1. Zbada¢, czy
ab
(R \ {0} , ∗) jest grup¡, je±li ∀a, b ∈ R \ {0}: a ∗ b =
.
2
2. Znale¹¢ a, b ∈ R takie, »e (a) a (2 + 3i) + b (4 − 5i) = 6 − 2i, (b)
a
b
+
= 1,
2 − 3i
3 + 2i
(c) (3 − i) a2 − (3 + 2i) a − (1 − i) b = 13 − 10i.
3. Udowodni¢, »e:
(a) ∀z1, z2 ∈ C: |z1 · z2| |z1| · |z2| oraz arg (z1 · z2) = argz1 + argz2,
|
(b)
z
z
∀z
1
1|
1, z2 ∈ C, z2 6= 0:
oraz argz1
=
= argz1 − argz2,
z2
|z2|
z2
(c) ∀z ∈ C, ∀n ∈ N : |zn| = |z|n oraz argzn = n argz, (d) ∀z1, z2 ∈ C: z1 + z2 = z1 + z2, (e) ∀z ∈ C : |z| = |z|.
4. Wyznaczy¢ wszystkie liczby zespolone z, dla których wyra»enie 1 + z jest: 1 − z
(a) liczb¡ czysto rzeczywist¡, (b) liczb¡ czysto urojon¡.
5. Zaznaczy¢ na pªaszczy¹nie zespolonej zbiory:
(a)
z − 5
A =
z ∈
C :
,
= 1
z − 1
(b)
π
2π
B =
z ∈ C :
≤ argz ≤
,
4
3
(c) C = z ∈ C : re z2 = 2 ∧ im (z + i)2 = 1 ,
(d)
7π
4π
D =
z ∈ C : 1 < |z + 2 + 2i ≤ 2| ∧
≤ argz ≤
.
6
3
6. Poda¢ posta¢ trygonometryczna liczb zespolonych:
√
(a) −1 + 3i,
(b) 1 − i,
(c) 1 + cos π + i sin π, 3
3
√
√
√
√
√
√
(d)
p
6 +
2-
6 −
2 i,
(e) p2 + 2 − 2 − 2i,
(f) −i.
√
√
7. Maj¡c dane liczby: z1 = − 3 − i, z2 = 4 − 48i, z3 = −2 + 2i wykona¢ dziaªania:
·
(a)
z5
z
3
1 · z2 · z3,
(b) z6 · z15,
(c) z10
2
.
1
3
z30
3
1
8. Nast¦puj¡ce warto±ci: (a) sin 4x,
(b)cos 6x,
(c) sin 7x,
(d) cos 5x
wyrazi¢ za pomoc¡ sin x oraz cos x: 9. Obliczy¢ wszystkie pierwiastki zespolone:
√
√
q √
√
(a) 3 i,
(b) 6 −27 ,
(c) 4 3−i,
(d) −4 − 3i.
i−1
10. Wyznaczy¢ wszystkie liczby z ∈ C, które s¡ rozwi¡zaniem równania:
√
(a) z2 − 4z + 5 = 0,
(b) z4 − 30z2 + 289 = 0, (c) z12 =
48 − 4i8.
11. Znale¹¢ wszystkie liczby zespolone z, dla których ¯z = z2.
12. Wykaza¢, »e (A, ·) jest grup¡, gdzie A = {z ∈ C : z4 = 1}.
2