Centr um Naucza ni a Center of Mathemati cs and Physi cs
Matematyki i Fi z yki Technica l Univer si ty of A
ó dz

Politechnika A
ódzka
Al. Politechniki 11 tel./fax: [phone]
90-924 A
ódz
e-mail: [e-mail]
Poland NIP PL 7270021895
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała dielektryczna różnych materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
Zakres materiału, który powinien zrozumieć i zastosować student: pierwsze i trzecie równanie
Maxwella, , pojemność kondensatora płaskiego próżniowego i z dielektrykiem, ładunek
rzeczywisty, ładunek swobodny, polaryzacja dielektryczna, stała dielektryczna bezwzględna i
względna
Cel ćwiczenia
Wyznaczenie stałej dielektrycznej powietrza (próżni) i materiałów takich jak PCV, szkło
organiczne (pleksi) i szkło mineralne (zwykłe szkło).
Wprowadzenie teoretyczne
1. Stacjonarne pole elektryczne
Wielkości opisujące pole elektryczne:
®ð ®ð
- wektor natężenia pola elektrycznego; - wektor indukcji elektrostatycznej,
E D
®ð
- wektor polaryzacji.
P
Polem elektrycznym nazywamy obszar, w którym na ładunki elektryczne działają siły.
Elektrostatyka zajmuje się warunkami równowagi ciał naładowanych  jej przedmiotem są
więc tylko oddziaływania stacjonarne lub wolno zmienne.
Natężenie pola elektrostatycznego (
E) definiujemy następująco:
E =ð F q, [ðN C]ð =ð[ðV m]ð (P.1.)
(
F - siła pola elektrostatycznego działająca na ładunek próbny q).
Prawo Coulomba, stosuje się dla ładunków punktowych. i dla małych obszarów naładowanych
będących z
ródłem pola, można zapisać w następujący sposób:
F =ð[ðQq (ð4pðeðeð0r2)ð]ð(ðr r)ð ,
gdzie: Q  ładunek wytwarzający pole działające siłą
F na Å‚adunek q ; zaÅ› r - jest wektorem
łączącym środki obu ładunków, o zwrocie od ładunku Q do ładunku q. Dla innych przypadków
prawo Coulomba nie może być stosowane.
Na kształt pola elektrycznego wpływa wielkość ładunku elektrycznego i jego rozłożenie, czyli
gęstość ładunku (objętościowa, powierzchniowa, liniowa).
®ð
2. Wektor indukcji elektrostatycznej , definiujemy następująco:
D
=ð 1 (ðmð0c2)ð =ð 8.854 ×ð10-ð12 F m
- w próżni D E =ðeð0 = staÅ‚a dielektryczna próżni ,
CMF 2006-03-02 1 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
D E =ðeðeð0 b
- dla dowolnego oÅ›rodka =eð = bezwzglÄ™dna przenikalność dielektryczna
ośrodka.
eð =ð eðb eð
WzglÄ™dnÄ… przenikalność dielektrycznÄ… oÅ›rodka µ, definiujemy nastÄ™pujÄ…co:
0
®ð ®ð ®ð
Zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem wektora . Linie wektora indukcji nazywamy
D D
E
liniami sił pola elektrycznego.
Przyjmujemy, że liczba linii sił pola elektrycznego przechodząca przez jednostkę powierzchni
(S) ustawionej prostopadle do linii sił jest równa D.
Kolejną wielkością opisującą pole elektryczne jest strumień pola elektrycznego:
Fð =ð D ×ð dS cosað
, (P.2.)
òð
®ð ®ð
gdzie kÄ…t að = kÄ…t kÄ…t zawarty pomiÄ™dzy liniami siÅ‚ a normalnÄ… do elementu powierzchni
(D,n)
dS.
3. Wektor polaryzacji
P
Do wnętrza przewodnika nie wnika pole elektrostatyczne. zaś do wnętrza dielektryka może
wnikać pole elektryczne. Dipolem elektrycznym, nazywamy układ dwu różnoimiennych
jednakowych ładunków: +q i -q rozsuniętych na odległość l.
-q
+q
rð
l
Moment elektryczny (dipolowy) p takiego ukÅ‚adu obliczamy ze wzoru: pe =ðq×ðl .
e
W naszym przypadku, to jest umieszczenia dielektryka w zewnętrznym polu elektrycznym,
zarówno q jak i l są funkcjami pola elektrycznego
E .
Ogólnie dielektryki dzielimy na: polarne , to jest takie w których cząstki lub atomy dielektryka
posiadają trwałe momenty dipolowe bez pola elektrycznego, a zewnętrzne pole modyfikuje
tylko wielkość momentu dipolowego jako wielkości wektorowej i niepolarne, których atomy i
cząstki bez zewnętrznego pola elektrycznego nie posiadają trwałego momentu dipolowego i
dopiero umieszczenie w zewnętrznym polu elektrycznym powoduje rozsunięcie ładunków w
wyniku polaryzacji deformacji.
E E0 =ð eð =ð U U0
Dla kondensatora płaskiego spełnione jest, że:
gdzie: E , E -- pole jednorodne wewnątrz płaskiego kondensatora próżniowego i kondensatora
0
wypełnionego dielektrykiem, U , U  różnica potencjałów między okładkami kondensatora bez
o
dielektryka i z dielektrykiem.
Wektor polaryzacji (
P), jest równy liczbowo gęstości ładunku zaindukowanego q powstałego
w wyniku procesów polaryzacji w dielektryku umieszczonym w zewnętrznym polu
elektrycznym.
CMF 2006 2 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
®ð ®ð
D =ð q S P =ð q' S
oraz zachodzi: (P.5.)
E×ð d S =ð(1 eð0 (q -ð q')
òð
E =ð (q -ð q') /(Seð0 )
gdyż: (E - natężenie pola w obecności dielektryka).
Można podać, że wzajemne relacje między wektorami pola elektrycznego są następujące::
®ð ®ð ®ð
, (P.6.)
D =ð eð0 ×ð E+ð P
®ð ®ð ®ð ®ð ®ð ®ð ®ð
skÄ…d oraz (P.7.)
P =ð D-ð eðo E P =ð eð ×ð eð0 E-ð eð0 E =ð eð0(eð -ð1) E
BadajÄ…c kondensator pÅ‚aski można wiÄ™c wyznaczyć wielkość eð i eð ×ðeð =ðeð z zależnoÅ›ci miÄ™dzy
0 0 r
pojemnością kondensatora - C, wielkością ładunku na okładkach kondensatora - Q oraz
znanej różnicy potencjałów między okładkami kondensatora bez dielektryka - U
0
i z dielektrykiem - U (ogólnie mówiąc z wielkości - U ).
c
Szersze informacje na temat wykorzystania równań Maxwella do obliczania stałej
dielektrycznej podano w Załączniku 1.
Opis układu pomiarowego
Kondensatory, pomiarowy CP , i
pomocniczy C=220 nF, są połączone ze
sobą szeregowo, tak więc ładunki Q
10 M©
zgromadzone na ich okładkach są sobie
UC
równe.
Cp
V
Zwieranie okładek
kondensatora pomiarowego
U
0 & 4 kV
C=220 nF
Wzmacniacz
Rys. 1: Schemat połączeń elektrycznych. (A
adunek Q kondensatora
pomiarowego jest taki sam jak Å‚adunek na kondensatorze pomocniczym 220 nF,
ponieważ oba kondensatory są połączone ze sobą szeregowo).
Schemat połączeń układu pomiarowego pokazany jest na rys. 1, a zestaw doświadczalny na rys.
2.. Płyta kondensatora, która jest dobrze izolowana od otoczenia, jest podłączona do górnego
wtyku zasilacza wysokonapiÄ™ciowego przez opornik zabezpieczajÄ…cy 10 MWð. Åšrodkowe
gniazdo wtykowe zasilacza wysokiego napięcia oraz przeciwna okładka kondensatora
pomiarowego są uziemione przez kondensator pomocniczy o pojemności 220 nF (oznaczenie nr.
9 na rys. 2). Dokładny pomiar napięcia początkowego jest zapewniony przez odpowiednią
nastawę przełącznika na zasilaczu (oznaczenie 1 na rys. nr. 2). A
adunek elektrostatyczny na
kondensatorze płaskim jest mierzony pośrednio za pomocą pomiaru napięcia na kondensatorze
CMF 2006 3 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
pomocniczym 220 nF (nr. 9 rys. 2), zgodnie z równaniem (4). Wzmacniacz pomiarowy (nr. 5
rys. 2)jest nastawiony na wysokÄ… rezystancjÄ™ wejÅ›ciowÄ… wiÄ™cej niż 1013 Wð oraz na
współczynnik wzmocnienia 100 i na stałą czasową 0.
3
1 2
4
1,5 kV
5
Amplifier (Wzmacniacz)
6
220
8
nF
9
Rys. 2: Układ pomiarowy, do pomiaru stałej dielektrycznej
różnych materiałów.
7
1  zasilacz wysokiego napięcia 0-10 kV; 2  kabel z opornikiem
zabezpieczajÄ…cym 10 M©; 3  okÅ‚adki kondensatora pomiarowego;
4  śruba mikrometryczna; 5  uniwersalny wzmacniacz
pomiarowy; 6  przycisk rozładowania kondensatora pomiarowego;
Voltomierz
7  woltomierz; 8  badana płytka dielektryka; 9 - kondensator 220
nF
Metoda pomiaru.
Cel ćwiczenia - zadania do wykonania
1. A
adunek, Q, płaskiego kondensatora mierzymy jako funkcję odwrotności odległości, d,
pomiędzy okładkami kondensatora, przy stałym napięciu
(U = U ).
c 0
2. Zależność pomiędzy ładunkiem Q a napięciem U = U mierzymy z użyciem pomiarowego
0 c
kondensatora płaskiego (wypełnionego powietrzem, które jest tu prawie  :próżnią 
vacuum) przy ustalonej odległości między płytkami - d .
3. StaÅ‚Ä… dielektrycznÄ… eð obliczamy z wykorzystaniem zależnoÅ›ci pomierzonej w punkcie 2.
0
4. BezwzglÄ™dne staÅ‚e dielektryczne staÅ‚e dielektryczne eð odpowiadajÄ…ce badanym materiaÅ‚om
r
wyznaczamy z zależności między ładunkiem - Q kondensatora płaskiego a napięciem U =
U między którego okładkami wstawiono badane materiały (PCW, szkło organiczne (pleksi),
c
CMF 2006 4 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
oraz szkło mineralne). Odpowiadające badanym materiałom względne stałe dielektryczne
wyznaczamy wykorzystujÄ…c wyznaczonÄ… zgodnie z punktem 3 wartoÅ›ciÄ… eð (.eð =ð eð eð0 ).
0 r
Uzyskane punkty pomiarowe przedstawiamy na wykresach o osiach wyskalowanych w taki
sposób aby wartości pomierzone układały się na liniach prostych.
Do określania liniowości uzyskanych zależności wykorzystujemy współczynnik korelacji dla
regresji liniowej (patrz w matematyce metoda najmniejszych kwadratów, lub metoda
simpleksów).
W pierwszej części ćwiczenia, wykonujemy pomiar bezwzględnej stałej dielektrycznej dla
 próżni eð :
0
a). W pierwszej serii pomiarów zmienia się odległość d pomiędzy okładkami (próżnego)
kondensatora płaskiego, przy ustalonym stałym napięciu U (przy napięciu 1,5 kV). Pomiar
C
ładunku Q na okładkach kondensatora pomiarowego, dla każdej pomierzonej wartości d,
dokonujemy w sposób pośredni wykorzystując zależność:
Q = U ·C ,
gdzie: U napięcie na kondensatorze pomocniczym - C = 220 nF.
Zalecany zakres zmienności d  od 3,5 mm do 1 mm z krokiem 0,5 mm. Pomiar należy
rozpocząć od największej wartości d .
Mając takie wyniki pomiarów, można z nachylenia prostej na wykresie Q=f(1/d), uzyskać
wartość staÅ‚ej dielektrycznej dla próżni, µ . Równanie otrzymanej prostej jest nastÄ™pujÄ…ce:
0
Q =ð (CU =ð eð0(ðS d)ð ×ðUC ) =ð eð0SUC ×ð(ð1 d)ð
.
Ponieważ kondensator pomiarowy i kondensator pomocniczy połączone są w szereg wobec tego
ładunki na ich okładkach muszą być sobie równe, a co za tym idzie Q jest takie samo na
kondensatorze pomiarowym i na kondensatorze pomocniczym.
b). W drugiej serii pomiarów, dla ustalonej wartości odstępu między okładkami kondensatora,
d=0,2 cm badana jest zależność pomiędzy ładunkiem Q a napięciem U odłożonym między
C
okładkami kondensatora pomiarowego. Z nachylenia prostej Q=f(U ) można uzyskać wartość
C
staÅ‚ej dielektrycznej µ .
0
W następnych częściach ćwiczenia, wykonujemy pomiar bezwzględnej stałej
dielektrycznej dla różnych dielektryków eð :
r
a). Badamy zależność indukowanego ładunku elektrostatycznego, Q, w funkcji napięcia U ,
C
dla płytki z tworzywa sztucznego  PCV oraz dla szkła organicznego (pleksi), obecnej w
przestrzeni między okładkami, przy zachowaniu stałego, nie zmienianego w trakcie pomiaru,
odstępu d, pomiędzy okładkami kondensatora
Q =ð eð ×ðeð ×ð(ðS d)ð ×ðUC =ð C ×ðU
0
(UWAGA!: po włożeniu płytki unikać szczeliny powietrznej wewnątrz kondensatora! ) .
b). Stała dielektryczna płytki ze szkła mineralnego (zwykłego) jest określana w ten sam sposób
jak dla PCV lub pleksi, z tym, że pomiar prowadzimy tylko dla jednego punktu, U = 0,3 V.
C
Uzyskane wartości bezwzględnej stałej dielektrycznej pozwolają na wyznaczenie względnej
staÅ‚ej dielektrycznej eð, gdyż bezwzglÄ™dna staÅ‚a dielektryczna jest okreÅ›lona wzorem:
eðr =ð eð ×ðeð0
.
Instrukcja postępowania dla studenta
1) Na początek, określamy powierzchnię, S, okładek kondensatora i w tym celu mierzymy
2
promień okładek ( ).
S =ð pð ×ð r
CMF 2006 5 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
2) Ćwiczenie przeprowadzamy w czterech częściach(chyba, że prowadzący ćwiczenie
zdecyduje inaczej) :
I. Pomiary bezwzglÄ™dnej staÅ‚ej dielektrycznej dla próżni eð (pomiar prowadzimy w
0
powietrzu ponieważ jego własności dielektryczne podobne są do własności dielektrycznych
próżni) :
WÅ‚Ä…czamy wzmacniacz i ustawiamy go na rezystancjÄ™ wejÅ›ciowÄ… e" 1013 ©, na współczynnik
wzmocnienia 100 i na stałą czasową 0.
Przed rozpoczęciem pomiaru ustalamy odległość między okładkami kondensatora na 3,5 mm
oraz uziemiamy płyty kondensatora przyciskiem (nr 6 rys. 2) rozładowania kondensatora
pomiarowego we wzmacniaczu.
UWAGA: Proszę starać się nie zbliżać się do kondensatora podczas pomiarów, bowiem może to
zniekształcić pole elektrostatyczne kondensatora.
Po wyzerowaniu płyt, włączamy zasilacz i podajemy napięcie 1,5 kV, jako ustalone napięcie U
C
na kondensator pomiarowy.
Pomiar rozpoczynamy od d=0,35 cm, idąc krokiem co -0,05 cm do wartości 0,10 cm, i
mierzymy kolejne ustalone wartości U. Wyniki zapisujemy w tabeli 1:
Tabela 1:
S = m2 U = 1,5 kV C = 220 nF
C
U, [V]
d, [cm] 0,35 0,10
1/d, [cm-1 ]
Q =CU, [nAs]
Wyniki opracowujemy zgodnie z objaśnieniami na rys. a.
Po zakończeniu pierwszej serii pomiarów wyłączamy zasilacz. Ustalamy odległość między
okładkami kondensatora na 0,20 cm (= 2,0 mm) i ponownie uziemiamy płyty kondensatora
przyciskiem (nr 6 rys. 1) rozładowania kondensatora pomiarowego we wzmacniaczu.
Włączamy zasilacz, poczynając od wartości 0,5 kV idąc krokiem 0,5 kV aż do wartości 4,0 kV
mierzymy kolejne ustalone wartości U. Wyniki zapisujemy w tabeli 2
Tabela 2
S = m2 d = 0,2 cm C = 220 nF
U , [kV] 0,5 4,0
C
U, [V]
Q =CU,
[nAs]
Wyniki opracowujemy zgodnie z rys b.
II Pomiary bezwzglÄ™dnej staÅ‚ej dielektrycznej dla tworzywa sztucznego - PCV -- eð :
r p
Po zakończeniu pierwszej części ćwiczenia zasilacz ustawiamy na 0 kV i wyłączamy. Ponownie
uziemiamy płyty kondensatora przyciskiem (nr 6 rys. 2) rozładowania kondensatora
pomiarowego we wzmacniaczu. Pomiędzy okładki kondensatora wstawiamy płytę z tworzywa
CMF 2006 6 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
sztucznego - PCV i lekko dociskamy śrubą mikrometryczną, tak aby utrzymywała się ona
pomiędzy okładkami kondensatora. Ponownie wyzerowujemy kondensator pomiarowy.
Włączamy zasilacz i poczynając od wartości 0,5 kV idąc krokiem 0,5 kV, aż do wartości
4,0 kV, mierzymy kolejne ustalone wartości U. Wyniki zapisujemy w tabeli 3
Tworzywo sztuczne (PCV):
Tabela 3
S = 0,0531 m2 d = cm C = 220 nF
U , [kV] 0,5 4,0
C
U, [V]
Q =CU,
[nAs]
III. Pomiary bezwzglÄ™dnej staÅ‚ej dielektrycznej dla szkÅ‚a organicznego - pleksi -- eð :
r g
Po zakończeniu drugiej części ćwiczenia zasilacz ustawiamy na 0 kV i wyłączamy. Ponownie
uziemiamy płyty kondensatora przyciskiem (nr 6 rys. 2) rozładowania kondensatora
pomiarowego we wzmacniaczu. Pomiędzy okładki kondensatora wstawiamy płytę ze szkła
organicznego - pleksi i lekko dociskamy śrubą mikrometryczną aby utrzymywała się pomiędzy
okładkami kondensatora. Ponownie wyzerowujemy kondensator pomiarowy.
Włączamy zasilacz i poczynając od wartości 0,5 kV idąc krokiem 0,5 kV, aż do wartości
4,0 kV, mierzymy kolejne ustalone wartości U. Wyniki zapisujemy w tabeli 4.
Tabela 4.
izolator szkło organiczne - pleksi:
S = 0,0531 m2 d = cm C = 220 nF
U , [kV] 0,5 4,0
C
U, [V]
Q =CU,
[nAs]
IV. Pomiar bezwzglÄ™dnej staÅ‚ej dielektrycznej dla szkÅ‚a mineralnego - szkÅ‚a zwykÅ‚ego-- eð
r
:
g
Pomiar wykonujemy dla jednej wartoÅ›ci napiÄ™cia Uc = 0,3 kV i dla niej obliczamy wartość eð i
r
jej błąd.
Opracowanie wyników i sposób ich prezentacji
W pierwszej części, pomiar bezwzglÄ™dnej staÅ‚ej dielektrycznej dla  próżni eð :
0
a). W pierwszej serii pomiarów pierwszej części ćwiczenia zmieniamy odległość d pomiędzy
okładkami (pustego) kondensatora płaskiego, przy ustalonym stałym napięciu U , pozwala to
C
na pomiar ładunku Q na okładkach kondensatora z zależności:
Q = U ·C ,
gdzie: U napięcie na kondensatorze pomocniczym: C = 220 nF.
Wyniki przedstawiamy tak jak na rys. a.
CMF 2006 7 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
Q w nAs
Rys. a: A
adunek elektrostatyczny Q kondensatora
600
płaskiego w funkcji odwrotności odległości
pomiędzy płytkami kondensatora d-1
(UC ustalone, UC = 1,5 kV).
400
Ze współczynnika nachylenia prostej liczymy
bezwzględną stałą dielektryczną. Zakłada się, że
200
prosta przechodzi przez środek układu.
0
1/d w cm-1
0 2 4 6 8 10
rys. b). W serii drugiej pomiarów pierwszej części ćwiczenia wykonujemy sprawdzenie
zależności pomiędzy ładunkiem, Q, a różnicą potencjałów, U , jaka się pojawia między
C
okładkami kondensatora. Wyniki przedstawiamy tak jak na rys. b.
Rys. b: A
adunek elektrostatyczny Q kondensatora płaskiego
Q w nAs
w funkcji przyłożonego napięcia UC
800
(d ustalone, d = 0,2. cm).
Ze współczynnika nachylenia prostej liczymy bezwzględną
600
stałą dielektryczną, należy również obliczyć błąd wyznaczenia
współczynnika nachylenia prostej (stosując metodę
400
najmniejszych kwadratów dla regresji liniowej)
200
Zakłada się, że prosta przechodzi przez środek układu.
0
UC w kV
4
0 1 2 3
Zakładamy, że prosta aproksymująca przechodzi przez środek układu.
Ze współczynnika nachylenia prostej liczymy średnią wartość bezwzględnej stałej
eð0
dielektrycznej
Obliczamy błąd wyznaczenia współczynnika nachylenia prostej (stosując metodę najmniejszych
kwadratów) i posÅ‚ugujÄ…c siÄ™ nim obliczamy bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny Dðeð uzyskanej staÅ‚ej
0
dielektrycznej (przykład obliczeń podano w Załączniku 1).
Obliczenie bezwzględnej stałej dielektrycznej (z izolatorem - PCV, w trzeciej części
ćwiczenia).
Wyniki przedstawiamy, tak jak na rys b), w układzie osi: U i Q; z nachylenia prostej
C
eðr
obliczamy średnią wartość bezwzględnej stałej dielektrycznej .
Należy założyć, że prosta aproksymująca przechodzi przez środek układu.
Obliczamy błąd wyznaczenia współczynnika nachylenia prostej (stosując metodę najmniejszych
kwadratów dla regresji liniowej) i posÅ‚ugujÄ…c siÄ™ nim obliczamy bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny Dðeð
r
uzyskanej stałej dielektrycznej. (Przykład obliczeń podany jest w Załączniku 1)
CMF 2006 8 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
Obliczenie bezwzględnej stałej dielektrycznej (dla szkła organicznego (pleksi).
Wyniki przedstawiamy, tak jak na rys b), w układzie osi: U i Q; z nachylenia prostej
C
obliczamy bezwzględną stałą dielektryczną.
Obliczenie bezwzględnej stałej dielektrycznej dla szkła mineralnego (zwykłego).
Pomiar wykonujemy dla jednej wartoÅ›ci napiÄ™cia Uc = 0,3 kV i dla niej obliczamy wartość eð i
r
jej błąd.
Obliczenie wzglÄ™dnej staÅ‚ej dielektrycznej eð dla badanych dielektryków:
Względną stałą dielektryczną dla badanych materiałów obliczamy ze wzoru:
eð =ð eð / eð
,
r 0
gdzie eð jest bezwzglÄ™dnÄ… staÅ‚Ä… dielektrycznÄ… dla próżni obliczonÄ… z rys. b w pierwszej części
0
ćwiczenia, zaÅ› eð jest bezwzglÄ™dnÄ… staÅ‚Ä… dielektrycznÄ… obliczonÄ… z nachylenia prostej na rys. b w
drugiej części doświadczenia (dla badanego materiału).
Otrzymane wartości stałych dielektrycznych przedstawiamy w postaci:
eð0 =ð eð0 Ä…ð Dðeð0
, ;
eðr =ð eðr Ä…ð Dðeðr
;
gdzie: Dðeð jest bÅ‚Ä™dem bezwzglÄ™dnym uzyskanej wartoÅ›ci.
Literatura:
1. Sawieliew I.W.:  Wykłady z fizyki . Tom II, PWN, 1994r.
2. Massalski J.:  Fizyka dla inżynierów . Tom I, WN-T, 1975;.
3. Kania S.:  Skrypt do wykładu z fizyki cz. 1. CMF PA
, A
ódz
2005r
CMF 2006 9 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
ZAA

CZNIK 1
Wykorzystanie równań Maxwella do opracowania wyników
doświadczalnych.
I prawo Maxwella - prawo Gaussa dla pola elektrycznego.
®ð ®ð ®ð ®ð
oznacza, że strumieÅ„ pola elektrycznego (FðE =ð d S ) przez
E d S =ð Q (ðeðeð0 )ð
òð òðE
dowolną zamkniętą powierzchnię S, jest równy sumarycznemu ładunkowi elektrycznemu Q
zawartemu wewnątrz tej powierzchni podzielonemu przez bezwzględną przenikalność
dielektrycznÄ… oÅ›rodka eð = eð eð . (Symbol - oznacza caÅ‚kÄ™ powierzchniowÄ…
Bezwzględna 0 Względna
òð
liczoną po powierzchni zamkniętej,
E - oznacza wektor pola elektrycznego).
Z prawa Gaussa wynika, że linie sił pola elektrycznego mają co najmniej swój początek lub
koniec, tzn. wychodzą z ładunków dodatnich, lub kończą się na ładunkach ujemnych.
rð
r
L  krzywa
całkowania
Rys. 3: Pole elektryczne kondensatora płaskiego w przypadku małej odległości
pomiędzy okładkami kondensatora, w porównaniu do średnicy okładek. Linie
przerywane wskazują objętość po której wykonywane jest całkowanie.
III prawo Maxwella ma następującą postać:
dFðB
d
(1)
E dl =ð -ð =ð -ð B) dS
òð òð
L(S ) S (L
dt dt
gdzie: L(S)  zamknięta krzywa całkowania będąca brzegiem powierzchni S(L) przez którą
Fð
przepływa strumień wektora
B B.
CMF 2006 10 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
Å›ðB
W naszym przypadku pole wektora =ð 0
co prowadzi do
Bjest zerowe (tzn. B=ð0), a wiÄ™c
Å›ðt
III prawa Maxwella w postaci: (2)
òðE dl =ð0 ,
L
Jeżeli napięcie U zostanie przyłożone pomiędzy dwoma okładkami kondensatora, to
C
pole elektryczne
E będzie zawarte głównie pomiędzy okładkami kondensatora, a napięcie da
się wyrazić jako:
2
UC =ð E dr ,
òð
1
(porównaj z rysunkiem 3). A
adunki elektrostatyczne o przeciwnym znaku zależnie od pola
elektrycznego są przesuwane w kierunku powierzchni okładek kondensatora. Ponieważ z
ródła
napięciowe nie wytwarzają ładunków, a jedynie dokonują ich rozdziału., to wartości
bezwzględne przeciwnych sobie indukcji elektrostatycznych muszą być równe.
Zakładając, że linie pola istniejące dla pola elektrycznego zawsze powinny być
prostopadłe do obu powierzchni kondensatora o powierzchni S każda, ze względu na symetrię,
co może być eksperymentalnie potwierdzone dla małych odległości d pomiędzy płytkami
kondensatora, można uzyskać posługując się równaniem (1):
Q eð0 =ð E ×ð S =ð UC ×ð S ×ð(ð1 d)ð
. (3)
Objętość pokazana na Rys. 3, która obejmuje tylko jedną okładkę kondensatora, została wzięta
jako objętość całkowania. Ponieważ powierzchnia zaznaczona wewnątrz kondensatora może
być przesunięta bez zmiany strumienia wektora, to oznacza, że pole kondensatora jest
jednorodne. Oba tak strumień jak i natężenie pola elektrycznego E poza kondensatorem są
równe zero, a jest tak ze względu na fakt, że dowolnie wybrane objętości które zawierają w
sobie obie okładki kondensatora, zawierają jednocześnie wypadkowy ładunek równy zero.
A
adunek Q kondensatora jest zatem proporcjonalny do napięcia; stała proporcjonalności
C jest nazywana pojemnością kondensatora.
Q =ð CUC =ð eð (ðS d)ð ×ðUC
. (4)
0
Q w nAs
1000
800
600
400
200
0
0 1 2 3 UC w kV
Rys. 4: A
adunek elektrostatyczny Q kondensatora płaskiego w funkcji przyłożonego
napięcia UC (d = 0,2 cm).
CMF 2006 11 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
Q w nAs
800
600
400
200
0
1/d w cm-1
0 2 4 6 8
Rys. 5: A
adunek elektrostatyczny Q kondensatora płaskiego w funkcji odwrotności
odległości pomiędzy płytkami kondensatora d-1 (UC = 1,5 kV).
Zależność liniowa pomiędzy ładunkiem Q a napięciem U zastosowana do niezmienionego
kondensatora jest pokazana na rys. 4. Równanie (4) dodatkowo pokazuje, że pojemność C
kondensatora jest odwrotnie proporcjonalna do odległości d pomiędzy okładkami:
C =ð eð ×ð S(ð1 d)ð
. (5)
0
Przy stałym napięciu, odwrotność odległości pomiędzy okładkami, a więc i pojemność,
są miarą ilości ładunku który może zgromadzić kondensator (porównaj z rys. 5. ). Jeżeli
odwrotnie U ,Q , d i S zostaną zmierzone, to z kolei wyniki tych pomiarów umożliwią
eð
obliczenie stałej dielektrycznej :
0
eð0 =ð (ðd S)ð ×ð(ðQ Uc )ð
. (6)
eð0 =ð 8,8 ×ð10-ð12 As /(Vm)
W tym przykładzie obliczeniowym, uzyskuje się , co jest
eð0 =ð 8,8542 ×ð10-ð12 As /(Vm)
porównywalne z wartością dokładną: .
Równania (4), (5) i (6) są słuszne tylko w przybliżeniu, ze względu na założenie o
równoległości linii pola. Wraz ze wzrostem odległości pomiędzy okładkami kondensatora,
pojemność maleje, co z kolei systematycznie prowadzi do obliczania zbyt dużej stałej
dielektrycznej z równania (6). To jest właśnie przyczyną, dlaczego stała dielektryczna powinna
być obliczana dla małej i jednocześnie ustalonej odległości pomiędzy okładkami kondensatora
(porównaj z rys. 4.).
Sprawa się znacząco zmienia, gdy wstawimy, już materiał izolujący (dielektryk)
pomiędzy płytki. Dielektryki nie mają ruchomych poruszających się swobodnie nośników
ładunku, takich jakie mają metale, ale są zbudowane z dodatniego jądra i ujemnych elektronów.
Te składniki mogą ustawiać się wzdłuż linii pola elektrycznego, tworząc struktury liniowo
sprzężonych ze sobą indukowanych dipoli. Uprzednio niepolarne (nie posiadające
wyróżnionego kierunku polaryzacji) teraz zachowują się jak lokalne stacjonarne dipole. Jak
można zauważyć na rys. 6., oddziaływanie pojedynczych dipoli, w wyniku wzajemnego
oddziaływania, zanika w skali makroskopowej, wewnątrz dielektryka.
Jednakoż, brakuje partnerów oddziaływania o przeciwnych znakach na powierzchniach, które
CMF 2006 12 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
zatem mają (niezobojętniony) ładunek stacjonarny zwany powierzchniowym ładunkiem
zwiÄ…zanym.
rð
E
Rys. 6: Wytwarzanie powierzchniowych ładunków związanych w dielektryku w
wyniku polaryzacji cząsteczek w polu elektrycznym kondensatora płaskiego.
Powierzchniowe ładunki związane z drugiej strony osłabiają pole elektryczne
E
wewnątrz dielektryka pochodzące od rzeczywistych ładunków Q zgromadzonych na
metalowych okładkach kondensatora (ładunek związany indukowany na powierzchni
dielektryka zobojętnia część z tych rzeczywistych ładunków, zmniejszając przez to ich wpływ
na wytworzenie pola wewnÄ…trz dielektryka).
Osłabienie pola elektrycznego wewnątrz dielektryka jest wyrażone z pomocą
E
właściwej dla danego materiału, bezwymiarowej, tzw. względnej stałej dielektrycznej
(eð = 1 w próżni):
E =ð E0 eð , (7)
gdzie E0 jest polem elektrycznym wytwarzanym jedynie przez Å‚adunki rzeczywiste Q . A
zatem, przeciwstawne pole wytwarzane przez ładunki związane musi być:
Ef =ð E0 -ðE =ð(ð(eð -ð1) eð)ð ×ðE0 . (8)
Pomijając ładunki wewnątrz objętości dielektryka rozpatrywanego makroskopowo, jedynie
indukowane zwiÄ…zane Å‚adunki powierzchniowe (Ä…ðQ ) generujÄ… efektywnie przeciwstawne pole
f
(jednorodnie w całej objętości):
Ef =ðQf eð0 =ð(ð1 eð0)ð(ð(Qf ×ðd) V)ð =ð(ð1eð0)ð(ð p V)ð
, (9)
Gdzie p jest całkowitym momentem dipolowym ładunków powierzchniowych. W ogólnym
przypadku dielektryka niejednorodnego, równanie (9) przechodzi w :
Ef =ð(ð1 eð0)ð ×ð(ðdp dV)ð =ð(ð1eð0)ð ×ðP
(10)
gdzie - całkowity moment dipolowy liczony na jednostką objętości  nazywamy go
P
wektorem polaryzacji dielektrycznej, zaś E jest tu funkcją położenia .
f
Jeżeli dodatkowo pole wektora (wektora przesunięcia dielektrycznego - indukcji
D
elektrostatycznej) zostanie zdefiniowane następująco:
D=ðeð ×ðeð0 ×ð E , (11)
linie tego pola zaczynają się jedynie lub kończą się jedynie na rzeczywistych (dających się
zmierzyć bezpośrednio) ładunkach, to wówczas trzy wielkości charakteryzujące pole
elektryczne: natężenie pola
E, przesunięcie dielektryczne D, i polaryzacja dielektryczna P
są związane wzajemnie ze sobą za pomocą poniższego równania:
D=ðeð0 ×ðE+ðP=ðeð ×ðeð0 ×ðE .
CMF 2006 13 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
Jeżeli ładunek rzeczywisty Q pozostaje na kondensatorze, w chwili gdy dielektryk jest
wstawiany pomiędzy okładkami, to zgodnie z definicją (3), napięcie U pomiędzy płytkami
C
zmniejszy się w porównaniu do wartości napięcia U w próżni (vacuum) (albo też z dobrym
vac
przybliżeniem  w powietrzu) z krotnością równą stałej dielektrycznej:
UC =ð Uvac eð
. (12)
Q w nAs
1000
800
Tworzywo
sztuczne (plastik)
600
400
200
powietrze
0
0 1,0 2,0 3,0 4,0
UC w kV
Rys. 7. A
adunek elektrostatyczny kondensatora płaskiego jako funkcja przyłożonego
napięcia UC , z i bez dielektryka (tworzywo sztuczne) pomiędzy okładkami (d = 0,98 cm).
Podobnie, z definicji pojemności (4) otrzymuje się:
C =ð eð ×ð Cvac
. (13)
Ogólna postać równania (4) jest zatem następująca:
Q =ð eð ×ðeð0 ×ð (S / d) ×ðUC
. (14)
Na rys. 7., wartość ładunku Q na kondensatorze jest wykreślona względem zastosowanego
napięcia między okładkami kondensatora U , dla porównania przedstawiono sytuację z i bez
C
płytki z tworzywa sztucznego pomiędzy okładkami kondensatora, wszystkie inne warunki
pozostają niezmienione: widoczne jest, że przy tym samym napięciu, ilość ładunku
kondensatora znacząco wzrasta dzięki dielektrykowi, w tym przypadku o współczynnik równy
2,9. Jeżeli podzielimy przez siebie ładunek uzyskany z i bez tworzywa sztucznego (równanie
[4] i [14]):
Qplastic Qvacuum =ð eð
, (15)
to uzyskana wartość liczbowa jest względną stałą dielektryczną tworzywa sztucznego (plastiku).
Dla szklanych pÅ‚ytek w podobny sposób uzyskuje siÄ™ wartość eð = 9,1.
CMF 2006 14 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
W celu uwzględnienia w rozważaniach powyżej opisywanego wpływu ładunków
swobodnych, równanie Maxwella (1) powinno być w ogólności uzupełnione o względną stałą
dielektrycznÄ… eð dielektryka, który wypeÅ‚nia rozważanÄ… objÄ™tość:
eð ×ðeð0 ×ð E dS =ð dS =ðQ .
(16)
òðòð òðòðD
S S
Zatem równanie (14) zastępuje teraz równanie (4).
Przykładowe wyniki pomiarów.
Pomiary stałej dielektrycznej (w powietrzu):
S = 0,0531 m2 U = 1,5 kV C = 220 nF
C
U [V] 0,93 1,1 1,3 1,65 2,15 3,3
d [cm] 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10
1/d [cm-1 ] 1,86 3,33 4,00 5,00 6,67 10,0
Q [nAs] 2,05 242 286 363 473 726
Zależność uzyskana metodą najmniejszych kwadratów jest:
Q [nAs]= 72,115×ð(1/d), gdzie d w cm , bÅ‚Ä…d współczynnika nachylenia prostej Dða = 0,3196
współczynnik korelacji R2 = 0,9999 (rys.D1)
obliczona z nachylenia prostej wartość eð = (72,115/(53,1×ð1,5)×ð10-12 = 9,05 10-12 F/m.
0
Dða DðS DðUC 0,3196 10 0,1
dðeð0 =ð Ä…ð( +ð +ð ) =ð Ä…ð( +ð +ð ) =ð Ä…ð0,1
a S UC 72,115 531 1,5
błąd względny ,
bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny Dðeð = dðeð ×ðeð = 0,1×ð9,05×ð10-12 = 0,9×ð10-12
0 0 0
Wynik podajemy w postaci eð = (9,1Ä…ð0,9)×ð10-12 F/m.
0
S = 0,0531 m2 d = 0,2 cm C = 220 nF
U [kV] 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
C
U [V] 0,6 1,2 1,7 2,3 2,9 3,6 4,2 5
Q [nAs] 132 264 374 506 638 3,6792 924 1100
Uzyskana zależność Q = 264,9 U .; Dða = 3,1 (Rys..D2) ; ×ðeð = 9,98×ð10-12 F/m
C 0
Dða DðS Dðd 3,1 10 0,01
dðeð0 =ð Ä…ð( +ð +ð ) =ð Ä…ð( +ð +ð ) =ð Ä…ð0,19
a S d 264,9 531 0,20
bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny Dðeð = dðeð ×ðeð = 0,19×ð9,98×ð10-12 = 1,9×ð10-12 F/m
0 0 0
Wynik podajemy w postaci: eð = (10,0Ä…ð1,9)×ð10-12 F/m.
0
Pomiary względnej stałej dielektrycznej (z izolatorem - PCV)
Tworzywo sztuczne (plastik - PCV):
S = 0,0531 m2 d = 0,98 cm C = 220 nF
U [kV] 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
C
U [V] 0,48 0,92 1,40 1,80 2,30 2,90 3,40 3,90
Q [nAs] 106 202 308 396 506 638 748 858
Uzyskana zależność Q = 210,6U .; Dða = 2,2 (Rys. D3) ; ×ðeð = 39,9×ð10-12 F/m
C
Dða DðS Dðd 2,2 10 0,01
dðeð =ð Ä…ð( +ð +ð ) =ð Ä…ð( +ð +ð ) =ð Ä…ð0,04
a S d 210,6 531 0,98
bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny Dðeð = dðeð×ðeð = 0,04×ð39,9×ð10-12 = 1,6×ð10-12 F/m
Wynik dla bezwzględnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:
CMF 2006 15 /16
Laboratorium Fizyki Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Politechniki A
ódzkiej
E3 Stała Dielektryczna Różnych Materiałów
Sylwester Kania, Janusz Kuliński
eð = (39,9Ä…ð1,6)×ð10-12 F/m..
r
eð = eð / eð =39,9 / 8.85 = 4,51
r 0
Dðeð Dðeð0 1,6 0,01
r
dðeð =ð Ä…ð( +ð ) =ð Ä…ð( +ð ) =ð Ä…ð0,05
, Dðeð = dðeð×ðeð = 0,05×ð4,51 = 2,26
eðr eð0 39,9 8,85
Wynik dla względnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:
eð = (4,5Ä…ð2,3)×ð
r
Pomiary względnej stałej dielektrycznej (z izolatorem  szkło organiczne  pleksi)
Tworzywo sztuczne (szkło organiczne - pleksi):
S = 0,0531 m2 d = 0,79 cm C = 220 nF
U [kV] 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
C
U [V] 0,65 1,2 1,8 2,5 3,1 3,8 4,3 4,9
Q [nAs] 143 264 396 550 682 836 946 1079
Uzyskana zależność Q = 272,0U .; Dða = 1,5 (Rys. D4) ; ×ðeð = 40,5×ð10-12 F/m
C
Dða DðS Dðd 1,5 10 0,01
dðeð =ð Ä…ð( +ð +ð ) =ð Ä…ð( +ð +ð ) =ð Ä…ð0,038
a S d 272 531 0,79
bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny Dðeð = dðeð×ðeð = 0,038×ð40,5×ð10-12 = 1,6×ð10-12 F/m
Wynik dla bezwzględnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:
eð = (40,5Ä…ð1,6)×ð10-12 F/m..
r
eð = eð / eð =40,5 / 8.85 = 4,56
r 0
Dðeð Dðeð0 1,6 0,01
r
dðeð =ð Ä…ð( +ð ) =ð Ä…ð( +ð ) =ð Ä…ð0,05
, Dðeð = dðeð×ðeð = 0,05×ð4,56 = 0,23
eðr eð0 40,5 8,85
Wynik dla względnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:
eð = (4,6Ä…ð0,3)×ð
r
Szkło (glass): d = 0,41 cm U =0,3 kV; U = 5,8 V ; C=220 nF
C
Q = C×ðU = 1276 nAs
d ×ð(ðQ UC )ð
eðB =ð =ð 63,3×ð10-ð12 F m
S
DðU DðC DðUC DðS Dðd 0,5 1 0,05 10 0,01
dðeð =ð Ä…ð( +ð +ð +ð +ð ) =ð Ä…ð( +ð +ð +ð +ð ) =ð Ä…ð0,29
U C UC S d 5,8 220 0,3 531 0,79
bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny Dðeð = dðeð×ðeð = 0,29×ð63,3×ð10-12 = 18,4×ð10-12 F/m
eð = eð / eð =63,3 / 8.85 = 7,15
r 0
Dðeð Dðeð0 18,4 0,01
r
dðeð =ð Ä…ð( +ð ) =ð Ä…ð( +ð ) =ð Ä…ð0,3
,
eðr eð0 63,3 8,85
Dðeð = dðeð×ðeð = 0,3×ð7,15= 2,15
Wynik dla względnej stałej dielektrycznej podajemy w postaci:
eð = (7,2Ä…ð2,2)×ð
r
CMF 2006 16 /16