Twierdzenie 1 (o ci¡gªo±ci funkcji wypukªej na wn¦trzu jej dziedziny). Niech C ⊂

n

R

- wypukªy, Int C 6= ∅. Je»eli funkcja f : C → R jest wypukªa na C, to f jest ci¡gªa w zbiorze Int C.

Dowód. Dowód b¦dzie przebiegaª w dwóch etapach. W etapie pierwszym poka»emy,

»e f jest lokalnie ograniczona na Int C. W nast¦pnym etapie wyka»emy, »e lokalna ograniczono±¢ na Int C funkcji wypukªej f implikuje, »e jej ci¡gªo±ci na Int C.

Etap 1. Niech x ∈ Int C. Wówczas

∃ r > 0

K(x, r) ⊂ C.

(1)

Zauwa»my, »e

x + r ei, x − r ei ∈ K(x, r), i = 1, . . . , n

2

2

gdzie ei wektor jednostkowy maj¡cy 1 na i-tej pozycji pierwszej, a na pozostaªych 0.

Z wªasno±ci otoczki wypukªej oraz (1) dostajemy, »e conv{x + r ei, x − r ei, i = 1, . . . , n} ⊂ conv K(x, r) = K(x, r) ⊂ C.

2

2

Niech y ∈ conv{x + rei, x − rei, i = 1, . . . , n}. Z Twierdzenia ?? (o postaci otoczki 2

2

wypukªej) wynika, »e istniej¡ λi, βi ≥ 0, i = 1, . . . , n takie, »e n

n

X

X

y =

βi(x + r ei) + λ

ei),

(β

2

i(x − r

2

i + λi) = 1.

(2)

i=1

i=1

Wówczas z wypukªo±ci funkcji f wynika, »e

n

X

f (y) ≤

βif (x + r ei) + λ

ei) ≤ max{f (x + r ei), f (x − r ei), i = 1, . . . , n}, 2

if (x − r

2

2

2

i=1

Zauwa»my, »e

x ∈ Int conv{x + r ei, x − r ei, i = 1, . . . , n}.

(3)

2

2

dowód (3) jako ¢wiczenie dla studentów.

Istotnie, zauwa»my, »e K1(x, r) = conv{x + rei, x − rei, i = 1, . . . , n}, gdzie K

)

2

2

2

1(x, r

2

oznacza kul¦ domkniet¡ w n

R w normie kzk1 = Pn

|z

i=1

i|.

Niech y ∈ K1(x, r), y 6= x. Poªó»my δ := ky − xk 2

1.

Wówczas δ > 0 oraz y =

x + Pn (y

i=1

i − xi)ei. Dalej

n

n

X

X

y = x +

|yi−xi| δ sgn(y

|yi−xi| (x + δ sgn(y

δ

i − xi)ei =

δ

i − xi)ei),

i=1

i=1

co znaczy, »e y ∈ conv{x + δei, x − δei, i = 1, . . . , n}, gdy» Pn |yi−xi| = 1. Poniewa»

i=1

δ

x + δei, x − δei ∈ [x − r ei, x + r ei], pierwszy wektor dla λ = δ + 1 ∈ (0, 1], a drugi dla 2

2

r

2

λ = 1 − δ ∈ [0, 1), to

2

r

conv{x + δei, x − δei, i = 1, . . . , n} ⊂ conv{x + r e e

2 i, x − r

2 i, i = 1, . . . , n}.

1

Odwrotnie, niech y ∈ conv{x + re

e

2 i, x − r

2 i, i = 1, . . . , n}. Wówczas mo»na zapisa¢ y w postaci (2), st¡d y = x+Pn (β re

r e

Pn

|β

,

i=1

i 2 i − λi 2 i). A dalej ky − xk1 = r2

i=1

i − λi| ≤ r

2

gdy» Pn |β

max{λ

n otrzymujemy

i=1

i −λi| ≤ Pn

i=1

i, βi} ≤ 1. Z równowa»no±ci norm w R

(3).

Reasumuj¡c otrzymali±my, »e

∀ x ∈ Int C ∃ L ∈ R ∃ γ > 0 ∀ y ∈ K(x, γ) ⊂ C f(y) ≤ L.

(4)

Niech y ∈ K(x, γ). Wówczas

k2x − y − xk = kx − yk < γ,

czyli 2x − y ∈ K(x, γ). Z wypukªo±ci funkcji oraz (4) dostajemy, »e f (x) = f ( 1 (2x − y) + 1 y) ≤ 1 f (2x − y) + 1 f (y) ≤ 1 L + 1 f (y), 2

2

2

2

2

2

st¡d

f (y) ≥ 2f (x) − L.

Zatem funkcja f jest lokalnie ograniczona z doªu na Int C. Uwzgledniaj¡c (4) dostajemy, »e f jest lokalnie ograniczona na Int C.

Etap 2. Poka»emy, »e lokalna ograniczono±¢ na Int C funkcji wypukªej f implikuje, »e funkcja f ci¡gªa na Int C.

Niech x ∈ Int C. Z Etapu 1. wynika, »e

∃ M > 0 ∃δ > 0 ∀ y ∈ K(x, 2δ) ⊂ C

|f (y)| ≤ M.

Niech y, z ∈ K(x, δ), y 6= z. Bez zmiejszenia ogólno±ci mo»emy zaªo»y¢, »e f(z) ≥ f(y).

Poªó»my ky − zk =: α > 0 oraz

v = z + δ (z − y).

α

Zauwa»my, »e

kv − xk ≤ kv − zk + kz − xk ≤ δ ky − zk + δ = 2δ, α

czyli v ∈ K(x, 2δ) ⊂ C. Ponadto,

z = α v + δ y.

α+δ

α+δ

Z wypukªo±ci funkcji f wynika, »e

f (z) ≤ α f (v) + δ f (y).

α+δ

α+δ

Zatem wobec powy»szych

|f (z) − f (y)| = f (z) − f (y) ≤ α (f (v) − f (y)) ≤ α · 2M = 2M ky − zk.

α+δ

δ

δ

Pokazali±my, »e

∀ x ∈ Int C ∃ δ > 0 ∃ M1 > 0 ∀ y, z ∈ K(x, δ) |f (z) − f (y)| ≤ M1ky − zk.

(5)

St¡d

∀ x ∈ Int C ∃ δ > 0 ∃ M1 > 0 ∀ y ∈ K(x, δ) |f (z) − f (x)| ≤ M1ky − xk, co wobec dowolno±ci x ∈ Int C dowodzi ci¡gªo±ci funkcji f w zbiorze Int C.

2