Kod
Nazwa
WSTĘP DO LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
przedmiotu
Prowadzący przedmiot Dr Katarzyna Korbel
Osoby prowadzące
zajęcia
Rodzaj
Klasa przedmiotu
P
C
przedmiotu
Wydział Matematyki Stosowanej
Kierunek Matematyka
Stopień
Rodzaj studiów
stacjonarne
pierwszy
Semestr
I
studiów
Rodzaje zajęć *
Suma
Wykłady Ćwiczenia Laboratoria Seminaria Projekty
ECTS
Liczba godzin
60
30
30
6
WWW
Uwagi
Cel przedmiotu - zdobyte umiejętności
poprawnego konstruowania rozumowań matematycznych; zastosowania rachunku zdań
i kwantyfikatorów oraz indukcji matematycznej w dowodach twierdzeń; testowania prawdziwości hipotez matematycznych; wykonywania działań na zbiorach i funkcjach; interpretowania zagadnień matematycznych w języku teorii mnogości; symbolicznego formułowania problemów matematycznych; przedstawiania treści matematycznych w
mowie i piśmie;
Streszczenie przedmiotu
Klasyczny rachunek zdań, rachunek funkcyjny, zbiory, relacje, funkcje,
teoria mocy, arytmetyka liczb porządkowych i kardynalnych.
Warunki uczestnictwa
w przedmiocie
Forma zaliczenia zaliczenie ćwiczeń na podstawie oceny aktywności studenta i
przedmiotu dwóch
kolokwiów pisemnych; egzamin pisemny i ustny
Zasada wystawiania średnia ważona: zaliczenie z wagą 1/3, egzamin z wagą 2/3
oceny końcowej
Program wykładów
1. Zdanie logiczne. Wartość logiczna. Negacja zdania. Zasada sprzeczności, zasada wyłączonego środka. Łączenie zdań. Alternatywa, koniunkcja, implikacja i
równoważność. Negacja zdania złożonego. Prawa de Morgana. Zaprzeczenie
implikacji. Zaprzeczenie równoważności. Tautologia. Metody dowodzenia tautologii w klasycznym rachunku zdań. Reguły wnioskowania.
2. Formy zdaniowe. Dziedzina formy zdaniowej, zbiór elementów spełniających formę.
Kwantyfikatory. Negacja formy zdaniowej. Alternatywa i koniunkcja form zdaniowych.
Implikacja i równoważność form zdaniowych jako zdania. Wybrane prawa logiczne
rządzące kwantyfikatorami. Uzupełnienie reguł wnioskowania. Budowa teorii; pojęcia pierwotne i definicje, twierdzenia i aksjomaty. Dowód twierdzenia: dowód wprost,
3. Zbiory. Suma mnogościowa, przecięcie (iloczyn mnogościowy); różnica (ew.
uzupełnienie) zbiorów. Prawa de Morgana. Prawa rządzące działaniami na zbiorach.
Rodziny indeksowane zbiorów. Uogólniona suma, przecięcie rodzin zbiorów. Zbiór potęgowy.
Iloczyn kartezjański dwóch zborów. Pojęcie pary. Własności iloczynu kartezjańskiego.
Relacja, jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego. Dziedzina i przeciwdziedzina. Złożenie relacji i relacja odwrotna.
4. Funkcje jako relacje. Dziedzina i przeciwdziedzina funkcji. Odwzorowanie. Składanie funkcji. Składanie odwzorowań. Zestawienie i produkt odwzorowań. Odwzorowanie
surjektywne. Odwzorowanie injektywne. Bijekcja. Twierdzenia o składaniu.
Odwzorowanie odwrotne do danego. Odwzorowanie odwrotne do złożenia.
5. Uogólniony iloczyn kartezjański rodziny zbiorów. Obraz i przeciwobraz zbioru przez funkcję. Twierdzenia o obrazach i przeciwobrazach.
Relacje równoważnościowe. Definicja. Klasy równoważnościowe. Przestrzeń
ilorazowa. Relacje definiowane przez rozkład przestrzeni. Zasada abstrakcji.
6. Twierdzenia o relacji równoważności generowanej przez daną relację oraz o
tranzytywnym domknięciu relacji. Twierdzenia o warunkach równoważnych na to, by suma (złożenie) relacji równoważności były relacjami równoważności. Jądro
odwzorowania. Twierdzenie o rozkładzie kanonicznym funkcji. Konstrukcja Ζ i Θ.
7. Relacje porządkujące częściowo i liniowo. Zbiór ograniczony. Elementy wyróżnione (elementy maksymalne, minimalne, element największy i najmniejszy, kres górny i kres dolny zbioru). Twierdzenia o elementach największych (najmniejszych) i
maksymalnych (minimalnych. Własności kresów. Łańcuchy i antyłańcuchy.
Izomorfizmy systemów relacyjnych. Twierdzenia o zbiorach izomorficznych.
8. Przekrój zbioru. Luka i skok. Uporządkowanie gęste. Uporządkowanie ciągłe.
Przestrzenie dobrze uporządkowane. Wprowadzeni dobrego porządku na sumie i
produkcie zbiorów. Równoważność dwóch wersji aksjomatu wyboru.
9. Przedział początkowy. Twierdzenie o zbiorze dobrze uporządkowanym. Podobieństwo zbiorów dobrze uporządkowanych. Lemat Kuratowskiego-Zorna (bd).
10. Dowody twierdzeń: LKZ⇒Twierdzenie Zermelo, LKZ⇔Twierdzenie Hausdorffa, TZ⇒aksjomat wyboru.
11. Dwie wersje zasady indukcji porządkowej. Twierdzenie odwrotne. Zbiory
tranzytywne. Liczba porządkowa. Własności liczb porządkowych. Paradoks Burali-
Forti. Typ porządkowy zbioru. Działania na liczbach porządkowych. Własności tych działań.
12. Równoliczność zbiorów. Twierdzenia o zbiorach równolicznych. Twierdzenie
Cantora. Twierdzenie Cantora – Bernsteina. Zbiory przeliczalne. Twierdzenia o
zbiorach przeliczalnych. Przeliczalność Ζ i Θ. Twierdzenie o zbiorze nieskończonym.
Przykłady zbiorów nieprzeliczalnych. Zbiory równoliczne z Ρ.
13. Pojęcie mocy zbioru oraz liczby kardynalnej. Zbiory mocy continuum - przykłady.
Twierdzenia o zbiorach mocy continuum. Hipoteza continuum.
14. Działania na liczbach kardynalnych i ich własności.
Program pozostałych zajęć (ćwiczenia, laboratoria, projekty, seminaria)
rozwiązywanie zadań rachunkowych i teoretycznych dotyczących treści
przekazywanych na kolejnych wykładach.
Bibliografia
1. Chronowski A., Elementy teorii mnogości.
2. Kuratowski K., Wstęp do teorii mnogości i topologii.
3. Błaszczyk A., Turek S., Teoria mnogości
4. Marek W., Onyszkiewicz J., Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach.
* Rodzaje zajęć: ćwiczenia – ćwiczenia audytoryjne, lektoraty, zajęcia wf, laboratoria – ćwiczenia laboratoryjne, zajęcia praktyczne, zajęcia terenowe, seminaria –
seminaria, konwersatoria, projekty – ćwiczenia projektowe, prace kontrolne i przejściowe