MODELE ZMIENNEJ JAKOŚCIOWEJ
Zmienne jakościowe  zmienne, których wartości mają postać niemierzalnych  kategorii ,
np. zmienna płeć przyjmuje wartości  mężczyzna lub  kobieta .
W modelach ekonometrycznych zmienne te jakościowe najczęściej zamieniane są na
zmienne zero-jedynkowe, np. 0 dla mężczyzn oraz 1 dla kobiet.
Model zmiennej jakościowej  model ekonometryczny, w którym zmienną objaśnianą jest
zmienna jakościowa (zer-jedynkowa)
LINIOWY MODEL PRAWDOPODOBIEC
STWA (LMP)
W LMP szacowane są parametry modelu liniowego:
gdzie jest zmienną zero-jedynkową.
Powstają dwa pytania:
1/ Jak interpretujemy wartość teoretyczną modelu LMP?
Przykładowo, co oznacza że 0,7 dla zmiennej płeć?
2/ Jak interpretujemy parametry modelu LMP?
Aby odpowiedzieć na te pytania zauważmy, że:
1 1 0 0 1
Oznacza to, że wartość teoretyczna modelu LMP określa prawdopodobieństwo, że zmienna
objaśniana przyjmie wartość 1.
Tym samym parametr interpretujemy jako wzrost prawdopodobieństwa zdarzenia 1
w wyniku wzrostu o jednostkę.
str. 23
LINIOWY MODEL PRAWDOPODOBIEC
STWA, CD.
PRZYKA
AD
Oszacowano model LMP dla wiarygodności klientów banku następującej postaci:
0.66 0.005
gdzie:
- wiarygodność kredytobiorców
( 1 dla osób regularnie płacących raty oraz 0 dla pozostałych kredytoborców)
- wysokość zarobków (w tys PLN rocznie).
Zinterpretuj wartość teoretyczną dla klienta, dla którego 40 oraz 100.
Jaka jest interpretacja parametru 0.005?
0.66 0.005 40 0.86 - prawdopodobieństwo regularnej spłaty rat wynosi 86%
0.66 0.005 100 1.16 - prawdopodobieństwo regularnej spłaty rat wynosi 116%
Parametr 0.005 interpretujemy jako wzrost prawdopodobieństwa, że klient będzie
regularnie spłacał raty w wyniku wzrostu rocznych zarobków o 1 tys PLN.
WADY LMP
1/ Wartości teoretyczne modelu, interpretowane jako prawdopodobieństwo, mogą być
większe od 1 lub mniejsze od 0.
2/ Problemy z heteroskedastycznością składnika losowego:
można wykazać, że 1 , czyli zależy od wartości zmiennych objaśniających.
Wykres: Wartości teoretyczne i rzeczywiste w modelu LMP
str. 24
MODEL LOGITOWY
W modelu logitowym prawdopodobieństwo jest dane funkcją logistyczną:
, gdzie
A zatem wartości teoretyczne należą do przedziału [0,1] dla wszystkich wartości .
Warto zauważyć, że 1 , co implikuje, że ILORAZ SZANS wynosi:
1
zaś wartość tzw LOGITU jest równa:
ln
1
Interpretacja parametrów jest stosunkowo trudna.
Interpretujemy natomiast EFEKT KRAC
COWY, dany wzorem:
1
określający jak jednostkowa zmiana wpływa na prawdopodobieństwo .
Uwaga: w wydrukach komputerowych podawane są efekty krańcowe dla średniej wartości
w próbie, liczone wg wzoru: 1
MODEL PROBITOWY
W modelu probitowym prawdopodobieństwo jest dane zależnością:
Ś ,
gdzie zaś Ś jest dystrybuantą rozkładu normalnego.
Tak jak w modelu logitowym wartości teoretyczne należą do przedziału [0,1] dla wszystkich
wartości .
Model probitowy jest stosowany substytucyjnie z modelem logitowym, gdyż teoretyczne
wartości prawdopodobieństwa oraz dopasowanie modelu do danych jest zbliżone. W
przypadku oszacowań parametrów, zachodzi zależność:
1,7
str. 25
MIARY DOPASOWANIA W MODELU LOGITOWYM/PROBITOWYM
W modelu logitowym nie mo\
na stosować zwykłego współczynnika determinacji ze
względu na nieliniowość.
Stosuje się tzw. określany tak\
e jako :
ln
1
ln
gdzie jest wartością funkcji wiarygodności dla modelu pełnego, natomiast dla
modelu zredukowanego do wyrazu wolnego.
TABLICA TRAFNOŚCI
Drugą miarą dopasowania jest tzw. tablica trafności. W celu skonstuowania tablicy trafności
liczymy teoretyczne wartości dla , czyli prawdopodobieństwa oraz wypełniamy tabelę:
Model
Dane 1 0
1
0
Powstaje jednak pytanie, kiedy przyjąć, \
e model wskazuje na 1? Istnieją dwie
dominujące metody.
1/ zasada standardowa: 1 gdy 0,5
2/ metoda optymalnej wartości granicznej (metoda Cramera): 1 gdy .
str. 26
EKONOMETRIA SZEREGÓW CZASOWYCH
Proces stochastyczny  zbiór zmiennych losowych { uporządkowany zgodnie z indeksem
czasu .
Szereg czasowy  pojedyncza realizacja procesu stochastycznego w próbie, dla 1,2, & ,
Przykład:
Temperatura notowana 22 listopada o godzinie 10:00 przed wejściem do SGH
Proces stochastyczny: 5,4 dla każdego
Szereg czasowy: 6,7; 1,2; 3,7; 12,3
Przykłady procesów stochastycznych
(Gaussowski) proces białego szumu
,
gdzie 0, oraz , 0 dla 0
Proces błądzenia losowego
Proces autoregresyjny rzędu - AR( )
,
Proces średniej ruchomej rzędu  MA( )
Autoregresyjny proces średniej ruchomej  ARMA( , )
,
str. 28
STACJONARNOŚĆ
Proces ściśle stacjonarny:
proces stochastyczny, którego wszystkie własności statystyczne nie zmieniają się w czasie
Proces słabo stacjonarny:
proces stochastyczny, dla którego wartość oczekiwana, wariancja oraz autokowariancja nie
zmieniają się w czasie, tj.:
dla 1,2, & ,
dla 1,2, & ,
, dla 1,2, & ,
Stacjonarność procesu AR(1)
| |
Proces jest stacjonarny wtedy i tylko wtedy gdy 1.
W pozostałych przypadkach proces jest niestacjonarny.
Wynika to z faktu, że proces stacjonarny musi powracać do swojej średniej wartości .
Oznacza to, że wpływ szoku powinien wygasać w czasie, tj. lim 0.
W przypadku procesu AR(1) zachodzi natomiast zależność
str. 29
Test Dickeya-Fullera (DF)
Aby zweryfikować hipotezę, że proces jest niestacjonarny, można zastosować m.in. test DF. W
wersji podstawowej, proces AR(1) jest przekształcany do postaci:
"
[Warto zauważyć, że zaś ]. Następnie weryfikowany jest zespół hipotez:
: 0 ść
: 0 ść
Do weryfikacji powyższych hipotez wykorzystywana jest statystyka Dickeya-Fullera postaci:
,
która ma rozkład Dickeya Fullera, który został stablicowany w tzw. tablicach McKinnona.
Wnioskowanie jest następujące:
odrzucamy , czyli jest stacjonarny (zapisujemy to jako 0 )
nie ma podstaw do odrzucenia , czyli jest niestacjonarny
Wersje testu Dickeya-Fullera
wersja bez stałej i bez trendu
Równanie testowe: "
wersja ze stałej i bez trendu
Równanie testowe: "
wersja ze stałej i trendem
Równanie testowe: "
Stopień zintegrowania szeregu czasowego
Jeżeli w teście DF nie odrzuciliśmy , to należy znaczy, że proces jest niestacjonarny. W
takim przypadku możemy testować stopień zintegrowania szeregu . W tym celu liczymy
przyrost " i za pomocą testu DF sprawdzamy, czy ten szereg jest stacjonarny. Jeżeli tak, to
mówimy, że jest niestacjonarny, zintegrowany w stopniu 1 i zapisujemy jako 1 . W
przeciwnym przypadku liczymy kolejny przyrost " i stosujemy test DF, itd.
str. 30