RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3
Autor: dr Stanisław Domoradzki
Jak pomóc w przezwyciężaniu trudności w uczeniu się matematyki?
O kształtowaniu pojęcia funkcji1
Celem tej publikacji jest ukazanie poglądu dynamicznego w odniesieniu do pojęcia funkcji, które
w większości podręczników i opracowań przedstawiane jest w ujęciu teorii mnogości jako relacja (pod-
zbiór iloczynu kartezjańskiego). W szkole średniej (mam na myśli gimnazjum i liceum) potrzebujemy
poglądu dynamicznego  funkcja przedstawiana jako zależność jednej zmiennej od drugiej. Jest to
zgodne z podejściem historycznym. Pojęcie funkcji w swoich początkach sięga czasów starożytnych.
Rozwój tego pojęcia można rozbić na kilka etapów2 :
 Starożytność  wtedy badano zależność pomiędzy różnymi wielkościami,
 Wieki średnie (XIII XIV w.)  wtedy pojęcie funkcji zostało sformułowane w sposób jawny, wy-
rażone geometrycznie bądz
mechanicznie, ze słownym opisem zależności funkcjonalnej,
 Koniec XVI początek XVIII w.  wtedy dominowały metody analityczne opisu funkcji, na przy-
klad za pomocą szeregów potęgowych,
 XIX wiek  wtedy uściślono pojęcie funkcji rzeczywistej, w drugiej połowie XIX wieku ukształto-
wało się ogólne pojęcie funkcji z użyciem pojęć teorii zbiorów.
W szkolnym nauczaniu często pierwsze trzy etapy pomija się, z wielka szkodą dla uczniów zaczyna
się od końcowego.
W podręczniku, który omawiamy, Stefan Banach wprowadził najpierw pojęcie zmiennej (o literach,
które w danym zagadnieniu oznaczać mogą rozmaite liczby, będziemy mówić, że oznaczają zmienne)
i podał następujące przykłady:
1. Długość obwodu koła L=2Ąr gdzie L oznacza obwód koła w cm, r długość promienia w cm, Ą jest
ściśle określoną liczbą 3,14...
2. Długość odcinka na osi liczbowej. Na prostej obieramy początek, zwrot dodatni i jednostkę dłu-
gości. Jeżeli jakiś punkt ma współrzędną s, to długość odcinka OA przy obranej jednostce wy-
nosi s , to jest bezwzględną wartość s. Po czym, żeby uczeń mógł zrozumieć sformułowaną
wcześniej zależność, podaje konkretne przykłady.  Jeżeli na przykład s = +1, +2,  1,  2 itd., to
długość odcinka 0A wynosi odpowiednio +1 = 1, +2 = 2,  1 = 1,  2 = 2 itd. W tym przykładzie
zmienna s oznaczać może dowolną liczbę dodatnią, ujemną lub zero.
Pierwsze dwa przykłady są geometryczne i odnoszą się do znanych uczniowi pojęć. Trzeci przykład
związany jest z doświadczeniem dnia codziennego:
3.  Jeżeli ze zwoju sukna o długości 15 m sprzedano x m, to reszta wynosi w metrach: 15-x, zmien-
na x oznacza dowolną liczbę zawartą między 0 a 15. Zapisujemy to: 0d"xd"15.
1
S. Banach, Algebra dla III klasy gimnazjalnej, Lwów  Warszawa 1935.
2
Por.: W. Więsław, Matematyka i jej historia, Opole 1997.
1
RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3
Autor: dr Stanisław Domoradzki
W celu właściwego ukształtowania pojęcia zmiennej autor przedstawia zadania, w tym dwa rozsze-
rzające występowanie zmiennej w fizyce i życiu.
ZASTANÓW SI

Zapoznań się z zadaniami przedstawionymi poniżej i porównaj je z zadaniami
wprowadzającymi pojęcie zmiennej w podręczniku, z którego korzystasz.
Oto wspomniane zadania:
- Jeżeli v cm3 żelaza waży Q g, zaś d g/cm3 oznacza ciężar właściwy żelaza, to Q = vd. Które z liter
oznaczają zmienne?
- Ktoś, mając 50 zł, zapłacił za x kg towaru po 3 zł za kg. Jakie wartości może przyjmować zmienna x?
Pojęcie funkcji zostaje wprowadzone na kilku przykładach:
- Pole kwadratu zależy od długości jego boku. Jeżeli autor przez y oznacza pole kwadratu w cm2,
zaś przez x długość jego boku w cm, to y+x2.  Jeżeli x = 2, to odpowiednia wartość y = 4, jeżeli
x = 5, to odpowiednia wartość y = 25 itd. Każdej więc wartości zmiennej x odpowiada jedna tyl-
ko wartość zmiennej y. Zdanie to wyrażamy jeszcze inaczej: zmienna y jest funkcją zmiennej x.
Z uwagi na to, że y oznacza pole kwadratu, zaś x długość jego boku, mówimy pole kwadratu jest
funkcją długości jego boku. W tym zagadnieniu zmienna x może przyjmować tylko wartości do-
datnie, gdyż długość boku jest liczbą dodatnią.
- Przykład dotyczący doświadczeń dnia codziennego: y = 2x, jeśli 1 kg pewnego towaru wynosi
2 zł, to mówimy:  wartość3 towaru jest funkcją ilości kg tego towaru .
Kolejny przykład związany jest z tabelką ceny biletów kolejowych III klasy w zależności od drogi:
s km od 1 6 7 9 10 12 13 15 16 17 18 20 21 23 24 26 27 29
z zł 0,40 0,60 0,80 1 1,20 1,40 1,60 1,80 2
Autor zwraca uwagę na odczytanie, jeżeli np. s = 19, to odpowiednia wartość z = 1,40....  Zmienna
z jest funkcją zmiennej s; cena biletu jest funkcją długości drogi, na jaką ten bilet jest wystawiony.
W tym przykładzie zmienna s może przyjmować tylko wartości dodatnie. Zauważmy, że pojęcie
funkcji zostało rozszerzone o przykład funkcji, która nie jest różnowartościowa. W uwagach do tego
przykładu zauważono, że znajomość ceny biletu kolejowego nie wystarcza do oznaczenia długości
drogi, na jaką bilet był wystawiony.
3
Wtedy na dzisiejsze słowo  wartość używano słowa  cena .
2
RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3
Autor: dr Stanisław Domoradzki
- W następnym przykładzie Banach rozszerza zakres zmiennej zależnej na liczby ujemne i zero.
Przykład pochodzi z fizyki.  Przypuśćmy, że po osi porusza się punkt. Obierzmy dowolną chwilę za
początkową, a za jednostkę czasu 1 sekundę. Niechaj t oznacza liczbę względną, określającą chwilę,
w której punkt ruchomy obserwujemy, zaś s współrzędną punktu ruchomego w tej chwili . Poło-
żenie podano w tabelce:
t  2  1 0 +1 +2
s  3 0 +1 0  1
 Również i tutaj każdej wartości zmiennej t odpowiada jedna tylko wartość zmiennej s. Zmienna s
jest funkcją zmiennej t. Współrzędna punktu jest funkcją czasu. [...] Gdyby punkt był w spoczynku,
wówczas zmienna s przyjmowałaby tę samą wartość dla każdej wartości zmiennej t. W tym przypad-
ku zmienna s jest również funkcją zmiennej t.
ZAPLANUJ
Zapoczątkuj dyskusję z uczniami na temat funkcji stałej w oparciu o przykłady
wprowadzające pojęcie funkcji z podręcznika uczniów.
Dopiero po tych przykładach podana jest definicja funkcji:  ilekroć dwie zmienne, na przykład x i y,
są tak ze sobą związane, że każdej wartości zmiennej x odpowiada tylko jedna wartość zmiennej y,
mówimy, że zmienna y jest f u n k c j ą z m i e n n e j x .
Całość wprowadzenia dopełnia szeroki zestaw zadań związanych z matematyką, naukami przyrod-
niczymi i doświadczeniami dnia codziennego typu:
- Wyjaśnij, dlaczego pierwsza zmienna jest funkcją drugiej:
a) Objętość sześcianu, długość krawędzi,
b) Powierzchnia sześcianu, długość krawędzi,
c) Pole koła, obwód koła,
d) Pole prostokąta o podstawie 5 cm, długość wysokości,
e) Objętość 1 kg żelaza, jego temperatura,
f) Temperatura pewnego człowieka, czas (w którym ją mierzono),
g) Wzrost pewnego człowieka, jego wiek.
3
RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3
Autor: dr Stanisław Domoradzki
W których z podanych przykładów potrafisz podać odpowiedni wzór?
W następnym zadaniu uczeń ma wyjaśnić, dlaczego pierwsza zmienna nie jest funkcją drugiej:
a) Pole trójkąta, długość jego podstawy,
b) Czas, temperatura chorego w tym czasie,
c) Waga paczki (brutto), ciężar towaru (netto),
d) Objętość prostopadłościanu, jego wysokość.
Stopniowo autor przechodzi do zadań coraz trudniejszych, na przykład:
- Z miejscowości A wyjeżdża pociąg o godzinie 12.00 i przyjeżdża do miejscowości B o godzinie 17.00.
Odległość obu miejscowości wynosi x km. Jeżeli v oznacza przeciętną prędkość pociągu, czy v jest
funkcją x? Czy x jest funkcją v? Podaj odpowiednie wzory.
Następne zadania dotyczą jeszcze bardziej skomplikowanych problemów związanych z obserwacja-
mi przyrody: Czy ciężary 1 cm3 wody w dwóch punktach na tym samym równoleżniku są równe? Czy
można powiedzieć, że czas wahnienia wahadła o długości 1 m, jest funkcją kąta wychylenia?
Po takim wprowadzeniu pojawia się paragraf Funkcje określone wzorami. Dla konkretnych zadań (pole
kwadratu zależy od długości boku) autor snuje rozważania, czy uda się znalez
ć wzór dla obliczenia
wartości funkcji. Są zadania, które pozwolą póz
niej określić złożenie funkcji: oblicz f(a+1) dla rożnych
funkcji y = f(x)), przeciwobraz, parzystość i nieparzystość funkcji, wartości najmniejsze, największe,
równość wartości rożnych funkcji. Następny rozdział (VI) zatytułowany Tablice składa się z dwóch
części: Tablice matematyczne, Tablice empiryczne. Tablice służą szybkiemu i łatwemu wyznaczeniu
wartości funkcji odpowiadających danym wartościom zmiennej niezależnej. Tablice empiryczne po-
dają wartości zależnej zmiennej przy pomocy pomiarów. Jako przykłady Banach podaje tablice sta-
tystyczne. W rozdziale następnym (VII) wprowadzony został układ współrzędnych, pojęcie wykresu
funkcji wprowadzone najpierw nieformalnie, przy pomocy tablicy.
Oto fragment podręcznika, w którym jest wprowadzone pojęcie wykresu.
4
RADY GENIALNYCH MATEMATYKÓW cz. 3
Autor: dr Stanisław Domoradzki
ZAPLANUJ
Rozwiąż z uczniami zadania proponowane w podręczniku Banacha.
5