Skrecanie walow okraglych


SKRCANIE WAAÓW OKRGAYCH
Skręcanie występuje wówczas, gdy para sił tworząca moment
leży w płaszczyznie prostopadłej do osi elementu konstrukcyj-
nego, zwanego wałem. Rysunek pokazuje wał obciążony
dwiema parami sił oraz różne sposoby przedstawiania momen-
tów skręcających ten wał. Na kolejnym rysunku pokazano nie-
jednoznaczne oznaczania kierunków momentów, przyczyniać
się do błędnej interpretacji.
Niejednoznaczne
określanie mo-
mentów
Momenty skręcające wał. Różne metody zaznaczania
momentów skręcających.
Równanie równowagi: suma momentów względem osi wału.
Hipoteza płaskich przekrojów: potwierdzona doświadczalnie
hipoteza, zakładająca, że okrągłe przekroje poprzeczne wału
pozostają po skręceniu płaskie i okrągłe, obracając się wokół
osi wału o niewielki kąt.
Hipoteza płaskich przekrojów pozwala na określenie mecha-
nizmu odkształceń wału. W oparciu o tą hipotezę wyprowadzo-
no wzory pozwalające na obliczanie naprężeń stycznych w wale
oraz kąta skręcenia wału.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc 123
Naprężenia w skręcanym wale:
 dla dowolnego promienia r
Msr
tr = ,
J0
 dla promienia r = r
Msr Ms
tmax = tr=r = = .
J0 W0
J0  biegunowy moment bezwładno-
ści.
Liniowe rozkłady naprężeń
W0  wskaznik wytrzymałości przekro-
stycznych przy skręcaniu dla wa-
ju na skręcanie.
łu pełnego i wydrążonego
Definicja wskaznika wytrzymałości przekroju na skręcanie:
W0  iloraz biegunowego momentu bezwładności
J0 J0
W0 = = .
i odległości skrajnego włókna od środka ciężkości
1
r d
przekroju: 2
pd3 ć pd4

 Dla wału pełnego W0 =
J0 = 2Jx =
.
16 32
Ł ł
p(d4 - d4 ), W0 = J0
z w
 Dla wału wydrążonego: J0 = .
1
32 dz
2
MSL MSL 180
o
ł,
Kąt skręcenia wału o długości L: j = [rad], jo =
ę ś

GJ0 GJ0 p
j MSL MS 180
o
Względny kąt skręcenia wału: Q = =
[rad / m], Qo = / mł,
ę ś

L GJ0 GJ0 p
Iloczyn GJ0 nosi nazwę sztywności przekroju na skręcanie
(por. EA przy rozciąganiu).
E
G  moduł odkształcenia postaciowego,
G =
[MPa]
moduł ścinania, moduł Kirchhoffa:
2(1+ )
Warunek wytrzymałościowy na skręcanie ma postać:
MS
tmax = Ł tdop .
W0
W praktycznych obliczeniach na skręcanie bardzo często jest
j Ł jdop .
wykorzystywany warunek na sztywność:
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc 124
PRZYKAAD
Wał o średnicy d wykonuje n = 1000 obr/min i przenosi moc N = 60
kW. Korzystając z warunków wytrzymałościowego i sztywnościowego,
wyznaczyć średnicę wału. Przyjąć tdop = 35 MPa, Qdop = 2/m, G = 8.104
MPa.
Warunek wytrzymałościowy:
MS pd3 MS 16MS
tmax = Ł tdop W0 = ł ,d ł 3 .
W0 16 tdop ptdop
Dla wału przenoszącego moc z zależności N = MSw można określić
wartość momentu skręcającego
2pn N obr
N = MSw = MS MS = 9550 [N m], [N]= kW, [n]= .
60 n min
W powyższym wzorze liczba 9550 (dokładnie: 9549,3) to przelicznik jed-
nostek, obliczony w przykładzie 1.4. Po wykorzystaniu tego wzoru śred-
nicę wału oblicza się z zależności
16 9550 N
N
d ł 3 = 36,5 [cm].
3
pntdop ntdop
Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału
60
d ł 36,53 = 4,39cm.
1000 35
Warunek sztywnościowy:
MS 180 pd4 MS 180
Qo = Ł Qo J0 = ł .
dop
GJ0 p 32 GQdop p
32 180 MS 32 180 9550 100N N
d ł 100 = = 153,654 [cm].
4 4
p2nGQo p2nGQo nGQo
dop dop dop
Po podstawieniu wartości liczbowych średnica wału z warunku sztyw-
nościowego
60
4
d ł 153,65 = 3,80cm.
1000 8 104 2
Dla spełnienia obu warunków należy przyjąć d = 4,39 cm.
Warto zwrócić uwagę, że dla Qdop = 1 /m średnica wału d = 4,52 cm,
natomiast dla Qdop = 3/m średnica d = 3,44 cm.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc 125
PRZYKAAD
Wał pokazany na rysunku jest skręcany momentami M1 = 250 Nm i M2 = 50 Nm.
Wykonać wykresy: momentów skręcających, naprężeń stycznych oraz kątów obro-
tów poprzecznych przekrojów wału. Przyjąć G = 8104 MPa.
Lewy koniec wału jest utwierdzony, prawy jest swobodny. Zadanie jest statycznie
wyznaczalne. Równanie równowagi (suma rzutów momentów na oś wału) ma po-
stać:
- MA + M2 - M1 = 0 MA = M2 - M1 = 200N m.
Siły wewnętrzne w poszczególnych odcinkach wału wyznacza się, korzystając z
metody myślowych przekrojów. Zasady tworzenia granic przedziału, w którym
można dokonać myślowego przekroju, są takie same jak w układach prętowych, a
więc granicami tymi są punkty przyłożenia obciążenia oraz miejsca zmiany wielkości
przekroju poprzecznego. W rozpatrywanym wale należy uwzględnić dwa myślowe
przekroje.
Przekrój 1 1:
Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem I I
z warunku równowagi otrzymuje się:
MS1 = MA = 200 N m.
Przekrój 2 2:
Dla odcinka wału pomiędzy lewym końcem a przekrojem II II
równanie równowagi ma postać:
MS2 = MA -M1 = 200 - 250 = -50 Nm.
Przekrój 2  2 :
W celu kontroli poprawności obliczeń należy rozpatrzyć
pozostałą część wału:
- MS2 = M2 = 50 N m.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc 126
W powyższych równaniach równowagi przyjęto znak momentu skręcającego we-
dług rys. b. Dla ułatwienia obliczeń we wszystkich myślowych przekrojach korzystnie
jest przyjmować ten sam kierunek siły wewnętrznej. Uskoki na wykresie odpowia-
dają wartościom sił zewnętrznych  biernych (reakcja w utwierdzeniu) i czyn-
nych (momenty obciążające).
Biegunowe momenty bezwładności wynoszą:
4 4 4
p(d1z - d1w)= p(44 - 34)= 17,18 cm4, J2 = pd2 p34
J1 = = = 7,95 cm4.
32 32 32 32
Wskazniki wytrzymałości przekroju na skręcanie:
J1 17,18 2 pd3 p33
2
W01 = = = 8,59 cm3, W02 = = = 5,3 cm3.
1
d1z 4 16 16
2
Maksymalne naprężenia styczne na odcinku AB oraz BC wału:
MS1 200 MS2 50
tAB = = = 23,283 MPa, tBC = = = 9,434 MPa,
W01 8,59 W02 5,3
przy czym przelicznik jednostek jest tutaj równy 1. Naprężenia styczne na wewnętrz-
nej powierzchni wału na odcinku AB
MS1 d1w 200 3
tW = = = 17,462 MPa.
AB
J1 2 17,18 2
Kąt skręcenia odcinka AB oraz BC wału
MS1L1180 200 3 180
jBA = = 100 = 2,5o,
GJ1 p p
8 104 17,18
MS2L2 180 - 50 2 180
jCB = = 100 = -0,9o.
GJ2 p p
8 104 7,95
Całkowity kąt skręcenia swobodnego końca wału
jCA = jBA + jCB = 2,5o - 0,9o = 1,6o.
Wykres naprężeń stycznych i kątów skręcenia pokazano na rysunku.
PRZYKAAD
Dla wału przedstawionego na rysunku wykonać wykresy momentów, naprężeń
oraz kątów skręcenia przekrojów poprzecznych. Przyjąć: M1 = 10 kNm, M2 = 5 kNm,
L = 1 m, d = 10 cm, G = 8104 MPa.
Wał w tym przykładzie jest utwierdzony na obu końcach  zadanie jest jednokrot-
nie statycznie niewyznaczalne. Po uwolnieniu wału z więzów równanie równowagi
momentów względem osi wału ma postać:
MA + MB - M1 + M2 = 0MA + MB = M1 - M2 = 5kNm.
Zadanie zostanie rozwiązane metodą myślowych przekrojów oraz metodą wyko-
rzystującą zasadę superpozycji.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc 127
Metoda myślowych przekrojów
Zgodnie z regułami określania myślowych przekrojów, w odniesieniu do wału po-
kazanego na rys. a należy rozpatrzyć cztery myślowe przekroje. Dla pierwszego
przekroju od lewej strony wału (rys. b) z równania równowagi otrzymuje się
MS1 = MA.
Dla kolejnych przekrojów (rys. c, d, e):
MS2 = MA, MS3 = MA - M1, MS4 = MA - M1 + M2.
Równanie równowagi dla brakującego odcinka wału pozwala na sprawdzenie po-
prawności obliczeń (rys. f): MS4 = MB.
Do rozwiązania zadania konieczne jest drugie równanie, określane jako równanie
geometryczne, mówiące, że kąt skręcenia wału w utwierdzeniu jest równy zeru. Dla
utwierdzenia B równanie kąta skręcenia przekroju B względem A ma postać:
jBA = 0 j1 + j2 + j3 + j3 = 0,
MS1L MS2L MS12L MS1L
+ + + = 0.
2GJ1 2GJ2 3GJ3 3GJ3
Po określeniu biegunowych momentów bezwładności:
p(d4 - (0,8d)4)= 0,5904 pd4 pd4 p(0,6d)4 pd4
J1 = , J2 = , J3 = = 0,1296
32 32 32 32 32
oraz po uproszczeniu równania geometrycznego
9,0623MA - 64,3 = 0 MA = 7,095 kNm.
Z równania statyki określa się drugi moment oporowy: MB = 5  MA =  2,095 kNm.
Znak    oznacza, że na rys. a przyjęto niewłaściwy kierunek reakcji MB.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc 128
Zasada superpozycji
Według zasady superpozycji każde obciążenie działające na wał może być rozpa-
trywane oddzielnie, a ich skutki można sumować. Zgodnie z tym oblicza się kąty
skręcenia przekroju B wału wywołane działaniem momentów M1, M2 oraz MB, przy
czym moment oporowy MB jest traktowany tutaj równoważnie z pozostałymi momen-
tami (rys. g, h, i). Równanie geometryczne ma wówczas postać
jB = jB1 + jB2 + jBB = 0,
M1L M1L M2L M2L M22L MBL MBL MBL
jB1 = - - , jB2 = + + , jBB = + + ,
2GJ1 2GJ2 2GJ1 2GJ2 3GJ3 2GJ1 2GJ2 GJ3
MB = 2,095kNm.
Moment MA wyznacza się z równania statyki.
Metoda superpozycji jako narzędzie do napisania równania geometrycznego jest
pod względem pracochłonności porównywalna z metodą myślowych przekrojów. W
celu wykonania wykresów należy zastosować metodę przekrojów, pozwalająca wy-
znaczyć MSi. Po obliczeniu Ji oraz Wi można wykonać odpowiednie wykresy.
p104 p104
J1 = 0,5904 = 579,62cm4, J2 = = 981,75 cm4,
32 32
p 104
J3 = 0,1296 = 127,235 cm4,
32
J1 p103
W01 = = 115,925 cm3, W02 = = 196,35 cm3,
0,5d 16
p(0,6 10)3
W03 = = 42,41cm3,
16
7,095 7,095
tAC = 103 = 61,20 MPa, tCD = 103 = 36,13 MPa,
115,925 196,35
- 2,905 2,095
tDE = 103 = -68,50 MPa, tEB = 103 = 49,40 MPa,
42,41 42,41
7,095 0,5 180
jAC = 105 = 0,438o,
p
8 104 579,62
7,095 0,5 180
jCD = 105 = 0,259o,
p
8 104 981,75
- 2,905 2 1 180
jDE = 105 = -1,090o,
p
3 8 104127,235
2,095 1 180
jEB = 105 = 0,393o.
p
3 8 104 127,235
Poprawność obliczeń można sprawdzić za pomocą poniższego równania geome-
trycznego
jAC + jCD + jDE + jEB = 0.
Wszystkie wykresy pokazano na rys. a.
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc 129
SKRCANIE SWOBODNE PRTÓW O PRZEKROJU NIEOKRGAYM
MS MSl
tmax = , j = , t* = m3 tmax
WS GJS
WS = m1b2h, JS = m2b3h,
Współczynniki m określa się z tabeli dla stosunku h/b
(h > b). Przykładowe wartości m:
h/b 1 1,5 2 2,5 3 10 Ą
ź1 0,208 0,231 0,246 0,256 0,267 0,313 0,333
ź2 0,140 0,196 0,229 0,249 0,263 0,313 0,333
ź3 1,000 0,859 0,795 0,766 0,753 0,742 0,333
Dla h / d > 10
MS 1 1
tmax = , WS = d2h, JS = d3h.
WS 3 3
Pręt cienkościenny o profilu otwartym:
n
JS MS ć JSi
WS = , JS = JSi, tmax = .

i=1
ć JSi JS WSi
Ł łmax


WSi
Ł łmax
Maksymalne t występuje w tej części pręta, dla któ-
rej JSi / WSi osiąga maksymalną wartość.
Pręt cienkościenny o przekroju zamkniętym:
MS
t = , WS = 2A0dmin,
WS
(wzory Bredta)
2
MSL 4A0
j = ,JS = ,
ds
GJS

d
A0  pole powierzchni ograniczone linią środkową,
d  grubość ścianki w miejscu obliczania t.
n
1 MSdmax
3
J = h hidi , tmax = ,

3 I=1 J
Wyroby hutnicze:
dmax  największa szerokość prostokątnej części
kątowniki, ceowniki, teowniki,
składowej przekroju,
dwuteowniki
h  współczynnik korygujący wg tabeli:
11 Skręcanie wałów okrągłych.doc 130


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4 Okrągły stół
Okrągły stół
Stal, spoiny, skręcanie
skrecanie
Działanie momentu skręcajacego
Łozyskowanie osi i wałów
Obliczanie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
okragly stol ua
Skręcanie pręta zadanie statycznie wyznaczalne
skręcanie
Wykład 10 skręcanie OK
Zadania skrecanie
Ksztaltowanie czopow walow
WM w06 A Skrecanie swobodne okno
Druzga, wytrzymałość materiałów Ć, PRĘTY SKRĘCANE

więcej podobnych podstron