STATECZNOŚĆ

stany równowagi:

obojętna

trwała

chwiejna

ZAKRES SPRĘŻYSTY

M

x

'

v ( x)

z (

)

=

M ( x) = − P ⋅ v x kr

( )

EJ z

− P

'

v ( x)

KR

=

⋅ v( x)

v ( x) = A sin kx + B cos kx EJ z

szukane: k,

A / B

z warunków brzegowych

2

π EJz

P

=

gdzie:

J = J

KR

(

z

min

lw )2

l

l

l

= 2 l

l

= l

l

=

l =

w

w

w

2

w

2

2

2

P

π EJ

 i 

l

E

KR

min

2

min

σ =

=

= π 

 λ :

w

=

A

( )

E

2

 l

A l



i

w

min

w

π E

E

σ (λ)

2

=

λ > λ

2

λ

gr

λ = λ ⇒ σ =

E

R

λ = π

gr

E

H

gr

RH

−

R − R

R

T J

σ

(λ)

e

H

H

= R −

⋅λ

λ < λ

e

π

E

gr

czerwona linia

niebieska linia

KR

σ (λ) =ϕ (λ)⋅ R

ϕ (λ) ≤1

e

KR

ϕ (λ) σ (λ)

:=

Re

λ

π

> λ

E

ϕ (λ)

2

=

gr

2

R λ

e

λ < λ

R − R

R

ϕ (λ) =1 e

H

H

−

⋅λ

gr

R π

E

e

Wytrzymałościowy warunek projektowania: P

≤

ϕ (λ)

Re

⋅

A

NORMA

π

E

λ =

p

1.15

fd

Tabela

λλ 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 …… 1.65 1.90 2.20

p

ϕ  λ 



λ  0.93 0.89 0.85 0.80 0.74 0.68 0.59 0.5 ……. 0.328 0.257 0.197



p 

Projektowanie wg normy:

P

≤ f

d





A ⋅ϕ λ



λ 



p 

ZADANIE 1.

Zaprojektować pręt ściskany ze względu na zadane obciążenie krytyczne P = 50 kN .

Dane:

l = 4 m , λ = 107 , E = 200 GPa ,

σ

= 240 − 0.56

−

λ [ MPa].

gr

T J

4

4

2 c

c

4

J

c

c

l

J

=

=

min

i

=

=

=

l =

= m

min

12

6

min

2

A

6 ⋅

2

2 c

w

12

2

Przypuszczamy zakres sprężysty 2

6

4

π EJ

3.14 ⋅ 200 ⋅10 ⋅ c

min

P =

=

= 50

c

−

⇒ =

⋅

m

kr

2

l

6 ⋅

2

2.79 10

4

w

l

2 12

w

λ =

=

= 248 > λ

2

i

2.79 ⋅

10−

gr

min

4

4

8 c

2 c

c

J =

=

i =

y

12

3

y

3

l

2 3

w

λ = =

=124 > λ

y

2

i

2.79 ⋅

10−

gr

y

Przypuszczenie było prawdziwe, poprawnie zaprojektowany parametr c.

ZADANIE 2.

Obliczyć zapas nośności dla pręta. Dane: E = 200 GPa , R = 150 MPa , H

l = 3 m , σ

= 240 − 0.56

−

λ [ MPa].

T J

3

E

200 10

λ

π

⋅

=

= 3.14

=114.7

−

−

4

2

2

A = 5 ⋅ 20 ⋅10 = 1⋅10 m

gr

R

150

H

2

20 ⋅10−

l

⋅

wy

2 3

l

= 2 l = 6 m

−

2

i =

= 5.77 ⋅10 m

λ =

=

=104 < λ

wy

y

y

−

gr

12

2

i

5.77 ⋅

10

y

P

= σ

⋅ A =

−

⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

=

−

(

)

4

−

2

240 0.56 104 5 20 10 [ MPa m ] 1818 kN

KR

T J

l

3

2

5 ⋅10−

l

3

l

=

=

m

−

2

i =

=1.44⋅10 m

wz

λ =

=

=147.3 > λ

wz

z

z

−

gr

2

2

12

2

i

1.41⋅1.44 ⋅

10

z

2

π EJz

P

=

= 910 kN

KR

2

lwz

P

min (1818 kN, 910 kN ) n :

KR

=

n =

=1.4

P

650 kN

ZADANIE 3.

Obliczyć dopuszczalne obciążenie kratownicy ze względu na stateczność.

5

3

Rozwiązanie statyki:

S = P

S = − P

S = − P

1

4

2

4

3

Charakterystyki geometryczne:

3

3

6 ⋅ 2

2 ⋅ 4

3

3

8 ⋅ 2

4 ⋅ 4

4

J = 2 ⋅

+

= 74.67 cm

4

J =

+

= 234.67 cm > J

z

12

12

y

12

12

z

2

A = 32 cm

i

=1.57 cm

min

3

E

200 10

Materiał: λ

π

⋅

=

= 3.14

=104.72

gr

R

180

H

Pręty ściskane : pręt 2, pręt 3 sprawdzane na stateczność Pręt 2

l

3

l = l = 3 m

w

λ =

=

=196.4 > λ

w

−2

i

1.57 ⋅

10

gr

min

2

π EJ

3

z

P

=

= S = P

KR

2

2

l

4

w

2

4π

−

EJ

4 ⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

z

(3.14)2

6

8

200 10 74.67 10

⇒ P =

=

= 218.36 kN

2

3 l

⋅

w

3 (3)2

Pręt 3

l

4

l = l = 4 m

w

λ =

=

= 261.86 > λ

w

−2

i

1.57 ⋅

10

gr

min

2

π EJ

z

P

=

= S = P

KR

2

3

lw

2

π

−

EJ

⋅

⋅

⋅

⋅

z

(3.14)2

6

8

200 10 74.67 10

⇒ P =

=

= 92.12 kN

2

lw

(3)2

P

= min( P) = 92.12 kN

KR

Zadanie 4.

Zaprojektować na stateczność w/g normy pręty kratownicy obciążonej jak na rysunku o przekroju pokazanym na rysunku l = 3.0 m

.

Rozwiązanie statyki:

F = −94.8 kN , F = F = 6

+ 7.0 kN, F = +200 kN, F = −188 kN, F = 0 kN

1

x

x 2

x 4

x 3

x 5

x 6

F = −233 kN

x 7

2

A = 0.89 a kN ,

4

J = J = 0.08 a , i = i = 0.3 a y

z

y

z

Projektowanie prętów rozciąganych:

Fx 2 ≤ R

a ≥ 0.02 m

H

A

Fx 3 ≤ R

a ≥ 0.03 m

H

A

Projektowanie prętów ściskanych: F

π

E

pręt 5

≤

λ =

= 87.37

p

A ϕ ( x 5

fd

λ /λ

1.15

f

p )

d

−

przyjmuję: a = 0.07 m , l = l = 4.24 m 4

2

F = 43.61⋅10 m

w

λ = 201.9

λ





=

λ

2.30

ϕ 

 =

λ

0.181



 λ 

p

p 

F

188

=

=

⋅

≤

⋅

A ϕ ( x 5

λ /λ

−

⋅

⋅

p )

3

3

238 10

205 10

4

0.181 43.61 10

−

przyjmuję:

a = 0.073 m ,

4

2

F = 47.42 ⋅10 m

λ =193.6

λ





=

λ

2.20

ϕ 

 =

λ

0.197



 λ 

p

p 

F

188

=

=

⋅

≤

⋅

A ϕ ( x 5

λ /λ

−

⋅

⋅

p )

3

3

201.2 10

205 10

4

0.197 47.42 10

F

π

E

pręt 7

≤

λ =

= 87.37

p

A ϕ ( x 7

fd

λ /λ

1.15

f

p )

d

−

przyjmuję:

a = 0.07 m , l = l = 3.0 m , 4

2

F = 43.61⋅10 m

w

λ =142.86

λ





=

λ

1.65

ϕ 

 =

λ

0.328



 λ 

p

p 

F

233

=

=

⋅

≤

⋅

A ϕ ( x 7

λ / λ

−

⋅

⋅

p )

3

3

162.9 10

205 10

4

0.328 43.61 10

−

przyjmuję: a = 0.06 m ,

4

2

F = 32.04 ⋅10 m

λ =166.6

λ





=

λ

1.90

ϕ 

 =

λ

0.257



 λ 

p

p 

F

233

=

=

⋅

>

⋅

A ϕ ( x 7

λ /λ

−

⋅

⋅

p )

3

3

282.9 10

205 10

4

0.257 32.04 10

−

przyjmuję:

a = 0.068 m ,

4

2

F = 41.15 ⋅10 m

λ =147.1

λ





=

λ

1.68

ϕ 

 =

λ

0.312



 λ 

p

p 

F

233

=

=

⋅

≤

⋅

A ϕ ( x 7

λ /λ

−

⋅

⋅

p )

3

3

181.5 10

205 10

4

0.312 41.15 10

zadanie 3

W kratownicy przedstawionej na rysunku pas dolny wykonany jest z kątownika L 65 × 65× 8, a pozostałe pręty z kątownika L 50 × 50 × 5. Obliczyć dopuszczalną wartość siły P.

pas dolny: L 65 × 65× 8

2

A = 9.87 cm ,

i

=1.27 cm

min

pozostałe pręty: L 50 × 50 × 5

2

A = 4.8 cm ,

i

= 0.98 cm

min

Materiał: stal, E=205 GPa, Re=215 MPa, RH=190 MPa .

W pasie dolnym największa siła ściskająca S = 3 P

1

N ≤ϕ(λ)⋅ R e

A

E

π ⋅ E

dla λ > λ = π

ϕ (λ)

2

=

gr

R

2

λ ⋅

R

H

e

R − R

R

dla λ < λ

ϕ (λ) =1 e

H

H

−

⋅λ

gr

π ⋅

R

E

e

l

3

205 10

w

λ =

λ

π

⋅

=

=103.19

min ( i , i

gr

190

y

z )

1.2

Dla pręta 1

λ =

= 94.49

λ < λ

1

0.0127

1

gr

215 190

190

ϕ λ

−

=1−

⋅94.49 = 0.894

1 ( 1 )

3

3.14 ⋅ 215 205 ⋅

10

3 P

3

≤ 0.894⋅ 215⋅10

⇒ P ≤

kN

4

9.87 ⋅

63.24

10−

Dla pozostałych prętów , największa siła ściskająca S = P

3

1.2

λ =

=122.45 > λ =103.19

λ > λ

3

0.0098

gr

3

gr

2

3

π 205 10

ϕ λ

⋅

⋅

=

= 0.628

3 (

3 )

(122.45)2 ⋅215

P

3

≤ 0.628⋅ 215⋅10

⇒ P ≤

kN

4

4.8 ⋅

64.81

10−

Siła jest mniejszą z rozważanych dwóch czyli: P ≤ 63.24 kN

zadanie 4

Dane: E=200 GPa, Re=280 MPa, RH=200 MPa

1. Które pręty się wyboczą?

2. Oblicz nośność konstrukcji ze względu na wyboczenie 3. W jakim zakresie pracują pręty

λ

4. Szukane a , takie aby

gr

λ =

dla pręta najbardziej podatnego na wyboczenie. obliczyć siłę 2

działającą w tym pręcie

KOLOKWIUM NR 3 – PRZYKŁADOWE ZADANIA

Zestaw 1

1. Podaj dopuszczalne obciążenie kratownicy, ze względu na wyboczenie prętów ściskanych.

Wymiary kratownicy podane są na rysunku. Pręty mają przekrój kołowy o średnicy d=8cm.

Materiał: stal, E=200 GPa, Re=200 MPa, RH=180 MPa .

Zestaw 2

1. Podaj dopuszczalne obciążenie kratownicy, ze względu na wyboczenie prętów ściskanych.

Wymiary kratownicy podane są na rysunku. Pręty mają przekrój kołowy o średnicy d=8cm.

Materiał: stal, E=200 GPa, Re=200 MPa, RH=180 MPa .