WST
P DO ELEKTRONIKI
Część II
Podstawowe elementy elektroniczne ą dwójniki bierne RLC
Formalizm zespolony opisu napięć i prądów harmonicznie
zmiennych w czasie ą impedancja
y
ródła napięcia i prądu
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami
Janusz Brzychczyk IF UJ
Podstawowe elementy elektroniczne
Dwójniki
Dwójnikem nazywamy układ posiadający dwa zaciski elektryczne.
i (t)
dwójnik
u (t)
Parametrami elektrycznymi dwójnika są:
prąd płynący przez dwójnik - i (t)
napięcie na jego zaciskach - u (t)
Dwójniki
W dwójniku wyróżnia się parametry wejściowe (wymuszenie, pobudzenie)
i parametry wyjściowe (odpowiedz
).
Jeżeli np. napięcie U jest parametrem wyjściowym będącym
reakcją na przepływający prąd I oraz
określone wielkości Pi (np. temperatura, natężenie światła...),
to relację pomiędzy nimi można zapisać w postaci:
U = T I , Pi
śą źą
gdzie wielkość T jest funkcją lub operatorem.
W ogólnym przypadku parametry dwójnika mogą zależeć od czasu t .
Dwójniki liniowe i stacjonarne
Układ (dwójnik) jest liniowy gdy spełnia dwie własności:
jednorodności, co oznacza, że jeżeli parametr (sygnał) wejściowy x(t)
zostanie przeskalowany, to uzyskany parametr (sygnał) wyjściowy y(t)
będzie przeskalowany z takim samym współczynnikiem:
T a�"x t = a�"T x t = a�"y t
[ śą źą] [ śą źą] śą źą
addytywności ą odpowiedz
układu na sumę wymuszeń jest równa
sumie odpowiedzi na każde wymuszenie osobno:
T x1 t �ąx2 t = T x1 t x2 t = y1 t �ą y2 t
śą źą śą źą śą źą śą źą śą źą śą źą
[ ] [ ]�ąT [ ]
Jeżeli y1(t) jest odpowiedzią na wymuszenie x1(t),
natomiast y2(t) na x2(t),
to y(t) = a1� y1(t) + a2� y2(t) będzie odpowiedzią
na wymuszenie x(t) = a1� x1(t) + a2� x2(t)
( a1, a2 - dowolne stałe)
Dwójniki liniowe i stacjonarne
Układ stacjonarny (niezmienny w czasie) to układ w którym na przesunięte
w czasie wymuszenie otrzymuje się przesuniętą w czasie odpowiedz

o niezmienionym kształcie:
Wymuszenie: x1(t) Wymuszenie: x2(t) = x1(t ą t0)
t t
t0
Odpowiedz
: y2(t) = y1(t ą t0)
Odpowiedz
: y1(t)
t t
t0
t0 ą dowolne przesunięcie w czasie
Dwójniki liniowe i stacjonarne
Z założenia liniowości i stacjonarności wynika :
Jeżeli wymuszenie ma postać :
x t = Aept
śą źą
gdzie p jest parametrem niezależnym od czasu,
to odpowiedz
ma postać :
y t = C p ep t
śą źą śą źą
gdzie C(p) zależy tylko od p i od rodzaju elementu.
Funkcja odpowiedzi :
y t C p ept C p
śą źą śą źą śą źą
T p = = =
śą źą
A
xśątźą
Aep t
Dwójniki liniowe i stacjonarne
Do opisu układów w przypadku gdy wymuszenie jest sygnałem sinusoidalnym,
wygodnie jest stosować uogólniony formalizm wykorzystujący liczby zespolone.
p
Możemy wówczas przedstawić wymuszenie sinusoidalne w postaci x t = A e ,t
śą źą
przyjmując p = j � , gdzie j jest jednostką urojoną, a � = 2p� f
( f częstotliwość wymuszenia):
j �ąt
x t = Ae
śą źą
Odpowiedzią układu liniowego i stacjonarnego na wymuszenie sinusoidalne
jest sygnał sinusoidalny o tej samej częstotliwości:
j �ąt
y t = T j �ą Ae
śą źą śą źą
Funkcja odpowiedzi T zależy od częstotliwości i charakteryzuje rodzaj układu.
Dwójniki bierne
Dwójnik, który nie posiada z
ródeł, nazywamy dwójnikiem biernym (pasywnym).
W elektronice wyróżniamy trzy rodzaje podstawowych dwójników biernych
(liniowych i stacjonarnych): rezystancję, pojemność i indukcyjność.
Dla tych dwójników funkcja odpowiedzi T(p) określająca reakcję napięcia u (t)
p
i t = I e
na przepływający przez dwójnik prąd śą źą 0 t ma postać zespoloną:
u t
śą źą
T p = a" Z p
śą źą śą źą
i t
śą źą
W tym przypadku funkcję odpowiedzi nazywamy impedancją elementu
i oznaczamy symbolem Z .
W szczególnym przypadku impedancja może być rzeczywista.
Tak jest dla rezystancji.
Rezystancja (idealny opornik)
Symbol:
Impedancja jest wielkością rzeczywistą, równą oporności R :
R
Z = R + j0
R
Relacja pomiędzy prądem i napięciem:
U = R I, u(t) = R i(t) (Prawo Ohma)
spełnione dla dowolnych przebiegów czasowych
u(t)
Jednostka rezystancji:
Om (Ohm) [W�]
i(t)
t
Dla przebiegów sinusoidalnych różnica faz
pomiędzy napięciem a prądem wynosi 0.
Oporniki (rezystory)
Rodzaje oporników:
drutowe
warstwowe
objętościowe
Opornik objętościowy (np. węglowy)
W rzeczywistości oporniki oprócz rezystancji R mają także pewną
pojemność C oraz indukcyjność L . Te nieuknione dodatkowe wielkości (C, L)
są na ogół pomijalnie małe, ale w pewnych warunkach, szczególnie
przy wysokich częstotliwościach sygnałów, mogą odgrywać znaczącą
rolę.
R
L
C
Parametry oporników
Rezystancja nominalna
Rezystancja podawana przez producenta na obudowie opornika.
Wartość rzeczywista rezystancji może się różnić od wartości nominalnej
w granicach podanej tolerancji.
Tolerancja (klasa dokładności)
Podawana w procentach możliwa odchyłka rzeczywistej wartości oporu
od wartości nominalnej.
Moc znamionowa
Maksymalna moc jaką opornik może przez dłuższy czas wydzielać
w postaci ciepła bez wpływu na jego parametry.
Napięcie graniczne
Maksymalne napięcie jakie można przyłożyć do opornika.
Temperaturowy wpółczynnik rezystancji
Współczynnik określający zmiany rezystancji pod wpływem zmian
temperatury opornika.
Opornik ą kod paskowy
4 - paskowy
5 - paskowy
6 - paskowy
Kolory:
BLK  czarny
BRN  brązowy
RED  czerwony
ORN  pomarańczowy
YEL  żółty
GRN  zielony
BLU  niebieski
VIO  fioletowy
GRY  szary
WHT  biały
SLV  srebrny
Temperaturowy
GLD - złoty
współczynnik
rezystancji
Tolerancja
Pierwsza Druga
Trzecia
Brak paska
Mnożnik
cyfra cyfra
cyfra
ą 20 %
Łączenie oporników
Połączenie szeregowe:
Rezystancja zastępcza R :
n
R= Rk
"
k=1
R1 R2 Rn
Połączenie równoległe:
n
1 1
=
Rn
"
R1 R2
R Rk
k=1
Kondensator ą pojemność elektryczna
Ładunek Q
Symbol:
U =
+Q ą Q
+ -
C
+ -
+ -
+ -
C ą pojemność kondensatora
+ -
C
+ -
+ -
Jednostka pojemności:
U
Farad [F] = [C / V]
Energia
zgromadzona w kondensatorze
(polu elektrycznym):
i(t) 1
C
W = CU2
2
u(t)
Impedancja:
d Q du t
śą źą
i t = = C
śą źą
d t d t
j
1
ZC = = -
1 j �ąC �ąC
uśątźą = iśątźąd t
Dla prądów
+"
C
sinusoidalnych
Schemat zastępczy
Kondensatory
kondensatora
U
rzeczywistego:
_
+
C
_
+
Ładunek
Ładunek
_
+
_
+ Q
+
- Q
_ Rodzaje kondensatorów
+
_
+ R
(ze względu na rodzaj dielektryka):
_
+
_
+
ceramiczne, szklane
_
+
Okładka
_
foliowe (polistyrenowe, poliestrowe, poliwęglanowe)
+
_
(elektroda)
+
elektrolityczne (aluminiowe, tantalowe)
_
+
próżniowe, powietrzne (stałe, zmienne)
Spolaryzowane molekuły
dielektryka
Symbole kondensatorów elektrolitycznych,
które wymagają właściwej polaryzacji napięcia:
Pojemność kondensatora płaskiego:
ą0ąrS
C=
d
e�0 ą przenikalność elektryczna próżni
Symbol kondensatora o zmiennej pojemności:
e�r ą względna przenikalność elektryczna dielektryka
S ą powierzchnia okładek kondensatora
d ą odległość między okładkami
Łączenie kondensatorów
Połączenie szeregowe:
Pojemność zastępcza C :
n
1 1
=
"
C Ck
k=1
C2 Cn
C1
Połączenie równoległe:
n
C = Ck
"
Cn
C1 C2
k=1
Cewka idealna ą indukcyjność
Symbol:
L
i(t)
L
u(t)
Energia
zgromadzona w cewce
di t
śą źą
(polu magnetycznym):
u t = L
śą źą
dt 1
W = L i2
2
L ą indukcyjność
Jednostka indukcyjności:
Impedancja:
Henr [H] = [V�s /A]
ZL = j �ą L
Cewki indukcyjne
Cewka indukcyjna (solenoid, induktor, zwojnica)
Indukcyjność cewki w kształcie walca (cylindrycznej):
�ą N2S
L=
l
m� ą przenikalność magnetyczna rdzenia cewki
N ą liczba zwojów
S ą powierzchnia przekroju cewki
l ą długość cewki
Cewka rzeczywista:
L R
Rodzaje cewek:
ze względu na kształt: spiralne, cylindryczne, toroidalne
ze względu na sposób nawinięcia: jednowarstwowe, wielowarstwowe
ze względu na rdzeń: bezrdzeniowe (powietrzne), rdzeniowe
stałe, zmienne
Łączenie cewek
Połączenie szeregowe:
Indukcyjność zastępcza L :
n
L = Lk
"
k=1
Połączenie równoległe:
n
1 1
=
"
L Lk
k=1
Liczby zespolone
Liczba zespolona z :
j �ą
z = x�ą j y = z e = z cos�ą�ą j sin �ą
#" #" #" #"śą źą
Im z
x = Re z ą część rzeczywista
y = Im z ą część urojona
z
2
y
j ą jednostka urojona, j = -1
z ą moduł
#"z#"
j� ą faza (argument, kąt skierowany)
�ą
x
Liczba sprzężona do z :
Re z
z*� = x- j y = z e- j �ą
#" #"
-�ą
z = z z*� = x2�ą y2
#" #"
ćą ćą
- y
z*
y
tg�ą =
x
Impedancja zespolona dla prądów sinusoidalnych
Im Z
Impedancja:
Z
j�ą
Z = R�ą j X = Z e
#" #"
X
R ą rezystancja (oporność czynna)
Z
#" #"
X ą reaktancja (oporność bierna)
2
F�
Z = R2�ą X
#" #"
ćą
X
Re Z
R
�ą = arctg
śą źą
R
Admitancja: 0 ąą R "ą "
1
-" "ą X "ą "
Y a" = G�ą j B
Ćą
Z
-Ćą ąą �ą ąą
2 2
G ą konduktancja
B ą susceptancja
Dwójnik liniowy biernyą prądy sinusoidalne
Im
Napięcie i prąd:
Wykres

ą
u t
śą źą
j
u
wskazowy
uśątźą=Umcos
{ }
śą�ąt�ą�ą źą= Re Ume śą�ąt�ą�ą źą
u
j
śą�ąt�ą�ą źą
i
�ąt�ą�ąu
Um
iśątźą = Imcos = Re Ime
{ }
śą�ąt�ą�ą źą
i

ą
iśątźą
Napięcie i prąd uogólnione:
�ą
j
śą�ąt�ą�ą źą
u

ą
u t =Ume
śą źą
�ąt�ą�ąi
Re
j
śą�ąt�ą�ą źą
i

ą
i t = Ime
śą źą
1
j

ą

ą
Z �ą
Uogólnione prawo Ohma: , gdzie = Z e (impedancja zespolona)
i t = u t #" #"
śą źą śą źą
Z
Um
Um jśą�ąt�ą�ą -�ąźą
j
1
śą�ąt�ą�ą źą
u u

ą
Im = , �ąi=�ąu-�ą
iśątźą = e- j�ą Ume = e
#"Z#"
#"Z#" #"Z#"
�ą
�ąt =
u(t)
�ą
i(t)
t
Idealny opornik
Im Z
Impedancja
u t =Umcos
śą źą
śą�ąt�ą�ą źą
u
R
Re Z
i t = Imcos
śą źą
śą�ąt�ą�ą źą
i
Wykres wskazowy
ZR = R
#"Z #"= R, �ą =0
R Im
napięcia i prądu

ą
u t
śą źą
Um
Im = , �ąi=�ąu
R
�ąt�ą �ąu

ą
iśątźą
Re
u(t), i(t)
t
Przebieg czasowy napięcia i prądu
Idealny kondensator
Im Z
Impedancja
u t =Umcos
śą źą
śą�ąt�ą�ą źą
u
i t = Imcos Re Z
śą źą
śą�ąt�ą�ą źą
i
j
1
1
Ćą
ZC = j XC = - = e- jĆą/2 �ąC =-
XC =-
�ąC 2
�ąC �ąC
1
RC = 0, XC=- ,
�ąC
1
Wykres wskazowy
#"Z #"= �ąC , �ąC=- Ćą
C
2
Im napięcia i prądu

ą
iśątźą
Im = �ąCUm , �ąi=�ąu�ąĆą/2

ą
u t
śą źą
Ćą
�ą=-
2
T
Ćą
�ąt =- =-
u(t), i(t)
�ąt�ą�ąu
2�ą 4
Re
t
t
Przebieg czasowy napięcia i prądu
Idealna cewka
Im Z
u t =Umcos
śą źą
Impedancja
śą�ąt�ą�ą źą
u
X = �ą L
L
i t = Imcos
śą źą
śą�ąt�ą�ą źą
i
Ćą
�ąL=
2
ZL = j X = j�ą L = �ą L ejĆą/2 Re Z
L
RL =0, X = �ą L ,
L
#"Z #"= �ą L , �ąL = Ćą
L
2
Wykres wskazowy
Im
napięcia i prądu
1
Im = Um , �ąi= �ąu-Ćą/2

ą
u t
śą źą
�ą L
Ćą
�ą=

ą
iśątźą
2
T
Ćą
�ąt = =
u(t), i(t)
2�ą 4
�ąt�ą �ąi
Re
t
Przebieg czasowy napięcia i prądu
Łączenie impedancji
Połączenie szeregowe:
Impedancja zastępcza Z :
n
Z = Zk
"
k=1
Z1 Z2 Zn
Połączenie równoległe:
n
1 1
=
Zn
"
Z1 Z2
Z Zk
k=1
Dwójnik szeregowy R C
C
R
Im Z
Impedancja zastępcza:
R
j
Z = ZR�ąZC = R-
1 �ą Re Z
-
�ąC
�ąC
Z
2
1
Z = R2�ą
#" #"
śą źą
�ąC
ćą
-1
�ą = arctg
śą źą
�ą RC
Dwójnik szeregowy R L C
L
R
C
Im Z
�ą L
Impedancja zastępcza:
j
Z = ZR�ąZL�ąZC = R�ą j�ą L- =
Z
1
�ąC
�ąL -
�ąC
1
= R�ą j �ąL-
śą źą
�ą
�ąC
Re Z
R
2
1
1
-
Z = R2�ą �ą L-
#" #"
�ąC
śą źą
�ąC
ćą
1
�ą L-
�ąC
�ą = arctg
śą źą
R
Dwójnik szeregowy R L C
1
2
�ą L-
1
Z = R2�ą �ą L-
#" #"
�ąC
śą źą
�ąC �ą = arctg
ćą
śą źą
R
Ćą
2
�ą
0
�ą0
R �ą
-Ćą
2
0
�ą0
Rezonans napięć :
Z = R2�ąX2
Przy pewnej częstości prądu reaktancja układu , a zatem #" osiąga
�ą=�ą0 X = 0 #"
ćą
wartość minimalną równą R. Dla napięcia o stałej amplitudzie Um , amplituda prądu Im
osiąga przy tej częstości wartość maksymalną. Przesunięcie fazy pomiędzy napięciem
a prądem . Spadek napięcia na cewce jest przeciwny do spadku napęcia na konden-
�ą = 0
satorze, uL(t) + uC(t) = 0 ; całkowite napięcie jest równe spadkowi napięcia na oporniku.
1 1
Częstość rezonansowa 0: �ą0 L- = 0 �ą0 =
�ą
�ą0C
LC
ćą
1
Dwójnik równoległy LC
Z =
#" #"
1
-�ąC
#" #"
�ą L
iL(t)
L
i(t)
i(t)
C
�ą
�ą0
iC(t)
�ą
Ćą
Impedancja zastępcza:
2
-1
-1
1 1
1 1
Z = �ą = �ą j�ąC = j
śą źą
1 �ą
śą źą
Z ZC
j�ą L
L
- �ąC
�ą L
Ćą
-
2
Rezonans prądów:
�ą=�ą0 Z Śą " .
Przy częstości , nazywanej częstością rezonansową, #" #"
Całkowity prąd i(t) = iL(t) + iC(t) = 0.
1
�ą0 =
Prądy przepływające przez cewkę i kondensator, iL(t) = ą iC(t),
LC
ćą
mogą osiągać znaczne wartości.
Moc wydzielona na dwójniku biernym
Napięcie skuteczne:
Prąd sinusoidalny:
T
1
1
Usk = u2śątźą dt = U
+"
m
0
T
ćą
2
i t = Imcos �ąt
śą źą śą źą ćą
Prąd skuteczny:
u t =Umcos �ąt�ą�ą
śą źą śą źą
T
1
1
Isk = i2śątźą dt = Im
+"
0
T
ćą
2
ćą
Moc średnia:
T T
1 1
ą
P = u t i t dt = Um Im 0 cos �ąt�ą�ą cos �ąt dt = �ą
śą źą śą źą śą źą śą źą
+" +"
0
T T
1 ą
P = U Iskcos �ą
śą źą
ą
sk
P = Um Imcos �ą
śą źą lub
2
ą
P = I2 Z cos �ą
#" #" śą źą
sk
ą
Opornik : P = I2 R
sk
ą
Kondensator : P = 0
ą
Cewka: P = 0
Dwójniki aktywne
Dwójnik zawierający z
ródło energii elektrycznej
nazywamy dwójnikiem aktywnym (czynnym).
Rozróżniamy dwa rodzaje z
ródeł elektrycznych,
które może posiadać dwójnik aktywny:
y
ródła napięcia
y
ródła prądu
y
ródła napięcia
Idealnym z
ródłem napięcia nazywamy takie z
ródło, które wytwarza
napięcie E równe napięciu na zaciskach elektrycznych dwójnika,
niezależnie od pobieranego prądu. Rezystancja wewnętrzna idelnego
z
ródła napięcia RW = 0.
Rezystancja wewnętrzna rzeczywistych z
ródeł RW > 0.
I
RW
Odbiornik
RW
R
U
E
E
E
Idealne
Rzeczywiste
R
U = E - RW I = E
z
ródło napięcia
z
ródło napięcia
R�ąRW
y
ródła prądu
Idealnym z
ródłem prądu jest dwójnik aktywny, którego prąd nie zależy od
napięcia na jego zaciskach elektrycznych. Warunek ten jest spełniony dla
nieskończenie dużej rezystancji wewnętrznej z
ródła.
Rzeczywiste z
ródło prądu ma skończoną rezystancję RW podłączoną równolegle
do idealnego z
ródła prądu o nieskończonej rezystancji.
I
Odbiornik
RW
RW
R
I0 I0
I0
Idealne Rzeczywiste
RW
z
ródło prądu z
ródło prądu
I = I0
R�ąRW
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami
E
I =
I
R�ąRW
Przekazywana moc do odbiornika
(moc wydzielana na oporniku R ) :
RW
R
R
P = RI2 = E2
2
śąR�ąR źą
E
W
Przekazywana moc jest maksymalna gdy:
E2
Pmax =
Nadajnik Odbiornik R= RW i wynosi:
4 RW
P
R
R= RW
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami
(sygnały sinusoidalne)
Średnia moc wydzielona
Z
X
na impedancji Z :
i(t)
Z
#" #"
1
ą
P = I2 Z cos �ą
#" #" śą źą
m
2
F�
R
1
ZW
ą
P = I2 R
m
2
Z
Em
Wstawiając otrzymujemy:
Im =
e� (t)
#"Z�ąZ #"
W
R R
1 1
ą
P = E2 = E2
m m
2 2 2
2 2
�ą X�ąXW
#"Z�ąZ #" śąR�ąR źą śą źą
W W
Nadajnik Odbiornik
ą
Maksimum znajdujemy z warunków:
P R , X źą
śą
ą ą
" P " P
ZW = RW�ą j XW Z = R�ą j X
= 0 oraz = 0
" R " X
�ą t = Emcos �ąt
śą źą śą źą
Zachodzi to gdy:
R = RW oraz X =-XW czyli Z = Z*�
W
i t = Imcos
śą źą
śą�ąt�ą�ą źą
i
Em
E2
Im=
m
ą
Pmax =
#"Z�ąZ #"
W
8 RW
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami
(sygnały sinusoidalne)
Przypadek gdy odbiornikiem jest rezystancja
i(t)
Średnia moc wydzielona na rezystancji R :
1
ZW
ą
P = I2 R
m
2
R
Em
Wstawiając otrzymujemy:
Im=
e� (t)
#"R�ąZ #"
W
R R
1 1
ą
P = E2 = E2
m m
2 2
2
2 2
�ąXW
#"R�ąZ #" śąR�ąR źą
W W
ą
Nadajnik Odbiornik " P
ą
Maksimum znajdujemy z warunku: = 0
P R
śą źą
"R
ZW = RW�ą j XW
Zachodzi to gdy:
�ą t = Emcos �ąt
śą źą śą źą
2
R=
#"Z #"
ćąR �ąX2 =
W W W
i t = Imcos
śą źą
śą�ąt�ą�ą źą
i
Em
Im=
#"R�ąZ #"
W