XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Wiesław BARAN1
Bronisław J
DRASZAK1
DEFORMACJA POWA
OK OBROTOWYCH
OD WPA
YWU TEMPERATURY
1. Wstęp
W cienkościennych konstrukcjach o kształcie powłok obrotowych z racji ich znacznych
wymiarów geometrycznych (gdyż są to głównie: kominy, chłodnie kominowe, silosy,
zbiorniki...), występują znaczące przemieszczenia wywołane zmianami temperatury. Zmiany
temperatury płaszcza powłoki są związane z czynnikami meteorologicznymi
i eksploatacyjnymi. W parametrach meteorologicznych dominujący wpływ na zmiany
temperatury powłoki wywiera temperatura powietrza atmosferycznego oraz zmiana
natężenia składowych promieniowania słonecznego. Długi okres eksploatacji tych
konstrukcji, przeważ nie w agresywnym środowisku powoduje, że coraz częściej
wykonywane są oceny ich stanu technicznego. Ocenę taką dokonuje się przeważ nie na
podstawie faktycznego stanu materiałów konstrukcyjnych oraz na podstawie analizy
statycznej i dynamicznej dokonanej dla rzeczywistej geometrii powłoki, która często
znacznie odbiega od projektowanej. Pomiar kształtu tak duż ych obiektów, wykonywany jest
w określonym przedziale czasowym, rozciągającym się niejednokrotnie na okres kilku dni.
Dlatego można przypuszczać, że oprócz deformacji wynikającej z degradacji konstrukcji,
mierzone są chwilowe przemieszczenia będące odpowiedzią na działanie określonego pola
temperatury. Biorąc to pod uwagę zrealizowano (wykorzystując liniową teorię powłok [1],
[2]) rozwiązanie analityczne opisujące stan przemieszczenia wywołanego dowolnym,
stacjonarnym polem temperatury.
2. Matematyczny model przemieszczeń powłoki wywołanych zmianami temperatury
Opiszemy deformację powierzchni środkowej powłok obrotowych wywołaną działaniem
pola temperatury. Odpowiedz
określimy podając wektor przemieszczenia w, a dokładniej
składowe tego wektora w , w , w odniesione do bazy kowariantnej r1, r2, m (rys. 1).
Wartości poszukiwanych wielkości uzyskano wykorzystując:
1
Dr inż., Wydział Budownictwa Politechniki Opolskiej
12
- związki geometryczne pomiędzy tensorem odkształcenia błonowego ł , a składowymi
ij
wektora przemieszczenia wi , w w postaci:
ł = wk g + wk gik - w bij , (1)
ij jk
i j
gdzie:
gij - współczynniki pierwszej formy różniczkowej powierzchni środkowej,
bij - współczynniki drugiej formy różniczkowej powierzchni środkowej,
- wzory na tensor odkształcenia błonowego od wpływu temperatury:
ł = �t gij . (2)
ij
Równanie wektorowe powierzchni:
= (u )[ (u ) + (u ) ]+ u , (3)
gdzie:
f(u 1)  funkcja opisująca tworzącą
powłoki,
u 1, u 2 - współrzędne krzywoliniowe,
u " Ą ) ,
u = - wskazuje kierunek północny,
Ą
u = - wskazuje kierunek zachodni,
u = Ą - wskazuje kierunek południowy,
Ą
u = - wskazuje kierunek wschodni.
Rys. 1. Przyjęty opis powierzchni środkowej powłoki obrotowej
Zależ ności (1), (2) prowadzą do układu równań, rozpisanego dla przyjętej parametryzacji
krzywiznowej:
ńł
g ( g w ) -b w = �t g ,
�ł
�ł
(4)
�łg w ,2 +g w = �t g ,
�ł
�ł
g w + g w -b w = �t g .
ół
Do wzoru (2) na tensor odkształcenia błonowego podstawiono odkształcenia jednostkowe �t
obliczone ze wzoru:
� = ątts , (5)
t
 13
gdzie:
ąt - współczynnik liniowej rozszerzalności termicznej.
Temperaturę powierzchni środkowej powłoki ts przyjęto z rozkładu liniowego
dla temperatury powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej płaszcza powłoki tw i tz opisanej
zależnościami:
n
� �
tw = (u ) (�u )+ (u ) (�u )], (6)
"[ w w
� =
n
� �
tz = (u ) (�u )+ (u ) (�u )]. (7)
"[ z z
� =
Dla uzyskania ciągłej funkcji opisującej pole temperatury, wykorzystano interpolacje
zdefiniowanego w sposób dyskretny pola temperatury po współrzędnych równoleżnikowych
za pomocą funkcji trygonometrycznych dla wybranych równoleżników, a po współrzędnych
południkowych za pomocą wielomianu interpolującego lub aproksymującego współczynniki
występujące w opisie funkcji trygonometrycznych. Podejście takie dało nam funkcję ciągłą,
różniczkowalną żądaną ilość razy po współrzędnych u i u w postaci wzorów (6), (7).
2.1. Przemieszczenia przy obciążeniu osiowo-symetrycznym
Temperaturę zewnętrzną i wewnętrzną na powierzchni powłoki opisano po obwodzie
za pomocą szeregów trygonometrycznych. Biorąc pod uwagę pierwsze wyrazy szeregów (6),
(7) dla � = otrzymano opis obciążenia osiowo-symetrycznego, który jest częścią składową
opisywanego działania. Układ równań (4) dla tej części obciążenia uprościł się i przyjął
postać:
ńł
o
g ( g w o ) -b wo = g �
�ł t
�ł
(8)
�łg wo =
�ł
o
�ł
g w o - b wo = g �
ół t
gdzie:
Cw(u )+ Cz (u )
� = ąt (9)
t
Rozwiązując układ równań (8) otrzymano wzory na składowe w , w i w wektora
przemieszczenia od części obciążenia osiowo-symetrycznego:
b
�ł �ł
w = (10)
�ł
+"� �ł g - g �łdu + Cłł
śł
g �ł t b
�ł �ł łł �ł
wo = (11)
�ł �ł
w = g w - g � . (12)
�ł �ł
t
�ł łł
b
14
2.2. Przemieszczenia przy obciążeniu osiowo-niesymetrycznym
Dokonując rozdzielenia zmiennych dla części obciążenia niesymetrycznego opisanego
szeregiem trygonometrycznym (6) i (7) przy � `" na składniki szeregu związane z funkcją
(�u ) oraz na składniki związane z funkcją (�u ) , układ równań (4) przyjął postać:
ńł
�
g ( g w ) -b w = g � ,
�ł
t
�ł
(13)
�łm �g w � + g w� = ,
�ł
�ł
g w� ą g w� - b w� = g �t� ,
ół
gdzie znaki górne odnoszą się do wyrazów szeregu związanych z funkcją (�u ),
natomiast dolne z funkcją (�u ) . Układ równań (13) sprowadzono do równania
różniczkowego rzędu drugiego o współczynnikach funkcyjnych:
w� + p(u )w� +q� (u )w� = ��(u ) , (14)
gdzie:
b g �ł �ł b g �ł b g g łł
p(u ) = g �ł �ł + - , (15)
b g �ł �ł b g �ł b g g śł
�ł �ł łł �ł
b g �ł�ł g b g �ł g �ł g łł
�ł
q�(u ) = �ł - - (�) , (16)
�ł �ł
�ł śł
b g �ł�ł g b g �ł g
�ł�ł łł �ł łł g �ł
b g �ł b g
�� (u ) = �t� - �t� �ł (17)
�ł �ł
b g b g
�ł łł
Z równania (14) wyznaczono składową w� wektora przemieszczenia dla poszczególnych
wyrazów rozwinięcia obciążenia w szereg trygonometryczny, pozostałe składowe wektora
przemieszczenia wyznaczono z wzorów:
�ł
w� = g w� + g w�' - g �t� �ł , (18)
�ł �ł
�ł łł
b
�
�ł
w� = g � (19)
�ł - g w� + b w� �ł .
�ł
�ł łł
ą �g t
2.3. Przemieszczenia od odkształceń jednostkowych
A
ączne przemieszczenia w ujęciu tensorowym od części obciążenia osiowo-symetrycznego
i osiowo-niesymetrycznego wyznaczono sumując wartości uzyskanych wyników
dla poszczególnych wyrazów szeregu opisującego rozkłady temperatury zgodnie z wzorami:
 15
n
w (u u ) = w (u )+ (u ) (�u )+ w s�(u ) (�u )]
"[wc�
�=
n
w (u u ) = w (u )+ (u ) (�u )+ ws�(u ) (�u )] (20)
"[wc�
�=
n
w (u u ) = w (u )+ (u ) (�u )+ ws�(u ) (�u )]
"[wc�
�=
Wielkości fizyczne z ujęcia tensorowego uzyskano korzystając z wzorów transformacyjnych
w postaci:
w Ź = g w w Ź = g w w Ź = w (21)
3. Przykład obliczeniowy
Na podstawie opisanego w p. 2. modelu matematycznego opracowano program
komputerowy do wyznaczania przemieszczeń powłoki poddanej wpływom termicznym.
Do obliczeń przyjęto powłokę hiperboloidalną o wymiarach jak na rys. 2a.
u
�ł �ł
(u ) = +
�ł �ł
�ł łł
b)
a)
Rys. 2. Geometria powłoki hiperboloidalnej i oznaczenie punktów na górnym jej brzegu
3.1. Przyjęte rozkłady pola temperatury
Jako obciążenie przyjęto przyrosty temperatury zewnętrznej i wewnętrznej powierzchni
płaszcza powłoki od temperatury scalenia konstrukcji t = oC . Korzystając z danych
dotyczących rozkładu temperatury zawartych w pracach [3], [4] oraz otrzymanych od ich
autora (które określały pola temperatury w sposób dyskretny), opisano obciążenie wzorami
(6), (7). Jeden z rozkładów pól temperatur wziętych do obliczeń pokazano na rys. 3. i rys. 4.
16
22
22
u1 [m]
-9
-9
-40
-40
-71
-71
40
tw [oC]
30
20
0
0
90
90
180
180
Max ( 12.7m, 279o ) = 41.6oC
270
270
Min (-102.0m, 144o ) = 21.6oC
u2 [o]
360
360
Rys. 3. Przyrosty temperatury na powierzchni wewnętrznej powłoki chłodni nieczynnej
dla 21 czerwca godz. 1700
22
22
u1 [m]
-9
-9
-40
-40
-71
-71
40
tz [oC]
30
20
0
0
90
90
180
180
Max ( -61.7m, 99o ) = 41.3oC
270
270
Min (-102.0m, 333o ) = 25.1oC
u2 [o]
360
360
Rys. 4. Przyrosty temperatury na powierzchni zewnętrznej powłoki chłodni nieczynnej
dla 21 czerwca godz. 1700
 17
3.2. Wyniki obliczeń przemieszczeń wybranych punktów powłoki
Na rys. 5. pokazano poziome, a na rys. 6. pionowe przemieszczenia wybranych punktów na
górnym brzegu powłoki w okresie jednej doby (dla 21 czerwca) obliczone co godzinę.
Przemieszczenia poziome przedstawiono w układzie topograficznym, gdzie oś (E) wskazuje
przemieszczenia w centymetrach na kierunku wschodnim, natomiast oś (N) na kierunku
północnym.
1000 400
1700
Rys. 5. Obliczone dobowe przemieszczenia poziome górnego brzegu powłoki
Rys. 6. Obliczone dobowe przemieszczenia pionowe górnego brzegu powłoki
4. Podsumowanie
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń otrzymano dla analizowanej powłoki następujące
ekstremalne wartości składowych wektora przemieszczenia:
18
" dla okresu 1 roku od kształtu wyjściowego powłoki wyznaczonego dla temperatury
scalenia konstrukcji:
- kier. styczny do południka powłoki: -5.8, +5.8 cm,
- kier. styczny do równoleż nika powłoki: -1.3, +1.2 cm,
- kier. prostopadły do powierzchni środkowej powłoki: -2.1, +2.1 cm,
" dla okresu jednej doby (21 czerwca) od kształtu wyjściowego powłoki wyznaczonego
dla pola temperatur określonego dla godziny 400:
- kier. styczny do południka powłoki: -0.0, +3.1 cm,
- kier. styczny do równoleż nika powłoki: -1.3, +1.2 cm,
- kier. prostopadły do powierzchni środkowej powłoki: -1.2, +1.6 cm.
W zależności od wymaganej dokładności pomiarów kształtu powłoki można minimalizować
wpływ przemieszczeń od zmian temperatury poprzez wybór do pomiarów dni
z maksymalnym zachmurzeniem i minimalnymi wahaniami dobowymi temperatury
powietrza atmosferycznego. W przypadku konieczności prowadzenia pomiarów kształtu
powłoki w czasie dni o duż ym nasłonecznieniu i znacznych amplitudach temperatury
powietrza atmosferycznego należ y uwzględnić przemieszczenia od tego działania. Trzeba
jednak zaznaczyć, że dla powłok o duż ym stopniu degradacji, dokładność obliczeń
przeprowadzonych zgodnie z podanym modelem może być znacznie mniejsza niż dla
powłoki nieuszkodzonej, ze względu na znacznie większe odstępstwa rzeczywistej pracy
takiej powłoki od modelu sprężystego.
Literatura
[1] BIELAK S., Nieliniowa teoria powłok cz. I, Wydawnictwo TiT, Opole 1994.
[2] BIELAK S., Nieliniowa teoria powłok cz. II, Wyższa Szkoła Inż ynierska w Opolu,
Studia i monografie, zeszyt 83, Opole 1995.
[3] TARCZYC
SKI L., The temperature load of the cooling tower shel subjected to climatic
actions, 3rd International Symposium on Natural Draught Cooling Towers, IASS, Paris,
1989.187-196.
[4] TARCZYC
SKI L., Rozkład temperatury w powłoce żelbetowej hiperboloidalnej chłodni
kominowej, Archiwum Inżynierii Lądowej, Tom XXX, z. 1, 1984, str. 146-169.
DEFORMATION OF SHELL
OF REVOLUTION CAUSED BY TEMPERATURE
Summary
Problem of influence of stationary, non-symmetric field of temperature on deformations of
thin-walled elastic shell of revolution is discussed in the paper. Analytical solution
describing state of displacement for shell subjected to field of temperature is presented. The
solution allowed to evaluate extremal values of components of vector of displacement for
hyperboloidal cooling tower shell that can appear in a span of whole year and one day
(i.e. on the 21-st of June). Obtained results prove that shape of the shell can be highly
influenced by field of temperature. So it is important to take this influence into consideration
during determination of actual shape of shell.