WST
P DO ELEKTRONIKI
Część IV
Czwórniki
Linia długa
Janusz Brzychczyk IF UJ
Czwórniki
Czwórnik (dwuwrotnik) posiada cztery zaciski elektryczne. Dwa z tych zacisków
uważamy za wejście czwórnika, a pozostałe dwa za wyjście.
sygnał wejściowy sygnał wyjściowy
(wymuszenie) (odpowiedz
)
u2(t)
czwórnik
u1(t)
wyjście
wejście
Sprzężenie wyjścia z wejściem opisywane jest przez funkcję (operator) przejścia,
zwany też transmisją układu lub transmitancją:
u2
odpowiedz

T = =
wymuszenie u1
Rodzaje czwórników
liniowe ą nieliniowe
bierne (pasywne) ą aktywne
Przykłady czwórników:
u2(t) = K u1(t)
wzmacniacz
u1(t)
K ą wzmocnienie układu
u2(t) = |u1(t)|
u1(t) prostownik
u1(t)
u2(t)
filtr
Czwórniki liniowe
u2(t)
u1(t)
j t�ą�ą1
śą�ą źą j�ą

ą
Dla fali sinusoidalnej funkcja przejścia ma postać T = T e
u1 t =U1e #" #"
śą źą
j j
śą�ąt�ą�ą źą= T U1ejśą�ąt�ą�ą �ą�ąźą śą�ąt�ą�ą źą
j�ą
1 1 2

ą
ą
Odpowiedz
: u2 t = Tu1 t = T e U1e =U2e
śą źą śą źą #" #" #" #"
Amplituda sygnału wyjściowego: U2 = T U1
#" #"
�ą2-�ą1 = �ą
Przesunięcie fazy:
W ogólnym przypadku funkcja przejścia zależy od częstości sygnału T = T �ą
.
śą źą
Funkcję określającą zależność T od częstości nazywamy charakterystyką
#" #"
amplitudową.
Funkcję określającą zależność �ą od częstości nazywamy charakterystyką fazową.
Czwórnik liniowy ą filtr sygnałów elektronicznych
Jeżeli sygnał wejściowy jest superpozycją
a
fal sinusoidalnych o amplitudach ak a1
a2
a3
i częstościach w�
k
j t�ą�ąk
śą�ą źą
k

ą
u1 t = ake
śą źą
"
k
w�2
w�1 w�3
w�
to dla
T
#" #"
Tśą�ąźą=#"Tśą�ąźą#"ej�ąśą�ąźą
w�
napięcie wyjściowe wynosi:
T a
#" #"
j t�ą�ąk
śą�ą źą
k

ą
u2 t = T ake
śą źą
"
śą�ą źą
k
k
j t�ą�ąk�ą�ą
śą�ą źąźą
k k
=
"
#"Tśą�ą źą#"a e śą�ą
k k
k
w�
Rodzaje filtrów
T
#" #"
Filtr dolnoprzepustowy
w�
Filtr środkowoprzepustowy
Filtr górnoprzepustowy
Filtr środkowozaporowy
Czwórniki liniowe bierne
Czwórniki te zbudowane są z elementów R, L, C.
Rozważamy czwórniki zawierające impedancje Z1 oraz Z2 , połączone według
nastepującego schematu:
Dla sygnałów sinusoidalnych:
i(t)
j
śą�ąt�ą�ą źą
1

ą
u1 �ąt =U1e
śą źą
Z1

ą
u1 �ąt
śą źą

ą

ą
u2 �ąt = Z2 �ą i �ąt = Z2 �ą
śą źą śą źą śą źą śą źą
Z2
u1(t)
u2(t)
Z1 �ą �ąZ2 �ą
śą źą śą źą

ą
ą
u2 �ąt =T �ą u1 �ąt
śą źą śą źą śą źą
Z2 �ą
śą źą
T �ą =
śą źą
Z1 �ą �ąZ2 �ą
Czwórnik ten nazywany jest śą źą śą źą
filtrem typu G� lub też
uogólnionym dzielnikiem napięcia.
Czwórnik R R (dzielnik napięcia)
Dla sygnałów o dowolnych
i(t)
przebiegach czasowych:
R1
u1 t R2
śą źą
R2
u1(t)
u2(t)
u2 t = R2 i t = R2 = u1 t
śą źą śą źą śą źą
R1�ąR2 R1�ąR2
Z1 �ą = R1 = const �ą
śą źą śą źą
R2
Z2 �ą = R2 = const �ą
śą źą śą źą
T =
R1�ąR2
Czwórnik C R ą filtr górnoprzepustowy
ą układ różniczkujący
i(t)
1
Z1 =
C
j�ąC
u1(t)
u2(t)
R
Z2 = R
�ą
j
Z2 �ą0
R j�ą RC
T �ą = = = =
śą źą
�ą
Z1�ąZ2 1 1�ą j�ąRC
1�ą j
�ąR
�ą0
j�ąC
1 1
gdzie: �ą0 = =
�ą
RC
(stała czasowa)
�ą = RC
Czwórnik C R ą charakterystyka amplitudowa
�ą
j
�ą0
Tśą�ąźą =
�ą
1�ą j
C
�ą0
u1(t)
u2(t)
R
2
�ą
śą�ą0źą
T �ą =
#" śą źą#"
2
T
#" #"
�ą
1�ą
1
�ą0
śą źą
ćą
0.71
�ą
1
�ą0
Czwórnik C R ą charakterystyka fazowa
2
�ą �ą �ą
j
�ą0 �ą0 �ą j �ą0
śą źą
T �ą = =
śą źą
2
�ą
C
�ą
1�ą j
u1(t)
u2(t)
R
1�ą
�ą0
�ą0
śą źą
�ą0
ImT �ą
śą źą
�ą �ą = arctg = arctg
śą źą
śą źą
śą źą
�ą
�ą �ą
śą źą ReT �ą
śą źą
Ćą
2
Ćą
4
1 �ą
�ą0
Czwórnik CR : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie
Q ą ładunek na okładce kondensatora
i(t)
C
u1(t)
u2(t)
R
Q t
śą źą
u1 t = �ą u2 t
śą źą śą źą
C
dQ t
śą źą
=i t
śą źą
różniczkując względem czasu oraz uwzględniając, że
dt
du1 t du2 t
śą źą śą źą
i t
śą źą
u2 t
śą źą
= �ą
, ponieważ otrzymujemy:
i t =
śą źą
dt C dt
R
du1 t u2 t du2 t
śą źą śą źą śą źą
Rozwiązując to równanie różniczkowe znajdujemy
= �ą
odpowiedz
u2(t) na zadany sygnał wejściowy u1(t).
dt RC dt
Dla małych stałych czasowych RC, przy powolnych zmianach napięcia w czasie:
Napięcie wyjściowe śledzi zróżniczkowany
du1 t
du1 t u2 t śą źą
śą źą śą źą
u2 t C" �ą
C" śą źą
czyli sygnał wejściowy. Dlatego nazwa:
dt
dt RC
układ różniczkujący
sygnał wejściowy
u1(t)
Układ różniczkujący :
U
Przechodzenie impulsów prostokątnych
t
u1 t = 0 dla t"ą0 i tątp
śą źą
tp
u1 t = U dla 0"ąt"ątp
śą źą
u2(t)
sygnał wyjściowy gdy
U
du1 t u2 t du2 t
śą źą śą źą śą źą
�ą = 0.1tp
= �ą , �ą= RC
�ą
dt dt
Poza punktami t = 0 oraz t = tp :
du1 t u2 t du2 t
śą źą śą źą śą źą
= 0 0 = �ą
�ą
dt dt
du2 t
śą źą
�ą = tp
u2 t = -�ą
śą źą
dt
Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem
warunków początkowych otrzymujemy:
u2 t =U e-t/�ą dla 0"ą t "ą tp
śą źą
�ą = 10t
p
t /�ą
p
śą źą
u2 t =U 1- e e-t/�ą dla t ą t
śą źą
p
Czwórnik R C ą filtr dolnoprzepustowy
ą układ całkujący
i(t)
Z1 = R
R
1
u1(t) C
u2(t)
Z2 =
j�ąC
1
Z2
j�ąC
1 1
Tśą�ąźą = = = =
�ą
Z1�ąZ2 1 1�ą j�ąRC
1�ą j
R�ą
�ą0
j�ąC
1 1
gdzie: �ą0 = =
�ą
RC
(stała czasowa)
�ą = RC
Czwórnik R C ą charakterystyka amplitudowa
skala liniowa
T
#" #"
R
1
u1(t)
C
u2(t)
0.71
1
0
T �ą =
śą źą
0
1 2
�ą
�ą
1�ą j
�ą0
�ą0
T
#" #"
skala log ą log
1
0.1
�ą0
1
T C"
#" #"
#"Tśą�ąźą#"=
�ą
2
�ą
0.01
1�ą
śą�ą0źą
ćą
0.01 0.1 1 10 100
�ą
�ą0
Czwórnik R C ą charakterystyka fazowa
R
�ą �ą
śą źą
u1(t)
C
u2(t)
1
2
0
�ą
�ą0
�ą
1- j
Ćą
�ą0
-
1
4
Tśą�ąźą = =
2
�ą
�ą
1�ą j
�ą0 1�ą
śą�ą0źą
Ćą
-
2
ImT
�ą
�ą �ą = arctg = -arctg
śą źą
śą źą
�ą0
śą źą
ReT
Czwórnik R C : Przechodzenie sygnałów o dowolnym kształcie
i(t)
Q ą ładunek na okładce kondensatora
R
u1(t) C
u2(t)
u1 t = Ri t �ą u2 t
śą źą śą źą śą źą
du2 t
śą źą
dQ t
śą źą
uwzględniając, że otrzymujemy:
i t = =C
śą źą
dt dt
du2 t du2 t
śą źą śą źą
u1 t = RC �ąu2 t = �ą �ąu2 t
śą źą śą źą śą źą
dt dt
du2 t
śą źą
Gdy (duża częstotliwość, duża stała czasowa) wówczas:
�ą k" t
#"u śą źą
#"
2
#" #"
dt
t
du2 t Napięcie wyjściowe śledzi scałkowany
śą źą
1
u1 t C" �ą
śą źą u2 t C" u1 t�dt�
śą źą śą źą
czyli
+" sygnał wejściowy. Dlatego nazwa:
�ą
dt
t0
układ całkujący
u1(t)
sygnał wejściowy
U
Układ całkujący :
Przechodzenie impulsów prostokątnych
u1 t = 0 dla t"ą0 i tątp
śą źą
tp t
u1 t = U dla 0"ąt"ątp
śą źą
u2(t)
sygnał wyjściowy gdy:
U
�ą = 0.1t
p
du2 t
śą źą
u1 t = �ą �ąu2 t , �ą = RC
śą źą śą źą
dt
t
tp
Rozwiązując to równanie z uwzględnieniem
warunków początkowych otrzymujemy:
U
�ą = tp
u2 t = Uśą1-e-t/�ąźą dla 0 "ą t "ą t
śą źą
p
t /�ą
p
śą źą
u2 t = U e -1 e-t/ �ą dla t ą t
śą źą
p
U
�ą = 10t
p
Czwórnik Wiena ą filtr środkowo-przepustowy
ą układ różniczkująco-całkujący
R1
i(t)
C1
u1(t)
R2
u2(t)
C2
1
Z1 = R1�ą
j�ąC1
Z2
1
T �ą = = �ą
śą źą
Z2 =
Z1�ąZ2
1
�ą j�ąC2
R2
Czwórnik Wiena ą filtr środkowo-przepustowy
ą układ różniczkująco-całkujący
Symetryczny czwórnik Wiena
R
i(t)
1
Z1= R�ą
j�ąC
C
u1(t)
R u2(t)
1 1
= �ą j�ąC
C
Z2 R
�ą0
�ą
3- j
śą źą
Z2 �ą0 - �ą
1 1
T �ą = = =
śą źą
�ą0 =
Z1�ą Z2 Z1
�ą0 2
�ą
�ą
3�ą j
�ą1
9�ą -
śą źą
�ą0 - �ą
śą źą
�ą0 �ą
Z2
1
�ą0 �ą
ImT
1
T �ą = T T*� =
#" śą źą#"
ćą
�ą �ą = arctg = arctg -
śą źą
�ą0 2 śą źą śą źą
[ �ą �ą0 ]
ReT 3
�ą
9�ą -
śą źą
�ą0 �ą
ćą
Symetryczny czwórnik Wiena ą charakterystyka częstotliwościowa
T
#" #"
Charakterystyka amplitudowa
1
S!
0.1
1
T �ą =
#" śą źą#"
0.01
�ą0 2
�ą
9�ą -
śą źą
�ą0 �ą
ćą
0.001 0.01 0.1 1 100 1000
10
�ą
�ą0
�ą
Charakterystyka fazowa
Ćą
2
�ą0 �ą
1
0
�ą �ą = arctg -
śą źą
0.01 0.1 1 10 100 1000
�ą
śą źą
[ �ą �ą0 ]
3
�ą0
-Ćą
2
Czwórniki o elementach rozłożonych: Linia długa
l
wejście
wyjście
Zobc
~
x
d x
L d x
R d x
konduktancja
1
C d x
G d x
Propagację sygnału w linii
R, L, C, G odnoszą się do
długiej opisują tzw.
jednostki długości linii
równania telegrafistów:
d x
"u x ,t "i x ,t
śą źą śą źą
= L �ą R i x ,t
śą źą
"x "t
ą uogólnione napięcie i prąd
u x ,t , i x,t
śą źą śą źą
"i x ,t "u x ,t
śą źą śą źą
(zespolone)
= C �ą G u x ,t
śą źą
"x "t
Linia długa
Jeżeli na wejściu linii sygnał sinusoidalny, całkowanie równań telegrafistów daje:
1
j�ąt
i x ,t = A1eąą x-A2e-ąąx e
śą źą
śą źą
Z0
u x ,t = A1eąą x�ąA2e-ąą x ej �ąt
śą źą
śą źą
fala biegnąca
fala odbita
(od wej. do wyj.)
(od wyj. do wej.)
A1 , A2
gdzie: ą stałe całkowania
R�ą j�ąL
ą impedancja charakterystyczna linii
Z0 =
G�ą j�ąC
ćą
ąą = R�ą j�ąL G�ą j�ąC
śą źąśą źą ą stała propagacji linii (bezwymiarowa)
ćą
Zapisując stałą propagacji w postaci ąą = a�ą jb otrzymujemy:
b b
j�ą t�ą x j�ą t- x
Prędkość fali biegnącej i odbitej:
śą źą�ą A2e-axe śą źą
�ą �ą
u x ,t = A1eaxe
śą źą
�ą
vf =
amplituda
amplituda
b
fali biegnącej
fali odbitej
Linia długa
Linie długie (np. kable) są tak projektowane, aby R << w� L oraz G << w� C dla używanego
zakresu częstości w� . Można wtedy taką linię traktować jako linię bez strat : R = 0, G = 0.
Wówczas: a= 0 oraz b = �ą LC
ćą
amplitudy fal padającej i odbitej nie zależą od x
1
�ą
vf = =
nie zależy od w�
b
LC
ćą
L
Z = wartość rzeczywista (rezystancja)
0
C
ćą
W liniach ze stratami:
ax -ax
fala padająca i odbita są tłumione (czynniki e e )
,
prędkości fal zależą od ich częstości
Z0 jest zespolone
Linia długa
W linii jednorodnej fala wsteczna może powstać jedynie w wyniku odbicia fali
od końca linii. Stosunek amplitudy fali odbitej do amplitudy fali padającej
określony jest przez współczynnik odbicia:
A2 Zobc- Z0
�ą = =
A1 Zobc�ą Z0
Wyróżnić można następujące przypadki szczególne:
Zobc = Z0 r� = 0
Mówimy, że linia jest zwarta prawidłowo (lub dopasowana). Brak jest odbić
od końca linii, mamy tylko sygnał od z
ródła do odbiornika.
Zobc = Ą� r� = 1
Linia rozwarta, sygnał odbija się z taką samą amplitudą.
Zobc = 0 r� = -1
Linia jest ąkrótko zwarta�. Obserwujemy całkowite odbicie sygnału z jego inwersją.
Gdy linia nie jest zwarta prawidłowo odbicia na końcach linii utrudniają
lub uniemożliwiają obserwację właściwego sygnału.
Zastosowania linii długiej
Przesyłanie sygnałów:
ZW
Zobc
~
Do przesyłania sygnałów stosuje się najczęściej kable koncentryczne. Są one tak wykonywane
Z0 C" L/C
aby (kilkadziesiąt ą kilkaset omów). Dla uzyskania maksymalnego przekazu mocy
ćą
musi być spełniony warunek ZW = Z0 . Aby nie było odbić musi być Zobc = Z0 . W linii bez strat
sygnały są przenoszone bez tłumienia i zniekształceń.
Opóz
nianie impulsów ą linie opóz
niające:
Dla linii bez strat
c ą prędkość światła
l
1
vf = t l = l LC = ą
śą źą
ćą
ćą
ą ą przenikalność dielektryczna
c
LC
ćą
izolatora kabla
Dla typowych kabli t(l) ~ 5 ns/m.
Formowanie impulsów:
Przy pomocy linii długiej można dokonać formowania impulsów, a więc zmiany ich kształtu.
Wykorzystuje się efekt odbicia sygnału na końcu linii (np. linii krótko-zwartej) i interferencji
fali odbitej z falą padającą.