FUNKCJE ZESPOLONE

Lista zadań

2005/2006

Opracowanie: dr Jolanta Długosz

Liczby zespolone

1.1

Obliczyć wartości podanych wyrażeń:

1

1

2

a)

2 + i (5 + i);

b) (3 − i)( − 4 + 2 i);

c)

+ i

;

4

4

2 + 3 i

d) (1 + i)4;

e) ( − 2 + 3 i)3 ;

f)

;

1 − i

(1 + i) (2 − i)

g)

.

(1 − i)2

1.2

Niech z = x + iy, gdzie x, y ∈ R. Znaleźć podane wyrażenia:

a) Re z 2;

b) e|z|;

c) z 2;

d) |zn|;

e) Im z 3;

f) Re zz 2;

z

1

g) Im

;

h) Re

.

z

1 + z 2

1.3

Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej liczbę eiϕ, gdzie ϕ ∈ R : π i

3 πi

2

2

a) eπi;

b) e

;

c) e

;

d) e 2 kπi dla k ∈ Z .

1.4

Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej (jeśli jest w miarę prosta). Podać interpretację geometryczną:

√

√

√

√

4

a)

1;

b) 9 − 8 i;

c) 3 − 27;

d) 3 − 1 + i.

1.5

Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory określone podanymi warunkami: a) |z − 1 | < 1;

b) 2 < |z + 2 i| < 3;

c) |z − 1 + i| > 3;

d) 0 < | 1 − i − z| ¬ 4;

e) | 2 iz + 1 | ­ 2;

f) |z − i| = Re z;

π

2

g)

< arg( z − 3 + i) ¬ π;

h) |z − i| = |z − 1 |;

i) 0 ¬ Re ( iz) < 1.

4

3

1.6

Rozwiązać podane równania:

a) z 2 + 4 z + 5 = 0;

b) z 2 + (2 − 4 i) z − 11 + 2 i = 0; c) z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 = 0; d) z 3 − 8 = 0.

2

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

2.1

Obliczyć:

a) sin( − 2 i);

b) cos(1 + i);

c) Log ( − 4);

√

√

d) log ( − 4);

e) Log

3 + i ;

f) log

3 + i .

2.2

Dowieść, że:

a) sin2 z +cos2 z = 1;

b) sin ( z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2; c) ez 1+ z 2 = ez 1 ez 2 ;

d) ez+2 kπi = ez dla k ∈ Z; e) ez 6= 0 dla każdego z ∈ C.

2.3

Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną podanych funkcji:

1

a) f ( z) = z 2;

b) f ( z) =

;

c) f ( z) = iz 3 + z;

z

1

d) f ( z) = sin z;

e) f ( z) = ch z;

f) f ( z) = e z .

2.4

Pokazać, że istnieją liczby zespolone z takie, że: | sin z| > 1, | cos z| > 1.

2.5

Rozwiązać podane równania:

a) ez+ i = − 4;

b) ez = e Re z;

c) cos z = − 2;

d) sin z = i.

2.6

Napisać wzór odwzorowania w = f ( z), gdzie z ∈ C, gdy f jest: a) translacją o wektor z 0;

b) obrotem o kąt ϕ (w szczególności dla ϕ = π/ 2) wokół punktu z = 0; c) jednokładnością w stosunku k > 0 o środku z = 0; d) odbiciem symetrycznym względem osi Ox, Oy, prostej y = x.

2.7

Jakie jest równanie prostej prostopadłej do prostej z( t) = z 1+ z 2 t, gdzie t ∈ R , i przechodzącej przez punkt z 0? Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej z( t) = 2 i + ( i − 2) t, gdzie t ∈ R , i przechodzącej przez punkt z 0 = 2 + i. Wykonać rysunek.

2.8

Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu w = f ( z). Narysować zbiór D i jego obraz, jeśli: 3

n

√ o

a) D = z ∈ C : |z − 1 + 2 i| ¬

5 , f ( z) = (2 + i) z + 3 i;

π

b) D =

z ∈ C : 0 ¬ arg z ¬ , 1 ¬ |z| ¬ 2 , f( z) = z 2; 3

(

π

π

)

√

√

c) D =

z ∈ C :

¬ arg z ¬ , |z| ¬ 1 , f( z) =

2 +

2 i z;

2

4

d*) D = {z ∈ C : 0 ¬ Re z ¬ 1 , 0 ¬ Im z ¬ 1 }, f ( z) = z 2.

2.9

Znaleźć obraz:

1

a) i) okręgu |z| = 1; ii) prostej y = x bez punktu (0 , 0); przy odwzorowaniu w = .

z 1

b) i) okręgu |z| = 1 bez punktu z = 1; ii) prostej y = x; przy odwzorowaniu w =

.

z − 1

2.10

a) Znaleźć obraz prostych x = x 0, y = y 0 i obraz kwadratu D z Zadania 2.8 d*) przy odwzorowaniu w = ez.

b) Odwzorować obszar D = {z ∈ C : 1 < |z| < e, −π < arg z < π} za pomocą funkcji w =

log z (logarytm główny).

* 2.11

Znaleźć obraz zbioru D = {z ∈ C : Re z ­ 0 , Im z ­ 0 } przy odwzorowaniu z − i

w =

.

z + i

Wykonać rysunek.

* 2.12

Zbadać ciągłość podanych funkcji:

 Re z



Re z

Re z 2



dla z 6= 0 ,



dla z

a) f ( z) =

;

b) f ( z) =

6= 0 ,

z

c) f ( z) =

1+ |z|

z

 0

dla z = 0;

 0

dla z = 0 .

Wskazówka. Przedstawić z 2 w postaci trygonometrycznej.

2.13

Wykazać, że podane funkcje spełniają równania Cauchy’ego-Riemanna:

1

a) f ( z) = ez;

b) f ( z) = cos z;

c) f ( z) =

;

d) f ( z) = log z.

z

2.14

W jakich punktach podane funkcje mają pochodne, a w jakich są holomorficzne? Podać wartość pochodnej w punktach, w których istnieje:

z

a) f ( z) =

;

b) f ( z) = z ( Re z)2;

c) f ( z) = ze|z| 2;

d) f ( z) = |z| 2 e Re z .

|ez|

4

2.15

Znaleźć funkcję holomorficzną f ( z) = u( x, y) + iv( x, y) wiedząc, że: a) u( x, y) = 2 xy + y, f ( − 2) = i;

−y

b) v( x, y) =

, f (2) = 0;

x 2 + y 2

c) v( x, y) = ex sin y + 2 y, f (0) = 5.

Całki funkcji zespolonych

3.1

Napisać równania parametryczne podanych krzywych:

a) prostej przechodzącej przez punkty z 1 = 2 i, z 2 = 1 − i; b) odcinka łączącego punkty z 1 = 0, z 2 = − 2 i; c) odcinka łączącego punkty z 1 = 2 + i, z 2 = − 1; d) okręgu o środku z 0 = 2 − i i promieniu r = 3; e) elipsy o środku z 0 = 0 i półosiach a, b; 1

f) hiperboli y =

;

x

√

g) części paraboli y = x 2 zawartej między punktami z 1 = 1 + i, z 2 =

3 + 3 i.

* 3.2

Napisać równanie stycznej do krzywej z( t) = t 2 + i sin t, gdzie t ∈ R, w punkcie z 0 odpowia-

π

dającym wartości parametru t 0 =

.

2

* 3.3

Znaleźć kąt nachylenia do osi Re z stycznej do krzywej z( t) = t 2 + it, gdzie t ∈ R, w punkcie

√

3

3

z 0 =

+ i

.

4

2

* 3.4

Określić punkt i kąt przecięcia się krzywych o równaniach parametrycznych 1

1

z( t) = t + ti, gdzie t ∈ R oraz w( t) = t 2 + i, gdzie t ∈ R?

8

t

3.5

Obliczyć podane całki:

π

2

2

Z

Z

h

a)

(cos t + 2 ti) dt;

b)

1 + (1 + i) t 2i dt;

0

0

π

2

1

Z

Z

c)

(cos 2 t + i sin 2 t) dt;

d)

1 − eti dt.

0

− 1

5

3.6

Obliczyć podane całki po zadanych krzywych:

Z

a)

|ez| z dz, C – odcinek o początku −i i końcu 1; C

Z

b)

(3 z + 1) z dz, C – półokrąg {z ∈ C : |z| = 1 , Re z ­ 0 } o początku −i i końcu i; C

Z

π π

c)

ez dz, C – łamana o wierzchołkach kolejno 0,

,

(1 − i);

2 2

C

Z

d)

( z − z) dz, C – łuk paraboli y = x 2 o początku 1 + i i końcu 0; C

Z

e)

z Re z 2 dz, C – ćwiartka okręgu {z ∈ C : |z| = 2 , Re z ­ 0 , Im z ­ 0 } o początku 2 i i C

końcu 2.

3.7

Obliczyć podane całki po wskazanej krzywej regularnej C o zadanym początku z 1 i końcu z 2: Z

a)

eiz dz, C – dowolna krzywa, z 1 = i, z 2 = 0; C

Z

π

π

b)

2 z cos iz 2 dz, C – dowolna krzywa, z 1 =

, z

i;

2

2 = 2

C

Z

π

c)

z sin z dz, C – dowolna krzywa, z 1 = 0, z 2 =

i;

2

C

Z

z dz

d)

, C – odcinek, z

z 2 + 2

1 = 0, z 2 = 1 + i.

C

3.8

Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnień obliczyć podane całki: Z

ez dz

a)

, C – okrąg |z − 3 i| = 2 zorientowany dodatnio; z( z − 2 i)

C

Z

ze 2 πzdz

b)

, C – łamana zamknięta o wierzchołkach 0 , 1+2 i, − 1+2 i zorientowana dodatnio; z 2 + 1

C

Z

dz

c)

, C – okrąg |z − 2 i| = 2 zorientowany dodatnio; ( z 2 + 9)2

C

6

Z

sin z dz

d)

, C – okrąg |z − 3 | = 1 zorientowany dodatnio; ( z 2 − π 2)2

C

Z

ez dz

e)

, C – okrąg |z − πi| = 1 zorientowany dodatnio.

z ( z − πi)3

C

3.9

Obliczyć całkę

Z

dz

,

( z − 1)3( z + 1)3

C

gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem o promieniu r i środku z 0, jeśli: a) r < 2, z 0 = 1;

b) r < 2, z 0 = − 1;

c) r > 2, z 0 = − 1 lub z 0 = 1 .

Szeregi zespolone

4.1

Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanych szeregów:

∞ (2 + i) n

∞ ein

∞ in

X

X

X

a)

;

b)

;

c)

;

3 n

n 2

n

n=1

n=1

n=1

∞

n 2 + i

∞ ( n + i) n

X

X

d)

;

e)

.

in 4 + 1

nn

n=1

n=1

4.2

Znaleźć promienie i koła zbieżności podanych szeregów potęgowych:

∞ zn

∞ inzn

∞

X

X

X

a)

;

b)

;

c)

(1 + i) nzn ;

n 2

n!

n=1

n=0

n=0

∞

( z

∞ (

X

− i) n

X

− 2 i) nz 3 n

d)

;

e)

n 2(1 + i) n

n(1 − i) n

n=1

n=1

∞ 2 n( n!)2

∞

n! zn

X

X

f*)

z 2 n;

g*)

.

(2 n)!

( n + i) n

n=0

n=0

4.3

Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f ( z) w otoczeniu punktu z 0 i znaleźć koło zbieżności otrzymanego szeregu:

1

a) f ( z) = z sin z 2, z 0 = 0; b) f ( z) =

, z

1 + z

0 = i;

cos z − 1

c*) f ( z) = sin z, z 0 = πi; d) f ( z) =

dla z 6= 0, f(0) = 0, z

z

0 = 0;

z 2

e) f ( z) =

, z

z + 2

0 = 2;

f) f ( z) = ez, z 0 = πi.

7

4.4

Znaleźć wszystkie zera podanych funkcji i zbadać ich krotność:

2

sin z

a) f ( z) = z 3 + 1

z 4;

b) f ( z) = z 2 eiz − 1 ;

c) f ( z) =

;

z

ez

sin z

d) f ( z) =

;

e) f ( z) =

;

f) f ( z) = sin z eiz − 1 .

sin z

ez

Punkty osobliwe i residua

5.1

∞

Znaleźć pierścień zbieżności i sumę szeregu Laurenta X cnzn, jeżeli: n= −∞



− 1

( 0

dla n ­ 0 ,



dla n



­ 0 ,

a) cn =

b) cn =

(2 i) n+1

2 −n− 1 dla n < 0;



 in+1

dla n < 0;



n

dla n



­ 0 ,





2 n+1

c*) cn =

0

dla n = − 2 ,





 − 1

dla n < 0 , n 6= − 2 .

5.2

Znaleźć rozwinięcie funkcji f ( z) w szereg Laurenta we wskazanym pierścieniu P : 1

a) f ( z) =

, P = {z ∈ C : 1 < |z| < ∞};

z(1 − z)

1

b) f ( z) =

, P = {z ∈ C : 0 < |z − 1 | < 1 }; z(1 − z)

z

c) f ( z) =

, P = {z ∈ C : 4 < |z + 3 | < ∞}; ( z − 1)( z + 3)

z 2 − 1

d) f ( z) =

, P = {z ∈ C : 2 < |z| < 3 }; ( z + 2)( z + 3)

i

e) f ( z) = ( z 2 + 2 z) e z , P = {z ∈ C : 0 < |z| < ∞}; 1

z− 1

f*) f ( z) = ze

, P = {z ∈ C : 0 < |z − 1 | < ∞} .

Wskazówka do f*). Wykorzystać równość z = ( z − 1) + 1 .

5.3

Określić rodzaj punktów osobliwych odosobnionych podanych funkcji. W przypadku biegunów zbadać ich krotność:

8

z 2

sin z

z

a) f ( z) =

;

b) f ( z) =

;

c) f ( z) =

;

z 2 + 1

z 2 − π 2

sin z

z 2

1

d) f ( z) = z tg z;

e) f ( z) =

;

f) f ( z) = z sin ;

ez − 1

z

z

1

e z− 1

ez − 1

g) f ( z) =

;

h) f ( z) =

;

i*) f ( z) =

.

z(cos z − 1)

ez − 1

1

e z − 1

5.4

a) Jak oblicza się residua w punkcie istotnie osobliwym?

b) Dlaczego w przypadku punktu istotnie osobliwego próby stosowania wzorów służących do obliczania residuów w biegunach muszą zakończyć się fiaskiem?

c) Podać przykład funkcji, dla której punkt z = 0 jest istotnie osobliwy i res0 f ( z) = a, gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną.

5.5

Obliczyć residua funkcji f ( z) w punktach osobliwych: z + 1

z 2

1

a) f ( z) =

;

b) f ( z) =

;

c) f ( z) =

;

z 2 + 1

( z − 1)2

z 3 − z 5

1

1

ez

d) f ( z) =

;

e) f ( z) =

;

f) f ( z) = ze z ;

z 2 cos z

z

1

g) f ( z) =

w punkcie z = i.

1 − z 8

5.6

Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach obliczyć podane całki: Z

zdz

a)

, C – okrąg |z| = 2 zorientowany dodatnio;

z 2 + 2 z + 2

C

Z

dz

b)

, C – okrąg x 2 + y 2 = 2 x + 2 y zorientowany dodatnio; ( z − 1)2( z 2 + 1)

C

Z

eπzdz

c)

, C – okrąg |z| = 1 zorientowany dodatnio;

2 z 2 − i

C

Z

dz

d)

, C – okrąg |z − 2 i| = 3 zorientowany dodatnio; e 2 z − 1

C

1

Z

1

e)

( z + 1) e z dz, C – okrąg |z| =

zorientowany dodatnio.

3

C

5.7

Obliczyć podane całki niewłaściwe:

∞

∞

∞

Z

x 2 + 1

Z

dx

Z

dx

a)

dx;

b)

;

c)

.

x 4 + 1

(1 + x 2)3

( x 2 + 2)( x 2 + 5)

−∞

−∞

−∞

9

Przekształcenie Laplace’a

6.1

Narysować wykres funkcji f ( t) i znaleźć jej transformatę Laplace’a, jeżeli:



0 dla t < 0 ,



1 dla t ∈ (0 , 1) ,









a) f ( t) =

t

dla t ∈ [0 , 1] ,

b) f ( t) =

− 1 dla t ∈ (1 , 2) ,







1 dla t > 1;



0 poza tym .

6.2

Niech L {f( t) } = F ( s). Udowodnić następujące własności przekształcenia Laplace’a i przekształcenia odwrotnego:

n

o

a) L eatf ( t) = F ( s − a), gdzie a ∈ C; 1

s

b) L {f ( at) } = F

, gdzie a > 0;

a

a

1 t

c) L− 1 {F ( cs) } = f

, gdzie c > 0.

c

c

6.3

Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a wyznaczyć transformaty podanych funkcji: a) f ( t) = sh ωt;

b) f ( t) = sin2 ωt;

c) f ( t) = cos ( ωt − δ) 1( ωt − δ); d) f ( t) = eat sin2 ωt;



0 dla t < 0 ,



1 dla t ∈ (0 , 1) ,









e) f ( t) =

t

dla t ∈ [0 , 1] ,

f) f ( t) =

− 1 dla t ∈ (1 , 2) ,







1 dla t > 1;



0 poza tym .

6.4

Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a wyznaczyć transformaty podanych funkcji: a) f ( t) = ( at − t 0) n;

b) f ( t) = t sin ωt;

c) f ( t) = t 2 cos ωt;

1

sin ωt

cos ωt − 1

d) f ( t) =

(sin t + t cos t);

e*) f ( t) =

;

f*) f ( t) =

;

2

t

t

t

Z

sin τ

g*) f ( t) =

dτ .

τ

0

6.5

Naszkicować podane oryginały okresowe i znaleźć ich transformaty Laplace’a: (

1 dla 2 n ¬ t < 2 n + 1 ,

a) f ( t) =

gdzie n = 0 , 1 , 2 , ... ;

− 1 dla 2 n + 1 ¬ t < 2 n + 2 , (

t − 2 n

dla 2 n ¬ t < 2 n + 1 ,

b) f ( t) =

gdzie n = 0 , 1 , 2 , ... ;

−t + 2 n + 2 dla 2 n + 1 ¬ t < 2 n + 2 , c) f ( t) = max { sin ωt, 0 }.

10

6.6

Wykorzystując całkę Laplace’a obliczyć podane całki niewłaściwe:

∞

∞

Z

Z

− t 2

a)

e−t cos πt dt;

b)

e

t 4 − 2 t 2 + 4 dt;

0

0

∞

∞

Z

π

Z

1 − e−t

c)

e− 2 t sin

− t dt;

d*)

dt.

3

te 2 t

0

0

6.7

Metodą rozkładu na ułamki proste znaleźć oryginał, gdy:

s 3 − 3 s 2 − 7 s − 8

4 s 3 + 9 s 2 + 8 s + 2

a) F ( s) =

;

b) F ( s) =

;

( s + 1)2( s 2 + 4)

s( s + 2)( s 2 + 1)

4 s 2 + 20 s + 26

3 s 3 − 8 s 2 + 21 s − 8

c) F ( s) =

;

d) F ( s) =

.

s( s 2 + 6 s + 13)

( s − 2)2( s 2 + 2 s + 5)

6.8

Metodą residuów wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje: s

s 2 − 4

s − 1

a) F ( s) =

;

b) F ( s) =

;

c) F ( s) =

.

( s 2 + 1)2

( s 2 + 4)2

s( s 2 + 2 s + 2)2

6.9

Sprawdzić, czy podane funkcje są transformatami Laplace’e oryginałów okresowych. Znaleźć te oryginały i naszkicować ich wykresy:

1

3

A (1 − e−s)2

1

− e− 2 s + e− 3 s

1

e− 2 πs + e−πs

a) F ( s) =

;

b) F ( s) =

2

2

;

c) F ( s) =

.

s 1 − e− 2 s

s 2

1 − e− 3 s

s 2 + 1

1 − e− 2 πs

6.10

Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych: a) y0 + y = sin t, y(0) = 0; b) y00 − y0 − 6 y = 2, y(0) = 1, y0(0) = 0; c) y00 + 4 y0 + 13 y = 2 e−t, y(0) = 0, y0(0) = − 1; d) y00 − 2 y0 + y = 1, y(0) = 0, y0(0) = 1 .

6.11

Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla układów równań różniczkowych:

(

x0 = −y,

a)

x(0) = y(0) = 1;

y0 = 2 x + 2 y,

(

x0 + 2 y = 3 t,

b)

x(0) = 2, y(0) = 3;

y0 − 2 x = 4 ,



x0 = y − z,





c)

y0 = x + y,

x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.





z0 = x + z,

11

6.12

Sprawdzić twierdzenie Borela dla podanych splotów funkcji:

a) t ∗ sin t;

b) t ∗ t 2;

c) cos t ∗ et.

6.13

Korzystając z twierdzenia Borela o splocie wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje:

5 s

1

s

a) F ( s) =

;

b) F ( s) =

;

c) F ( s) =

.

( s 2 + 1) ( s − 1)

s 2 ( s 2 + 1)

( s 2 + 4)2

12