Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
1
ZADANIE 24
Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 24
Z5/24.1. Zadanie 24
Narysować metodą punktów szczególnych wykresy sił przekrojowych dla belki przedstawionej na rysunku Z5/24.1. Wymiary belki podane są w metrach.
24,0 kN
16,0 kN/m
A
C
D
B
3,0
2,0
2,0
[m]
Rys. Z5/24.1. Belka prosta
Analiza kinematyczna belki przedstawionej na rysunku Z5/24.1 znajduje się w zadaniu 23. Zgodnie z tamtym zadaniem rysunek Z5/24.2 przedstawia wartości i zwroty reakcji podporowych.
16,0 kN/m
24,0 kN
A
C
D
B
4,8 kN
43,2 kN
[m]
3,0
2,0
2,0
Rys. Z5/24.2. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w belce prostej Z5/24.2. Wykres siły poprzecznej
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale AB siła poprzeczna będzie funkcją kwadratową natomiast w pozostałych przedziałach będzie miała wartość stałą. Pionowe reakcje na podporach A i C będą powodo-wały skok siły poprzecznej o wartości bezwzględnej równej danej reakcji.
Rysowanie wykresu siły poprzecznej zaczniemy od punktu A. W punkcie tym działa reakcja o wartości 4,8 kN do góry. Siła poprzeczna w tym punkcie wynosi więc T =4,8 kN
A
.
(Z5/24.1)
W przedziale AB działa obciążenie ciągłe trójkątne o wartości z prawej strony 16,0 kN/m w dół więc siła poprzeczna w tym przedziale będzie parabolicznie opadać a w punkcie B tego przedziału wynosi 1
T L=4,8− ⋅16,0⋅3,0=−19,2 kN .
(Z5/24.2)
B
2
Jak widać siła poprzeczna na obu końcach przedziału AB ma wartości przeciwnych znaków. W przedziale tym będzie ona miała więc miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (5.131) jego odległość od punktu A wynosi Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
2
ZADANIE 24
x =
=1,342 m .
(Z5/24.3)
L
2⋅4,8⋅3,0
16,0
Ekstremum parabolicznego wykresu siły poprzecznej znajduje się w punkcie A, w którym to obciążenie ciągłe trójkątne ma miejsce zerowe.
W punkcie B nie działa żadna siła. Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu B wynosić będzie więc
T P=−19,2 kN .
(Z5/24.4)
B
W przedziale BC nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale oraz z lewej strony punktu C wartość stałą równą
T = T L=−19,2 kN .
(Z5/24.5)
BC
C
W punkcie C działa reakcja o wartości 43,2 kN w górę. Wartość siły poprzecznej z prawej strony punktu C wynosi więc
T P=−19,243,2=24,0 kN .
(Z5/24.6)
C
W przedziale CD nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna ma w całym przedziale wartość stałą równą
T =24,0 kN
CD
.
(Z5/24.7)
Rysunek Z5/24.3 przedstawia ostateczną postać wykresu siły poprzecznej w całej belce prostej wyz-naczonego metodą punktów charakterystycznych.
16,0 kN/m
24,0 kN
A
C
D
B
[m]
4,8 kN
43,2 kN
3,0
2,0
2,0
24,0
4,8
T(x) [kN]
1,342
1,658
19,2
Rys. Z5/24.3. Wykres siły poprzecznej w belce prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
3
ZADANIE 24
Z5/24.3. Wykres momentu zginającego
Zgodnie z rozdziałem 5 w przedziale AB moment zginający będzie wielomianem trzeciego stopnia natomiast w pozostałych przedziałach będzie funkcją liniową. Wykres momentu będzie w całej belce ciągły.
W dalszej części, przy obliczaniu wartości momentu zginającego w punktach charakterystycznych, siły, które kręcą zgodnie z założonym momentem zginającym będziemy zapisywać z minusem, siły które kręcą przeciwnie z plusem.
a)
b)
16,0 kN/m
A
A
M
(L)
A
MB
4,8 kN
4,8 kN
3,0
[m]
Rys. Z5/24.4. Momenty zginające na obu końcach przedziału AB
Rysunek Z5/24.4 a) przedstawia moment zginający w punkcie A. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M =0,0 kNm
A
.
(Z5/24.8)
Rysunek Z5/24.4 b) przedstawia moment zginający w punkcie B z lewej strony podpory. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
1
1
M L=4,8⋅3,0− ⋅16,0⋅3,0⋅ ⋅3,0=−9,6 kNm .
(Z5/24.9)
B
2
3
Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
16,0 kN/m
q1
1,342
[m]
3,0
Rys. Z5/24.5. Wartość obciążenia ciągłego w miejscu zerowym siły poprzecznej Miejsce zerowe siły poprzecznej znajduje się w odległości 1,342 m od punktu A. Rysunek Z5/24.5
przedstawia wartość obciążenia ciągłego w tym punkcie, które możemy wyznaczyć z proporcji q 1
16,0
=
.
(Z5/24.10)
1,342
3,0
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
4
ZADANIE 24
Ostatecznie wartość obciążenia ciągłego w miejscu zerowym siły poprzecznej wynosi kN
q =7,157
.
(Z5/24.11)
1
m
7,157 kN/m
A
M1
4,8 kN
1,342
[m]
Rys. Z5/24.6. Ekstremalny moment zginający w przedziale AB
Rysunek Z5/24.6 przedstawia ekstremalny moment zginający w przedziale AB. Zgodnie z tym rysunkiem wynosi on
1
1
M =4,8⋅1,342− ⋅7,157⋅1,342⋅ ⋅1,342=4,293 kNm (Z5/24.12)
1
2
3
Znak plus oznacza, że rozciąga on dolną część belki.
a)
b)
24,0 kN
24,0 kN
C
C
D
D
M (P)
M (L)
B
43,2 kN
C
43,2 kN
[m]
[m]
2,0
2,0
2,0
Rys. Z5/24.7. Momenty zginające na na obu końcach przedziału BC
Rysunek Z5/24.7 a) przedstawia moment zginający w punkcie B z prawej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M P=43,2⋅2,0−24,0⋅4,0=−9,6 kNm .
(Z5/24.13)
B
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/24.9). Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
Rysunek Z5/24.7 b) przedstawia moment zginający w punkcie C lewej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M L=−24,0⋅2,0=−48,0 kNm .
(Z5/24.14)
C
Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/24. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
5
ZADANIE 24
a)
b)
24,0 kN
24,0 kN
M (P)
D
MD
D
C
2,0
[m]
Rys. Z5/24.8. Momenty zginające na na obu końcach przedziału CD
Rysunek Z5/24.8 a) przedstawia moment zginający w punkcie C z prawej strony tego punktu. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M P=−24,0⋅2,0=−48,0 kNm .
(Z5/24.15)
B
Moment ten jest równy momentowi wyznaczonemu ze wzoru (Z5/24.14). Znak minus oznacza, że rozciąga on górną część belki.
Rysunek Z5/24.8 b) przedstawia moment zginający w punkcie D. Zgodnie z tym rysunkiem moment ten ma wartość
M =0,0 kNm
D
.
(Z5/24.16)
Rysunek Z5/24.9 przedstawia ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej wyznaczone metodą punktów charakterystycznych.
16,0 kN/m
A
C
24,0 kN
D
B
[m]
4,8 kN
43,2 kN
3,0
2,0
2,0
24,0
4,8
T(x) [kN]
1,342
1,658
19,2
1,342
1,658
6
48,0
9,
93
0,0
4,2
0,0
M(x) [kNm]
Rys. Z5/24.9. Ostateczne wykresy siły poprzecznej i momentu zginającego wyznaczone metodą punktów charakterystycznych
Dr inż. Janusz Dębiński