mgr in\
. Piotr Betlej
mgr in\
. Piotr Betlej
Analiza nakładów i wyników
Model nakładów i wyników jest nazywany w literaturze tak\
e modelem Leontiefa, modelem
przepływów międzygałęziowych lub modelem input-output. Ponadto termin "model" często jest
zastępowany słowem "analiza".
Twórcą tej powszechnie znanej i stosowanej metody analizy ekonomicznej jest amerykański uczony,
laureat nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii Wassily Leontief. Model ten opisuje sposób
funkcjonowania zło\
onych układów gospodarczych. Umo\
liwia między innymi podanie odpowiedzi na
następujące pytania: "ile powinna wynosić produkcja ka\
dej z gałęzi gospodarki, aby całkowity popyt,
składany zarówno przez sektor produkcyjny jak i sektor gospodarstw domowych na dobra produkowane
przez te gałęzie był zaspokojony?" lub "o ile procent wzrośnie zapotrzebowanie na wyroby skórzane,
pracę, maszyny, itp. je\
eli zwiększymy produkcję butów o 10% ?".
Model nakładów i wyników był i jest u\
ywany między innymi do:
- badania wpływu jaki będzie miało przejście z produkcji nastawionej na cele wojenne do produkcji
cywilnej po Drugiej Wojnie Światowej
- analizy przepływu produktów pomiędzy gospodarkami ró\
nych krajów
- międzygałęziowych analiz przeprowadzanych między innymi przez Bank Światowy, Organizację
Narodów Zjednoczonych, Departament Handlu USA
Przed przejściem do szczegółowego omówienia konstrukcji modelu nakładów i wyników zostanie omówiony
poni\
ej prosty przykład ilustrujący podstawowe cechy tego modelu.
Przykład:
Rozwa\
my sytuację gospodarstwa produkującego dwa rodzaje produktów: kukurydzę i nawóz. W produkcji
kukurydzy zu\
ywana jest kukurydza oraz nawóz. Z kolei nawóz jest produkowany z kukurydzy
(zakładamy, i\
kukurydza jest zu\
ywana przez krowy, które wytwarzają cenny nawóz).
Załó\
my, i\
do wyprodukowania tony kukurydzy musimy zu\
yć 0,2 tony kukurydzy oraz 0,8 tony nawozu.
Z kolei aby krowy wytworzyły jedną tonę nawozu, muszą skonsumować 0,4 tony kukurydzy, nie zu\
ywają
natomiast nawozu.
Ka\
dy z tych dwóch procesów produkcyjnych mo\
emy oznaczyć parą liczb. Proces produkcji kukurydzy
mo\
emy opisać jako ( 0,2 ; 0,8 ) natomiast proces produkcji nawozu jako ( 0,4 ; 0 ). W tym momencie
mo\
emy zadać sobie następujące pytania:
Czy mo\
emy tak ustawić produkcję aby zaspokojone było zapotrzebowanie na te produkty zu\
ywane w
procesie produkcyjnym oraz odło\
yć część produkcji do konsumpcji ?
Jeśli tak, jakie kombinacje produkcji obu dóbr są mo\
liwe ?
Strona 1/9
 mgr in\
. Piotr Betlej
Odpowiedzi na te pytania mo\
emy uzyskać układając układ równań liniowych. Oznaczmy:
X K - całkowitą produkcję kukurydzy
X N - całkowitą produkcję nawozu
Kukurydza jest zu\
ywana do produkcji kukurydzy (w ilości 0,2 * X K) oraz do produkcji nawozu (w ilości
0,4 * X N).
Analogicznie rozwa\
ając nawóz jest zu\
ywany do produkcji kukurydzy (w ilości 0,8 * X K) oraz nie jest
zu\
ywany do produkcji nawozu (co mo\
emy zapisać 0 * X N).
Całkowitą ilość kukurydzy pozostawioną do konsumpcji mo\
emy obliczyć jako ró\
nicę pomiędzy całkowitą
produkcją kukurydzy X K a ilością kukurydzy zu\
ytą w procesie produkcyjnym 0,2 X K , 0,4 X N.
Analogicznie całkowitą ilość nawozu pozostawioną do konsumpcji mo\
emy zapisać jako ró\
nicę pomiędzy
całkowitą jego produkcją X N a jego zu\
yciem w procesie produkcyjnym 0,8 X K , 0 X N.
Je\
eli zało\
ymy, i\
farma ma produkować pewną ilość ka\
dego z tych produktów do konsumpcji końcowej,
np. 10 ton kukurydzy oraz 2 tony nawozu, wówczas mo\
emy uło\
yć następujący układ równań:
0,8 X K - 0,4 X N = 10
0,8 X K + X N = 2
Rozwiązując tak skonstruowany układ równań, jesteśmy w stanie obliczyć ile powinna wynieść całkowita
produkcja kukurydzy i nawozu, aby zostały zaspokojone zapotrzebowanie na te dobra wynikające z
procesu produkcji oraz do konsumentów trafiła ustalona ilość tych dóbr. Poniewa\
jest to prosty układ
równań mo\
emy go rozwiązać metodą podstawiania. Wynik będzie następujący:
X K = 22,5 oraz X N = 20.
Aby więc wyprodukować wspomnianą wy\
ej ilość kukurydzy (10 ton) oraz nawozu (2 tony) przeznaczone
do konsumpcji, gospodarstwo musi wyprodukować a\
22,5 tony kukurydzy oraz 20 ton nawozu (ze
względu na istniejące zale\
ności w procesach produkcji tych dóbr). Przykład ten stanowi doskonałą
ilustrację podstaw modelu nakładów i wyników w którym pomijana jest praca. W dalszej części kursu
znajduje się bardziej szczegółowy opis tego modelu oraz sposoby jego rozwiązywania.
Przedstawiony w tej części kursu zostanie tzw. model zamknięty, w którym pomijamy pracę.
Podstawowe zało\
enia analizy nakładów i wyników (model zamknięty):
- Wyniki produkcji ka\
dej gałęzi są wykorzystywane jako nakłady przez inne gałęzie oraz co
równie\
mo\
e mieć miejsce przez tą samą gałąz
. Przykład: energia elektryczna wyprodukowana przez
elektrownię jest zu\
ywana przez większość innych gałęzi przemysłu oraz tak\
e przez nią samą.
- Powy\
sze zało\
enie sprawia, i\
poziom całkowitej (globalnej) produkcji ka\
dej z gałęzi
gospodarki będzie uzale\
niony od wzajemnych zale\
ności w całej gospodarce.
- W celu uproszczenia modelu zakłada się i\
ka\
da gałąz
wytwarza tylko jeden produkt lub grupę
produktów wytwarzanych w niezmieniającej się proporcji. W tym celu zu\
ywa jeden lub wiele
produktów równie\
przy uwzględnieniu niezmieniających się proporcji.
Strona 2/9
 mgr in\
. Piotr Betlej
- Poniewa\
rozwa\
amy model zamknięty, sektor gospodarstw domowych nie jest uwzględniany
jako jedna z gałęzi danej gospodarki.
Poni\
szy diagram w pewnym uproszczeniu stanowi ilustrację zamkniętego modelu nakładów i wyników.
Diagram ten stanowi przykład w jaki mogą kształtować się przepływy dóbr w 5-gałęziowej gospodarce.
Strzałki znajdujące się w obrębie zielonego owalu ilustrują przepływy dóbr pomiędzy gałęziami
tej gospodarki. Natomiast strzałki pogrubione, wychodzące na zewnątrz owalu stanowią ilustrację popytu
sektora gospodarstw domowych na dobra produkowane przez te gałęzie.
Przykładowo do produkcji dobra pierwszego jest zu\
ywane dobro pierwsze, drugie, trzecie oraz czwarte.
Wynik produkcji pierwszej gałęzi jest nakładem tej\
e gałęzi oraz gałęzi drugiej.
Współczynniki nakładów
Przy ka\
dej ze strzałek ilustrujących przepływ dóbr pomiędzy gałęziami przemysłu mo\
emy postawić
następujący symbol: a ij - gdzie i - numer gałęzi z której dane dobro wypływa, j - numer gałęzi do której
dane dobro trafia. Są to tak zwane współczynniki nakładów.
Współczynniki nakładów przyjmują wartości z przedziału <0, 1) i są interpretowane w sposób
wartościowy. Przykładowo współczynnik a 23 = 0,55 mo\
emy zinterpretować w sposób następujący: do
produkcji dobra trzeciego o wartości jednostki pienię\
nej (np. 1 złotówki) musi zostać zu\
yte dobro
drugie o wartości 0,55 tej jednostki pienię\
nej (np. 55 grosze).
Strona 3/9
 mgr in\
. Piotr Betlej
Interpretując współczynniki nakładów mo\
emy przyjąć pewne uproszczenie u\
ywając tylko jednostek
(przykładowo: do produkcji jednostki dobra trzeciego musimy zu\
yć 0,32 jednostki dobra drugiego).
Z kolei symbol d i oznacza tą ilość dobra produkowanego przez gałąz
i, która trafia do gospodarstw
domowych. Przykładowo d 1 = 100 mo\
emy rozumieć jako popyt sektora gospodarstw domowych na
pierwsze dobro w wysokości 100 jednostek pienię\
nych (np. 100 zł) oraz w sposób uproszczony jako popyt
sektora gospodarstw domowych na 100 jednostek pierwszego dobra.
Na podstawie powy\
szych zało\
eń mo\
emy skonstruować model matematyczny. Model ten umo\
liwi
między innymi wyznaczanie poziomu całkowitej (globalnej) produkcji dla ka\
dej z gałęzi przemysłu tak
aby całkowity popyt sektora produkcyjnego oraz sektora otwartego został zaspokojony na ka\
de z tych
dóbr.
Konstrukcja modelu matematycznego
Konstrukcję modelu matematycznego nale\
y zacząć od zało\
enia, i\
produkcja całkowita ka\
dej z
gałęzi gospodarki musi w całości zaspokoić popyt gospodarstw domowych oraz sektora
produkcyjnego na ka\
de z dóbr. Symbol X i w modelu będzie oznaczać produkcję całkowitą gałęzi i.
Model matematyczny opisujący daną gospodarkę będzie składał się z układu równań liniowych - ich
liczba będzie równa liczbie gałęzi przemysłu w danej gospodarce. Po lewej stronie równań umieścimy
całkowitą poda\
danego dobra natomiast po prawej sumę popytu sektora produkcyjnego oraz sektora
gospodarstw domowych na dane dobro. Dla 3-gałęziowej gospodarki będzie to wyglądało w sposób
następujący:
Strona 4/9
 mgr in\
. Piotr Betlej
Całkowita poda\
danego dobra musi być równa całkowitemu popytowi na to dobro. Część
popytowa musi zostać uzupełniona w sposób następujący. Uzupełnienie powy\
szego modelu o popyt
sektora gospodarstw domowych nie sprawia problemu. Popyt ten jest równy odpowiednio d 1 , d 2 i d 3 dla
kolejnych równań.
Rozpisanie popytu sektora produkcyjnego jest bardziej skomplikowane. Rozwa\
my pierwsze równanie, w
którym po lewej stronie znaku równości mamy całkowitą produkcję pierwszego dobra, po prawej całkowite
zapotrzebowanie na to dobro. Całkowity popyt na pierwsze dobro przez sektor produkcyjny mo\
e
zostać rozbity na całkowity popyt pierwszej, drugiej oraz trzeciej gałęzi gospodarki na to dobro
co zostało przedstawione poni\
ej:
Przykładowo element a 12 X 2 został zapisany w ten sposób, i\
współczynnik nakładów a 12 oznacza ilość
jednostek pierwszego dobra niezbędną do wyprodukowania jednostki dobra drugiego. Je\
eli ten
współczynnik pomno\
ymy przez liczbę wszystkich produkowanych jednostek dobra drugiego otrzymamy
całkowite zapotrzebowanie drugiej gałęzi przemysłu na pierwsze dobro. Analogicznie mo\
emy rozpisać
pozostałe elementy tego układu równań:
Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań - matematyczny model analizy nakładów i wyników.
Uzyskane rozwiązanie jest w pełni skalowane - dodając lub odejmując równania oraz odpowiednie
elementy występujące w tych równaniach mo\
emy dostosować ten układ do opisu zarówno gospodarki
składającej się z dwóch jak i przykładowo stu gałęzi przemysłu.
Zakładając, i\
na podstawie obserwacji procesów produkcyjnych zostały wyznaczone w danej gospodarce
wartości współczynników nakładów oraz został ustalony poziom konsumpcji sektora gospodarstw
domowych, mo\
na w oparciu o ten model wyznaczyć docelową produkcję całkowitą ka\
dego z tych dóbr (
X 1 , X 2 , ... , X n - dla gospodarki składającej się z n-gałęzi).
Strona 5/9
 mgr in\
. Piotr Betlej
Rozwiązanie tego układu w sposób ręczny, ju\
przy trzech gałęziach gospodarki mo\
e nastręczać sporo
trudności. Natomiast przy rozwa\
aniu modelu składającego się z kilkudziesięciu, kilkuset, kilku tysięcy
gałęzi jedynym rozsądnym wyjściem jest u\
ycie komputera do wykonania niezbędnych obliczeń. Jedną z
metod jest nieznaczne przekształcenie tego układu równań i u\
ycie metody eliminacji Gauss'a do
rozwiązania problemu. Drugą metodą jest zapisanie układu równań w postaci równania
macierzowego a następnie wykorzystania algebry macierzy do jego rozwiązania. Drugie rozwiązanie
jest bardzo wygodne, poniewa\
działania na macierzach są zaimplementowane między innymi w arkuszach
kalkulacyjnych i korzystając np. z Excel'a mo\
emy bardzo szybko uzyskać szukane rozwiązanie.
Pierwszym etapem będzie przekształcenie powy\
szego układu równań do postaci macierzowej. Efekt tego
przekształcenia jest następujący:
Uzyskaliśmy w efekcie jedno równanie macierzowe, które stanowi odpowiednik wyprowadzonego wcześniej
układu równań. Aby uczynić to równanie przejrzystym i czytelnym, popyt sektora produkcyjnego na ka\
de
z tych dóbr został zapisany jako iloczyn macierzy współczynników oraz wektora produkcji całkowitej.
Równanie to mo\
emy zapisać u\
ywając następujących symboli:
X - macierz (wektor) produkcji całkowitej (globalnej)
A - macierz współczynników nakładów
d - macierz (wektor) popytu sektora gospodarstw domowych
Zakładając, i\
dane są macierz współczynników nakładów ( A ) oraz wektor popytu sektora gospodarstw
domowych ( d ) nale\
y to równanie przekształcić do postaci, w której wektor niewiadomych (wektor
produkcji całkowitej X ) znalazł się po jednej stronie znaku równości natomiast pozostałe elementy po
drugiej stronie. Przy przekształceniach nale\
y pamiętać o regułach działań na macierzach oraz ich
własnościach. Wynik przekształceń znajduje się poni\
ej:
Strona 6/9
 mgr in\
. Piotr Betlej
Ostatni wiersz przekształceń jest równaniem, z którego mając dane macierze A i d jesteśmy bezpośrednio
w stanie wyznaczyć macierz produkcji całkowitej X. Symbol I występujący w tym równaniu jest macierzą
jednostkową (macierz kwadratowa, w której elementy le\
ące na głównej przekątnej są równe 1 a
wszystkie pozostałe są równe 0). Uzyskanie rozwiązania wymaga między innymi odwrócenia macierzy (I-
A) oraz pomno\
enia jej przez wektor d, dlatego te\
najlepiej wykorzystać do obliczeń komputer. Poni\
ej
znajduje się łącze do kolejnej części kursu, w której opisane jest działanie arkusza Excel, który umo\
liwia
automatyczne wykonanie oraz prześledzenie tych działań.
Przykład liczbowy - algebra macierzy
Przedstawiony został poni\
ej przykład liczbowy rozwiązany przy u\
yciu działań na macierzach.
Przykład liczbowy
Przyjmijmy, i\
rozwa\
amy gospodarkę składającą się z trzech sektorów: górnictwa, przemysłu
energetycznego i hutnictwa. Produkty wytwarzane przez te sektory to kolejno węgiel, energia elektryczna i
stal. Gałęzie te są wzajemnie ze sobą powiązane. Wyniki produkcji ka\
dej z nich są potrzebne jako nakłady
innych gałęzi i być mo\
e nawet w tej samej gałęzi.
Wyprodukowanie jednostki węgla wymaga zu\
ycia 0,3 jednostki energii elektrycznej i 0,15 jednostki stali.
Wyprodukowanie z kolei jednostki energii elektrycznej wymaga zu\
ycia 0,5 jednostki węgla, 0,1 jednostki
energii elektrycznej oraz 0,05 jednostki stali. Natomiast przy produkcji jednostki stali zu\
ywane są 0,32
jednostki węgla, 0,18 jednostki energii elektrycznej oraz 0,04 jednostki stali.
Popyt sektora otwartego (popyt końcowy zgłaszany np. przez gospodarstwa domowe) jest równy:
Węgiel - 20 jednostek Energia elektryczna - 130 jednostek Stal - 55 jednostek
Ile powinna wynosić produkcja ka\
dej z tych gałęzi, tak aby na rynku nie występowały nadwy\
ki lub
niedobory produktów tych gałęzi?
Rozwiązanie
Na podstawie treści tego zadania mo\
emy utworzyć diagram przepływów międzygałęziowych:
Strona 7/9
 mgr in\
. Piotr Betlej
Pierwszym etapem jest utworzenie macierzy współczynników nakładów. Kolejność, jaka została przyjęta:
I gałąz
- górnictwo, II gałąz
- przemysł energetyczny i III gałąz
- hutnictwo.
Następnie nale\
y uzupełnić wektor popytu końcowego (popytu sektora gospodarstw domowych):
Aby obliczyć poziomy produkcji globalnej dla ka\
dej z tych gałęzi przemysłu, przy których gospodarka
będzie się znajdowała w równowadze nale\
y wyznaczyć wartość następującego wyra\
enia:
X = (I - A) -1 d
Końcowe rozwiązanie przedstawione jest poni\
ej:
Strona 8/9
 mgr in\
. Piotr Betlej
Przykład liczbowy - metoda eliminacji Gauss'a
Metoda eliminacji Gauss'a umo\
liwia rozwiązywanie układów równań liniowych. Metoda ta, mo\
e zostać
łatwo zaimplementowana w dowolnym niemal języku programowania przez co sprawia, i\
mo\
e być
u\
yteczna do sprawnego rozwiązywania układów równań z du\
ą liczbą równań oraz niewiadomych.
Poniewa\
dowolny model nakładów i wyników mo\
e zostać przedstawiony w postaci układu równań
liniowych, co pozwala na u\
ycie tej metody do jego rozwiązania (wyznaczenia produkcji globalnej dla
ka\
dej z gałęzi przemysłu).
Przykład liczbowy (poprzednia treść)
Rozwiązanie
Pierwszym etapem rozwiązania tego przykładu przy pomocy metody eliminacji Gauss'a jest jego
przedstawienie w postaci układu równań liniowych:
Aby móc wykorzystać metodę eliminacji Gauss'a nale\
y przekształcić ten układ równań do postaci, w
której elementy równań powiązane z niewiadomymi x1, x2 i x3 umieszczone są po lewej stronie znaków
równości. Elementy bez niewiadomych przenieść nale\
y na prawą stronę równań:
Uzyskany wynik stanowi szukane rozwiązanie. Aby zachowana była równowaga produkcja węgla powinna
wynieść w przybli\
eniu 157 jednostek, energii elektrycznej 216 jednostek i stali 93 jednostek.
Strona 9/9