płaskie przepływy potencjalne











1        
płaskie przepływy potencjalne

Płaski, ustalony i bezwirowy ruch cieczy
doskonałej możne służyć jako uproszczony model wielu
rzeczywistych przepływów, występujących np. w
aerodynamice lub ruchów atmosfery. Zaletą takiego uproszczonego
modelu jest możliwość jego opisu z wykorzystaniem funkcji
zespolonych.

1.1      
Przepływ płaski

Ruch płaski, opisywany w układzie
współrzędnych prostokątnych x, y, z, to taki ruch, w którym składowa
prędkości w kierunku osi z jest równa zeru.



Rys.1
Przykłady uproszczonych dwuwymiarowych modeli przepływów

Pozostałe parametry
przepływu, tzn. składowe prędkości  i  oraz
ciśnienie p nie zależą od współrzędnej z. Po pominięciu zewnętrznego
pola F sił masowych jednostkowych,
możemy zapisać równania rządzące ustalonym,
płaskim przepływem cieczy doskonałej w następującej
postaci:

 ,(1)

,(2)

, (3)

Warunki brzegowe dla układu równań (1)-(3)
orzekają znikanie składowej prędkości normalnej do powierzchni
ciał stałych, gdyż w przypadku płynu nielekpiego nie stawia
się warunku na składową styczną (płyn nielepki
może „ślizgać się” po powierzchni ciał
stałych).

Równanie linii prądu
można przedstawić w nieco innej postaci:

   
. (4)

Jej lewa strona stanowi
różniczkę pewnej funkcji

     , (5)

zdefiniowanej w sposób
następujący:

,           , (6)

gdyż zachodzi
równość jej drugich pochodnych mieszanych, czyli:

   
. (7)

Zależność (7) jest
spełniona zawsze na mocy równania ciągłości (1).

Funkcja  nazywana jest
funkcją prądu lub też potencjałem prądu; ma ona
stałą wartość wzdłuż każdej linii
prądu, bowiem zgodnie z (4) na każdej linii prądu .



Rys.2
Przepływ w warstwie płynu.

Istnieje związek między funkcją prądu a
wydatkiem cieczy. Można to stwierdzić obliczając wydatek cieczy,
przepływającej w warstwie o grubości jednostkowej między
dwiema liniami prądu (rys.2), na których funkcja prądu ma
odpowiednio wartości  i :

.  (8)

Wynika stąd, że różnica wartości
funkcji prądu w dwu dowolnych punktach pola prędkości jest
równa wydatkowi cieczy płynącej między dwiema liniami
prądu, przechodzącymi przez te punkty w warstwie o grubości
jednostkowej.

Jeśli założyć
że pole prędkości jest bezwirowe, to wtedy pole
prędkości jest potencjalne, tzn. że istnieje potencjał
prędkości φ:

. (9)

Z warunku bezwirowości:



i związków (7) wynika
również, że funkcja prądu jest funkcją
harmoniczną, spełnia bowiem równanie Laplace’a

.(10)

Składowe prędkości w
kierunku osi x i y można wyrazić za pomocą pochodnych potencjału
prędkości :

,   , (11)

albo też za pomocą
pochodnych funkcji prądu (6). Otrzymuje się równania

,           
, (12)

zwane w teorii funkcji zmiennej
zespolonej warunkami Cauchy’ego i Riemanna. Orzekają one o istnieniu
funkcji holomorficznej (różniczkowalnej) zmiennej zespolonej.
Funkcję tę nazywamy potencjałem zespolonym i oznaczana jest ona
zwyczajowo symbolem w(z). Jej
częścią rzeczywistą jest potencjał prędkości
, częścią urojoną – potencjał
prądu :

, (13)

gdzie z jest zmienną zespoloną

;   , (14)

reprezentującą punkt na
płaszczyźnie przepływu.

Dowolny płaski, ustalony i bezwirowy przepływ
cieczy doskonałej może więc być opisany odpowiednią
funkcją holomorficzną. Również odwrotnie, każda
funkcja holomorficzna określa pewien płaski, ustalony i bezwirowy
przepływ cieczy doskonałej.

 

Na mocy ogólnych
twierdzeń o różniczkowaniu funkcji zmiennej zespolonej
można napisać:

 .

Następnie
ze związków (6) i (11) otrzymuje się:

. (15)

Powyższą
pochodną oznacza się symbolem  i nazywa
prędkością zespoloną. Liczba zespolona sprzężona
z  jest
prędkością przepływu

. (16)

W
biegunowym układzie współrzędnych (r, θ), liczba zespolona , reprezentująca punkt na płaszczyźnie
przepływu można napisać w postaci

, (17)

a
związki między składowymi prędkościami w układzie
prostokątnym i układzie biegunowym przedstawiają się
następująco:

,   . (18)

Można
je przekształcić do zależności pomiędzy
składowymi w układzie kartezjańskim i biegunowym:

. (19)

W przypadku płaskich
ustalonych i bezwirowych (potencjalnych) przepływów cieczy
doskonałej wszelkie informacje o przepływie zapisane są w jego
potencjale zespolonym. Jego znajomość pozwala na wyznaczenie
kształtu linii prądu, a więc i drogi elementów
płynu. Po zróżniczkowaniu potencjały zespolonego
możliwe jest wyznaczenie składowych prędkości w dowolnym
punkcie, a w konsekwencji – ciśnienia, według równania
Bernoulliego.

 

 

1.2      
Przykłady płaskich
przepływów potencjalnych

Wszystkie różniczkowalne funkcje zespolone
zmiennej zespolonej opisują jakieś płaskie ustalone
przepływy potencjalne.

Poniżej wymienione zostały niektóre proste
funkcje zespolone opisujące proste przepływy potencjalne:

-  
przepływ jednorodny,

-  
naroże,

-  
źródło płaskie,

-  
wir płaski.

Potencjał
zespolony prądu jednorodnego to
funkcja liniowa zmiennej zespolonej:

,   (20)

gdzie  jest
stałą zespoloną.

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,        ,       
(21)

Z prędkości zespolonej:

         (22)

wynikają składowe wektora
prędkości:

                 (23)

Przepływ w narożu jest określany potencjałem:

,           
(24)

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,                        ,           
(25)

Z prędkości zespolonej:

,      
(26)

można wyznaczyć
składowe wektora prędkości:

,                   
(27)

Potencjał zespolony źródła jest opisany:

.          
(28)

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,     ,      
(29)

Prędkości zespolona:

           (30)

Składowe wektora
prędkości:

,          .          
(31)

Potencjał zespolony wiru płaskiego jest opisany
wzorem:

,         
(32)

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,        ,  (33)

Z prędkości zespolonej:

             (34)

Wyznacza się składowe
wektora prędkości:

,       .         
(35)

1.3      
Superpozycja przepływów

Funkcja zespolona złożona utworzona przez
sumowanie funkcji prostszych opisuje potencjalny przepływ płaski będący
superpozycją przepływów prostszych, elementarnych.

Poniżej pokazane zostały następujące
superpozycje:

-  
źródło wirowe,

-  
dipol – źródło
podwójne,

-  
owal Rankine’a,

-  
profil –
źródłowość rozłożona w sposób
ciągły,

-  
bezcyrkulacyjny opływ walca kołowego,

-  
cyrkulacyjny opływ koła.

 

Potencjał zespolony źródła wirowego jest
złożeniem dwóch przepływów, składa się z
źródła o wydatku i wiru płaskiego o cyrkulacji :

,   (36)

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,       ,    
(37)

Potencjał zespolony źródła podwójnego (dipola) składa
się z dwóch przepływów, źródła o
wydatku Q i upustu o wydatku –Q, oddalonych początkowo o
odległość , a następnie nałożonych na siebie tak,
że iloczyn  pozostał
stały ( nazywany jest momentem dipola):

,          
(38)

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,              .         
(39)

Potencjał zespolony owalu Rankine’a składa
się przepływu jednorodnego  oraz dwóch
przepływów źródłowych: dodatniego o wydatku  i upustu,
oddalonych o odległość : również o wydatku ,

,   
(40)

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,

(41)

.

Potencjał zespolony źródłowości rozłożonej w sposób
ciągły składa się z prądu jednorodnego w kierunku
osi rzeczywistej, źródła punktowego o wydatku Q (umieszczonego
w początku układu współrzędnych) oraz upustu
liniowego o wydatku -Q rozłożonego na odcinku (a,b).

.       
(42)

Opływ koła (walca
kołowego) można uzyskać jako superpozycję przepływu
jednorodnego  i dipolu:

,        
(43)

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,                        .          
(44)

 

Jednak dopiero umieszczenie dodatkowo w miejscu
położenia dipola wiru płaskiego o cyrkulacji  (tzn.
cyrkulacyjny opływ walca kołowego) powoduje powstanie nie zerowej
siły nośnej. Potencjał zespolony takiego opływu:

,             
(45)

Potencjał prędkości  i potencjał
prądu :

,                       .       (46)

Siła nośna:

.       
(47)

Superpozycja przepływu jednorodnego oraz tzw.
osobliwości, czyli źródeł i upustów dipola i wiru
płaskiego powoduje w pewnych wypadkach powstanie zamkniętej linii
prądu odzwierciedlającej opływane ciało.