FALE MATERII
Omawiane na poprzednich wykładach doświadczenia były interpreto-
wane raz w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu
o model czÄ…steczkowy (np. efekt Comptona).
Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może mate-
ria też ma taką dwoistą naturę. Taką sugestię zaprezentował w 1924
L. de Broglie min. w oparciu obserwację, że Wszechświat składa się wy-
łącznie ze światła i materii oraz że pod wieloma względami przyroda jest
zadziwiająco symetryczna. Chociaż materię traktowano jako cząstki de
Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również
własności falowych.
De Broglie nie tylko zaproponował istnienie fal materii ale również
przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii
jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła.
AnalizujÄ…c zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastoso-
wano do tego zderzenia zasadę zachowania pędu. Do tych obliczeń po-
trzebne było wyrażenie na pęd fotonu.
E hv hc  h
p = mc = = = = (34.1)
f
c c c 
3501
Analogiczne wyrażenie zostało zaproponowane przez de Broglia dla fal
materii
h
 = (34.2)
p
Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywa-
nych fal materii.
Przykład 1
Jaką długość fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów  masywnych
np. dla piłki, o masie 1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaką dla
 lekkich np. elektronów przyspieszonych napięciem 100 V?
Dla piÅ‚ki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
Stąd długość fali de Broglie a
h 6.6 Å"10-34 Js
 = = = 6.6 Å"10-35 m
p 10kgm/s
Ta wielkość jest praktycznie równa zeru zwłaszcza w porównaniu z roz-
miarami obiektu. Doświadczenia prowadzone na takim obiekcie nie po-
zwalają więc na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe (
zbyt mała). Przypomnijmy, że falowy charakter światła przejawia się gdy
wymiary liniowe obiektów są porównywalne z długością fali.
3502
Przykład 2
Jaką długość fali posiadają cz.  lekkie np. elektrony przyspieszone napię-
ciem 100 V?
Eektrony przyspieszone napięciem 100 V uzyskują energię kinetyczną
Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17 J
Zatem prędkość jaką uzyskują elektrony wynosi
2Ek 2 Å"1.6 Å"10-17 J
v = = = 5.9 Å"106 m s
m 9.1Å"10-31kg
Długość fali de Broglie a wynosi
h h 6.6 Å"10-34 Js
 = = = = 1.2 Å"10-10 m = 0.12 nm
p mv 9.1Å"10-31Å"5.9 *106 kgm s
Jest to wielkość rzędu odległości między atomowych w ciałach stałych.
Można więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena)
skierowując wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii, na kryształ. Takie
doświadczenie przeprowadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA
oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku przedstawiono schemat aparatury
pomiarowej.
3503
włókno
wiÄ…zka detektor
padajÄ…ca
Õ
wiÄ…zka
kryształ
odbita
Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są regulowa-
nym napięciem. Wiązka zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor
jest ustawiony pod pewnym szczególnym kÄ…tem Õ. Natężenie wiÄ…zki ugiÄ™-
tej na krysztale jest odczytywane przy różnych napięciach przyspieszają-
cych. Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne
przy kÄ…cie równym 50° dla U = 54 V.
Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga możemy obliczymy wartość , dla któ-
rej obserwujemy maksimum w tych warunkach
 = 2d sin¸
3504
Dla niklu
d =
0.091 nm.
Ć
A
B
Ń
d
Ń
D
Ń
C
Ponieważ Õ = 50° wiÄ™c ¸ = 90° - Õ/2 = 65° (rysunek).
Długość fali obliczona w oparciu o te dane wynosi:
 = 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm
Teraz w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV) obliczymy długość
fali de Broglie a analogicznie jak w przykładzie 1
3505
.
.
h
 = = 0.165nm
p
Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych oko-
licznościach elektrony wykazują naturę falową.
Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane jak i nienaładowane,
wykazują cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest po-
wszechnie stosowaną techniką eksperymentalną używaną do badania
struktury ciał stałych.
Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, musimy przyjąć istnienie
dwoistego ich charakteru.
31.1 Struktura atomu i fale stojÄ…ce
Jeżeli na ruch fali nie ma żadnych ograniczeń to fala może mieć do-
wolną długość. Inaczej sytuacja przedstawia się gdy ruch fal zostanie
ograniczony przez nałożenie pewnych warunków fizycznych. Np. dla fal w
strunie odpowiada to wyodrębnieniu odcinka struny zamocowanego na
obu końcach (np. struna w skrzypcach).
Występują wtedy dwie ważne różnice:
" ruch jest teraz opisywany przez falę stojącą (a nie bieżącą),
3506
" mogą występować tylko pewne długości fal tzn. mamy do czynienia z
kwantyzacją długości fali wynikającą z ograniczeń nałożonych na falę
(rysunek poniżej).
Na rysunku widać trzy pierwsze stany kwantowe dla drgającej struny.
n = 1
l
0
n = 2
l
0
n = 3
l
0
Jeżeli więc ruch elektronów jest ograniczony w atomach to możemy się
spodziewać przez analogię, że:
" ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii,
" ruch ten zostaje skwantowany.
Rysunek poniżej przedstawia stojącą falę materii związaną z orbitą o pro-
mieniu r. Długość fali de Broglie a została dobrana tak, aby orbita o pro-
mieniu r zawierała całkowitą liczbę n fal materii.
3507
r
Wtedy otrzymujemy
2Ä„ r = n 
czyli
h
2Ä„ r = n
p
Prowadzi to natychmiast do
h
L = pr = n n=1,2,3,....
2Ä„
3508
Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencją przyjęcia, że elektron
jest reprezentowany przez odpowiedniÄ… falÄ™ materii i zastosowania odpo-
wiednich warunków brzegowych.
3509