Rozdział 7
Drgania w obwodach RLC i
fale elektromagnetyczne
7.1 Drgania elektryczne
7.1.1 Obwód LC  drgania nietłumione
W obwodach, zawierających elementy o określonej indukcyjności, pojem-
ności i oporze omowym mogą w pewnych warunkach powstawać drgania
elektryczne. Rozpatrzymy najpierw tzw. obwód LC, to znaczy obwód złożo-
ny z solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C (rys. 7.1).
Będziemy zakładać, że opór elektryczny solenoidu i przewodów łączących go
z kondensatorem jest zaniedbywalnie mały.
Przyjmijmy, że w chwili początkowej bezwględna wartość ładunków elek-
trycznych, zgromadzonych na okładkach kondensatora, wynosi q0 (rys. 7.1a).
C C C
q=+qo q=0
L L o L
q=0 q=+qo
o
I
a) b) c)
Rysunek 7.1:
1
2 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...
Po zamknięciu wyłącznika, na skutek różnicy potencjałów okładek konden-
satora, w obwodzie popłynie prąd elektryczny. Gdyby w obwodzie nie było
solenoidu, natężenie prądu powinno stopniowo maleć aż do zera, ponieważ
zmniejsza się różnica potencjałów okładek. Indukowana w solenoidzie siła
elektromotoryczna dąży jednak, zgodnie z regułą Lenza, do podtrzymania
przepływu prądu. W rezultacie natężenie prądu wzrasta do momentu wy-
równania się potencjałów okładek (rys. 7.1b) a następnie zaczyna maleć.
Prąd będzie płynąć w tym samym kierunku do chwili, gdy na okładkach
kondensatora zgromadzą się ładunki równe co do bezwzględnej wartości po-
czątkowemu ładunkowi q0, ale o przeciwnych znakach (rys. 7.1c). Następnie
opisany proces będzie się powtarzać. W obwodzie LC będą więc zachodzić
nietłumione drgania elektryczne.
Określimy teraz zależność ładunku na okładkach kondensatora i natę-
żenia prądu od czasu. W dowolnym momencie siła elektromotoryczna EL,
indukowana w solenoidzie, jest równa napięciu UC między okładkami kon-
densatora,
EL = UC, (7.1)
gdzie
dI
EL = -L , (7.2)
dt
q
UC = . (7.3)
C
Otrzymujemy stąd równanie
dI q
L + =0, (7.4)
dt C
które, uwzględniając definicję natężenia prądu,
dq
I = , (7.5)
dt
można przepisać jako
d2q q
L + =0. (7.6)
dt2 C
Dzieląc to równanie przez L i wprowadzając oznaczenie
1
2
�0 = (7.7)
LC
([�0] =s-1), otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:
d2q
2
+ �0q =0. (7.8)
dt2
DRGANIA ELEKTRYCZNE 3
Ma ono postać identyczną z równaniem, opisującym nietłumione drgania
oscylatora harmonicznego (podrozdział 2.5.1). Rozwiązaniem tego równania
jest więc funkcja
q = q0 cos (�0t + �) , (7.9)
określająca ładunek na okładkach kondensatora. Można to sprawdzić w ana-
logiczny sposób, jak w przypadku drgań harmonicznych, obliczając drugą
pochodną ładunku q i podstawiając d2q/dt2 i q do równania (7.8). Ko-
rzystając ze wzoru (7.5), otrzymujemy następujące wyrażenie, określające
natężenie prądu w obwodzie
dq
I = = -�0q0 sin (�0t + �) . (7.10)
dt
Wprowadzając oznaczenie I0 = �0q0, ostatnią zależność można przepisać
jako
I = -I0 sin (�0t + �) . (7.11)
Zgodnie ze wzorami (7.9) i (7.11) zarówno ładunki na okładkach kondensa-
tora jak i natężenie prądu w obwodzie zmieniają się sinusoidalnie z czasem
(rys. 7.2). W obwodzie LC zachodzą więc elektryczne drgania nietłumione;
q0 i I0 są odpowiednio maksymalnymi bezwzględnymi wartościami ładun-
ków na okładkach i natężenia prądu a faza początkowa � określa wartości q
i I w chwili początkowej (t = 0). Jeżeli np. w chwili t = 0 ładunek q = q0, to
q
+qo
T/2 3/2 T
T
t
o
I
+Io
T
T/2 3/2 T
t
o
Rysunek 7.2:
4 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...
� = 0. Natomiast �0 jest pulsacją (częstotliwością kątową) drgań elektrycz-
nych. Jak wynika ze wzoru (7.7), jest ona równa
1
"
�0 = . (7.12)
LC
Okres drgań w obwodzie wyraża się natomiast zależnością
2Ą
T = , (7.13)
�0
czyli
"
T =2Ą LC . (7.14)
Ostatni wzór nosi nazwę wzoru Thomsona (Kelvina). Zgodnie z nim, okres
drgań elektrycznych jest wprost proporcjonalny do pierwiastka kwadratowe-
go z indukcyjności solenoidu i pojemności kondensatora.
Rozpatrzymy jeszcze przemiany energii, zachodzące podczas drgań elek-
trycznych w obwodzie LC (por. rys. 7.1). Przypomnijmy, że zarówno nała-
dowany kondensator jak i solenoid z prądem posiadają określoną energię. W
chwili początkowej, gdy prąd nie płynie, cała energia obwodu jest zgroma-
dzona w polu elektrycznym kondensatora. Energia ta zamienia się stopniowo
w energię pola magnetycznego solenoidu. W momencie rozładowania kon-
densatora cała energia obwodu jest zmagazynowana w polu magnetycznym
wewnątrz solenoidu. Następnie jest ona z powrotem zamieniana w energię
pola elektrycznego w kondensatorze, itd. Opisany proces jest analogiczny
do kolejnych przemian energii potencjalnej drgającego ciała w jego energię
kinetyczną i na odwrót (por. podrozdział 2.5.1).
Można łatwo wykazać, że w przypadku drgań elektrycznych w obwo-
dzie LC spełniona jest zasada zachowania energii. Energia naładowanego
kondensatora jest dana wyrażeniem
q2
EpC = (7.15)
2C
(podrozdział 4.4.3, wzór (4.80)). Korzystając z zależności (7.9), otrzymuje-
my
2
q0
EpC = cos2 (�0t + �) . (7.16)
2C
Natomiast energia solenoidu, przez który płynie prąd, wynosi
LI2
EpL = (7.17)
2
DRGANIA ELEKTRYCZNE 5
(podrozdział 6.1.2, wzór (6.24)). Biorąc pod uwagę wzór (7.11), dostajemy
2
LI0
EpL = sin2 (�0t + �) . (7.18)
2
Uwzględniając związek I0 = �0q0 i wzór (7.7) łatwo stwierdzić, że stałe
czynniki przed funkcjami trygonometrycznymi we wzorach (7.16) i (7.18) są
sobie równe:
2 2 2 2
LI0 = L�0q0 = q0/C. (7.19)
Jest teraz widoczne, że suma energii zgromadzonej w kondensatorze i w
solenoidzie nie zależy od czasu:
2 2
q0 LI0
EpC + EpL = = . (7.20)
2C 2
W otrzymanym wzorze wyrażenia zawierające q0 i I0 przedstawiają odpo-
wiednio maksymalną energię kondensatora i solenoidu.
7.1.2 Obwód RLC  drgania tłumione
Opisany w poprzednim podrozdziale przypadek drgań elektrycznych nietłu-
mionych w rzeczywistości praktycznie nie występuje. W normalnych wa-
runkach każdy obwód posiada bowiem skończony opór elektryczny i zgro-
madzona w obwodzie energia rozprasza się stopniowo na oporze w postaci
ciepła. Drgania elektryczne w obwodzie będą wówczas zanikać  nazywamy
je drganiami tłumionymi. Inną przyczyną utraty energii w obwodzie drgają-
cym jest emisja fal elektromagnetycznych. Zjawisko to rozpatrzymy póz
niej.
Rozważając drgania nietłumione obwodu elektrycznego mamy więc na myśli
sytuację, gdy straty energii obwodu w danym przedziale czasu są do pomi-
nięcia.
Zbadamy teraz elektryczne drgania w obwodzie RLC, to znaczy w ob-
wodzie, składającym się z elementu o oporze R, solenoidu o indukcyjności
L i kondensatora o pojemności C (rys. 7.3). Po zamknięciu przełącznika w
obwodzie takim powstaną stopniowo zanikające drgania. Siła elektromoto-
ryczna EL, indukowana w solenoidzie, musi być równa sumie napięcia UR na
oporze i napięcia UC na kondensatorze,
EL = UR + UC. (7.21)
Poszczególne wielkości wyrażają się wzorami:
dI
EL = -L , (7.22)
dt
6 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...
R
C
q=+qo
L
o
Rysunek 7.3:
UR = RI, (7.23)
q
UC = (7.24)
C
(wzór (7.23) wynika z prawa Ohma). Po podstawieniu tych wyrażeń do rów-
nania (7.21) otrzymujemy równanie
dI q
L + RI + =0, (7.25)
dt C
z którego, po uwzględnieniu związku
dq
I = , (7.26)
dt
wynika równanie różniczkowe
d2q dq q
L + R + =0. (7.27)
dt2 dt C
Dzieląc ostatnie równanie przez L i wprowadzając oznaczenia
1
2
�0 = , (7.28)
LC
R
� = (7.29)
2L
([�0] =s-1), otrzymujemy w rezultacie następujące równanie różniczkowe
d2q dq
2
+2� + �0q =0. (7.30)
dt2 dt
DRGANIA ELEKTRYCZNE 7
Jest ono identyczne z równaniem tłumionych drgań harmonicznych (patrz
podrozdział 2.5.2). Zależność ładunku na okładce kondensatora od czasu
określa więc wzór
q = q0e-�t cos (�t + �) , (7.31)
w którym pulsacja (częstotliwość kątowa) tłumionych drgań ładunku jest
dana wyrażeniem

2
� = �0 - �2. (7.32)
Można to bezpośrednio sprawdzić, obliczając pierwszą i drugą pochodną
ładunku q i podstawiając wielkości d2q/dt2, dq/dt i q do równania (7.30).
Czasową zależność natężenia prądu w obwodzie można teraz obliczyć, korzy-
stając z zależności (7.26). Dla uproszczenia rozpatrzymy przypadek drgań
słabo tłumionych, gdy � �, �0. Wówczas  jak łatwo pokazać  wy-
starczy zróżniczkować tylko funkcję cosinus we wzorze (7.31); otrzymamy
wówczas
I H"-�q0e-�t sin (�t + �) . (7.33)
Wprowadzając oznaczenie I0 = �q0 H" �0q0 wzór ten możemy przepisać jako
I H"-I0e-�t sin (�t + �) . (7.34)
Podobnie, jak w przypadku drgań nietłumionych, początkowa faza � wwy-
rażeniach (7.31) i (7.34) określa wartości q i I w chwili t = 0. Wykresy cza-
sowego przebiegu ładunku q i natężenia prądu I pokazuje rysunek 7.4. Ze
względu na występowanie w wymienionych wzorach czynnika e-�t, drgania
elektryczne stopniowo zanikają z czasem. Zanik drgań jest tym szybszy, im
większa jest wartość współczynnika �, zwanego współczynnikiem tłumienia,
tj. im większa jest wartość stosunku R/L (patrz zależność (7.29)).
Uwzględniając wzory (7.28) i (7.29), wyrażenie (7.32) określające pulsa-
cję elektrycznych drgań tłumionych możemy zapisać jako

2
1 R
� = - . (7.35)
LC 2L
Natomiast okres drgań tłumionych dany jest wyrażeniem
2Ą
T = , (7.36)
�
czyli
2Ą

T = . (7.37)
2
1 R
-
LC 2L
8 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...
q
qoe- t
+qo
T/2
3/2 T
T
t
o
qoe- t
I
I e- t
o
+I
o
T
3/2 T
T/2
t
o
I e- t
o
Rysunek 7.4:
Porównując ostatni wzór ze związkiem (7.14) można stwierdzić, że okres
drgań tłumionych jest dłuższy od okresu drgań nietłumionych  podobnie
jak w przypadku drgań mechanicznych.
Zauważymy jeszcze, że wyrażenie (7.31) stanowi rozwiązanie równania

(7.30) tylko w przypadku, gdy � < �0, tj. gdy R < 2 L/C. Inaczej pod
pierwiastkiem we wzorze (7.32) występuje zero lub liczba ujemna. Można
wykazać, że dla wartości � �0 ładunek na okładkach kondensatora i na-
tężenie prądu w obwodzie stopniowo zanikają bez oscylacji.
7.1.3 Obwód RLC  drgania wymuszone
Jak pokazano w poprzednim podrozdziale, energia zgromadzona w obwodzie
RLC zamienia się na ciepło, wydzielane na oporze. W rezultacie swobodne
drgania elektryczne stopniowo zanikają. Aby wytworzyć w dowolnym ob-
wodzie niegasnące drgania elektryczne, należy doprowadzać do niego z ze-
wnątrz energię, równoważącą jej straty. Można to osiągnąć przez włączenie
w obwód z
ródła sinusoidalnie zmiennej siły elektromotorycznej  prądnicy
(lub elektronicznego generatora) prądu zmiennego (por. podrozdział 6.2.1).
Występujące wówczas w obwodzie drgania elektryczne nazywamy drganiami
wymuszonymi.
Rozpatrzymy teraz drgania wymuszone obwodu RLC, do którego zosta-
ło włączone szeregowo z
ródło zmiennej siły elektromotorycznej (rys. 7.5).
DRGANIA ELEKTRYCZNE 9
R
L
C
~
I
Rysunek 7.5:
Przypadek ten ma duże znaczenie w elektrotechnice i radiotechnice. Założy-
my, że zależność zewnętrznej siły elektromotorycznej od czasu ma postać
E = E0 sin (�t) , (7.38)
gdzie E0 jest amplitudą a � pulsacją (częstotliwością kątową). Suma siły
elektromotorycznej E i siły elektromotorycznej samoindukcji w solenoidzie
EL jest równa sumie napięć UR na oporze i UC na kondensatorze,
E + EL = UR + UC. (7.39)
Ponieważ, jak poprzednio,
dI
EL = -L , (7.40)
dt
UR = RI, (7.41)
q
UC = , (7.42)
C
ze wzoru (7.39) otrzymujemy równanie
dI q
L + RI + = E0 sin (�t) . (7.43)
dt C
Różniczkując obie strony tego równania względem czasu i korzystając ze
związku między ładunkiem na okładkach kondensatora i natężeniem prądu
w obwodzie,
dq
I = , (7.44)
dt
dostajemy następujące równanie różniczkowe, określające natężenie prądu:
d2I dI I
L + R + = E0� cos (�t) . (7.45)
dt2 dt C
10 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...
Będziemy szukać rozwiązania powyższego równania w postaci
I = I0 sin (�t - �) . (7.46)
Przyjmujemy więc, że pulsacja natężenia prądu jest równa pulsacji zewnętrz-
nej siły elektromotorycznej oraz, że w ogólnym przypadku występuje przesu-
nięcie fazowe � między prądem i siłą elektromotoryczną (rys. 7.6). Przesu-
nięcie fazowe i amplitudę natężenia prądu I0 należy tak dobrać, aby funkcja
(7.46) była rozwiązaniem równania różniczkowego (7.45). W tym celu obli-
czymy pierwszą i drugą pochodną natężenia prądu:
dI
= I0� cos (�t - �) , (7.47)
dt
d2I
= -I0�2 sin (�t - �) . (7.48)
dt2
Podstawiając natężenie prądu I i jego pochodne do równania (7.45), otrzy-
mujemy po prostych przekształceniach następujące równanie

1
I0 - �L sin (�t - �) +I0R cos (�t - �) =E0 cos (�t) . (7.49)
�C
Wprowadzając oznaczenie ą = �t - �, z którego wynika, że �t = � + ą i
korzystając ze wzoru określającego cosinus sumy kątów ostatnie równanie
można zapisać w postaci

1
I0 - �L sin ą + I0R cos ą = E0 cos � cos ą -E0 sin � sin ą. (7.50)
�C
Aby było ono spełnione dla dowolnej chwili czasu, muszą być sobie równe
wyrazy po obu stronach równania, zawierające sin ą oraz cos ą. Otrzymuje-
my stąd wzory
I0R = E0 cos �, (7.51)
I
0
t
Rysunek 7.6:
DRGANIA ELEKTRYCZNE 11

1
I0 �L - = E0 sin �. (7.52)
�C
Podnosząc teraz do kwadratu obie strony równań (7.51) i (7.52) i dodając
je do siebie otrzymujemy

2
1
2 2
I0 R2 + �L - = E0 , (7.53)
�C
skąd wynika zależność, określająca amplitudę natężenia prądu:
E0

I0 = . (7.54)
2
1
R2 + �L -
�C
Natomiast dzieląc stronami równania (7.52) i (7.51) dostajemy wyrażenie,
określające przesunięcie fazowe między prądem i zewnętrzną siłą elektromo-
toryczną:
1
�L -
�C
tg � = . (7.55)
R
Występującą we wzorze (7.54) wielkość

2
1
Z = R2 + �L - (7.56)
�C
nazywa się impedancją (oporem pozornym, zawadą) obwodu prądu zmienne-
go. Wzór (7.54) można więc zapisać jako
E0
I0 = . (7.57)
Z
Jest on odpowiednikiem prawa Ohma (które dotyczy obwodu prądu stałego),
przy czym impedancja stanowi odpowiednik oporu omowego R. Natomiast
wielkości
XL = �L, (7.58)
1
XC = , (7.59)
�C
które pojawiają się we wzorach (7.54) - (7.56), nazywamy odpowiednio opo-
rem indukcyjnym (induktancją) i oporem pojemnościowym (kapacitancją).
Zależności (7.55) - (7.56) mają prostą interpretację geometryczną. Nary-
sujmy w dodatnim kierunku osi odciętych wektor o długości R, w dodatnim
12 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...
L
Z
1
L
C
R
1
C
Rysunek 7.7:
kierunku osi rzędnych wektor o długości XL = �L a w ujemnym kierunku
tej osi wektor o długości XC =1/�C (rys. 7.7). Wtedy, jak łatwo stwier-
dzić, długość wypadkowego wektora jest równa impedancji Z obwodu a kąt
między tym wektorem i osią odciętych jest równy przesunięciu fazowemu �.
Rozważymy teraz napięcia na poszczególnych elementach obwodu. Ampli-
tuda napięcia na oporze, zgodnie z prawem Ohma, wynosi
U0R = I0R. (7.60)
Można wykazać, że amplitudy napięć na solenoidzie i kondensatorze są równe
U0L = I0XL = I0�L, (7.61)
I0
U0C = I0XC = . (7.62)
�C
Ponadto, zgodnie ze wzorem (7.57), amplituda zewnętrznej siły elektromo-
torycznej
E0 = I0Z. (7.63)
Powyższe cztery wielkości są odpowiednio proporcjonalne do oporu omowego
R, indukcyjnego XL, pojemnościowego XC i oporu pozornego Z. Amplitudy
napięć na poszczególnych elementach obwodu prądu zmiennego sumują się
więc geometrycznie w ten sam sposób, jak ich opory (rys. 7.7), przy czym
długość wypadkowego wektora jest równa amplitudzie E0 siły elektromoto-
rycznej.
Zbadamy teraz zależność amplitudy natężenia prądu (7.54) i przesunięcia
fazowego (7.55) od pulsacji � zewnętrznej siły elektromotorycznej. Można
DRGANIA ELEKTRYCZNE 13
łatwo stwierdzić, że dla wartości pulsacji �r, określonej równaniem
1
�rL - =0, (7.64)
�rC
czyli dla wartości
1
�r = " (7.65)
LC
amplituda natężenia prądu ma maksymalną wartość, I0 = E0/R, natomiast
prąd pokrywa się w fazie z zewnętrzną siłą elektromotoryczną, � = 0.
Należy zauważyć, że pulsacja �r jest równa pulsacji nietłumionych drgań
obwodu LC (wzór (7.12)). Gdy � �r, amplituda I0 natężenia prądu wy-
raz
nie wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu elektrycznego a pulsację
�r nazywa się pulsacją rezonansową. Jeżeli � 0, to opór pojemnościowy
XC =1/�C ". Wówczas I0 0 i � -Ą/2. Jeżeli natomiast � ",
to opór indukcyjny XL = �L ". W tym przypadku I0 0 i � Ą/2.
Wykresy zależności amplitudy natężenia prądu I0 i przesunięcia fazowego
� od pulsacji � siły elektromotorycznej są przedstawione na rys. 7.8a, b.
Jak wynika z wykresów, przy zmniejszaniu się wartości oporu omowego R
zmiany wielkości I0 i � dla pulsacji � H" �r są coraz bardziej gwałtowne.
Obliczymy jeszcze moc, wydzielaną w obwodzie prądu zmiennego. Za-
gadnienie to było już rozpatrywane w podrozdziale 6.2.1 przy założeniu,
I0 R1>R2
2
R1>R2
0
r
2
0
r
a) b)
Rysunek 7.8:
14 DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...
że przesunięcie fazowe między prądem a zewnętrzną siłą elektromotoryczną
jest równe zeru. Obecnie rozważymy ogólny przypadek. Korzystając ze wzo-
rów (7.38) i (7.46) dostajemy następujące wyrażenie, określające moc prądu
zmiennego w danej chwili czasu
P = EI = E0I0 sin (�t)sin(�t - �) . (7.66)
Średnia moc prądu zmiennego w ciągu jednego okresu wyraża się wzorem

T
1
Pśr = P dt. (7.67)
T
0
Z ostatnich dwóch wzorów otrzymujemy

E0I0 T
Pśr = sin (�t)sin(�t - �)dt. (7.68)
T
0
Powyższą całkę można łatwo obliczyć, korzystając z tożsamości
1
sin ą sin � = [cos (ą - �) - cos (ą + �)] .
2
W rezultacie otrzymujemy

T
sin (�t)sin(�t - �)dt
0

T T
1 1
= cos � dt - cos (2�t - �)dt
2 2
0 0
T
= cos � (7.69)
2
(ostatnia całka we wzorze jest, jak łatwo sprawdzić, równa zeru). Średnia
moc prądu zmiennego określona jest więc wyrażeniem
E0I0
Pśr = cos � , (7.70)
2
które  uwzględniając definicje skutecznych wartości siły elektromotorycz-
" "
nej i natężenia prądu  Esk = E0/ 2, Isk = I0/ 2, możemy przepisać w
postaci
Pśr = EskIsk cos � . (7.71)
Otrzymane wyrażenia różnią się od wyprowadzonych poprzednio (podroz-
dział 6.2.1, wzory (6.47) i (6.50)) dodatkowym czynnikiem cos �, zwanym
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 15
współczynnikiem mocy. Jeżeli przesunięcie fazowe między natężeniem prądu
i siłą elektromotoryczną jest równe zeru, � = 0 (np. w przypadku, gdy w
obwodzie znajduje się jedynie opór omowy), to cos � =1 i powyższe wzory
sprowadzają się do otrzymanych w podrozdziale 6.2.1. Warto zauważyć, że
jeżeli przesunięcie fazowe � = Ą/2 lub � = -Ą/2 (gdy w obwodzie znajduje
się tylko opór indukcyjny lub opór pojemnościowy, patrz wzór (7.55)), to
cos � = 0 i w obwodzie nie jest w ogóle wydzielana moc, Pśr =0.
7.2 Fale elektromagnetyczne
W poprzednich częściach wykładu omówiliśmy podstawowe prawa, opisują-
ce zjawiska elektromagnetyczne: prawo indukcji elektromagnetycznej Fara-
day a (podrozdział 6.1.1), prawo AmpŁre a  dotyczące pola magnetyczne-
go przewodników z prądem (podrozdział 5.2.3) oraz prawo Gaussa dla pola
elektrycznego (podrozdział 4.1.1) i pola magnetycznego (podrozdział 5.1.2).
W roku 1864 J.C. Maxwell zauważył, że w przypadku, gdy w przestrzeni
istnieje zmienne w czasie pole elektryczne, prawo AmpŁre a powinno być
uzupełnione o dodatkowy wyraz. Otrzymany w ten sposób układ równań
opisuje w zasadzie całość zjawisk elektromagnetycznych i nosi obecnie na-
zwę równań Maxwella. Na podstawie tych równań Maxwell m.in. przewidział
istnienie fal elektromagnetycznych i obliczył ich prędkość. Okazała się ona
równa prędkości światła, co wskazywało, że światło jest falą elektromagne-
tyczną. Istnienie fal elektromagnetycznych wykazał doświadczalnie H. Hertz
w 1888 r., a więc ok. 20 lat póz
niej. Dalej będziemy rozważać wyłącznie
równania Maxwella w próżni.
Uogólnimy najpierw prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday a. Zgo-
dnie z nim, indukowana w przewodniku siła elektromotoryczna wyraża się
wzorem

d
E = - B � dS, (7.72)
dt
S
w którym całka po prawej stronie jest strumieniem pola magnetycznego,
obejmowanego przez obwód. Jak już wspomniano (podrozdział 6.1.1), zmien-
ne w czasie pole magnetyczne powoduje wytworzenie wirowego pola elek-
trycznego, zarówno w przewodniku jak i w ośrodku nieprzewodzącym lub
w próżni. Korzystając ze związku między potencjałem i natężeniem pola
elektrycznego (podrozdział 4.2.3, wzór(4.34)), indukowaną w zamkniętym
przewodniku siłę elektromotoryczną można wyrazić wzorem

E = E � ds, (7.73)
C
16 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
gdzie E  natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika, C  do-
wolna przebiegająca wewnątrz niego zamknięta krzywa. Otrzymujemy stąd
równanie

d
E � ds = - B � dS , (7.74)
dt
C S
zwane I równaniem Maxwella. Równanie to, jakkolwiek wyprowadzone dla
przypadku przewodnika, stosuje się do wszystkich ośrodków i do próżni,
przy czym przez C należy rozumieć dowolną krzywą zamkniętą a przez S
 dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.
Rozpatrzymy obecnie prawo AmpŁre a, określające pole magnetyczne
przewodników z prądem. Zgodnie z podanym dotychczas sformułowaniem,
zachodzi związek

B � ds = �0I, (7.75)
C
gdzie C jest dowolną zamkniętą krzywą a I  całkowitym natężeniem prą-
du, przepływającego przez dowolną powierzchnię, rozpiętą na krzywej C.
A
atwo jednak zauważyć, że podane równanie nie jest np. słuszne, gdy ob-
wód z prądem nie jest zamknięty. Jako przykład rozważymy, pokazany na
rysunku 7.9, obwód RC. Po zamknięciu przełącznika w obwodzie popłynie
prąd elektryczny, który wytworzy wokół przewodników pole magnetyczne.
Jeżeli chwilowe natężenie prądu w obwodzie wynosi I, todlakrzywej C i roz-
piętej na nim powierzchni S1 ma miejsce związek (7.75) (przez powierzchnię
S2
S2
C
S1
S
E
S1
C
S
-q +q S S
E
R I
B
a) b)
Rysunek 7.9:
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 17
E E
dE dE
0 0
> <
dt dt
B
B
a) b)
Rysunek 7.10:
S1 płynie prąd I) a dla powierzchni S2, rozpiętej na tej samej krzywej C,
związek

B � ds = 0 (7.76)
C
(przez powierzchnię S2 nie płynie żaden prąd). Otrzymujemy więc, zależnie
od wyboru powierzchni, różne wyniki(!).
Dla wyjaśnienia powyższej sprzeczności Maxwell przyjął, przez analogię
ze zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej, że zmienne w czasie pole elek-
tryczne powoduje wytworzenie wirowego pola magnetycznego (rys. 7.10).
Należy zauważyć, że w przypadku, gdy pole elektryczne rośnie (dE/dt >0),
zwrot linii sił wytworzonego pola magnetycznego jest zgodny z regułą śru-
by prawoskrętnej a w przypadku, gdy pole elektryczne maleje (dE/dt <0)
 jest przeciwny. Obszar przestrzeni, w którym istnieje zmienne pole elek-
tryczne można więc traktować tak, jakby płynął w nim prąd elektryczny,
wywołujący pole magnetyczne. Maxwell nazwał ten fikcyjny prąd prądem
przesunięcia. Równanie (7.76) powinno więc być zastąpione przez równanie

B � ds = �0Ip, (7.77)
C
gdzie Ip oznacza natężenie prądu przesunięcia,  płynącego między okład-
kami kondensatora. Dla zapewnienia niesprzeczności równań (7.75) i (7.77)
powinien zachodzić związek I = Ip, co oznacza, że w każdej części rozważa-
nego obwodu  płynie prąd o jednakowym natężeniu.
W celu wyprowadzenia wyrażenia, określającego prąd przesunięcia, sko-
rzystamy z podanego w podrozdziale 4.4.3 wzoru (4.82),
q = �0ES, (7.78)
18 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
wktórymq jest ładunkiem na okładce płaskiego próżniowego kondensatora,
E  natężeniem pola w kondensatorze a S  powierzchnią jego okładki.
Ponieważ
ŚE = ES (7.79)
jest strumieniem elektrycznego pola przez powierzchnię S (i przez całą po-
wierzchnię S2) na rys. 7.9, więc
q = �0ŚE. (7.80)
Z definicji natężenia prądu otrzymujemy
dq dŚE
I = = �0 . (7.81)
dt dt
Ponieważ w rozważanym przypadku I = Ip, natężenie prądu przesunięcia
wewnątrz kondensatora wyraża się wzorem
dŚE
Ip = �0 . (7.82)
dt
Strumień pola elektrycznego E przez dowolną powierzchnię S jest dany całką

ŚE = E � dS. (7.83)
S
Ogólne wyrażenie na prąd przesunięcia ma więc postać

d
Ip = �0 E � dS. (7.84)
dt
S
Po prawej stronie wzoru (7.75) w ogólnym przypadku powinna występować
suma natężenia Ip prądu przesunięcia oraz natężenia I prądu przewodzenia:

B � ds = �0 (Ip + I) . (7.85)
C
Podstawiając wyrażenie (7.84) do ostatniego wzoru otrzymujemy równanie

d
B � ds = �0�0 E � dS + �0I , (7.86)
dt
C S
nazywane II równaniem Maxwella. Tutaj C jest dowolną krzywą a S 
dowolną rozpiętą na niej powierzchnią.
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 19
Jak wspomnieliśmy, w skład równań Maxwella wchodzi jeszcze prawo
Gaussa dla pola elektrycznego,

Q
E � dS = , (7.87)
�0
S
oraz prawo Gaussa dla pola magnetycznego,

B � dS =0 . (7.88)
S
Powyższe równania nazywa się odpowiednio III i IV równaniem Maxwella.
7.2.1 Fala elektromagnetyczna płaska. Prędkość fal elektro-
magnetycznych
Jak wspomniano, równania Maxwella opisują m.in. fale elektromagnetyczne.
Będziemy rozważać jedynie fale elektromagnetyczne w próżni i przyjmiemy,
że w danym obszarze nie ma ładunków elektrycznych i przewodników z prą-
dem. W równaniach (7.86) i (7.87) należy więc odpowiednio przyjąć I =0 i
Q = 0. Podamy najpierw intuicyjnie wyjaśnienie rozchodzenia się fal elektro-
magnetycznych (rys. 7.11). Jeżeli np. w pewnym obszarze przestrzeni istnieje
zmienne w czasie pole elektryczne, to  zgodnie z II równaniem Maxwella
(7.86)  wytwarza ono zmieniające się z czasem, wirowe pole magnetyczne.
E(t)
B(t)
B(t)
E(t)
Rysunek 7.11:
20 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
y
E
c
B
x
z
Rysunek 7.12:
Z kolei zmiany pola magnetycznego powodują, na mocy I równania Ma-
xwella (7.74), powstanie zmiennego, wirowego pola elektrycznego, itd. W
przestrzeni przemieszcza się więc fala elektromagnetyczna.
Najprostszą postacią fali elektromagnetycznej jest płaska fala harmo-
niczna, pokazana na rysunku 7.12. W przypadku płaskiej fali elektromagne-
tycznej każda płaszczyzna prostopadła do wektora prędkości fali c jest jej
powierzchnią falową, na której wektory E i B mają stałą wartość i kierunek.
Jak wynika z rysunku, wektory natężenia pola elektrycznego E, indukcji po-
la magnetycznego B oraz prędkości fali c są w danym punkcie przestrzeni
wzajemnie prostopadłe i tworzą układ prawoskrętny. Jest to ogólna cecha
dowolnej fali elektromagnetycznej. Fale elektromagnetyczne są więc falami
poprzecznymi. Na rys. 7.12 układ współrzędnych wybrano w ten sposób, że
wektory c, E i B są odpowiednio równoległe do osi x, y i z. Zgodnie z
określeniem fali harmonicznej, wielkości E i B zmieniają się sinusoidalnie
ze zmianą współrzędnej x i czasu t. Analogicznie jak w przypadku płaskiej
fali harmonicznej w ośrodku sprężystym (podrozdział 2.6.2), rozważaną falę
elektromagnetyczną powinny opisywać równania
E = Ey = E0 cos [� (t - x/c)] , (7.89)
B = Bz = B0 cos [� (t - x/c)] , (7.90)
w których E0 i B0 są amplitudami natężenia pola elektrycznego i indukcji
pola magnetycznego, �  pulsacją fali, c  prędkością fali elektromagne-
tycznej w próżni (dla uproszczenia wzorów przyjęto, że faza początkowa fali
jest równa zeru). Można wykazać, że funkcje (7.89) - (7.90) stanowią istotnie
rozwiązanie równań Maxwella.
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 21
Jak już wspomnieliśmy w podrozdziale 5.2.2, prędkość fali elektroma-
gnetycznej w próżni określona jest wzorem
1
c = (7.91)
"
�0�0
W celu wyliczenia prędkości c wygodnie jest skorzystać ze związku
1
k = , (7.92)
4Ą�0
wktórymk jest współczynnikiem, występującym w niektórych wzorach elek-
trostatyki (patrz podrozdział 4.2.1). Po prostych przekształceniach zależność
(7.91) można zapisać jako

4Ąk
c = . (7.93)
�0
Ponieważ k =9 � 109N�m2/C2, �0 =4Ą � 10-7N/A2, więc

4Ą � 9 � 109N � m2/C2
c = =3 � 108m/s. (7.94)
4Ą � 10-7N/A2
Otrzymana wartość jest równa prędkości rozchodzenia się światła w próżni.
Rezultat ten doprowadził Maxwella do wniosku, że światło jest falą elektro-
magnetyczną.
W podobny sposób można wyprowadzić wzór, określający prędkość v
fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym o stałej dielektrycznej �r i
względnej przenikalności magnetycznej �r:
1
v = . (7.95)
"
�0�r�0�r
Biorąc pod uwagę, że dla większości ośrodków, za wyjątkiem ferromagne-
tycznych, �r H" 1, ze wzorów (7.91) i (7.95) otrzymujemy związek
c
v H" . (7.96)
"
�r
Ponieważ stała dielektryczna dowolnego ośrodka materialnego �r > 1, pręd-
kość fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym jest mniejsza od pręd-
kości fali wpróżni, v 22 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
7.2.2 Wektor Poyntinga. Natężenie fali elektromagnetycznej
Zarówno pole elektryczne jak i pole magnetyczne posiada określoną energię
(por. podrozdziały 4.4.3 i 6.1.2). Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych
związane jest więc z przenoszeniem energii pola elektromagnetycznego, po-
dobnie jak rozchodzeniu się fal w sprężystym ośrodku towarzyszy przeka-
zywanie energii mechanicznej. Szybkość przepływu energii fali elektroma-
gnetycznej przez daną powierzchnię opisuje tzw. wektor Poyntinga S (rys.
7.13). Podamy tutaj jego ogólną definicję, stosującą się do ośrodków mate-
rialnych i do próżni. Kierunek wektora Poyntinga jest zgodny z kierunkiem
wektora v prędkości fali, S v a jego wartość liczbowa jest równa mocy
fali, przenoszonej przez jednostkową powierzchnię, prostopadłą do wektora
v. Jeżeli więc oznaczyć przez "Ep energię fali, przechodzącą w czasie "t
przez niewielką powierzchnię "SĄ", to wartość
"Ep
S = , (7.97)
"SĄ""t
przy czym [S] =W/m2. Energia "Ep odpowiada energii zawartej w bardzo
małym prostopadłościanie o polu podstawy "SĄ" i wysokości v"t (rys. 7.13).
Ponieważ całkowita gęstość energii w = we + wm (we i wm  gęstość ener-
gii pola elektrycznego i magnetycznego) wewnątrz prostopadłościanu jest w
przybliżeniu stała, więc
"Ep = w"V = w"SĄ"v"t (7.98)
Rysunek 7.13:
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 23
("V  objętość prostopadłościanu), skąd otrzymujemy wzór
S = wv. (7.99)
Korzystając ze wyrażeń, określających gęstości energii we i wm (podrozdział
4.4.3, wzór (4.85) i podrozdział 6.1.2, wzór (6.30)), ostatnie wyrażenie można
przekształcić do postaci
S = E � H (7.100)
(patrz rys. 7.14), w którym wektor natężenia pola magnetycznego H =
B/�r�0.
Ze względu na zależność pola elektrycznego i pola magnetycznego fa-
li od czasu, wartość wektora Poyntinga również zmienia się w czasie. Dla
harmonicznej fali elektromagnetycznej wygodnie jest wprowadzić pojęcie jej
natężenia I, będącego średnią bezwzględną wartością wektora Poyntinga w
ciągu jednego okresu T drgań,

T
1
I = Sśr = EHdt (7.101)
T
0
([I] =W/m2). Korzystając z powyższej zależności można wykazać, że natę-
żenie płaskiej fali elektromagnetycznej, opisanej równaniami
E = E0 cos [� (t - x/c)] , (7.102)
H = H0 cos [� (t - x/c)] , (7.103)
wynosi
E0H0
I = . (7.104)
2
E
v S
H
Rysunek 7.14:
24 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Ponieważ w przypadku fali elektromagnetycznej E0 <" H0, jej natężenie jest
proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego lub
pola magnetycznego,
2 2
I <" E0 <" H0 . (7.105)
7.2.3 Promieniowanie fal elektromagnetycznych
Zgodnie z poprzednimi podrozdziałami, z obszaru przestrzeni, w którym wy-
stępuje zmienne w czasie pole elektryczne lub pole magnetyczne, rozchodzi
się fala elektromagnetyczna. Wobec tego w zasadzie każdy elektryczny ob-
wód drgający, np. obwód LC, jest z
ródłem fal elektromagnetycznych. A
atwo
stwierdzić, że w celu wytworzenia fal elektromagnetycznych np. o długości
rzędu metra  częstotliwość � drgań elektrycznych musi być stosunkowo
wysoka. Można obliczyć ją ze wzoru
c
� = . (7.106)

Ponieważ prędkość fali elektromagnetycznej w próżni c =3 � 108 m/s, więc
dla długości  = 1 m częstotliwość � =3 � 102 MHz. Jak wynika ze wzoru
Thomsona (7.14), częstotliwość drgań obwodu LC wynosi
1 1
� = = " . (7.107)
T
2Ą LC
Dla osiągnięcia możliwie wysokiej częstotliwości drgań należy więc dążyć do
zmniejszenia zarówno indukcyjności L jak i pojemności C obwodu. Ponadto,
aby wypromieniowywana przez obwód moc była jak największa, obszar prze-
strzeni, w którym obwód wytwarza zmienne pole elektryczne i magnetyczne
 powinien być możliwie duży. Oba cele można zrealizować, przekształcając
obwód LC w sposób pokazany na rys. 7.15a-d. Obwód redukuje się wówczas
do odcinka przewodnika, posiadającego niewielką indukcyjność i pojemność.
Drgania elektryczne w przewodniku mają charakter zbliżony do drgań dipola
elektrycznego, tzn. układu dwóch równych, różnoimiennych ładunków +q i
-q, których odległość zmienia się okresowo w czasie (rys. 7.16). W odróżnie-
niu od pola elektrycznego nieruchomych ładunków, linie sił pola elektrycz-
nego drgającego dipola  odrywają się od ładunków i przybierają kształt
pętli, przemieszczających się w przestrzeni (na rysunku pokazano linie sił
tylko z jednej strony dipola). Linie sił pola magnetycznego (nie pokazane
na rysunku) są prostopadłe do linii sił pola elektrycznego. Mają one kształt
współosiowych okręgów o rosnących z czasem promieniach, obejmujących
drgający dipol.
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 25
C
L
a) b)
c) d)
Rysunek 7.15:
q
q
q
q
q
q
q
q
a) b) c) d)
Rysunek 7.16:
W celu podtrzymywania drgań elektrycznych w rozważanym obwodzie
należy doprowadzać do niego energię, np. przez połączenie ze z
ródłem zmien-
nej siły elektromotorycznej. W swoich doświadczeniach H. Hertz używał
układu złożonego z dwóch przewodzących prętów, rozdzielonych niewielką
26 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
a) b)
Rysunek 7.17:
przerwą, zwanego obecnie oscylatorem Hertza (rys. 7.17a). Drgania w oscy-
latorze Hertza były wzbudzane przez połączenie go ze z
ródłem powtarza-
jących się impulsów wysokiego napięcia. W momencie, w którym napięcie
osiągnie dostateczną wartość, między prętami przeskakuje iskra elektryczna
 zamykająca obwód, w którym powstają tłumione drgania elektryczne. Do
rejestracji fal elektromagnetycznych Hertz stosował przewodzący pierścień
z niewielką przerwą zwany rezonatorem (rys. 7.17b), o częstotliwości drgań
własnych identycznej z częstotliwością drgań emitującego falę oscylatora. Na
skutek zjawiska rezonansu elektrycznego wymuszone drgania w rezonatorze
były na tyle silne, że można je było wykryć, obserwując przeskakującą w
przerwie iskrę. Współcześnie do wytwarzania i odbioru fal radiowych i tele-
wizyjnych stosuje się anteny połączone z generatorami drgań elektrycznych
(nadajniki) i wzmacniaczami drgań elektrycznych (odbiorniki).
Hertz w swoich doświadczeniach udowodnił m.in., że fale elektromagne-
tyczne ulegają dyfrakcji, interferencji i załamaniu. Udało mu się też wy-
tworzyć stojące fale elektromagnetyczne i zmierzyć ich długość skąd, znając
częstotliwość drgań obwodu, mógł wyznaczyć prędkość fali elektromagne-
tycznej. Okazała się ona zgodna z wynikiem teorii Maxwella, co stanowiło
rozstrzygający dowód jej słuszności.
7.2.4 Widmo fal elektromagnetycznych
Fale elektromagnetyczne, występujące w przyrodzie i wytwarzane sztucznie,
obejmują b. szeroki zakres długości oraz  z uwagi na stałą prędkość ich
rozchodzenia się w próżni  równie szeroki zakres częstotliwości, przekra-
czający 16 rzędów wielkości. Natura fal elektromagnetycznych, niezależnie
od ich długości, jest jednakowa. Fale o długościach różniących się co naj-
mniej o kilka rzędów mają jednak odmienne właściwości fizyczne. Podziału
fal elektromagnetycznych na poszczególne rodzaje dokonuje się głównie ze
względu na sposób ich powstawania. Pełne widmo fal elektromagnetycznych
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE 27
pokazuje rys. 7.18. Granice długości fali między poszczególnymi rodzaja-
mi promieniowania elektromagnetycznego, pokazane na rysunku i podane
poniżej, mają jedynie orientacyjny charakter.
Fale radiowe są wytwarzane za pomocą przyrządów elektronicznych. Do
celów radiofonii i radiokomunikacji stosuje się fale o długości od 104 mdo 10
m. Programy radiowe i telewizyjne przesyłane są na falach ultrakrótkich, o
długości od 10 m do 10-1 m. Fale elektromagnetyczne o długości od 10-1 m
do 10-4 m noszą nazwę mikrofal. Są one wykorzystywane głównie w technice
radarowej oraz radiokomunikacji satelitarnej.
Promieniowanie podczerwone, widzialne i nadfioletowe powstaje na sku-
tek zmian energetycznych, zachodzących w zewnętrznych powłokach elektro-
nowych atomów i cząsteczek. Jest ono m.in. emitowane przez ciała ogrzane
do dostatecznie wysokiej temperatury. Fale ze stosunkowo wąskiego prze-
działu, od ok. 8�10-7 mdo ok. 4�10-7 m są bezpośrednio widzialne ludzkim
okiem (barwy od czerwonej do fioletowej). Przedział fal o długości od 10-3
mdo 8 � 10-7 m należy do podczerwieni a przedział fal o długości od 4 � 10-7
do 10-9 m  do nadfioletu. Ogólnie można stwierdzić, że energia promie-
niowania elektromagnetycznego rośnie wraz ze zmniejszaniem się długości
jego fali, tj. ze wzrostem częstotliwości. Przejawem tego są niektóre wła-
sności promieniowania nadfioletowego  zaczernia ono klisze fotograficzne,
lg [Hz]
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
fale radiowe
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12
lg [m]
Rysunek 7.18:
długie
krótkie
S
rednie
mikrofale
promienie
promienie
promienie
promienie
podczerwone
ultrafioletowe
rentgenowskie
S
wiatło widzialne
28 DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
powoduje fluorescencję (świecenie) niektórych ciał, zapoczątkowuje szereg
reakcji chemicznych.
Promienie Roentgena (promienie X) powstają przy hamowaniu wiązki
wysokoenergetycznych naładowanych cząstek (głównie elektronów) w cia-
łach stałych a także podczas przemian energetycznych, mających miejsce w
wewnętrznych powłokach elektronowych atomów i cząsteczek. Długość fal
promieni Roentgena leży w zakresie od 10-8 m do 10-12 m. Są one bar-
dzo przenikliwe; ich własności fizyczne wykorzystywane są powszechnie w
badaniach strukturalnych materiałów, defektoskopii i medycynie.
Promieniowanie ł jest emitowane przez pierwiastki promieniotwórcze
przy przemianach energetycznych wewnątrz wzbudzonych jąder atomowych.
Długość fal promieniowania ł jest mniejsza od 10-10 m a ich własności
fizyczne są zbliżone do własności promieni Roentgena.