Zestaw 2.

Liczby zespolone (cz. I)

1. Udowodni´c nast ˛epuj ˛

ace własno´sci działa´n w zbiorze liczb zespolonych C :

(a) ∀z

1

, z

2

∈ C : z

1

+ z

2

= z

2

+ z

1

,

(b) ∀z

1

, z

2

, z

3

∈ C : (z

1

+ z

2

) + z

3

= z

1

+ (z

2

+ z

3

) ,

(c) ∀z ∈ C : z + 0 = z, gdzie 0

df

= (0, 0) ,

(d) ∀z ∈ C : z − z = 0,

(e) ∀z

1

, z

2

∈ C : z

1

z

2

= z

2

z

1

,

(f) ∀z

1

, z

2

, z

3

∈ C : (z

1

z

2

) z

3

= z

1

(z

2

z

3

) ,

(g) ∀z ∈ C : z · 1 = z, gdzie 1

df

= (1, 0) ,

(h) ∀z ∈ C\ {0} ∃!z

∈ C : zz

= 1,

1

(i) ∀z

1

, z

2

, z

3

∈ C : z

1

(z

2

+ z

3

) = z

1

z

2

+ z

1

z

3

.

2. Niech z, z

1

, z

2

∈ C. Poda´c interpretacj ˛e geometryczn ˛a nast ˛epuj ˛acych liczb:

a) z, b) z, c) z

1

+ z

2

,

d) z

1

− z

2

,

e) |z| , f) z

1

z

2

.

3. Dla liczb zespolonych uzasadni´c poni˙zsze zale˙zno´sci:

(a) z

1

z

2

= z

1

· z

2

,

(b)

z

1

z

2



=

z

1

z

2

,

dla z

2

= 0,

(c) zz = |z|

2

,

(d) |z

1

z

2

| = |z

1

| |z

2

|

(e)







z

1

z

2





 =

|z

1

|

|z

2

|

,

dla z

2

= 0,

(f) Re z
|z| oraz Im z
|z| ,

(g) |z

1

+ z

2

|
|z

1

| + |z

2

| ,

(h) ||z

1

| − |z

2

||
|z

1

− z

2

| .

4. Sprowadzi´c do postaci algebraicznej (dwumiennej) nast ˛epuj ˛

ace wyra˙zenia:

(a)

1

1+cos

π

3

+

i sin

π

3

,

(b)

1−2i

3

i+2

,

1

Symbol ∃! oznacza „istnieje dokładnie jeden”.

1

(c)

1

i

+

2+

i

2−i

,

(d)

(1+

i)

n

(1−i)

n−2

,

dla n ∈ N,

(e) (cos α + i sin α)

n

,

dla n ∈ N,

(f) (sin α + i cos α)

n

,

dla n ∈ N.

5. Rozwi ˛

aza´c równania z niewiadomymi z ∈ C; x, y ∈ R :

(a) z

2

+ (3 − 2i) z + 1 − 3i = 0,

(b) |z| + z = 1 + i,

(c)



(1 + 2i) x + (2 − 2i) y = 5 + 4i

(3 − i) x + (4 + 2i) y = 2 + 6i

,

(d)



(1 − 2i) x − (1 − 4i) y = 2 − 2i

(−2 − i) x + (2 + 2i) y = −4 − i

,

(e) (z − 2)

2

+ 2 Im z + z = 1,

(f)

1+

i

z

=

2−3i

z

,

(g) z

4

+ 4z

2

− 5 = 0,

(h) z

4

+ 4z

2

+ 8 = 0,

(i) (3 − i) x

2

− (3 + 2i) x − (1 − i) y = 13 − 10i,

(j) (2 + 3i) x

2

− (2 + i) x + (4 − 4i) y = 8 − 17i.

6. Na płaszczy´znie zespolonej zaznaczy´c liczby zespolone z, dla których

(a) liczba

z+4

z−2i

jest rzeczywista,

(b) liczba

z

iz+4

jest czysto urojona,

(c) liczba

(

z−a)

2

z−a

z−a

− 2 jest niedodatnia,

(d) liczba

z+i
z−i

nie jest ujemna.

7. Na płaszczy´znie zespolonej zaznaczy´c wszystkie liczby zespolone z, których

moduł jest liczb ˛

a całkowit ˛

a oraz dla których liczba z

2

+ (1 + i) z jest czysto

urojona.

2

Odpowiedzi

Zadanie 4:

a)

1
2

− i

√

3

6

; b) −

4
7

− i; c)

3
5

−

i

5

; d) 2i

n−1

; e) cos nα + i sin nα;

f) i

n

(cos nα − i sin nα) =

=



(−1)

n/2

cos nα + i (−1)

1+

n/2

sin nα,

n

= 2k

(−1)

(

n−1)/2

sin nα + i (−1)

(

n−1)/2

cos nα, n = 2k + 1

,

dla k ∈ N.

Zadanie 5:

a) −2 + i, −1 + i;

b) i;

c) x = 1, y =

1
2

+ i

3
2

;

d) x = 3, y = 1;

e)

3
2

+ i

1 +

√

7

2



,

3
2

+ i

1 −

√

7

2



;

f) ∅;

g) −1, 1, −i

√

5, i

√

5;

h)



−1 −

√

2, −1 +

√

2



,



−1 +

√

2, −1 −

√

2



,



−1 +

√

2, 1 +

√

2



,



−1 −

√

2, 1 −

√

2



;

i) (x, y) ∈ {(3, 5),



−

1
2

,

−10

3
4



};

j) ∅;

Zadanie 6:

a)



(x, y) : y =

1
2

x

+ 2, x = 0

;

b) {(x, y) : x = 0, y = 4} ;
c)



z

: 0 < |z − a|

√

2

;

d) C\ {z : Re z = 0, Im z ∈ (−1, 1)} .

3