Rysowanie warstwic: Policzyd z definicji pochodną:
1. Za z przyjmujemy c
1.
2. Dziedzina funkcji. Zastanów się czy c nie będzie tylko
2. Wstawiasz podany punkt do wzoru i liczysz granicę  po x .
dodatnie.
Póz
niej liczyd  po y . Wtedy wzór ulega lekkiej modyfikacji.
3. Badasz co się dzieje gdy (w szczególnych
Teraz h dodajesz do y, a nie do x. Liczysz granicę.
przypadkach tylko
3. Jakby ci wyszło kiedyś w koocowym wyniku coś na kształt
4. Rysujesz układ współrzędnych i szkicujesz wykres dla c=1,
musisz policzyd dodatkowe granice dla tego wyrażenia
potem dla c=2, potem dla c=3& każdy narysowany wykres
gdzie raz Jak wychodzą różne to
podpisuj, że to np. było dla c=1.
znaczy, że tu nie istnieje pochodna.
5. A teraz się zastanów czy jak ciągle zwiększałeś to c, to
wykres przyjmował coraz mniejsze wartości czy większe?
Wielomian z trzecią resztą:
Wyobraz
to sobie w 3D.
1.
6. Raczej gdy masz takie funkcje to powinno wyjśd:
kieliszek
Zobacz co jest ci potrzebne.
stożek
2. Liczymy wartośd funkcji w danym punkcie.
klepsydra
3. Policz pierwszą różniczkę.
czyli potrzebne są Ci pierwsze pochodne po x i
Granica (obliczyd):
y. Póz
niej policz wartości tych pochodnych w danym pkt.
1. Gdy wychodzi 0/0 to:
Pierwszą różniczkę napiszesz na 2 sposoby. Raz wstawisz
2. Zobacz czy wyrażenia ze zmiennymi się powtarzają i czy są
tam to co policzyłeś w pkt czyli np. df=0dx+0dy (przyda się
identyczne? Jeśli tak to przyjmij za nie i skorzystaj ze
do wzoru wielomianu), a drugie za pomocą tego co wyszło
Szpitala. Niech ci nie przyjdzie do głowy, w ostatnim kroku
ci w pochodnych czyli np. sinxdx+sinydy (potrzebne do
znowu powracad do pierwotnego oznaczenia! Dałeś T to
obliczenia następnej różniczki).
nim się tylko zajmujesz i reszta cię nie obchodzi.
4. Zobacz do wzoru wielomianu. Teraz potrzebne jest
a to jest różniczka z różniczki czyli
Granica (wyznaczyd, że nie istnieje):
czyli to sinxdx+sinydy liczysz raz po x a raz po
1. To jest coś w deseo twierdzenia o trzech ciągach (ale nim
y. Analogicznie jak poprzednio musisz mied 2 wersje drugiej
nie jest!).
różniczki. jedną otrzymasz po obliczeniu tego co przed
2. Potrzebne są dwa ciągi. Jeden napiszesz z lewej strony
chwilą napisałam, a druga (potrzebna do wielomianu) to
twojej podanej funkcji, a drugi z prawej (jak w tw. o
obliczysz wartośd w punkcie.
3ciągach). Zabawa polega na tym, że pod koniec obliczeo
5. postępujesz analogicznie (liczysz różniczkę z
ma wyjśd, że to z lewej dąży do czegoś innego niż to z
różniczki po x i po y). Na samym koocu wstawiasz punkt
prawej.
bo to ma byd reszta.
3. Pierwszy ciąg. Wez
i zobacz co Ci wyjdzie
6. Teraz wstawiasz do wzoru wielomianu wszystkie dane. dx i
dy zamieo jako różnicę argumentów np. dx = x- 0; dy=y-2
w czyli w wyjściowej funkcji za x i y wstaw to
dla punktu (0,2)
4. Póz
niej oblicz przykładowo (to drugi ciąg) i zobacz
Znalez
d ekstremum:
czy otrzymałeś inną wartośd tego do czego dąży. Jeśli tak to
1. Dziedzina.
jest OK. Jeśli nie to wymyśl jakiś inny ciąg.
2. Policzyd gradienty (pierwsze pochodne po x, y& ) i
5.  Granica nie istnieje ponieważ znalazłem 2 ciągi
przyrównad do 0.
argumentów funkcji f dla których wartości funkcji dążą do
3. Rozwiązad powstały układ równao i wyznaczyd punkty
różnych granic .
stacjonarne. Sprawdzid czy należą do dziedziny.
4. Tworzymy macierz Hessego. To macierz gdzie w pierwszym
Interpretacja geometryczna dziedziny:
wierszu są drugie pochodne kolejno po xx, xy& w drugim
1. Wyznaczyd dziedzinę. Pamiętad ! yx, yy& ect. Policzyd drugie pochodne i wpisad w
2. Naszkicowad funkcje które wyszły, z tą różnicą, że zamazuje odpowiednie miejsca.
się wszystko po lewej lub prawej stronie. Wykres rysujesz 5. Wez
pierwszy punkt stacjonarny i policz dla niego macierz .
linią przerywaną gdy nie ma  równe . Czy w macierzy, w miejsce x, y wstaw współrzędne punktu.
3. Wszystkie warunki łączysz na jednym wykresie i zaznaczasz 6. Policz wyznaczniki. Stajesz w górnym lewym rogu liczysz
częśd wspólną. wyznacznik 1x1, póz
niej wyznacznik 2x2 i jeśli jest to 3x3.
7. Jeśli wszystkie wyznaczniki wyszły dodatnie to w tym
punkcie jest minimum lokalne. Gdy są wyznaczniki kolejno
ujemne, dodatnie, ujemne& to jest maksimum& wszystkie
inne kombinacje świadczą, że nie ma tam ekstremum.
Chyba, że gdzieś dostałeś wyznacznik =0. Jeśli tak to masz
problem xD Ale policz jeszcze raz. Miało nie byd hesjanu 0!
Obliczyd największą i najmniejszą wartośd funkcji:
1. Narysowad podany zbiór (dziedzinę).
2. Policz pochodne cząstkowe i przyrównaj do zera. Zobacz czy
pkt stacjonarne należą do dziedziny.
3. Patrzymy jaki ma kształt nasz zbiór i badamy wartośd na
kraocach przedziałów. Czyli ten  kraniec (linię, krzywą)
musisz sobie oznaczyd jako jakiś wzór funkcji i powiedzied
na jakich x czy y jest to rozpięte (taka mini dziedzina). Jak to
masz to robisz sobie sprytny punkt P(x,y) gdzie za y
wstawiasz swoją funkcję obrazującą  kraniec . Ten Punkt
wstawiasz do swojej głównej funkcji podanej w zadaniu.
Uff.. Teraz liczysz pochodną po x. Póz
niej przyrównujesz to
do zera. Wyliczasz x czy tam y i sprawdzasz czy należy do
twojej mini dziedziny.
4. Robisz analogicznie tak ze wszystkimi twoimi  kraocami .
Na koniec zajmujesz się pkt. stac. które spełniały twoje
warunki oraz tymi co są najdalej wysunięte na wykresie
twojego zbioru. Liczysz ich wartośd i z nich wybierasz to
największe i najmniejsze.
Znalez
d ekstremum warunkowe:
1. Wstawid do wzoru warunki
(pamiętaj, że one muszą byd w wersji takiej, gdzie po jednej
stronie jest 0).
2. Liczysz pierwsze pochodne (po  też). Przyrównujesz do 0 i
liczysz pkt stac.
3. Macierz Hessego (instrukcja znalez
ć ekstremum).
4. Policz gradient warunku (podanego w zadaniu)  to będzie
wektor.
5. Rozwiąż równanie Mogą ci wyjśd dwa
parametry.
6. Wymnóż to co ci wyszło jest
różniczką L. Zapisz ją. Wstaw odpowiednio parametry.
Zobacz czy jest to wyrażenie zawsze dod. ujemne czy
nijakie? Jeśli dod. to w tym pkt jest minimum, a jak ujemne
to maksimum. A jak masz wątpliwości to nie ma ex.
Znalez
d przybliżoną wartośd:
1. Zaproponuj jakąś podobną funkcję do danej (za liczby
wstaw zmienne).
2. Policz pochodne po x, po y, po z&
3. Wymyśl sobie punkt a za współrzędne wez

liczby, które się łatwo liczy np. jak w wyjściowej funkcji
miałeś to twój x to 16. No bo wiesz ile to .
4. Policz wartości pochodnych w tym twoim punkcie.
5. Wstaw do wzoru na różniczkę
gdzie dx, dy to różnica argumentów (np.
gdzie 17  Alinki, 16- Twoje.
6. Wstaw do wzoru. Gotowe. Finito. Koniec. Można iśd do
domu ;)