Dane :
a = 2,5 m
b = 3,5 m
c = 4,8 m
P = 5 kN
M = 1 kNm
q = 6 kN/m
EI = const.
1. Schemat układu statycznie niewyznaczalnego.
2. Stopień statycznej niewyznaczalności.
SSN = w – 3t
SSN = 6 -3 = 3
3. Układ podstawowy 4. Obciążenie układu podstawowego a) siłami rzeczywistymi
b) siłami jednostkowymi w miejscu odrzuconych więzów
5. Obliczenie elementów układu równań kanonicznych metodą sił – przemieszczenia w miejscu i kierunku odrzuconych więzów
⋅
M
M
1
1
δ = ∑ ∫
ds
11
EI
M ⋅ M
1
2
δ = δ = ∑ ∫
ds
12
21
EI
M ⋅ M
1
P
δ = ∑ ∫
ds
1 P
EI
M ⋅ M
2
P
δ = ∑ ∫
ds
2 P
EI
M ⋅ M
2
2
δ = ∑
∫
ds
22
EI
1 1
2
1
2
7 ,
8 489
δ =
⋅ 8
,
4 ⋅ ,
5 42 ⋅
⋅ 8
,
4
+ ⋅ 8
,
4 ⋅ 8
,
4 ⋅
⋅ 4 8
,
=
11
EI 2
3
2
3
EI
1 1
110 5
, 9
δ = δ =
⋅ 8
,
4 ⋅ 4 8
, ⋅ ,
9 6 =
12
21
EI 2
EI
1
1
1
2
⋅1⋅ ,
5 42 ⋅ ⋅ 8
,
4
+ ⋅17,75 ⋅ ,
5 42 ⋅
⋅ 8
,
4
−
1
2
3
2
3
−1925 9
, 3
δ =
=
1 P
EI 1
2
1
1
EI
− ⋅188 9
, 2 ⋅ 4 8
, ⋅
⋅ 8
,
4
− ⋅164 9
, 2 ⋅ 4 8
, ⋅ ⋅ 8
,
4
2
3
2
3
2
1 1
1
2 1⋅ 8
,
4
1
1
1
δ =
−
⋅ 69 1
, 2 ⋅ 8
,
4 ⋅ ⋅ 4 8
, −
⋅
⋅ 8
,
4 ⋅
⋅ 8
,
4
− ⋅188 9
, 2 ⋅ 4 8
, ⋅ ,
9 6 −
⋅164 9
, 2 ⋅ 4 8
, ⋅ ,
9 6 +
2 P
EI 2
3
3
8
2
2
2
1
2
1
1
2
1
−
⋅ 206,67 ⋅ 5
,
3 ⋅ ⋅ ,
9 6 +
⋅ 4 8
, −
⋅ 69 1
, 2 ⋅ 5
,
3 ⋅ ⋅ 4 8
, +
⋅ 9,6 +
1
2
3
3
2
3
3
+
=
2 EI 2 1⋅ 5
,
3 2
1
1
+
⋅
⋅ 5
,
3 ⋅ ⋅ ,
9 6 +
⋅ 4 8
,
3
8
2
2
− 8440,03
364 ,
1 79
10260 9
, 2
=
−
= −
EI
2 EI
EI
1
1
2
δ
=
9,6 ⋅ 8
,
4 ⋅ 9,6 +
⋅ 4 8
, ⋅ 4 8
, ⋅
⋅ 8
,
4
+
22
EI
2
3
1 1
2
1
1
2
1
479,23
188 1
, 6
573 3
, 1
+
⋅ 9,6 ⋅ 5
,
3 ⋅ ⋅ ,
9 6 +
⋅ 4 8
, +
⋅ 8
,
4 ⋅ 5
,
3 ⋅ ⋅ 4 8
, +
⋅ 9,6 =
+
=
2 EI 2
3
3
2
3
3
EI
2 EI
EI
11
1
12
2
1 P
δ ⋅ X + δ ⋅ X + δ = 0
21
1
22
2
2 P
,
78 489
59
,
110
93
,
1925
⋅ X +
⋅ X −
= 0
EI
1
EI
2
EI
59
,
110
31
,
573
92
,
10260
⋅ X +
⋅ X −
= 0
EI
1
EI
2
EI
,
78 489 ⋅ X +
59
,
110
⋅ X −
93
,
1925
= 0
1
2
59
,
110
⋅ X +
31
,
573
⋅ X −
92
,
10260
= 0
1
2
X = −
,
19 25 kN
1
X =
,
31 08 kN
2
6. Rozwiązanie układu równań kanonicznych i obliczenie rzeczywistych wartości sił w miejscu odrzuconych więzów.
M np = M p + M ⋅ X + M ⋅ X
1
1
2
2
T np = Tp + T ⋅ X + T ⋅ X
1
1
2
2
N np = N p + N ⋅ X + N ⋅ X
1
1
2
2
M np = M p + M ⋅ ( 1
− ,
9 2 )
5 + M ⋅ 3 ,
1 08
1
2
T np = Tp + T ⋅ (−1 , 9 2 )
5 + T ⋅ 3 ,
1 08
1
2
N np = N p + N ⋅ ( 1
− ,
9 2 )
5 + N ⋅ 3 ,
1 08
1
2
w punkcie A
M n = 1 + 0 ⋅ ( 1
− ,
9 2 )
5 + 0 ⋅ 3 ,
1 08 = k
1 Nm
p
T n = 0 + (− 8
,
0
)
8 ⋅ ( 1
− ,
9 2 )
5 + 0 ⋅ 3 ,
1 08 = 16 9
, 4 kN
p
N n = 0 + (− ,
0 4 )
5 ⋅ ( 1
− ,
9 2 )
5 + 0 ⋅ 31 0
, 8 = ,
8 66 kN
p
w punkcie D
M n = 0 + 0 ⋅ (−1 , 9 2 )
5 + 0 ⋅ 3 ,
1 08 = 0
p
T n = 0 + 0 ⋅ (−1 , 9 2 )
5 + (− )
1 ⋅ 3 ,
1 08 = 3
− ,
1 08 kN
p
N n = −5 + 0 ⋅ (−1 , 9 2 )
5 + 0 ⋅ 3 ,
1 08 = −5 kN
p
7. Wykres sił wewnętrznych w układzie rzeczywistym statycznie niewyznaczalnym.
8. Obliczam kąt obrotu w punkcie B – wpływ M.
M 0 ⋅ M np ϕ = ∑ ∫
ds
k
EI
1 1
1
36 ,
1 2
ϕ =
⋅13 ,
3 45 ⋅ 8
,
4 ⋅1 +
⋅17 0
, 5 ⋅ 8
,
4 ⋅1 =
k
EI 2
2
EI
dla I 360
E = 205 GPa
I = 19610 cm4
36 ,
1 2
ϕ
k = −
= − 0
,
0 0898 ≅ 0
205 ⋅106 ⋅19610 ⋅10−8
9. Sprawdzenie kinematyczne:
- układ do sprawdzenia
- sporządzam wykresy sił jednostkowych od X1, X2 dla M
- obliczam wartości na kierunkach X1 i X2
M X ⋅ M n
1
∑∫
p ds = 0
EI
1 1
2
1
1
1
2
2 6 ⋅ ,
5 422
⋅17,05 ⋅ 8
,
4 ⋅ ⋅ 8
,
4 +
⋅13 ,
3 45 ⋅ 8
,
4 ⋅ ⋅ 8
,
4 −
⋅ 7 ,
4 65 ⋅ ,
5 42 ⋅ ⋅ 8
,
4 +
⋅
⋅ ,
5 42 ⋅ 5
,
0 ⋅ 8
,
4 = 0
EI 2
3
2
3
2
3
3
8
187,09 = 0
EI
0 = 0
M X ⋅ M n
2
∑∫
p ds = 0
EI
1 2 6 ⋅ 8
,
4 2
1
1
⋅
⋅ 8
,
4 ⋅ ⋅ 5
,
0 7 −
⋅17,05⋅ 8
,
4 ⋅1 −13 ,
3 45 ⋅ 5
,
0 ⋅ 8
,
4 +
EI 3
8
2
2
1 1
2
1
2 6 ⋅ 5
,
3 2
1
1
+
− ⋅ 9 ,
1 7 ⋅ 5
,
3 ⋅ ⋅1 + ⋅ 5
,
0 7 +
⋅
⋅ 5
,
3 ⋅ ⋅1 +
⋅ 5
,
0 7 = 0
2 EI 2
3
3
3
8
2
2
344 3
, 6
12 ,
0 64
−
−
= 0
EI
2 EI
404
−
≅ 0
EI
0 = 0