Egzamin rok 2010/2011
Zadanie 2: Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę gdzie L jest okręgiem x2+y2=R2
zorientowanym ujemnie względem swojego wnętrza.
Rozwiązanie:
Twierdzenia Greena brzmi następująco:
Jeżeli
1. obszar DR2 jest domknięty i normalny względem obu osi,
2. brzeg L obszaru D jest dodatnio zorientowany,
3. pole =[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na D,
to
Obliczanie całki:
1) Sprawdzam, czy obszar D jest domknięty i normalny względem obu osi:
x=rcos(ą)
y=rsin(ą) gdzie r[0,R] ą[0,2Ą]
x'=-rsin(ą)
y'=rcos(ą)
J= =r
2) Aby brzeg L był dodatnio zorientowany: K=-L
3) Px=x2y
Qy=-xy2 Funkcje różniczkowalne w sposób ciągły na D
Py=x2
Qx=-y2
Przechodzę na współrzędne biegunowe:
=
= ( r4|0R )(ą) |02Ą = R4(2Ą) = ĄR4
Odpowiedz
: = ĄR4
Autor: Weronika Rozłonkowska grupa 10
9.12.2013