄ…
3ƒÄ… j
ƒÄ…1
9ƒÄ… -
śą źą
ÎÄ…0 - ÎÄ…
śą źą
ÎÄ…0 ÎÄ…
Z2
1
ÎÄ…0 ÎÄ…
ImT
1
T ÎÄ… = T T*ð =
#" śą źą#"
ćą
´Ä… ÎÄ… = arctg = arctg -
śą źą
ÎÄ…0 2 śą źą śą źą
[ ÎÄ… ÎÄ…0 ]
ReT 3
ÎÄ…
9ƒÄ… -
śą źą
ÎÄ…0 ÎÄ…
ćą
Symetryczny czwórnik Wiena ą charakterystyka częstotliwościowa
T
#" #"
Charakterystyka amplitudowa
1
S!
0.1
1
T ÎÄ… =
#" śą źą#"
0.01
ÎÄ…0 2
ÎÄ…
9ƒÄ… -
śą źą
ÎÄ…0 ÎÄ…
ćą
0.001 0.01 0.1 1 100 1000
10
ÎÄ…
ÎÄ…0
´Ä…
Charakterystyka fazowa
Ćą
2
ÎÄ…0 ÎÄ…
1
0
´Ä… ÎÄ… = arctg -
śą źą
0.01 0.1 1 10 100 1000
ÎÄ…
śą źą
[ ÎÄ… ÎÄ…0 ]
3
ÎÄ…0
-Ćą
2
Czwórniki o elementach rozłożonych: Linia długa
l
wejście
wyjście
Zobc
~
x
d x
L d x
R d x
konduktancja
1
C d x
G d x
Propagację sygnału w linii
R, L, C, G odnoszÄ… siÄ™ do
długiej opisują tzw.
jednostki długości linii
równania telegrafistów:
d x
"u x ,t "i x ,t
śą źą śą źą
= L ƒÄ… R i x ,t
śą źą
"x "t
ą uogólnione napięcie i prąd
u x ,t , i x,t
śą źą śą źą
"i x ,t "u x ,t
śą źą śą źą
(zespolone)
= C ƒÄ… G u x ,t
śą źą
"x "t
Linia długa
Jeżeli na wejściu linii sygnał sinusoidalny, całkowanie równań telegrafistów daje:
1
jÎÄ…t
i x ,t = A1eÄ…Ä… x-A2e-Ä…Ä…x e
śą źą
śą źą
Z0
u x ,t = A1eÄ…Ä… xƒÄ…A2e-Ä…Ä… x ej ÎÄ…t
śą źą
śą źą
fala biegnÄ…ca
fala odbita
(od wej. do wyj.)
(od wyj. do wej.)
A1 , A2
gdzie: ą stałe całkowania
RƒÄ… jÎÄ…L
Ä… impedancja charakterystyczna linii
Z0 =
GƒÄ… jÎÄ…C
ćą
Ä…Ä… = RƒÄ… jÎÄ…L GƒÄ… jÎÄ…C
śą źąśą źą ą stała propagacji linii (bezwymiarowa)
ćą
ZapisujÄ…c staÅ‚Ä… propagacji w postaci Ä…Ä… = aƒÄ… jb otrzymujemy:
b b
jÎÄ… tƒÄ… x jÎÄ… t- x
Prędkość fali biegnącej i odbitej:
śą źąƒÄ… A2e-axe śą źą
ÎÄ… ÎÄ…
u x ,t = A1eaxe
śą źą
ÎÄ…
vf =
amplituda
amplituda
b
fali biegnÄ…cej
fali odbitej
Linia długa
Linie dÅ‚ugie (np. kable) sÄ… tak projektowane, aby R << wð L oraz G << wð C dla używanego
zakresu czÄ™stoÅ›ci wð . Można wtedy takÄ… liniÄ™ traktować jako liniÄ™ bez strat : R = 0, G = 0.
Wówczas: a= 0 oraz b = ÎÄ… LC
ćą
amplitudy fal padającej i odbitej nie zależą od x
1
ÎÄ…
vf = =
nie zależy od wð
b
LC
ćą
L
Z = wartość rzeczywista (rezystancja)
0
C
ćą
W liniach ze stratami:
ax -ax
fala padająca i odbita są tłumione (czynniki e e )
,
prędkości fal zależą od ich częstości
Z0 jest zespolone
Linia długa
W linii jednorodnej fala wsteczna może powstać jedynie w wyniku odbicia fali
od końca linii. Stosunek amplitudy fali odbitej do amplitudy fali padającej
określony jest przez współczynnik odbicia:
A2 Zobc- Z0
ÇÄ… = =
A1 ZobcƒÄ… Z0
Wyróżnić można następujące przypadki szczególne:
Zobc = Z0 rð = 0
Mówimy, że linia jest zwarta prawidłowo (lub dopasowana). Brak jest odbić
od końca linii, mamy tylko sygnał od z
ródła do odbiornika.
Zobc = Ä„ð rð = 1
Linia rozwarta, sygnał odbija się z taką samą amplitudą.
Zobc = 0 rð = -1
Linia jest Ä…krótko zwartaº. Obserwujemy caÅ‚kowite odbicie sygnaÅ‚u z jego inwersjÄ….
Gdy linia nie jest zwarta prawidłowo odbicia na końcach linii utrudniają
lub uniemożliwiają obserwację właściwego sygnału.
Zastosowania linii długiej
Przesyłanie sygnałów:
ZW
Zobc
~
Do przesyłania sygnałów stosuje się najczęściej kable koncentryczne. Są one tak wykonywane
Z0 C" L/C
aby (kilkadziesiąt ą kilkaset omów). Dla uzyskania maksymalnego przekazu mocy
ćą
musi być spełniony warunek ZW = Z0 . Aby nie było odbić musi być Zobc = Z0 . W linii bez strat
sygnały są przenoszone bez tłumienia i zniekształceń.
Opóz
nianie impulsów ą linie opóz
niajÄ…ce:
Dla linii bez strat
c ą prędkość światła
l
1
vf = t l = l LC = Ä…
śą źą
ćą
ćą
ą ą przenikalność dielektryczna
c
LC
ćą
izolatora kabla
Dla typowych kabli t(l) ~ 5 ns/m.
Formowanie impulsów:
Przy pomocy linii długiej można dokonać formowania impulsów, a więc zmiany ich kształtu.
Wykorzystuje się efekt odbicia sygnału na końcu linii (np. linii krótko-zwartej) i interferencji
fali odbitej z falÄ… padajÄ…cÄ….