Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne.
mgr Zofia Makara
17 listopada 2003 roku
1 Przypomnienie podstawowych pojęć
Definicja 1 Funkcją potęgową nazywamy funkcję opisaną wzorem postaci:
f(x) = xa,
gdzie a jest dowolną stałą.
Ciekawostka 1 A
atwo zauważyć, że:
" dziedzina funkcji potęgowej zależy od a;
" dla każdego argumentu x > 0 funkcja jest określona;
" dla każdego argumentu x > 0 funkcja jest ciągła.
Definicja 2 Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję opisaną wzorem posta-
ci:
f(x) = ax,
gdzie a > 0 jest ustaloną liczbą.
Ciekawostka 2 A
atwo zauważyć, że:
" a " (0, 1) - dana funkcja wykładnicza jest funkcją malejącą;
" a = 1 - dana funkcja wykładnicza jest funkcją stałą;
" a > 1 - dana funkcja wykładnicza jest funkcją rosnącą;
" dla każdego a > 0 i a = 1 funkcja jest różnowartościowa;

" dla każdego argumentu x funkcja jest ciągła.
Definicja 3 Funkcją logarytmiczą nazywamy funkcję opisaną wzorem po-
staci:
f(x) = loga x,
gdzie x > 0, zaś a > 0 i a = 1 jest ustaloną liczbą.

1
Ciekawostka 3 A
atwo zauważyć, że:
" funkcja logarytmiczna f(x) = loga x jest funkcją odwrotną do funkcji
wykładniczej f(x) = ax;
" a " (0, 1) - dana funkcja logarytmicza jest funkcją malejącą;
" a > 1 - dana funkcja logarytmicza jest funkcją rosnącą;
" dla każdego a > 0 i a = 1 funkcja jest różnowartościowa;

" dla każdego argumentu x > 0 funkcja jest ciągła.
1.1 Określenie potęgi
Jeżeli a " R oraz n " N *" {0} potęgę określa się wzorami:
a0 = 1;
a1 = a;
an = a � � � a;

n
Jeżeli a " R - {0} oraz n " N potęgę określa się wzorem:
1
a-n = ;
an
Jeżeli a " R+ oraz n, m " N potęgę określa się wzorem:
m 1
n n
a = am ;
gdzie
"
1
n
an = a = b �! bn = a;
1.2 Własności działań na potęgach
" ax � ay = ax+y;
ax
" ax : ay = = ax-y;
ay
" (a � b)x = ax � bx;
x
" (a : b)x = (a)x = ax � bx = (a );
b bx
" (ax)y = ax�y;
2
1.3 Określenie logarytmu
Jeśli x " R+0, zaś a1
R+ -{1} jest ustaloną liczbą, wówczas logarytm określa
się wzorem:
loga x = b �! ab = x
1.4 Własności logarytmu
Jeśli x " R+0, zaś a, b " R+ - {1} jest ustaloną liczbą, wówczas logarytm
spełnia następujące twierdzenia:
" loga(x � y) = loga x + loga y;
" loga(x) = loga x - loga y;
y
" loga(xp) = p loga x;
logb x
" loga x = ;
logb a
z czego można wyciągnąć następujące wnioski:
" loga x = - log 1 x;
a
" loga x = log 1 a;
x
i własności:
Własność 1 Jeśli x " R+, zaś a1
R+ - {1} jest ustaloną liczbą, wówczas:
loga x = loga y �! x = y;
Własność 2 Jeśli x " R+, zaś a " (0; 1) jest ustaloną liczbą, wówczas
loga x < loga y �! x > y;
Własność 3 Jeśli x " R+0, zaś a " (1; ") jest ustaloną liczbą, wówczas
loga x < loga y �! x < y;
1.5 Przykłady funkcji potęgowych
1
1.6 Wykresy funkcji wykładniczych
2
1.7 Wykresy funkcji logarytmicznych
3
1
rysunki przedstawiane w DL
2
Wykresy funkcji wykładniczych są tworzone w programie Mathematica.
3
Wykresy funkcji logarytmicznych są tworzone w programie Mathematica.
3
Rysunek 1: Wykres funkcji f(x) = x2.
Rysunek 2: Wykres funkcji f(x) = x3.
"
Rysunek 3: Wykres funkcji f(x) = x.
4
1
Rysunek 4: Wykres funkcji f(x) = .
x
1
Rysunek 5: Wykres funkcji f(x) = .
x2
Rysunek 6: Wykres funkcji f(x) = (1)x.
2
5
Rysunek 7: Wykres funkcji f(x) = 2x,.
Rysunek 8: Wykres funkcji f(x) = log 1 x.
2
6
Rysunek 9: Wykres funkcji f(x) = log2 x,.
2 Zadania
2.1 Funkcja potęgowa
Zadanie 1 Obliczyć wartości:
12�212-5�46
" ;
213
2�320-5�319
" ;
919
(3�220+14�29)�52
" ;
13�84
3�5112-10�5111
" ;
3�5110
Zadanie 2 Oblicz
" 23;
2
" 273 ;
" 2-3;
1
" 10003 ;
-3
2
" 2 � 9 ;
-1 1
" 25 � � ;
5 5
1
�2�25
3
" ;
1
53� �27
8
-1
1
3
" 0, 008 � - 4 + (12120)15;
2
7
" " "
" 6 3 2;
" "
3 3
" 6 18;
" " "
4 4 4
" 24 27 2;
2
" � (81 � a + 2 � b);
3
Zadanie 3 Przedstaw w postaci ab, gdzie a " N, b " W :
"
" 4 2;
"
1
" 2;
8
"
3
1
" 2;
8
64
" "
;
2


"
" 16 2;
Zadanie 4 Wykonaj działania:
Przykład:
x-2 � x5 x-2+5 x3
( )2 = ( )2 = ( )2 = (x3-2)2 = x1�2 = x2.
x2 x2 x2
a-2�a7
" ;
a5
a3�a-1�a�a112
" ;
a115
a5�b11 c10�b2
" � ;
c14�b7 a4�b
a321�b563 m-112�s560
" : ;
s15�m100 s5�m10
9
1
" ((a �b12)3 )3 .
m10
Zadanie 5 Wykonaj działania:
" (2a2 + 3a5 - a4 + a-2) � a-3;
" (3a-2 - 3a-3 + a-4 + ab3) � a3b2;
" (a2 + b3)(ab + a-1 - b2).
Zadanie 6 Rozwiąż równania:
-3
1
4
" x = ;
27
1
1
" x3 = ;
8
8
3
1
" (3x2 )-1 = ;
24
Zadanie 7 Rozwiąż równania i nierówności:
2
" x3 + 8 = 9x13;
1
" x2 - 5(x2 - 2)2 = -4;
" x-1 > x-2;
" (x - 1)-1 < x;
2.2 Funkcja wykładnicza
Zadanie 8 Sprawdz
, który z wykłdaników (m, czy n) jest większy:
" (2)n < (2)m;
3 3
" (3)n < (3)m;
2 2
" (1)n < (1)m;
3 3
" 3n < 3m;
Zadanie 9 Rozwiąż nierówności:
" 3x < 81;
1
" (1)x < ;
2 64
" (1)x < 27;
3
" (2x+1)2 < 32;
" 7x < 1;
Zadanie 10 Rozwiąż równania:
" 22x-3 = 4-5;
"
5
" (1)-x+1 = 125;
5
" (1)x-1 � (1)-x+3 < 273;
3 9
" 2x+2 + 2x = 10;
1
" 4 � 5x+2 + 75 � 5x = ;
5
" 13x+2 = 12x+2;
" 13x-2 = 12-x+2;
9
* 12x+2 = 32x � 2x+2;
Zadanie 11 Rozwiąż równania:
1
x2
" 2-5x+3 < 4- 2
;
1 1
" 3x + 3x +2 > 810;
2
" 3x -9x+7 > 1;
2.3 Funkcja logarytmiczna
Zadanie 12 Oblicz:
" log2 16;
"
" log2 3 2;
" log2 2;
" log2 1;

"
" log2 4 2;
" 2log2 32;
" 3log3 11;
" 42 log4 2;
" 22+3 log2 3;
" 42-log2 7;
Zadanie 13 Wyznacz a jeśli wiadomo:
" log2 a = 3;
" log 1 a = -3;
3
" log"2 a = 6;
" loga 3 = -1;

"
" loga 3 3 = 13;
Zadanie 14 Wyznacz dziedzinę funkcji:
" log2(3x - 1);
" log2(12x + 6);
10
" log2(x2 - 1);
" log3(2x - 4);
x-1
" log2(2x+4);
" log2(1 + log2(2 + log 1 ));
(x2+5x+6)
2
Zadanie 15 Rozwiąż równania:
" log2(3x - 1) + log2(3x + 1) = 1;
" log2(3x - 1) - log2(x2) = 2;
log2 x+1
" log2(log2 2x+3+log2 x-1 = 1;
Zadanie 16 Rozwiąż nierówności:
" log2[log3(x + 1)] < 1;
" logx(x2 - 3) - logx(x - 1) > 1;
11